专题09 二元一次方程组高分突破题型（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制六年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组5大解题方法，以方法提炼为核心，构建从基础解法到综合应用的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整体代入法|3题|方程变形后代入消元|从代数变形到整体思想应用| |轮换对称法|3题|加减消元简化对称方程组|基于系数对称特征优化解法| |换元法|4题|引入新变量转化复杂方程|通过变量替换降低问题复杂度| |整数解|4题|参数范围限定与实际应用|从方程解到生活情境模型构建| |含参解法|4题|参数讨论与解的关联分析|综合运用方程性质解决动态问题|

专题09 《二元一次方程组》高分突破题型 知识点01：整体代入法解二元一次方程组 知识点02 轮换对称法解二元一次方程组 知识点03 换元法法解二元一次方程组 知识点04 二元一次方程组的整数 知识点05 解含参二元一次方程组的解法 知识点01：整体代入法解二元一次方程组 1．（24-25六年级下·上海·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】请用“整体代入消元”的方法解方程组； 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键． 【详解】解：， 由②可得：，即， 把方程①代入③可得：， 解得， 把代入方程①可得：， 解得：， ∴方程组的解为； 2. （24-25六年级下·上海·期末）已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】) 【分析】本题考查了利用“整体代入消元”的方法解方程组． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：，即， 把方程③代入④可得：， 解得． 3．（24-25六年级下·上海·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 知识点02 轮换对称法解二元一次方程组 1.（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组： 【详解】解：，得4x+6y+8z=56 则2x+3y+4z=28④ 将④-①，得4z=15，解得z=, 将④-②，得2x=13，解得x= 将④-③，得：3y=10，解得y= ∴原方程组的解为； 2．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请运用上述方法解方程组：； (2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1），所得方程两边都除以 4 ，得：，再与方程①利用加减法求解即可；（2）所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 两边除以 4 ，得：③， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． （2）解：， 得：， 两边除以，得：③， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 3．（24-25六年级下·上海·期末）我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______． (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值． 【答案】(1)；1 (2) (3) (4)2025 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并能灵活运用加减消元法计算． （1）根据题意，由定义可得，求出a，b的值即可； （2）根据题意，将代入得到，从而可得二元一次方程为，再根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （3）根据题意，使用加减消元法计算即可得解； （4）根据题意，方程组是共轭方程组，从而，解方程组即可得到，进而可得，然后代入计算即可解答． 【详解】（1）解：由定义可得， ， 故答案为：；1． （2）解：将代入， 得， 解得， 二元一次方程为， 这个方程的共轭二元一次方程是． 故答案为：． （3）解：， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 方程组得解为， 故答案为：． （4）解：由定义可得， ， 方程组是共轭方程组， 得，， ，， ， ， 方程组的解是， ， ． 题型03 换元法法解二元一次方程组 1．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组．令，得到，利用加减消元法解得，得到，再利用加减法求解即可． 【详解】解：． 令， 则原方程组可化为 ， 解得， 所以， 解得． 所以原方程组的解为． 2．（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组的解是，则方程组的解______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，用换元法求解即可，掌握解二元一次方程组方法是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式． 通过设，，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n的方程组得到答案． 【详解】解：令，， 则关于m、n 的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴可得，解得． 故答案为：． 4.（24-25六年级下·上海·期末）阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （1）利用换元法解方程组即可； （2）设，进而得到，求解即可． 【详解】（1）解：设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （2）解：原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 知识点04 二元一次方程组的整数解 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）二元一次方程的非负整数解是______． 【答案】或 【分析】本题考查了求二元一次方程的非负整数解，由方程可得，根据为非负整数可得或，据此解答即可求解，掌握解二元一次方程的解的方法是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ∴， ∵为非负整数， ∴或， ∴或， 当时，；当时，， ∴二元一次方程的非负整数解是为或， 故答案为：或． 2.（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】(1) (2)2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 【详解】（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 3．（24-25六年级下·上海·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 【答案】(1)11 (2) (3)共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，二元一次方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得是3的倍数，则是3的倍数，据此结合x的取值范围可得答案； （2）求出，根据x为正整数，得到是2的倍数，且y为正整数，据此求解即可； （3）设长为的绳子有段，长为的绳子有b段，由题意得，，求出该方程的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵为非负整数， ∴是3的倍数，且为非负数， ∴是3的倍数， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵x为正整数， ∴为正整数， ∴是2的倍数，且y为正整数， ∴当时，， ∴原方程的正整数解为； （3）解：设长为的绳子有段，长为的绳子有b段， 由题意得，， ∴， ∵b为正整数， ∴为正整数， ∴a是4的倍数，且a为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有2种截法：截法1：截成4段长的绳子和5段的绳子；截法2：截成8段长的绳子和2段的绳子． 4．（24-25六年级下·上海·期末）某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型台灯20盏，B型台灯30盏 (2)730元 (3)有两种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏，B型台灯16盏 【分析】此题考查了一元一次方程及二元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）根据题意可得等量关系：、两种新型节能台灯共50盏，种新型节能台灯的台数种新型节能台灯的台数元；设型台灯购进盏，型台灯购进盏，列方程即可求得； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． （3）设购进型台灯盏，购进型台灯盏．则，化简得，再求解即可． 【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏， 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元． （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得． 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）． 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏． 知识点05 含参二元一次方程组的解法 1．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 2．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 3．（24-25六年级下·上海·期末）若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，即，再结合已知条件，建立关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 4.（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 《二元一次方程组》高分突破题型 知识点01：整体代入法解二元一次方程组 知识点02 轮换对称法解二元一次方程组 知识点03 换元法法解二元一次方程组 知识点04 二元一次方程组的整数 知识点05 解含参二元一次方程组的解法 知识点01：整体代入法解二元一次方程组 1．（24-25六年级下·上海·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 请用“整体代入消元”的方法解方程组； 2. （24-25六年级下·上海·期末）已知x、y满足方程组，求的值． 3．（24-25六年级下·上海·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 知识点02 轮换对称法解二元一次方程组 1.（24-25六年级下·上海·期末）解方程组： 2．（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单．，得，所以③，，得④，，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请运用上述方法解方程组：； (2)请直接写出关于、的方程组（，是常数，）的解：______． 3．（24-25六年级下·上海·期末）我们把关于、的两个二元一次方程与叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组．例如：与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、共轭二元一次方程组；与互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做关于、的共轭二元一次方程组． (1)若关于、的方程组，为共轭方程组，则______， ______； (2)若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是______； (3)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：的解为______． (4)发现：若方程组是共轭方程组，且方程组的解是，请计算的值． 题型03 换元法法解二元一次方程组 1．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）解方程组：． 2．（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组的解是，则方程组的解______． 3．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的方程组的解是则关于的方程组的解是___________． 4.（24-25六年级下·上海·期末）阅读探索，知识累积．解方程组． 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高 运用上述方法解下列方程组：； (2)能力运用 已知关于x，y的方程组的解为．直接写出关于m、n的方程组的解为______． 知识点04 二元一次方程组的整数解 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）二元一次方程的非负整数解是______． 2.（24-25六年级下·上海·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 3．（24-25六年级下·上海·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，都是方程的解，但在实际生活中，我们往往只需求出其正整数解即可． 例：求二元一次方程的正整数解． 解：，． 、为正整数， 或． 【解决问题】 (1)若为非负整数，且，则满足条件的整数的值为______； (2)求方程的正整数解； (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． 4．（24-25六年级下·上海·期末）某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 知识点05 含参二元一次方程组的解法 1．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 2．（24-25六年级下·上海·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 3．（24-25六年级下·上海·期末）若方程组的解满足，求的值． 4.（24-25六年级下·上海·期末）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $