专题08 圆柱与圆锥（高效培优期末专项训练）数学新教材沪教教版五四制六年级下册

**基本信息** 聚焦圆柱与圆锥的概念生成、公式推导及实际应用，通过转化思想与实践任务构建系统性方法体系，强化空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆柱及其侧面展开图|12题（含7题方法推导、12题实践任务）|转化法（底面→长方形推导表面积）、分类讨论（裁剪方案优化体积）|从侧面展开图概念到表面积体积公式，再到容器制作等实际问题模型构建| |圆锥及其侧面展开图|10题（含1题展开图计算、2题体积应用）|公式逆用（已知体积求高）、展开图与圆锥量转化|从侧面展开图与圆锥关系到体积计算，结合排水法、组合体等应用场景|

专题08 《圆柱与圆锥》高分突破题型 知识点01：圆柱及其侧面展开图 知识点02 圆锥及其侧面展开图 知识点01：圆柱及其侧面展开图 1．（24-25六年级下·上海·期末）一个圆柱形零件，高是12厘米，底面半径是4厘米，零件的上端有一个圆柱形的孔，孔的直径是6厘米，深是7厘米．如果将这个零件接触空气部分的表面涂上防锈漆，一共需要涂多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】本题主要考查了求圆柱的表面积，该图形与空气接触的面积等于大圆柱的侧面积加上其一个底面积，再加上小圆柱的一个侧面积，据此列式求解即可． 【详解】解：． 平方厘米 答：一共需要涂平方厘米． 2．（24-25六年级下·上海·期末）分别计算圆柱的表面积和体积（结果保留）． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题考查圆柱的表面积和体积，根据圆柱的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】解：由题意，圆柱的表面积为； 圆柱的体积为． 3．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）一个圆柱形水池，它的内直径是8米，深2米，池上装有4个同样的进水管，每个水管每小时可以注水6.28立方米，四管齐放，几小时可以注满水池？（） 【答案】四管齐放，4小时可以注满水池 【分析】本题考查了圆柱的体积，掌握圆柱的体积公式是正确解答的前提．要求四管齐开几小时可以注满水池，先根据“圆柱的体积”求出水池的容积；然后求出4个进水管1小时可注多少立方米的水；最后用水池的容积除以4个进水管1小时可注多少立方米的水即可解决问题． 【详解】解： （小时）． 答：四管齐放，4小时可以注满水池． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）现有一个长为7cm，宽为3cm的长方形，将该长方形绕着它的宽所在的直线旋转一周，得到的圆柱的表面积和体积分别是多少？（结果保留π） 【答案】圆柱的表面积和体积分别是平方里米和立方厘米． 【分析】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握长方形绕一边得到的几何体为圆柱体以及圆柱体的表面积和体积计算解题的关键． 长方形绕一边得到的几何体为圆柱体，根据旋转边为半径，旋转轴所在的边为高以及圆柱的表面积公式和体积公式即可求解． 【详解】解：绕宽所在的直线旋转一周得到底面半径为，高为的圆柱，那么其表面积为： 圆柱体积为： 答：圆柱的表面积和体积分别是平方里米和立方厘米． 5．（24-25六年级下·山东·期末）一个瓶子装满的果汁，如图，喝掉一部分后，瓶内果汁高，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无果汁的部分高．喝掉了多少升果汁？ 【答案】喝掉了0.6升果汁． 【分析】本题考查的是圆柱体积的计算，设圆柱的底面积x为平方厘米，那么根据圆柱体积=底面积×高，再根据高的圆柱体积+高的圆柱体积，列出方程，求出圆柱的底面积，再乘5，即可解答． 【详解】解：设圆柱的底面积x为平方厘米． 根据题意得，， 解得，， （立方厘米） 600立方厘米=0.6立方分米=0.6升 答：喝掉了0.6升果汁． 6．（24-25六年级下·黑龙江·期末）甲、乙两个圆柱形容器，甲底面半径是厘米，乙底面半径是厘米，甲容器中水深厘米，乙容器中水深厘米．（取） (1)甲容器中的水是多少立方厘米？ (2)乙容器中的水是多少立方厘米？ (3)如果把甲容器中水注入乙容器一些，使乙容器中的水深与甲容器中的水深比为，这时乙容器水深应为多少厘米？ 【答案】(1)立方厘米 (2)立方厘米 (3)厘米 【分析】（1）（2）圆柱形容器内水的体积看作圆柱体的体积，利用即可求出两个容器内水的体积； （3）设乙容器水深应为厘米，则甲容器水深为厘米，根据“把甲容器中的水注入乙容器一些”建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（立方厘米）， 答：甲容器中的水是立方厘米； （2）解：（立方厘米）， 答：乙容器中的水是立方厘米； （3）解：设乙容器水深应为厘米，则甲容器水深为厘米， 依题意，得：， 解得：， 答：这时乙容器水深应为厘米． 7．（24-25六年级下·上海·期末）聪聪是一个非常善于动脑筋的孩子，学习计算圆柱的表面积时，他利用如图方式探索新的计算方法．请你根据图示尝试理解并回答问题，借助他的方法解题． (1)聪聪把圆柱的两个底面、转化成两个近似的长方形、，再把、拼接成一个较长的近似长方形，这个近似长方形（图①中、两部分）的长相当于圆柱底面的___________，宽相当于底面的___________． (2)由图①可知，聪聪把整个圆柱的表面积转化成近似的大长方形，近似大长方形的长相当于圆柱的底面___________，宽相当于圆柱的___________与___________的和，因此，利用聪聪的方法我们就得到了圆柱的表面积的另外一种求解方法，即圆柱的表面积＝___________ (3)请你利用聪聪的方法计算如图②中的圆柱的表面积． 【答案】(1)圆的周长，圆的半径 (2)圆的周长，高，底面圆的半径，近似大长方形的面积 (3) 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图，认识立体图形，几何体的表面积，解题的关键是等积转化的应用． （1）这个近似长方形的长相当于圆柱底面圆的周长，宽相当于底面的圆的半径； （2）这个近似长方形的长相当于圆柱的底面圆的周长，宽相当于圆柱的高和底面圆的半径的和，则圆柱的表面积＝近似大长方形的面积； （3）根据圆柱的表面积＝近似大长方形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：根据图形的变换可知， 这个近似长方形的长相当于圆柱底面圆的周长，宽相当于底面的圆的半径， 故答案为：圆的周长，圆的半径； （2）解：根据图形的变换可知， 这个近似长方形的长相当于圆柱的底面圆的周长，宽相当于圆柱的高和底面圆的半径的和，则圆柱的表面积＝近似大长方形的面积， 故答案为：圆的周长，高，底面圆的半径，近似大长方形的面积； （3）解：圆柱的表面积为：， 所以，圆柱的表面积为． 8．（24-25六年级下·上海·期末）如图小明家有一个长，宽的长方体鱼缸，缸内有一座假山完全没入水中，他准备全部换去鱼缸内的水，他先把缸里的鱼都捞出来此时鱼缸内水深．（取3） (1)接着又把假山取出来，发现水面下降了（假山表面带的水忽略不计），求这座假山的体积？ (2)小明用一个侧面积，高的圆柱形水桶装剩下的水，这个桶一次能不能接完鱼缸里的水？ 【答案】(1)； (2)可以一次接完，理由见解析； 【分析】本题主要考查了长方体的体积，圆柱，圆锥的体积，熟练掌握相关体积公式是解题的关键． （1）用长方体的底面积乘以水面下降的高度，即可求解； （2）求出圆柱形水桶的体积，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： ， ∴可以一次接完； 9．（24-25六年级下·上海·期末）阅读下面资料，解决问题． 生物在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都是空心的，而且内圆直径和外圆直径之比大约都是．研究表明，当一根空心管底面的内圆直径和外圆直径之比大约是时最不容易弯曲．根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的． (1)按照上面的研究，工人师傅制作了一种塑料零件（如图）．这个零件的内圆直径是多少厘米？ (2)做这种塑料零件需要多少立方厘米的塑料？（取3.14） 【答案】(1)这个零件的内圆直径是 (2)做这种塑料零件需要7159.2立方厘米的塑料 【分析】本题考查了比的应用，圆柱的体积，理解掌握圆柱的体积公式是解答关键． （1）根据题意和图示可得，这个零件底面的内圆直径与外圆的直径的比为求解； （2）先求出内圆的半径，再利用需要的塑料的体积等于内外两个圆柱的体积的差求解． 【详解】（1）解：设这个零件的内圆直径是． 根据题意，得， 解得， 答：这个零件的内圆直径是． （2）解：， 答：做这种塑料零件需要7159.2立方厘米的塑料． 10．（24-25六年级下·上海·期末）德强学校进行操场地面的维修，如图（1）压路机A压路滚桶是一个圆柱体C，已知圆柱体C的底面圆半径为米，高为2米． (1)求圆柱体C的侧面积（结果保留π） (2)由于工程进度需要，压路机B参与维修工作，压路机B压路滚桶是一个圆柱体D，已知圆柱体D的底面半径是圆柱C底面半径的，工作时压路机B压路滚桶每分钟匀速转动3周，压路面积18，求圆柱D的高是多少？ (3)在（2）的条件下，压路机A与B的压路滚桶每分钟匀速转动的周数比，在操场维修中，压路机A与B共同工作了小时后，为了尽快完成任务，又加入了几台同样压路机B一起参与工作，又共同工作了小时，这时已经修的面积占全部维修面积的，如果一开始就派出所有压路机，则小时就能完成维修面积，求后加入了几台压路机B参与工作？ 【答案】(1) (2)圆柱体D的高为3米 (3)后又加入了2台压路机B参与工作 【分析】该题考查了圆柱的侧面积，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据圆柱体C的侧面积求解即可； （2）先求出圆柱体D的底面半径，根据图2得出压路机B每分钟的压路面积是，每分钟匀速转动3周，得出转动1周的压路面积，即圆柱体D的侧面积，即可求解． （3）设后又加入了x台压路机B参与工作，根据压路机A与B的压路滚桶每分钟匀速转动的周数比，得出工作时压路机A压路滚桶每分钟匀速转动5周，求出压路机A和B的压路速度，根据题意求出一台压路机A和一台压路机B工作了小时的维修面积，一台压路机A和台压路机B工作了小时的维修面积，一开始就派出所有压路机，工作小时的维修面积，列方程求解即可． 【详解】（1）解：圆柱体C的侧面积平方米； （2）解：根据题意得出圆柱体D的底面半径米， 根据图2得出压路机B每分钟的压路面积是， 工作时压路机B压路滚桶每分钟匀速转动3周， 故工作时压路机B压路滚桶匀速转动1周的压路面积是， 即圆柱体D的侧面积， ∴， 解得：米， 答：圆柱体D的高为3米． （3）解：设后又加入了x台压路机B参与工作， ∵压路机A与B的压路滚桶每分钟匀速转动的周数比，工作时压路机B压路滚桶每分钟匀速转动3周， ∴工作时压路机A压路滚桶每分钟匀速转动5周， 则压路机A的压路速度平方米/分钟， 压路机B的压路速度平方米/分钟， 根据题意可得一台压路机A和一台压路机B工作了小时的维修面积平方米， 一台压路机A和台压路机B工作了小时的维修面积平方米， 一开始就派出所有压路机，则小时完成的维修面积， 则， 解得：， 答：后又加入了2台压路机B参与工作． 11．（24-25六年级下·上海宝山·期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），当把它的底面（包含上底面和下底面）和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2）． (1)一个有盖的圆柱形易拉罐，底面半径为，高为，做这个易拉罐至少需要多少面积的材料？（不计接缝，结果保留） (2)如图3，把一张长的长方形纸板剪成一个长方形和两个圆，正好可以做成一个有盖的圆柱形笔筒，那么这个圆柱形笔筒的底面半径是______；（不计接缝，取） (3)有一批铝材和塑料板，它们都是边长为的正方形，现用于制作底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子，铝材用于制作圆柱形盒子的侧面，塑料板用于制作圆柱形盒子的底面．如果最大限度利用这批材料，且全部裁剪完这批材料后剪成的侧面和底面正好配套，则铝材张数与塑料板张数之比是______．（取） 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查圆柱的侧面积和表面积，理解底面、侧面之间的关系和计算方法是解决问题的关键． （1）根据表面积侧面积底面积，根据侧面积、底面积计算方法进行计算即可； （2）根据由底面圆的周长等于展开图长方形的长，列方程求解即可； （3）求出利用一张正方形的纸单独做底面的个数、单独做侧面的个数，然后做几套的比即可． 【详解】（1）解：侧面积底面积得，， 答：制作这样一个易拉罐需要面积为平方厘米的材料； （2）解：设底面半径为， 长方形纸长是圆直径，是底面圆周长）， 因为，则， 解得， 故答案为： 3 ； （3）解：∵， ∴圆柱侧面积， 正方形铝材边长，一张铝材可做侧面个数：（取整）， 一个底面面积， 一个有盖圆柱需 2 个底面， 边长的正方形一行可剪圆的个数：，一列也 6 个， 一张塑料板可做底面个数：（ 2 个底面为一套）， 设铝材张，塑料板张， ∵侧面总数和底面总数配套，侧面总数，底面总数（一个盒子 2 个底面）， 则， ∴， 故答案为：． 12．（24-25六年级下·上海普陀·期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 【答案】任务一：；任务二：见详解；任务三：方案B利用率更高 【分析】该题考查了圆柱的体积和展开图，圆面积，理解题意是解题的关键． 任务一：设圆柱底面圆半径为，根据题意可得，得出，根据圆柱的体积公式求解即可． 任务二：方案A：根据题意可得，故圆柱形容器的高，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，则，故圆柱形容器的高，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可； 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，，则该半圆的半径为，根据利用率（半圆面积圆的面积小长方形的面积）大长方形的面积求解即可；如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，，则该半圆的半径为，根据利用率（半圆面积圆的面积小长方形的面积）大长方形的面积求解即可． 【详解】解：任务一：设圆柱底面圆半径为， 根据题意可得， 即， 解得：， 则这个圆柱形容器的体积． 任务二：方案A：根据题意可得， 故圆柱形容器的高， 该圆柱形容器的体积， 示意图如下： 方案B：以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长， 则， 故圆柱形容器的高， 示意图如下： 该圆柱形容器的体积， ， 故以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积最大． 任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； 如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为，， ∵， ∴该半圆的半径为， ∴该半圆的面积， 利用率； ∵， 故方案B利用率更高． 知识点02 圆锥及其侧面展开图 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，现有一张圆心角为，半径为的扇形纸片．乐乐剪去圆心角大小为的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠）．求剪去的扇形纸片的圆心角． 【答案】剪去的扇形纸片的圆心角为 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．已知圆锥底面半径是，就可以知道展开图扇形的弧长是，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥底面半径是， ∴圆锥底面周长为 ∴ 解得： 答：剪去的扇形纸片的圆心角为． 2．（24-25六年级下·上海金山·期末）一个烧杯的底面直径为12厘米，高为25厘米，烧杯中原有15厘米深的水．将一个底面半径为3厘米的圆锥形金属零件完全浸没在水中后，水面上升至16厘米（水未溢出）．这个圆锥形金属零件的高是多少厘米？ 【答案】这个圆锥形金属零件的高是厘米 【分析】根据题意可知：圆柱形容器内放入圆锥后，上升部分水的等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式求出这个圆锥形金属零件的体积，再根据圆锥的体积公式：，得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：依题意，厘米 答：这个圆锥形金属零件的高是厘米． 3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）计算： (1)如图圆柱的表面积．（取） (2)如图图形旋转一周后形成图形的体积．（取） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积计算，圆柱的表面积计算，熟知圆柱与圆锥的体积计算公式，圆柱的表面积计算公式是解题的关键． （1）先求出圆柱底面圆半径，再根据圆锥的表面积计算公式求解即可； （2）旋转后的图形下部分是一个圆柱，上部分是一个圆锥，据此根据圆柱与圆锥体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 4．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长即可求出答案； （2）根据圆锥的体积公式计算即可， 本题考查了圆锥的计算和圆锥的体积，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 【详解】（1）解：（1）根据题意，得： 解得， 答：该圆锥形环保纸杯的底面直径d为； （2） 答：该圆锥形环保纸杯的体积为． 5．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查了圆锥和圆柱的表面积，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．利用扇形的面积公式即可求得内面的面积，利用圆面积公式求得底面的面积，然后利用矩形的面积公式求得外侧面的面积，三个的和就是表面积． 【详解】解： 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥与圆柱的计算，近似数与有效数字，解题的关键是理解题意，正确计算． （1）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积即可得出答案； （2）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【详解】（1）解：因为圆柱的底面积为， 所以由可得：， 所以， 圆锥侧面积：， ， 圆柱侧面积： ， 总面积； 答：至少需要的塑料． （2）解：圆柱体积：， 圆锥体积：． 注水量：， 答：最大注水量大约为． 7．（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 【答案】(1)要定制的外部包裹材料 (2)粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦 【分析】本题考查圆锥和圆柱体的侧面积，圆锥和圆柱体的体积，熟练掌握相关计算公式是解题的关键： （1）求出圆锥和圆柱体的侧面积之和即可； （2）根据圆锥和圆柱体的体积公式，求出一个粮囤的体积，进而求出一个粮囤的囤粮的质量，再用总质量除以一个粮囤的囤粮的质量，即可得出结果． 【详解】（1）解：圆柱和圆锥的底面圆的半径为：， ∴圆柱和圆锥的侧面积之和为：； 故要定制的外部包裹材料； （2）， ， （个）； 答：粮库需要10个这样的粮囤存储这些小麦． 8．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题考查圆柱的计算，认识立体图形． （1）根据蒙古包的横切面判断即可； （2）求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积和即可； （3）求出圆柱的体积与圆锥的体积和即可． 【详解】（1）解：该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第②幅图绕其轴旋转一周而成； 故答案为：②； （2）解：圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， ． 答：制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要毛毡； （3）解：这顶蒙古包的容积． 9．（24-25六年级下·上海松江·期末）看图计算，下面是某店员制作凤梨百香果汁的过程： 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满凤梨汁，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入百香果汁，使混合果汁的高度是杯子的； 问：倒入的百香果汁有多少毫升？（1毫升） 【答案】毫升 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，根据圆柱体积计算公式求出混合果汁的体积，根据圆锥体积计算公式求出凤梨汁的体积，二者相减即可得到答案． 【详解】解： 毫升， 答：倒入的百香果汁有毫升． 10．（24-25六年级下·上海·期末）如图1，有一圆柱形容器，该容器的底面半径为，高为．如图2，有一实心铁圆柱，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径与圆柱形容器的底面半径比是． (1)求该实心铁圆柱的体积．（结果保留π） (2)现有一底面半径为的注满水的圆锥容器，如图3，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，将圆锥容器中的水全部注入圆柱形容器，注入的水刚好将实心铁圆柱体全部浸没，求该圆锥容器的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积计算，熟知圆柱与圆锥的体积计算公式是解题的关键． （1）根据题意可求出实心铁圆柱的底面半径和高，再根据圆柱体积计算公式求解即可； （2）圆柱中水的体积等于圆柱的底面积乘以水高减去实心铁圆柱的体积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 答：该实心铁圆柱的体积为； （2）解：， ， 答：该圆锥容器的高为． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 《圆柱与圆锥》高分突破题型 知识点01：圆柱及其侧面展开图 知识点02 圆锥及其侧面展开图 知识点01：圆柱及其侧面展开图 1．（24-25六年级下·上海·期末）一个圆柱形零件，高是12厘米，底面半径是4厘米，零件的上端有一个圆柱形的孔，孔的直径是6厘米，深是7厘米．如果将这个零件接触空气部分的表面涂上防锈漆，一共需要涂多少平方厘米？ 2．（24-25六年级下·上海·期末）分别计算圆柱的表面积和体积（结果保留）． 3．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）一个圆柱形水池，它的内直径是8米，深2米，池上装有4个同样的进水管，每个水管每小时可以注水6.28立方米，四管齐放，几小时可以注满水池？（） 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）现有一个长为7cm，宽为3cm的长方形，将该长方形绕着它的宽所在的直线旋转一周，得到的圆柱的表面积和体积分别是多少？（结果保留π） 5．（24-25六年级下·山东·期末）一个瓶子装满的果汁，如图，喝掉一部分后，瓶内果汁高，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无果汁的部分高．喝掉了多少升果汁？ 6．（24-25六年级下·黑龙江·期末）甲、乙两个圆柱形容器，甲底面半径是厘米，乙底面半径是厘米，甲容器中水深厘米，乙容器中水深厘米．（取） (1)甲容器中的水是多少立方厘米？ (2)乙容器中的水是多少立方厘米？ (3)如果把甲容器中水注入乙容器一些，使乙容器中的水深与甲容器中的水深比为，这时乙容器水深应为多少厘米？ 7．（24-25六年级下·上海·期末）聪聪是一个非常善于动脑筋的孩子，学习计算圆柱的表面积时，他利用如图方式探索新的计算方法．请你根据图示尝试理解并回答问题，借助他的方法解题． (1)聪聪把圆柱的两个底面、转化成两个近似的长方形、，再把、拼接成一个较长的近似长方形，这个近似长方形（图①中、两部分）的长相当于圆柱底面的___________，宽相当于底面的___________． (2)由图①可知，聪聪把整个圆柱的表面积转化成近似的大长方形，近似大长方形的长相当于圆柱的底面___________，宽相当于圆柱的___________与___________的和，因此，利用聪聪的方法我们就得到了圆柱的表面积的另外一种求解方法，即圆柱的表面积＝___________ (3)请你利用聪聪的方法计算如图②中的圆柱的表面积． 8．（24-25六年级下·上海·期末）如图小明家有一个长，宽的长方体鱼缸，缸内有一座假山完全没入水中，他准备全部换去鱼缸内的水，他先把缸里的鱼都捞出来此时鱼缸内水深．（取3） (1)接着又把假山取出来，发现水面下降了（假山表面带的水忽略不计），求这座假山的体积？ (2)小明用一个侧面积，高的圆柱形水桶装剩下的水，这个桶一次能不能接完鱼缸里的水？ 9．（24-25六年级下·上海·期末）阅读下面资料，解决问题． 生物在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都是空心的，而且内圆直径和外圆直径之比大约都是．研究表明，当一根空心管底面的内圆直径和外圆直径之比大约是时最不容易弯曲．根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的． (1)按照上面的研究，工人师傅制作了一种塑料零件（如图）．这个零件的内圆直径是多少厘米？ (2)做这种塑料零件需要多少立方厘米的塑料？（取3.14） 10．（24-25六年级下·上海·期末）德强学校进行操场地面的维修，如图（1）压路机A压路滚桶是一个圆柱体C，已知圆柱体C的底面圆半径为米，高为2米． (1)求圆柱体C的侧面积（结果保留π） (2)由于工程进度需要，压路机B参与维修工作，压路机B压路滚桶是一个圆柱体D，已知圆柱体D的底面半径是圆柱C底面半径的，工作时压路机B压路滚桶每分钟匀速转动3周，压路面积18，求圆柱D的高是多少？ (3)在（2）的条件下，压路机A与B的压路滚桶每分钟匀速转动的周数比，在操场维修中，压路机A与B共同工作了小时后，为了尽快完成任务，又加入了几台同样压路机B一起参与工作，又共同工作了小时，这时已经修的面积占全部维修面积的，如果一开始就派出所有压路机，则小时就能完成维修面积，求后加入了几台压路机B参与工作？ 11．（24-25六年级下·上海宝山·期末）生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1），当把它的底面（包含上底面和下底面）和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2）． (1)一个有盖的圆柱形易拉罐，底面半径为，高为，做这个易拉罐至少需要多少面积的材料？（不计接缝，结果保留） (2)如图3，把一张长的长方形纸板剪成一个长方形和两个圆，正好可以做成一个有盖的圆柱形笔筒，那么这个圆柱形笔筒的底面半径是______；（不计接缝，取） (3)有一批铝材和塑料板，它们都是边长为的正方形，现用于制作底面半径为，高为的有盖圆柱形盒子，铝材用于制作圆柱形盒子的侧面，塑料板用于制作圆柱形盒子的底面．如果最大限度利用这批材料，且全部裁剪完这批材料后剪成的侧面和底面正好配套，则铝材张数与塑料板张数之比是______．（取） 12．（24-25六年级下·上海普陀·期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器 实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分） 【任务一】如图，已知长方形铁皮的长为，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（取） 【任务二】如图1，用一块长为，宽为的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器． 方案A：如果以作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图1上画出裁剪示意图．（标注尺寸，取3） 方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图2上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，取3） 【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，取3） 知识点02 圆锥及其侧面展开图 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）如图，现有一张圆心角为，半径为的扇形纸片．乐乐剪去圆心角大小为的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠）．求剪去的扇形纸片的圆心角． 2．（24-25六年级下·上海金山·期末）一个烧杯的底面直径为12厘米，高为25厘米，烧杯中原有15厘米深的水．将一个底面半径为3厘米的圆锥形金属零件完全浸没在水中后，水面上升至16厘米（水未溢出）．这个圆锥形金属零件的高是多少厘米？ 3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）计算： (1)如图圆柱的表面积．（取） (2)如图图形旋转一周后形成图形的体积．（取） 4．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 5．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，一个立体图形是从高为，底面直径为的圆柱中挖掉一个圆锥得到的，圆锥的底面积就是圆柱的上底面，圆锥的母线为，求该立体图形的表面积．(结果保留) 6．（24-25六年级下·上海闵行·期末）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，取3.14，结果精确到）？ (2)模型的最大注水量大约是多少（取3.14，结果精确到）？ 7．（24-25六年级下·上海·期末）某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体．如图，圆柱底面的直径是8米，高是3米，圆锥的高是3米，母线长5米．如果每立方米小麦约重750千克； (1)为确保粮食的安全性，需为粮囤定制外部防护材料，一个粮囤，要定制多大面积的外部包裹材料？（不含粮囤底部面积，不考虑损耗，π取3） (2)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库需要多少个这样的粮囤存储这些小麦？（π取3） 8．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）蒙古包是我国蒙古族牧民的传统居所，它简单实用，易于搭建和拆卸，极具民族特色，下图是“蒙古包”的示意图，其顶部为圆锥形，下半部分为圆柱形，已知圆柱的底面半径米，高米，圆锥的高米，母线米． (1)该“蒙古包”的示意图可以由下面四幅图中的第______幅图绕其轴旋转一周而成；（填序号） (2)为了阻挡寒冷空气进入，蒙古包的侧面和顶部都由毛毡覆盖，若拼接处忽略不计，求制作一顶这样的蒙古包所需要毛毡的面积（结果保留）； (3)求这顶蒙古包的容积（结果保留）． 9．（24-25六年级下·上海松江·期末）看图计算，下面是某店员制作凤梨百香果汁的过程： 第一步：在右边圆锥形的杯子中装满凤梨汁，倒入左边圆柱形杯子中； 第二步：再往圆柱形杯子中倒入百香果汁，使混合果汁的高度是杯子的； 问：倒入的百香果汁有多少毫升？（1毫升） 10．（24-25六年级下·上海·期末）如图1，有一圆柱形容器，该容器的底面半径为，高为．如图2，有一实心铁圆柱，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径与圆柱形容器的底面半径比是． (1)求该实心铁圆柱的体积．（结果保留π） (2)现有一底面半径为的注满水的圆锥容器，如图3，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，将圆锥容器中的水全部注入圆柱形容器，注入的水刚好将实心铁圆柱体全部浸没，求该圆锥容器的高． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $