第六章 计数原理期末复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 序号 单元核心知识模块 新课标学业质量要求 单元核心复习目标 达标层级 （3 级） 高考对接考向 学生掌握情况自查 1 两个计数原理 能区分两个计数原理，明晰两类计数原理的适用场景；能结合生活、数学情境梳理完成事件的不同方式与先后步骤 理解分类计数原理、分步计数原理及其意义；会利用两个原理分析和解决一些简单的实际应用问题. □基础达标 □能力提升 □素养拓展 计数运算以及排列组合 □未掌握 □部分掌握 □完全掌握 2 排列与组合 厘清排列有序、组合无序的核心区别；熟记排列数、组合数公式及变形公式，掌握组合数常用性质；能结合限制条件）建立计数模型 理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能运用排列组合解决实际应用问题. □基础达标 □能力提升 □素养拓展 有限制条件排列组合和平均分组、不均分组分配 □未掌握 □部分掌握□完全掌握 3 二项式定理 熟记通项公式；明确二项式系数与项的系数区别；熟练运用赋值法求系数和、奇偶项系数和；掌握二项式系数单调性、最值、对称性等性质 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用. □基础达标 □能力提升 □素养拓展 通项公式求项；赋值法求系数和；二项式系数性质综合应用和二项式定理近似估算、整除性问题 □未掌握 □部分掌握□完全掌握 1、 重难考点分层突破 1.排列与排列数 （1）排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. （2）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作. 2.组合与组合数 （1）组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. （2）组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作. 3.二项式定理 公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项. 4.二项展开式形式上的特点 （1）项数为. （2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. （3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. （4）二项式系数为. 5.二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即. （2）增减性与最大值：对于二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，二项展开式的中间一项（第项）的二项式系数最大，即最大的二项式系数为.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和. （3）二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即. 2、 易混易错点清零 1.两个计数原理易错点 混淆分类与分步：分类加法：完成一件事有多类办法，任选一类即可做完，类类独立； 分步乘法：完成一件事分多步，步步做完才完成，步步相依. 错因：该分类用分步，该分步用分类. 重复/遗漏计数：划分标准不统一，出现重复统计或漏掉情况. 有无顺序判断失误：只看事件完成方式，不提前预判是否有序. 2.排列与组合核心易混点 最核心区分：有序为排列，无序为组合：选出后还要排序、排位、分派→排列；只选出不排序、只分组→组合. 公式易错：记错排列数、组合数公式，忽略m≤n限制；混淆与运算. 特殊元素/特殊位置出错：优先原则乱用，不先排特殊元素、特殊位置. 相邻、不相邻题型易错：相邻：捆绑法，捆绑内部忘排序；不相邻：插空法，先排无限制元素再插空顺序颠倒. 分组分配重灾区：平均分组：必须除以组数全排列，极易忘除导致重复；部分平均分组：只除平均部分的排列数；分组后分给不同对象：分组后再乘分配排列；分不清分组和分配. 正难则反使用不当：正面情况复杂不用间接法，算错对立事件. 相同元素与不同元素混用：不同元素用隔板法、相同元素乱排. 3.二项式定理易混易错点 通项公式记错通项：，是第r+1项不是第r项. 两大系数彻底混淆： 二项式系数：只看组合数，只和次数有关； 项的系数：含前面所有数字、符号、常数，范围更大. 赋值法乱用：令x=1，所有项系数和；令x=-1：奇偶项系数差；分不清求系数和还是二项式系数和. 二项式系数性质易错：对称性：=；最值：n奇偶不同，中间项系数最大，易找错项数. 常数项、有理项求解失误：指数运算出错，不会列方程求r. 含负号、分式、根式展开出错：忽略符号、底数变形错误. ‌ 一、校园生活情境： 1.结合校园选课、班委选拔、座位编排、社团组队、运动会排班等校园生活实际情境，运用两个计数原理、排列组合知识解决人员选取、顺序排布、分组分配等实际问题，将校园日常场景转化为数学计数模型. 2.情境对应知识点 分类加法：选不同社团、选不同科目，任选一种即可完成； 分步乘法：先选人员再排顺序、先选课再选时段，依次完成； 排列：排座位、排节目顺序、竞选不同班委（有顺序、有职位区别）； 组合：挑选参赛人员、组建学习小组、挑选值日生（只选人无顺序）； 分组分配：班级平均分小组、不均分分配劳动任务； 二项式定理：校园数据统计、人数组合运算、校园方案总数推演. 例：1.有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为( ) A.144 B.72 C.48 D.36 答案：B 解析：由题意，先让3人坐定，有种方法，然后将相邻的两个空位看作一个座位，再将两个座位插入3人形成的4个空位中，有种方法，因此，恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为. 2.某学术会议有6个相邻座位（编号1至6），安排来自3所不同大学的6位教授入座，每校2人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有( ) A.60种 B.72种 C.84种 D.96种 答案：B 解析：先将绑在一起，当做一个人和进行排列，共有种排列，有4个空位选两个插入与，所以共有种符合条件的安排方法.故选:B 二、社会生活情境： 1.依托出行规划、职场排班、便民服务、文体活动、商业搭配等社会生活现实情境，运用计数原理、排列组合知识解决人员调配、路线规划、方案选取、物资分配等实际问题，构建生活计数数学模型，增强运用数学知识解决社会实际问题的实践能力. 2.情境对应知识点 分类加法：多种出行方式、多种消费选择，任选其一即可达成目的； 分步乘法：先选出行地点再定路线、先选人再分配任务，分步完成整件事； 排列：队伍排序、座位排位、职位定岗、活动先后顺序（有顺序差异）； 组合：筛选志愿者、挑选出行同伴、选取商品款式（无顺序之分）； 分组分配：物资均分发放、人员分批派遣、任务划分分配. 例：1.某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为( ) A.27 B.54 C.60 D.78 答案：B 解析：2人掌握的技艺类别不同的选法共有种. 2.国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为.故选：B. 三、文化娱乐情境： 1.结合传统民俗、文体赛事、文艺演出、休闲文娱等文化娱乐情境，运用计数原理与排列组合知识解决次序编排、人员组队、节目排布、赛事统筹等问题，感受数学在传统文化传承与文娱活动策划中的应用价值. 2.情境对应知识点 分类加法：挑选不同娱乐项目、选择不同赛事观赛方式； 分步乘法：先选定参赛人员，再安排出场次序，分步完成安排； 排列：节目排序、选手出场、赛事排位、曲目编排（讲究先后顺序）； 组合：组队参赛、挑选玩伴、选取娱乐项目（只选取无顺序）； 二项式定理：文娱组合种类统计、赛事结果组合推演. 例：1.现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有( ) A.60种 B.72种 C.96种 D.120种 答案：A 解析：若甲在第三个参演，则不同的参演顺序有种；若甲不在第三个参演，则不同的参演顺序有种.根据分类加法计数原理可知，不同的参演顺序共有种. 2.某学校开设3门球类课程､4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有( ) A.12种 B.11种 C.10种 D.9种 答案：A 解析：种. 学科网（北京）股份有限公司 $