第06讲 二项式定理【十四大考点+十四大题型】-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019）》

第06讲 二项式定理 【复习目录】 · 一、求二项展开式的第k项 · 二、求指定项的二项式系数或系数 · 三、求有理项或其系数 · 四、根据指定项或系数求参数 · 五、三项展开式的系数问题 · 六、两个二项式乘积展开式的系数问题 · 七、二项式系数和 · 八、二项式系数的增减性和最值 · 九、二项展开式各项的系数和 · 十、奇次项与偶次项的系数和 · 十一、求系数最大（小）的项 · 十二、由二项展开式各项系数和求参数 · 十三、杨辉三角 · 十四、二项式定理综合 【知识梳理】 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值 当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n． 【题型归纳】 题型一、求二项展开式的第k项 1．（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）的展开式中的常数项为（    ） A．14 B．12 C．7 D． 3．（22-23高二下·河北保定·期末）的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 题型二、求指定项的二项式系数或系数 4．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 5．（23-24高二下·湖南娄底·期末）求的展开式中的系数（    ） A．32 B． C．24 D． 6．（23-24高二下·河北石家庄·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．4 C． D．6 题型三、求有理项或其系数 7．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）在的展开式中，系数为有理数的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 8．（21-22高二下·贵州遵义·期末）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（    ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 题型四、根据指定项或系数求参数 10．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．240 C． D． 11．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（    ） A． B．4 C． D．2 12．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 题型五、三项展开式的系数问题 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 14．（23-24高二下·重庆·阶段练习）展开式中的系数为（    ） A．90 B．180 C．270 D．360 15．（23-24高二下·重庆巴南·期中）的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 题型六、两个二项式乘积展开式的系数问题 16．（2025·江西·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．2 D．4 17．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 18．（23-24高二下·浙江舟山·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．182 B．42 C． D． 题型七、二项式系数和 19．（23-24高二下·重庆·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（    ） A．80 B． C．40 D． 20．（23-24高二下·安徽滁州·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．160 21．（23-24高二下·浙江湖州·期末）的展开式中常数项的值为，记展开式的二项式系数和为，系数和为，则（    ） A． B． C． D． 题型八、二项式系数的增减性和最值 22．（23-24高二下·广东广州·期末）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（    ） A．160 B．20 C． D． 23．（23-24高二下·广西·期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 24．（2024·江西·二模）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 题型九、二项展开式各项的系数和 25．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 题型十、奇次项与偶次项的系数和 28．（22-23高二下·重庆江津·期末）  则 （    ） A．41 B．40 C． D． 29．（22-23高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A． B．16 C．15 D．1 30．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 题型十一、求系数最大（小）的项 31．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 32．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（21-22高二下·广西百色·期末）关于的展开式中共有7项，下列说法中正确的是（    ） A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1 C．展开式中二项式系数最大的项为第3项 D．展开式中系数最大的项为第4项 题型十二、由二项展开式各项系数和求参数 34．（23-24高二上·黑龙江·期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 35．（2024·全国·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A． B．1215 C．135 D． 36．（20-21高二下·江西赣州·期末）若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 题型十三、杨辉三角 37．（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（为正整数），则下列结论中正确的是（   ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 38．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A．350 B．295 C．285 D．230 39．（23-24高二下·广东东莞·期末）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（    ） A． B． C． D． 题型十四、二项式定理综合 40．（24-25高二上·江苏常州·期末）设，求值： (1)； (2)； (3)． 41．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 42．（24-25高二上·辽宁·期末）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西九江·期末）若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 4．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 6．（23-24高二下·新疆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·安徽合肥·期末）在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·四川眉山·期末）的展开式中，各项系数和与含项的系数分别是（    ） A．4092，495 B．8188，220 C．4092，220 D．8188，495 9．（23-24高二下·北京东城·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、多选题 10．（24-25高三下·广东肇庆·阶段练习）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C．展开式中的系数为 D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 11．（24-25高二上·江西新余·期末）下列说法正确的是（    ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．被8除的余数为1 D．的展开式中含项的系数为5292 12．（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 13．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．= C．= D．= 14．（24-25高二上·甘肃·期末）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 三、填空题 15．（24-25高二下·贵州·期中）的二项展开式中的系数为 ． 16．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 17．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 18．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则 ，展开式中的常数项为 ． 19．（23-24高二下·上海宝山·期末）设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 . 20．（23-24高二下·福建泉州·期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    四、解答题 21．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知（其中）的展开式中前3项的二项式系数之和等于16. (1)求的值； (2)若展开式中的系数为，求实数的值. 22．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知，且. (1)求与的值； (2)求的值. 23．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知二项式，且其二项式系数之和为64． (1)求和； (2)求； (3)求． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二项式定理 【复习目录】 · 一、求二项展开式的第k项 · 二、求指定项的二项式系数或系数 · 三、求有理项或其系数 · 四、根据指定项或系数求参数 · 五、三项展开式的系数问题 · 六、两个二项式乘积展开式的系数问题 · 七、二项式系数和 · 八、二项式系数的增减性和最值 · 九、二项展开式各项的系数和 · 十、奇次项与偶次项的系数和 · 十一、求系数最大（小）的项 · 十二、由二项展开式各项系数和求参数 · 十三、杨辉三角 · 十四、二项式定理综合 【知识梳理】 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值 当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n． 【题型归纳】 题型一、求二项展开式的第k项 1．（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数. 【详解】由， 当，解得， 所以的系数为， 故选：A. 2．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）的展开式中的常数项为（    ） A．14 B．12 C．7 D． 【答案】A 【分析】根据二项式写出通项，然后令的次数等于零得到，即可得到常数项. 【详解】的展开式中的通项， 令，得，所以的展开式中的常数项为. 故选：A 3．（22-23高二下·河北保定·期末）的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用二项式展开式通项公式计算求解即可. 【详解】的通项． 令，得， 所以展开式中的项为． 故选：D. 题型二、求指定项的二项式系数或系数 4．（23-24高二下·河南开封·期末）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 【答案】A 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可得，求解即可. 【详解】由，可得展开式的通项公式为， 因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以， 解得，所以. 故选：A. 5．（23-24高二下·湖南娄底·期末）求的展开式中的系数（    ） A．32 B． C．24 D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项是， 依题意， ， 因此，的系数. 故选：B． 6．（23-24高二下·河北石家庄·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项求出第项，令，的指数都为1求出的系数． 【详解】解：， 只需求展开式中的含项的系数， 的展开式的通项为， 令，得， 展开式中的系数为 故选：D． 题型三、求有理项或其系数 7．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）在的展开式中，系数为有理数的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取值，即可得出结果. 【详解】在的展开式中，根据通项可知， 时系数为有理数，即第五项为． 故选：C 8．（21-22高二下·贵州遵义·期末）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可. 【详解】解：二项系数和为，则，所以的通项为：，其中， 则展开式中的有理项满足，故，共3项. 故选：D. 9．（2022·广东汕头·二模）二项式展开式中，有理项共有（    ）项． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，令的指数部分为整数即可得结果. 【详解】二项式展开式中， 通项为，其中， 的取值只需满足，则， 即有理项共有7项， 故选：D. 题型四、根据指定项或系数求参数 10．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．240 C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合二项式的展开式的通项公式得，求出的值，令，即可求出结果. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为， 所以，解得，又因为，解得， 所以二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中常数项为. 故选：A. 11．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由二项式定理可列方程求解参数. 【详解】因为二项式的展开式中的系数是， 所以，解得. 故选：C. 12．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由二项式系数和为，求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的各二项式系数和为，所以，解得， 所以展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以展开式中的系数为，解得. 故选：C 题型五、三项展开式的系数问题 13．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意展开式的项看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘，分三种情况讨论，根据组合数公式计算可得. 【详解】展开式中的项，可看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘； 要得到： ①可以取个，个，个，则为； ②可以取个，个，个，则为； ③可以取个，个，个，则为； 综上可得的系数为. 故选：D 14．（23-24高二下·重庆·阶段练习）展开式中的系数为（    ） A．90 B．180 C．270 D．360 【答案】D 【分析】根据二项式定理，组合知识进行求解. 【详解】从的6个因式中，其中2个因式选择，2个因式选择，剩余2个选择1， 故展开式中的系数为. 故选：D 15．（23-24高二下·重庆巴南·期中）的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 【答案】B 【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可. 【详解】展开式中的常数项分三种情况： 第一种，六个括号都提供，此时得到； 第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到； 第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到， 所以展开式的常数项为， 故选：B. 题型六、两个二项式乘积展开式的系数问题 16．（2025·江西·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求得中，常数项及项，即可求解. 【详解】因为中常数项为1，项的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：D 17．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 18．（23-24高二下·浙江舟山·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A．182 B．42 C． D． 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，从而确定常数项. 【详解】因为， 则的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 令，即， 可得和， 相加得， 故选：B. 题型七、二项式系数和 19．（23-24高二下·重庆·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（    ） A．80 B． C．40 D． 【答案】B 【分析】借助二项式系数和公式可得，借助二项式的展开式的通项公式计算即可得含项的系数. 【详解】由题意可得，即， 则对有， 故，即展开式中含项的系数为. 故选： B. 20．（23-24高二下·安徽滁州·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．160 【答案】C 【分析】根据二项式系数和可求得的值，由各项系数和可求得的值，进而由二项定理求得的系数即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 所以二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得， 解得 ， 所以二项式为， 则该二项式展开式的通项为 ，， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 21．（23-24高二下·浙江湖州·期末）的展开式中常数项的值为，记展开式的二项式系数和为，系数和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用展开式的通项公式求出常数项，并求值，再由二项式系数和是，而各项系数和是用赋值变量得到，从而解得结果. 【详解】由的展开式中常数项是第四项即：，解得， 所以的展开式系数和为，即， 而的展开式二项式系数和为，即， 所以， 故选：A. 题型八、二项式系数的增减性和最值 22．（23-24高二下·广东广州·期末）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为（    ） A．160 B．20 C． D． 【答案】C 【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知，从而可得展开式通项，令即可求得常数项的值． 【详解】解：因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以， 则展开式的通项为， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为． 故选：C． 23．（23-24高二下·广西·期末）若的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项，则展开式中的常数项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【分析】由条件结合二项式系数的性质求，再结合展开式通项公式求结论. 【详解】因为的展开式中二项式系数最大的项仅有第6项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中的常数项为第项. 故选：D. 24．（2024·江西·二模）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】A 【分析】首先根据题意求得，然后结合二项式定理即可求解. 【详解】已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能， 从而的展开式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：A. 题型九、二项展开式各项的系数和 25．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可. 【详解】对于A，取，得，故A错误； 对于B，的展开式中第7项为， 所以，故B错误； 对于C，取得， 所以，故C错误； 对于D，由， 取得， 取得， 所以，故D正确. 故选：D 26．（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 27．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 【答案】D 【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，即第4项的系数为， 令，有，故B错误； 对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误； 对D：令，则，又， 故，故D正确. 故选：D. 题型十、奇次项与偶次项的系数和 28．（22-23高二下·重庆江津·期末）  则 （    ） A．41 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法得到，两式相加即可求解. 【详解】在中依次令，，可得 ， 所以. 故选：A. 29．（22-23高二下·河南郑州·期中）若，则（    ） A． B．16 C．15 D．1 【答案】B 【分析】利用赋值法可得答案. 【详解】因为， 令得. 故选：B 30．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简计算即可判断ABC，将二项式展开式两边求导，然后取代入化简计算即可判断D. 【详解】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得， 又，所以，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确； 对于D项，对（*）两边求导可得， ，当时，，故D项错误. 故选：C. 题型十一、求系数最大（小）的项 31．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 32．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值. 【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则 ∴展开式的通项为 则该展开式中各项系数 若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得 ∴系数的最小值为 故选：C. 33．（21-22高二下·广西百色·期末）关于的展开式中共有7项，下列说法中正确的是（    ） A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1 C．展开式中二项式系数最大的项为第3项 D．展开式中系数最大的项为第4项 【答案】B 【分析】依题意可得，再根据二项式系数和为判断A，令即可求出展开式系数和，即可判断B，根据二项式系数的特征判断C，再求出展开式系数最大值，即可判断D； 【详解】解：因为二项式的展开式中共有7项，所以， 选项A：所有项的二项式系数和为，故A不正确； 选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确； 选项C：二项式系数最大的项为第4项，故C不正确； 选项D：二项式的展开式的通项为， 故系数为，系数的最大项只从中选择， 当时，当时，当时，当时， 故当时系数最大，所以展开式中系数最大的项为第3项，故D不正确. 故选：B 题型十二、由二项展开式各项系数和求参数 34．（23-24高二上·黑龙江·期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据二项式系数和以及各项系数和的表达式，结合题意，解方程，即可求得答案. 【详解】由，令可得各项系数之和为， 又各二项式系数之和为，因为，则， 解得或（舍去），所以， 故选：B 35．（2024·全国·模拟预测）已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A． B．1215 C．135 D． 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出，再利用二项式定理的通项公式求解答案． 【详解】令，得，（注意所有项的系数之和与所有项的二项式系数之和的区别） 解得（舍去）或， 则的展开式的通项， 令，解得，则展开式中的系数为， 故选：B． 36．（20-21高二下·江西赣州·期末）若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】由的展开式中各项系数的和2，令，求出，再求出展开式中含的项及项即可得出答案. 【详解】由的展开式中各项系数的和为2. 令得，解得 的通项， 由得, 其对应的常数项为80. 由得,其对应的常数项. 故所求的常数项为40 . 故选：D 题型十三、杨辉三角 37．（23-24高二上·山东德州·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（为正整数），则下列结论中正确的是（   ） 第0行                  第1行                   第2行                      第3行                       ……             …… A．当时中间的两项相等，且同时取得最大值 B．当时中间一项为 C．第6行第5个数是 D． 【答案】C 【分析】根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D. 【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值， 为奇数，故A错误； 对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数， 即，B错误； 对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确； 对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 故，D错误， 故选：C 38．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ） A．350 B．295 C．285 D．230 【答案】C 【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可. 【详解】记此数列的前20项的和为，则. 故选：C. 39．（23-24高二下·广东东莞·期末）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确杨辉三角第20行的数的个数，通过和结合组合数对称性质得出杨辉三角第20行中比2024大的数的个数即可得解. 【详解】由题意可知杨辉三角第20行共有21个数， 其中从左往右第4个数为， 从左往右第5个数为， 所以根据组合数的对称性得杨辉三角第20行的21个数里有个大于2024， 故从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为. 故选：D. 题型十四、二项式定理综合 40．（24-25高二上·江苏常州·期末）设，求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)80 (2)2 (3) 【分析】（1）利用通项求解； （2）由求出的值，求出的值，即可求出的值； （3）由求出的值，再利用平方差公式求解. 【详解】（1）由二项式定理可知，在展开式中，第项为 ．        当时，展开式中含的项的系数为， ∴． （2）令，得，即．            令，得，即， ∴． （3）令，得， 即．                ∴ ． 41．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【详解】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 42．（24-25高二上·辽宁·期末）若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 【答案】(1)180 (2) 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【详解】（1）第3项与第9项的二项式系数相等， 则，解得，所以. 所以的展开式中项为：，所以. （2）由（1）知，的展开式中，当时，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期末）在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出二项展开式通项公式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中含项的系数为. 故选：D. 2．（24-25高二上·江西九江·期末）若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的通项，令的指数等于零，进而可得出答案. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 则，解得. 故选：A． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）的展开式中的系数为（    ） A．24 B．21 C．15 D．9 【答案】D 【分析】利用二项式定理求解对应项系数即可. 【详解】由二项式定理得的通项为， 当时，含有的系数为，当时，含有的系数为， 综上，原式展开式中的系数为，故D正确. 故选：D 4．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式系数的单调性可得出展开式的项数，即可求得的值. 【详解】因为展开式中只有第项的二项式系数最大，则其展开式中共项， 所以，，解得. 故选：D. 5．（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（    ） A．80 B．40 C． D． 【答案】C 【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出. 【详解】令，则可得， 又，则， 又为的系数，且， 因此. 故选：C. 6．（23-24高二下·新疆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对展开式两边同时求导，再令即可求解得结果. 【详解】对两边求导， 得. 令，得. 故选：D. 7．（23-24高二下·安徽合肥·期末）在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式系数和可求，进而利用通项公式可求奇次项有，利用排列组合知识，可求奇次项都互不相邻的概率. 【详解】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以. 二项式即为， 通项公式为， 故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项， 把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排， 再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种， 故奇次项都互不相邻的概率为. 故选：A. 8．（23-24高二下·四川眉山·期末）的展开式中，各项系数和与含项的系数分别是（    ） A．4092，495 B．8188，220 C．4092，220 D．8188，495 【答案】A 【分析】令可求出各项的系数，利用二项式展开式的通项公式结合组数公式可求出含项的系数. 【详解】令，则， 所以各项系数和为4092， 含项的系数为 …… . 故选：A 9．（23-24高二下·北京东城·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得. 【详解】 则能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 由，所以，， ，， 故选：D. 二、多选题 10．（24-25高三下·广东肇庆·阶段练习）已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C．展开式中的系数为 D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 【答案】AD 【分析】由题意写出展开式的通项，根据组合数的对称性、二项式系数之和、赋值法以及二项式系数的单调性，逐项检验，可得答案. 【详解】由，则其展开式的通项为， 对于A，根据题意可得，由组合数的性质可知，故A正确； 对于B，由，则展开式中奇数项的二项式系数之和为，故B错误； 对于C，由解得，则展开式中的系数为，故C错误； 对于D，令，则展开式中各项系数之和，解得， 可得展开式的通项为，即每项系数均为该项的二项式系数， 易知展开式中第6项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确. 故选：AD 11．（24-25高二上·江西新余·期末）下列说法正确的是（    ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．被8除的余数为1 D．的展开式中含项的系数为5292 【答案】BD 【分析】根据二项式系数的性质判断A的真假；利用“赋值法”判断B的真假；利用二项式定理判断C的真假；求的系数，判断D的真假. 【详解】对A：若第2,3项的二项式系数相等且最大，则；若只有第3项的二项式系数最大，则； 若第3,4项的二项式系数相等且最大，则.故A错误； 对B：令可得；令可得， 所以，故B正确； 对C：因为， 所以被8除的余数为7，故C错误； 对D：因为 . 所以的系数为，故D正确. 故选：BD 12．（24-25高二上·江西·期末）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算判断AC；利用二项式定理求出项的系数判断BD. 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 13．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A． B．= C．= D．= 【答案】BCD 【分析】由特殊值法将x取和1，可判断出选项B和D的正误，再结合二项式定理判断展开式各项系数的正负，可判断A和C的正误. 【详解】令，可得①， 故B正确； 令，可得②， 由①+②可得，所以， 故D正确； 由二项式定理可知，， 故， 故A错误； 的系数均为正数，的系数均为负数， 所以， 故C正确. 故选：BCD. 14．（24-25高二上·甘肃·期末）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 【答案】ABC 【分析】应用展开式的性质判断A；利用展开式二项式系数的和公式求解判断B；令与，可求得的值判断C；求得中的系数即可计算判断D. 【详解】对于A，二项式展开式一共有6项，A正确； 对于B，在的展开式中，所有二项式系数的和为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得，所以，故C正确； 对于D，二项式， 则， 令，得，则，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 15．（24-25高二下·贵州·期中）的二项展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为. 故答案为： 16．（24-25高二上·江西鹰潭·期末）若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】令确定对应的系数，得到，再应用二项式的展开式求的系数，列方程求参数. 【详解】当时，，则的系数，不符合， 所以，则的系数，可得. 故答案为：2 17．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】128 【分析】赋值令，代入求出结果即可； 【详解】令，得． 故答案为：128. 18．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则 ，展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】利用二项式的各项系数和求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，即可得解. 【详解】因为二项式展开式中各项二项式系数的和为16， 所以，解得， 展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：；. 19．（23-24高二下·上海宝山·期末）设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 . 【答案】25 【分析】利用组合数公式，表示和，再结合条件转化为二次函数求最值. 【详解】， 则， ，， 当或6时，的最小值是25. 故答案为：25 20．（23-24高二下·福建泉州·期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    【答案】34 【分析】由题意可知第行第个数为，连续三项，，，结合组合数运算求解即可. 【详解】由题意可知第行第个数为， 根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，， 有且．化简得，， 联立解得，． 故第34行会出现满足条件的三个相邻的数． 故答案为：34. 四、解答题 21．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知（其中）的展开式中前3项的二项式系数之和等于16. (1)求的值； (2)若展开式中的系数为，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）直接利用已知列出关于的等式，求解即可； （2）利用（1）的结论，写出展开式的通项，得到关于的等式，求解即可. 【详解】（1）， 解得或（舍）， 故的值为5. （2）由（1）可知，展开式的通项为 当时，，则为含的项， 所以，又因为，解得. 故实数的值为2. 22．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知，且. (1)求与的值； (2)求的值. 【答案】(1)448，-448 (2)-3280 【分析】（1）根据列方程得到，然后求，将变形为，然后利用二项式的性质求； （2）利用赋值法求系数和即可. 【详解】（1）由题可知， 即，即， 所以（舍）或. 所以； 因为①， 所以. （2）在①式中，令，则②， 令，则③， 由②-③得，， 所以. 23．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知二项式，且其二项式系数之和为64． (1)求和； (2)求； (3)求． 【答案】(1)， (2)729 (3)2916 【分析】（1）由二项式系数和求出，再由通项公式求出； （2）令赋值后即可求各项系数之和； （3）两边求导后令即可得解. 【详解】（1）二项式系数之和，则， 展开式的通项， 其中为前面的系数，令，则． （2）令，则． （3）对二项式两边求导，． 令，则， 故． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$