上海市回民中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试卷

**基本信息** 以山西应县木塔估算、矩形广场水池设计等真实情境为载体，通过基础题（如向量运算、扇形弧长）、提升题（如斜坐标系）、创新题（如“相伴函数”）的梯度设计，考查向量、三角、函数等核心知识，体现数学抽象与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|向量运算、扇形面积、三角函数定义|第11题斜坐标系结合投影向量，考查空间观念| |单选题|4/18|函数性质、解三角形|第15题木塔高度估算，融合文化传承与几何直观| |解答题|5/78|向量夹角、函数周期、实际应用|第21题“相伴函数”新定义，培养创新意识与推理能力|

2025学年第二学期高一年级数学学科期中测试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，第1-6每题4分，第7-12每题5分． 1. 化简向量运算：______． 2. 已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为______． 3. 已知，则______． 4. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 5. 已知，，，则在方向上的数量投影为______． 6.在中，，，，则角A的大小为_____. 7.已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 8. 已知，的图像如图所示，则在的解析式为f(x)=_________． 9. 若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 10. 在中，, 是上一点，， 则________ 11.设,是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量。若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系中的坐标。若，向量，在斜坐标中的坐标是，，则在上的投影向量的斜坐标是______________。 12.函数的图像在上恰好有一个点纵坐标为1，则实数的取值范围是__________. 二、单选题（本题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16每题5分． 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 14. 在中，为的中点，若，，则为（ ） A. B. C. D. 15.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，第17-19每题14分，第20-21每题18分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17．（本题共2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 18（本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 19． （本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 20.（本题共3小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分,第3小题满分6分） 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若函数，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 21．（本题共3小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一年级数学学科期中测试卷答案 一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，第1-6每题4分，第7-12每题5分． 1. 化简向量运算：______． 1、【答案】 【详解】. 2. 已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为______． 【答案】 【详解】设弧长为，则.故答案为：. 3. 已知，则______． 【答案】1 【详解】. 故答案为：1. 4. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 【答案】 【详解】因为终边过点， 所以 则． 故答案为：. 5. 已知，，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】 【详解】依题意，在方向上的数量投影为. 故答案为： 6.在中，，，，则角A的大小为_____. 【答案】 【详解】由题意，， 根据余弦定理 故答案为： 7.已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 【答案】 【详解】解：根据题意得， 故答案为： 8. 已知，的图像如图所示，则在的解析式为f(x)=_________． 【答案】 【详解】由图可知，， 当时，函数取得最大值2， 故， 所以，又， 所以， 故答案为：. 9. 若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：由，得． 又与的夹角为钝角， ∴，得， 若，则，即． 当时，与共线且反向，不合题意． 综上，k的取值范围为， 故答案为：． 10. 在中，, D是BC上一点，DC=2BD， 则________ 11. 设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量。若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系Oxy中的斜坐标。若，向量，在斜坐标Oxy中的坐标满足，，则在上的投影向量的斜坐标是______________。 12.函数的图像在上恰好有一个点纵坐标为1，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】令，则 函数的图象如下图所示 要使得函数的图像在上恰好有一个点纵坐标为1 则，解得 故答案为： 二、单选题（本题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16每题5分． 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 14. 在中，为的中点，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 如图，， 故选：D. 15.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 16. 在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确； 当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误； 当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误； 易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确. 故选：B 三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，第17-19每题14分，第20-21每题18分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 17. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 【答案】（1）；（2）3. 【详解】（1），，， . （2）由题意，， 由（1）知，， 则． 18. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∴； 19.如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为. 【详解】解：（1）由题意，，， 所以 所以，不符合要求 （2），， 所以， ， 所以，的最小值为. 20. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若函数，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 ， 由，解得， 所以函数单调递减区间为. 【小问3详解】 由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图： 由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 21. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在点 【小问1详解】 所以函数的相伴向量； 【小问2详解】 由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 即的最大值为，最小值大于b边．所以的取值范围为 小问3详解】 由（2）知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $