专题01 计数原理（期末真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学下学期

**基本信息** 计数原理专题期末试题汇编，涵盖9个高频考点，精选多地区高二期末真题，注重情境化命题与方法应用，适配高二下学期期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|约30题|加法原理、乘法原理、排列组合计算等基础考点|结合CR450高铁购票、冰雪大世界合影等现实情境| |多选题|约10题|排列数公式应用、分组分配条件判断|融入数学文化（赵爽弦图）与生活场景（志愿分配）| |填空题|约20题|染色问题、插空法、特殊元素排序|设置三叶草参观路径等创新情境，考察空间想象| |解答题|约10题|综合应用（如运动员选派、竞赛报名）|分层设计，从基础计算到复杂情境分析，适配核心素养|

专题01 计数原理 高频考点概览 考点01加法原理和乘法原理 考点02排列组合的计算 考点03相邻问题的捆绑法 考点04不相邻问题的插空法 考点05 分组分配问题 考点06 特殊元素优先排序 考点07 其它排列组合问题 考点08 染色问题 考点09 排列组合综合问题 ( 考点01 加法原理和乘法原理 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理运算即可. 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B. 2．（24-25高二下·青海海南·期末）一项工作可以用两种方法完成，有6人只会用第一种方法完成，另有11人只会用第二种方法完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为（   ） A．60 B．66 C．16 D．17 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式求解. 【详解】求出不同选法的种数，有两类：选取只会用第一种方法的人，有6种方法； 再选取只会用第二种方法的人，有11种， 所以不同方法种数是. 故选：D 3．（24-25高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【答案】C 【分析】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算. 【详解】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 故选：C. 4．（24-25高二下·宁夏银川·期末）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（    ）种 A．24 B．48 C．98 D．114 【答案】D 【分析】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有和两种，计算出每一种的，再排除住同一房间，问题得以解决． 【详解】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有和两种， 当为时，有种， 住同一房间有种，故有种， 当为时，有种， 住同一房间有种，故有种， 则不同的安排方法有种. 故选：D． 5．（24-25高二下·宁夏·期末）火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 A．种 B．种 C．50种 D．以上都不对 【答案】B 【详解】每个乘客都有5种不同下车方法,相互独立,故乘客下车的可能方式有 ,选B. 6．（24-25高二下·山西·期末）某校高一年级4名同学报名参加音乐、美术和体育社团，每名同学根据爱好选择其中1个社团，则他们不同的选法种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由乘法计数原理即可求解. 【详解】每一位同学都有3种选择，根据分步乘法计数原理可得一共有种情况， 故选：B 二、填空题 7．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为______. 【答案】1560 【分析】分为按2，2，1，1和按3，1，1，1分发，再利用排列组合数计算即可. 【详解】若书本数按2，2，1，1分发，则有种不同的分配方法； 若书本数按3，1，1，1分发，则有种不同的分配方法. 故共有1560种不同的分配方法. 故答案为：1560. 8．（24-25高二下·陕西铜川·期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 【答案】4410 【分析】根据分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 9．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 【答案】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】解：参观路线分步完成： 第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法； 而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成； 第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法， 同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成； 第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成， 根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有种. 故答案为： 三、解答题 10．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知名运动员中有人只擅长足球，人只擅长篮球，另外人篮球与足球都擅长． (1)若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； (2)从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人中有人擅长足球，有人擅长篮球，求满足条件的选派方法种数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，共有人擅长篮球，其中人只擅长篮球，还擅长足球有人，将擅长足球的运动员进行插空，结合插空法可求得结果； （2）对两项运动都擅长的人中所选的人数进行分类讨论，结合组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果. 【详解】（1）根据题意，共有人擅长篮球，其中人只擅长篮球，还擅长足球有人， 将人排成一排，先将只擅长篮球的人进行排序， 再将擅长足球的人插入只擅长篮球的人所形成的个空位中的个， 所以，擅长足球的运动员互不相邻的排法有种． （2）根据题意，分种情况讨论： ①选出的人中没有两项都擅长的运动员，有种选法， ②从两项都擅长的运动员中选出人，有种选法， ③从两项都擅长的运动员中选出人，有种选法， 故有种选法． ( 考点0 2 排列组合计算 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西海东·期末）已知，则（   ） A．2 B．3 C．2或5 D．3或4 【答案】C 【分析】根据组合数的计算即可求解. 【详解】由于 因此，故或， 故选：C 2．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期末）的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合数、排列数计算公式求解. 【详解】. 故选：A 3．（24-25高二下·宁夏·期末）已知自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用排列数计算公式即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 二、多选题 4．（24-25高二下·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可. 【详解】A选项：，，两边相等，故A选项正确； B选项：，， ，，，不成立，B选项错误 C选项：，取，：， 因为，移项得：成立，C选项正确； D选项：， 由二项式定理：，取：成立，D选项正确； 故选：ACD 5．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高二下·青海·期中）若，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】∵， ∴或， ∴m＝4或3． 故选：AB． 三、填空题 7．（24-25高二下·山西·期末）__________（用数字作答）. 【答案】24 【分析】根据排列数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为：24 8．（24-25高二下·山西太原·期末）已知，则__________. 【答案】4 【分析】根据组合数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】，故或（舍去）， 故答案为：4 9．（24-25高二下·陕西·期末）若，则________． 【答案】3 【解析】根据排列数和组合数的计算公式，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为 所以， 化简得，解得． 故答案为：3． 【点睛】本题考查排列数和组合数的计算，属基础题. 10．（24-25高二下·青海西宁·期末）方程的根为______． 【答案】11 【分析】利用排列组合数公式即得. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得或，又， 所以． 故答案为：11. ( 考点0 3 相邻问题的捆绑法 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·宁夏·期末）甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有（    ） A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种 【答案】B 【分析】利用捆绑法，结合排列组合只是求解. 【详解】甲乙捆绑在一起看成一个整体，与丙以外的2人全排列，有种， 又因为乙丙不相邻， 所以把丙放入一共有3种， 所以一共有种， 故选：B. 2．（24-25高二下·青海西宁·期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（    ）种. A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【分析】排列问题，捆绑法解决 【详解】先将甲乙丙“捆绑”，然后与丁戊进行全排列，有种排列方式， 再将甲乙丙解绑，并只对甲乙丙进行排列，有种排列方式， 总数为种 故选：C 3．（24-25高二下·青海西宁·期末·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用捆绑法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法数，除以10的全排列数可得． 【详解】由捆绑法可得，甲、乙、丙站在一起的概率为. 故选：B． 4．（24-25高二下·陕西安康·期末）3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（    ） A．332 B．360 C．432 D．488 【答案】C 【分析】将两名女生绑定，再将男生全排，再利用插空法求解. 【详解】先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空， 则不同的排法种数为. 故选：C 5．（24-25高二下·山西·期末）五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这4人不同的站法种数是（    ） A．24 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【分析】利用排列中相邻问题捆绑法及排列数公式即可求解. 【详解】若要求李阳的父母相邻，他的父母先站好有种方法，然后将其看成一个人再与李阳以及李阳的妹妹站成一排有种排法，所以共有种不同的站法. 故选：B. 二、填空题 6．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期末）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为___________.（用数字作答）. 【答案】24 【分析】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，再结合定序问题倍缩法求解即. 【详解】解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有，然后与宫、商、角进行全排有，考虑到顺序问题, 则可排成不同的音序的种数为. 故答案为：24． 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是___________种． 【答案】48 【分析】相邻问题利用 “捆绑法”即可求解. 【详解】先将“木、土”看成一个整体，所以一起4个元素，总共有种排法， “木、土”内部排序有种排法，所以总共有种排法. 故答案为：. 8．（24-25高二下·陕西渭南·期末）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为______． 【答案】24 【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占位，结合排列列式计算即得. 【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有种方法， 再把老师插入中间的两个间隙中有种方法，而两名女生的排列有种方法， 所以不同站法的种数为. 故答案为：24 三、解答题 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）（1）某兴趣小组有7名学生，其中男生4名，女生3名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （2）6名学生站成一排照相留念，其中男生3人，女生3人，3名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ 【答案】（1）30（2）72 【分析】（1）根据给定条件，利用组合计数问题，结合排除法列式求解. （2）根据给定条件，利用不相邻问题，结合特殊元素法列式求解. 【详解】（1）依题意，从兴趣小组7人中任选4人，有种选法，甲乙都没有被选取，有种选法， 所以所求方法种数是. （2）求不同站法种数需分2步进行： 第一步，将3名男生全排列，有种方法， 第二步，将3名女生看成一个整体进行内部排列，再安排在男生中间的2个空位中，有种方法， 所以不同的站法种数是. ( 考点0 4 不相邻问题的插空法 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西晋城·期末）若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不同时站两端的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型及组合的知识即可求解. 【详解】因为甲，乙同时站两端的概率为，所以甲，乙不同时站两端的概率为. 故选：B 2．（24-25高二下·山西大同·期末）5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（    ） A．12种 B．10种 C．15种 D．9种 【答案】A 【分析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法以及排列式即可求解. 【详解】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得： . 故选：A 【点睛】本题考查了插空法、排列式的应用，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 3．（24-25高二下·陕西西安·期末）为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（   ） A．72 B．84 C．120 D．150 【答案】C 【分析】由计数原理结合排列组合知识即可求解. 【详解】当班干部是第一个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第二个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第三个发言的时候，满足题意的排法有， 根据对称性可知，让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，满足题意的发言顺序有. 故选：C. 4．（24-25高二下·青海玉树市·期末）有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ） A．36种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】C 【详解】恰有2个空座位相邻，相当于2个空位与第3个空位不相邻， 先排3个人，将2个空位看作一个整体，然后插空， 从而不同的坐法共有. 5．（24-25高二下·青海西宁·期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（    ） A．216 B．228 C．384 D．486 【答案】A 【分析】先在两端挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，求出其挂法，最后将宫灯插空挂，考虑宫灯的分组情况，结合分步以及分类计数原理，即可求得答案. 【详解】先挂2盏吊灯有种挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法， 最后将宫灯插空挂. 当4盏宫灯分成2，2两份插空时有种挂法； 当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有种挂法； 当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法， 所以共有种不同的挂法. 故选：A 6．（24-25高二下·宁夏固原市·期末）有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相邻的不同排法有（    ） A．36种 B．72种 C．108种 D．144种 【答案】B 【分析】根据不相邻问题，利用插空法即可求解. 【详解】先排女生，共有中方法，接下来把2名男生插入到两两女生之间的位置连同头尾的4个空隙中，共有， 故总的排法有种， 故选：B 二、多选题 7．（24-25高二下·山西·期末）现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（    ） A．两份汤相邻的摆法共有种 B．每道素菜不相邻的摆法共有种 C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D．两汤不摆在首尾的摆法共有种 【答案】BCD 【分析】对于A，利用捆绑法即可判断；对于B，利用插空法即可判断；对于C，利用定序倍缩法即可判断；对于D，利用分步计数原理即可判断. 【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，看作一个整体，有种摆法； 再与其余十道菜品排列在一起，有种摆法； 所以两份汤相邻的摆法共有种，故A错误； 对于B，先将6荤2汤共八道菜品进行排列，有种摆法； 再利用插空法将4道素菜插到上述八道菜品共9个空中，有种摆法； 所以每道素菜不相邻的摆法共有种，故B正确； 对于C，先将十六道菜品进行排列，有种摆法； 其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序倍缩法可知有种不同摆法，故C正确； 对于D，将十二道菜品看作12个空，去掉首尾两个空还有10个空，在其中任选两个空将两份汤放进去，共有种方法； 再将剩余的十道菜品排列到剩余的10个空中，共有种方法； 所以两汤不摆在首尾的摆法共有种，故D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高二下·陕西省西安市·期末）为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（   ） A．若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B．若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C．若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D．若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 【答案】ABD 【分析】采用捆绑法结合排列数的运算判断A；采用插空法结合排列数的运算判断B；利用对称性结合排列数的运算判断C;先排歌曲和歌曲，然后再利用安排其它歌曲判断D. 【详解】6首歌曲的全排列总数为种.要求B、C、D三首必须连续，采用捆绑法. 将B、C、D看作一个整体，与A、E、F共同进行排列， 将、C、D视为1个元素，与另外3个元素进行全排列，共有种排法， B、C、D这个整体内部进行全排列，共有种排法，故总安排方式为种，故A正确； 要求B、C、D任意两首不连续，采用插空法，先将A、E、F三首歌曲进行全排列，共有种排法， A、E、F排好后形成4个空位（包含首尾），从这4个空位中选3个插入B、C、D，共有种排法. 总安排方式为种，故B正确； 要求在之前演唱且无需连续，利用对称性分析， 在全排列中，在前和在前的概率均等，各占总数的一半. 故总安排方式为种，故C错误； 要求必须先演唱，必须不最后演唱，先确定的位置，固定在第1位，有1种排法， 再确定的位置，不能在第1位，也不能在第6位， 只能在第2、3、4、5位中选择，共有种排法， 则剩余的4首歌曲在剩下的4个位置进行全排列，共有种排法， 总安排方式为种，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高二上·陕西渭南·期末）6名同学排成一排，其中甲､乙两人不相邻的排法共有__________种方法； 【答案】480 【分析】根据不相邻问题插空法求解即可. 【详解】先将除甲、乙之外的4人排队，共有种不同的排法， 再将甲、乙两人插入到已经排好的4人形成的5个空位上，有种不同的方法， 所以根据分步乘法原理，所有的排法共种. 故答案为：480. 10．（24-25高二下·宁夏六盘山·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 【答案】480 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解发. 【详解】依题意，甲、乙两人不相邻的排法数为. 故答案为：480 四、解答题 11．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数？ (1)选其中5人排成一排； (2)全体站成一排，男、女各站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起. 【答案】(1)2520 (2)288 (3)1440 【分析】（1）从7个元素中选出5个全排列即可； （2）将男生捆绑在一起全排列，将女生捆绑在一起全排列，全体男生、女生各视为一个元素排列，然后利用分步乘法计数原理求解； （3）先排列女生，然后将男生在4个女生隔成的五个空中排列即可. 【详解】（1）解：从7个元素中选出5个全排列，有=2520种排法. （2）男生必须站在一起，是男生的全排列，有种排法； 女生必须站在一起，是女生的全排列，有种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有种排法， 由分步乘法计数原理知，共有N==288（种）. （3）先安排女生共有种排法， 男生在4个女生隔成的五个空中安排共有种排法， 故N==1440（种）. ( 考点0 5 分组分配问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·宁夏吴忠市·期末）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（    ） A．150 B．90 C．60 D．15 【答案】B 【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可求出. 【详解】将5名大学生分为1，2，2三组，共有种方法， 则将这三组分配给观看冰球，速滑，花滑三场比赛，共有种方法， 则这5人观看比赛的方案种数为90种， 故选：B 2．（24-25高二下·宁夏六盘山·期末）某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有（    ） A．320种 B．252种 C．182种 D．120种 【答案】C 【分析】分成人、人或者人、人，先分组再分配即可求解. 【详解】分成人、人两组时，有种， 分成人、人两组时，有种， 所以共有种， 故选：C 3．（24-25高二下·青海西宁市·期末）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（    ） A．150 B．120 C．160 D．180 【答案】A 【分析】先分成三组，可以3、1、1，也可以2、2、1，分好后再安排到三个山. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名优秀学生分为3组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法，若分为2、2、1的三组，有种分组方法，故共有种分组方法，②将分好的3组安排到3个地方进行研学旅行，有种情况，则有种安排方法. 故选：A. 4．（24-25高二下·山西长治·期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（    ） A．540种 B．300种 C．210种 D．150种 【答案】D 【分析】先将本数分成3组，有和两种分组方案，然后再分配到每天即可. 【详解】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案， 当按分组时，有种方法， 当按按分组时，有种方法， 所以不同的选择方式有种. 故选：D. 5．（24-25高二下·青海省海南·期末）将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（    ） A．60种 B．180种 C．150种 D．300种 【答案】C 【分析】根据题意，先将5名同学分成三组，然后再分配，即可得到结果. 【详解】将5名同学分成三组，有两种情况； 情况一：按分组，有种情况； 情况二：按分组，有种情况； 然后分配到三个班级，有种情况. 故选：C. 6．（24-25高二下·山西大同·期末）在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．6种 D．12种 【答案】A 【分析】分类讨论A小区安排的人数，应用分步分类及排列组合数求不同的安排方法数即可. 【详解】①A小区安排一人，有种， ②A小区安排两人，有种， 所以共24种． 故选：A 7．（24-25高二下·山西吕梁·期末）某校有甲、乙等4名同学到3个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同社区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用分步乘法计数原理得到所有的分法总数，再由古典概型的概率公式可得结果. 【详解】由题知，4名同学分成2，1，1三组，分配到3个社区参加志愿服务活动， 则所有的分法总数为种，甲、乙2人被分配到相同社区的分法总数为种， 则甲、乙2人被分配到不同社区的概率为． 故选：D． 二、多选题 8．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 【答案】ABD 【分析】应用组合数运算计算判断A，B，分类计算判定C，不平均分组分类结合排列和组合数计算判断D. 【详解】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)， 对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有种选派方法，A选项正确； 对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有种选派方法，B选项正确； 对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为种，不满足‘既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类： ①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有种方法； ②没有女队员：从4名男队员中选4人，有种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为种，C选项错误； 对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有种选派方法，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高二下·宁夏石嘴山市·期末）5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 【答案】30 【分析】由分步乘法计数原理计算即可得解． 【详解】先选1名去新疆，再选2名去青海，剩下的2名去西藏，方法数为， 故答案为：30. 四、解答题 10．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. ( 考点0 6 特殊元素优先排序 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 【答案】C 【分析】利用特殊元素优先法，先安排这名歌手，再余下的歌手进行全排列即可. 【详解】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为种方法， 所以不同排法的种数为种. 故选:C. 2．（24-25高二下·宁夏银川·期末）将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】方法一：利用错位排列公式求解；方法二：通过分类讨论，分1在1号位和不在1号位讨论即可. 【详解】方法一：使用错位排列公式. 4个元素的错位排列数. 方法二：分类讨论. 第一步：数字1不能在1号位，有3种放法（比如放在2号位）. 第二步：此时考虑2号数字的放法. （1）若2号数字放在1号位，则剩下3、4号数字和3、4号位，只有1种错排方法. （2）若2号数字不放在1号位，则问题等价于把2、3、4号数字放在1、3、4号位进行错排（其中2号数字的“位置”是1号位），有种方法. 因此，数字1放在2号位时，共有种方法。由对称性，总方法数共有种. 故选：C． 3．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】C 【分析】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻，去除其中乙丙相邻情况，即可求得答案. 【详解】先考虑甲的站位，可选中间3个位置，不考虑乙和丙位置相邻不相邻， 此时共有种排列方式； 然后考虑其中乙和丙位置相邻的情况，即将乙和丙看作一个元素，和丁、戊全排列， 在这3个元素之间形成的两个位置上选一个将甲插入， 此时共有种排列方式； 故符合题意的不同排列方式共有（种）， 故选：C 4．（24-25高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法， 由分步乘法计数原理得不同排法种数是. 故选：B 二、填空题 5．（24-25高二下·山西吕梁·期中）由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 【答案】90 【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案. 【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则 当0排在第6位时，共有（个）数； 当0排在第5位时，共有（个）数； 当0排在第4位时，共有（个）数， 故这样的七位数共有（个）． 故答案为： 6．（24-25高二下·青海省平安县·期末）航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，若要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________． 【答案】 【分析】利用特殊元素特殊位置法可求分配方案的总数. 【详解】2艘攻击型核潜艇一前一后，有种； 2艘驱逐舰分列左、右，有种； 2艘护卫舰分列左、右，有种； 左侧、右侧的驱逐舰护卫舰排法有种， 故满足条件的分配数为种. 故答案为：32 7．（24-25高二下·宁夏中卫·期末）用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位偶数，这样的数有_______个. 【答案】 【分析】可分为两类：（1）当在个位数时，（2）当不在个位数时，分别求得五位偶数的个数，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两类： （1）当在个位数时，可构成无重复数字的五位偶数，共有个； （2）当不在个位数时，先从中任选一个数字排在个位数上，有种， 在从剩余的非零数字中选一个数字排在首位，有种， 最后从剩余的4个数字中，选出3个数字进行全排列，有种， 共有种. 由分类计数原理，可得共有个 故答案为：312. 8．（24-25高二下·陕西商洛·期末）王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 【答案】144 【分析】根据分步计数乘法原理计算即可. 【详解】总共有人，王老师必须站在中间，即第 4 个位置，只有1种选择， 甲必须与王老师站在一起，只能在第 3 或第 5 个位置，有 2种选择， 乙不能站在左右两端（第 1、7 位），此时已占用 2 个位置（王老师和甲），剩余 5 个位置中排除 2 个端点， 有 个可选位置，即3种选择， 剩下的 4 名同学可以在剩余的 4 个位置上全排列，有种方式. 因此，共有种站法. 故答案为：144. 三、解答题 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用全排列直接求解； （2）利用特殊元素优先安排的方法求解； （3）利用插空法求解. 【详解】（1）六天时间参观这六个景区的不同的参观顺序的方案数为； （2）第一天和第二天不同的参观顺序的方案数为种； 后四天安排剩下的四个景区，共有种， 所以共有：种方案； （3）先排列除秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的另外四个景区， 有种方案，产生个空， 利用插空法：再安排秦始皇帝陵博物院和陕西历史博物馆， 所以共有种方案. 10．（24-25高二下·山西·期末）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)四位数； (2)四位偶数； (3)大于4000的四位奇数. 【答案】(1)300 (2)156 (3)60 【分析】根据题意，利用排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位数的个数为. （2）解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位偶数的个数为. （3）解：由题意，可得可以组成无重复数字的四位奇数的个数为. ( 考点0 7 其它排列组合问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出三种，分别种在不同土质的3块土地上，其中黄瓜必须种植，种植方法共有（    ）种． A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析黄瓜和其他3种蔬菜的种植方法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，4种蔬菜中，黄瓜必须种植，则黄瓜有3种种植方法， 再从剩下的3种蔬菜中任选2种，安排在剩下的2块土地上，有种情况， 则共有种种植方法． 故选：B 2．（24-25高二下·陕西省西安市·期中）火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据给定条件，直接利用排列列式作答. 【详解】火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题， 所以不同的停放方法有种. 故选：B 3．（24-25高二下·陕西·期末）元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（    ）． A．32种 B．70种 C．90种 D．280种 【答案】B 【分析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，由定序问题可求解. 【详解】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯， 即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有种． 故选：B 【点睛】本题考查定序问题的处理，关键是将实际问题转化为定序模型，属于中档题. 4．（24-25高二下·山西省晋中市·期末）将甲、乙、丙等六位同学排成一排,且甲、乙在丙的两侧,则不同的排法种数共有(　　) A．480种 B．360种 C．120种 D．240种 【答案】D 【分析】先对六位同学全排列，再利用甲、乙在丙的两侧有两种情况，分为甲、丙、乙和乙、丙、甲，列式子即可． 【详解】先将甲、乙、丙等六位同学排成一排，有种，甲、乙在丙的两侧，分为甲、丙、乙和乙、丙、甲，则不同的排列方法有种． 【点睛】倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行全排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数． 5．（24-25高二下·山西省夏县·期末）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可． 【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件， 依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种， 所以， 甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种， 所以， 则， 故选：B． 二、多选题 6．（24-25高二下·山西长治·期末）在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（   ） A．若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B．若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C．若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D．校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 【答案】BD 【分析】从剩余人种选人即可判断A；利用排除法即可判断B；先选好人，在分组分配即可判断C；利用捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由题意，共有种选法，故A错误； 对于B，由题意，共有种选法，故B正确； 对于C，先选好人，共有种选法， 然后将人按要求分到三个展区，有种， 所以共有种选派法，故C错误； 对于D，由题意，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有______个． 【答案】30 【分析】根据个位数字，分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】若个位数字为0，则百位和十位从剩余4个数字中任选2个排列，可得个符合条件的偶数， 若个位数字是2或4，则从除0外的其他3个数字中选择一个作百位数字，再从剩余数字中选择一个作为十位数字，此时共有个符合条件的偶数， 因此一共有个符合条件的偶数， 故答案为：30 8．（24-25高二下·山西运城·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的4位数，其中奇数的个数为______． 【答案】144 【分析】根据题意，分3步进行分析：①从1、3、5三个数中取一个排个位，②0不能在千位，则千位的安排方法有4种，③在剩下的4个数中任选2个，安排在百位、十位，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析： ①从1、3、5三个数中取一个排个位，有3种安排方法， ②0不能在千位，则千位的安排方法有4种， ③在剩下的4个数中任选2个数字，排在百位与十位，有种情况， 则符合题意的奇数的个数是为个； 故答案为：． 四、解答题 9．（24-25高二下·青海海南·期末）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） (1)两端是男生，有多少种不同的站法？ (2)任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ (3)男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 【答案】(1)1440 (2)144 (3)2520 【分析】（1）特殊位置特殊考虑，先取两位男生放置在两端，另5位全排列，列出等式，计算即可； （2）不相邻问题插空，先将另3名女生全排列，空出4个位置，让男生插空站入， 列出等式，计算即可； （3）排序问题，先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列，后将甲乙站入， 列出等式，计算即可. 【详解】（1）解：先选2名男生排两端有种方法，再排其余学生有种方法， 所以两端是男生的不同站法有（种）； （2）先排3名女生有种方法，再将4名男生插入4个空隙中有种方法， 所以任意两名男生不相邻的不同站法有（种）； （3）先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列共有：种方法， 再将甲乙按照甲在乙右边的顺序，放置另两个位置中共1种， 所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有（种）． 10．（24-25高二下·山西大同·期末）已知10位选手中有5位男生5位女生，从这10人中派出3人参加竞赛，则3人中至少有一位男生的选法有多少种？ 【答案】110种 【分析】求出3人中没有男生的选法的种数，及10位选手中选3人的选法的种数，进而可求出3人中至少有一位男生的选法的种数. 【详解】3人中没有男生的选法有种， 10位选手中选3人的选法有种， 所以3人中至少有一位男生的选法有种. 【点睛】本题考查排列组合，利用“间接法”是解决“至少”问题的常见方法，属于基础题. ( 考点0 8 染色问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西省晋中市·期末）给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．192种 C．180种 D．168种 【答案】D 【分析】按照一定的顺序对五个区域进行染色，依次考虑每个区域的染色选择，根据相邻区域颜色不同的要求来确定每种情况下的染色方法数. 【详解】先对染色，有种方法，若2和3同色，则不同的染色方法有72种； 若2和3不同色，则不同的染色方法有种． 综上所述，不同的染色方法有种． 故选：D. 2．（24-25高二下·山西省朔州市怀仁县·期末）如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 A．96 B．84 C．60 D．48 【答案】B 【详解】解：分三类：种两种花有种种法； 种三种花有2种种法； 种四种花有种种法． 共有2++=84． 故选B 3．（24-25高二下·山西太原·阶段检测）如图，用种不同的颜色给图中的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，选择种颜色和种颜色涂色，然后分别求出涂色方法种数，相加即可. 【详解】分以下两种情况讨论： ①选择种颜色涂色，则第一个和第三个格子的颜色相同，第二个和第四个格子的颜色相同，此时，不同的涂色方法种数为； ②选择种颜色涂色，则第一个格子有种选择，第二个格子有种选择. （i）若第三个格子与第一个格子颜色相同，则第四个格子只有种选择； （ii）若第三个格子与第一个格子颜色不相同，第三个格子只有种选择，第四个格子有种选择. 综上所述，不同的涂色方法种数为种. 故选：D. 【点睛】本题考查涂色问题，考查分类计数原理的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 4．（24-25高二下·山西省宝鸡市·期末）如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，不同色； 同色两大类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得答案． 【详解】由题意知，分两种情况： (1)不同色，先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种； (2) 同色；先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种． 由分类加法计数原理，共有种， 故选：A． 5．（24-25高二下·山西·期末）将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为 A．120 B．125 C．130 D．135 【答案】A 【分析】将五棱锥的顶点染色有种方法，可设五棱锥底面的顶点分别为，先涂，再涂，然后涂，再根据分步乘法原理求解即可. 【详解】将五棱锥的顶点染色有种方法，可设五棱锥底面的顶点分别为. 先涂，有 种方法，再涂. 两点颜色可相同也可不同，分成两类：一类同色，则有种涂色方法，可知共有种方法， 另一类同色，则共有种涂色方法，可知共有种方法， 综上所述可得不同染色方法总数为种. 故选：A. 二、填空题 6．（24-25高二下·山西·期末）某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为__________.    【答案】120 【分析】根据分步乘法计数原理，结合4，5以及1，2是否同色，分类即可求解. 【详解】先排1，3，5区域，此时从4种鲜花中任选3种全排列，故共有种方法， 接下来排区域4，2，6， 若4与5同色，1，2同色，此时区域6有2种选择， 若4与5同色，1，2不同色，此时区域2只有一种选择，区域6也只有1种选择， 若4与5不同色，此时1，2只能同色，此时区域6有2种选择， 故涂区域2，4，6共有种方法， 因此总的涂法共有， 故答案为：120 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有_________种． 【答案】38880 【分析】第一步对四条侧棱涂色，第二步对底面四边形的四边涂色（需分类讨论：按选取的新颜色种类分类）．然后由分步乘法原理计算． 【详解】按题意可先对四条侧棱涂色，有种方法，再对底面四边形的四条边涂色， 如果选取了1种新颜色，这1种颜色只涂一边，方法数为，这1种颜色涂对边，方法数为， 如果选取的2种新颜色，涂2条邻边，方法数为， 涂两条对边，方法数为，涂3条边，方法数为，涂4条边，方法数为2， 如果没有选取新颜色，只有2种方法， 所以底面4条边的涂色方法数为， 所以所求涂色方法数为． 故答案为：. 8．（24-25高二下·山西·期末）如图，用6种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种． 【答案】480 【分析】先涂色A区,接着涂色B区，再涂色C区，然后涂色D区，由分步计数原理可得答案. 【详解】从A开始涂色，A有6种涂色方法， B有5种涂色方法，C有4种涂色方法； 由D区与B，C 涂不同色，与A区颜色可以同色也可以不同色，则D有4种涂色方法． 故共有种涂色方法． 故答案为：480 9．（24-25高二下·陕西省西安·期末）现有5种不同的颜色，给四棱锥的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点的颜色不能同色，则涂色的方法一共有______种.（用数字作答） 【答案】420 【分析】利用分布计数原理逐个顶点来进行涂色，注意讨论同色与不同色. 【详解】    如图： 当顶点，同色时，顶点有5种颜色可供选择， 点有4种颜色可供选择，点有3种颜色可供选择， 此时与同色，1种颜色可选，点有3种颜色可选， 共有种； 当顶点，不同色时，顶点有5种颜色可供选择， 点有4种颜色可供选择，点有3种颜色可供选择， 此时与不同色，2种颜色可选，点就有2种颜色可选， 共有种； 综上可得共有种. 故答案为：420 ( 考点0 9 排列组合综合问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（     ）种 A．25 B．60 C．90 D．150 【答案】D 【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法； 第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法， 再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种， 所以不同的选派方法共有种. 故选：D 2．（24-25高二下·青海西宁市·期末）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（    ） A．350 B．500 C．550 D．700 【答案】C 【分析】根据分类和分步计数原理即可求得. 【详解】所选医生中只有一名男主任医师的选法有， 所选医生中只有一名女主任医师的选法有， 所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有， 故所选医师中有主任医师的选派方法共有种， 故选：C 3．（24-25高二下·陕西汉中·期末）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，即可得到总的方案，甲、乙都去北京，则丙丁只能在成都和贵阳各自选一个有2种选法，根据古典概型即可求解. 【详解】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有（种）方案．因为甲、乙都去北京，则丙、丁分别去成都或贵阳，所以有2种方案，故甲、乙都去北京的概率为. 故选：B． 4．（24-25高二下·山西大同·期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（    ） A．360 B．640 C．1350 D．1440 【答案】C 【分析】根据题意按照或分类分组，结合排列组合求出种类，最后相加即可. 【详解】解析：将2名金牌导游分配到3个景区，有种分配方法， 若每个风景区都要有银牌导游，则将银牌导游分成三组，各组人数分别为或. 当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种； 当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种分配方法. 所以不同分配方法有种. 故选:C. 5．（24-25高二下·山西运城·期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（   ） A．150种 B．300种 C．720种 D．1008种 【答案】A 【分析】分和两种情况，结合排列组合知识进行求解. 【详解】若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 综上，不同的安排方法有种. 故选：A 二、多选题 6．（24-25高二下·山西·期末）某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（    ） A．共有90种安排方法 B．甲连续两天值班的安排方法有30种 C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种 D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种 【答案】ABD 【分析】利用排列组合相关知识逐项分析即可. 【详解】对于A，首先任选2天安排甲值班，共种方法，再从剩下的4天中选2天安排乙值班， 共种方法，最后安排丙，种方法，共计种方法，故A正确； 对于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5种方法， 再从剩余4天中选2天安排乙，剩下两天安排丙，此步骤共种，共计种方法，故B正确； 对于C，首先确定甲在乙之前还是之后，有2种方法，再讨论丙值的两天班是否连续， 若连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择一个， 安排“丙丙”即可，此时有种方法， 若不连续，则从“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”对应的三个空档中选择两个，各安排一个“丙”即可， 此时有种；综上，符合题意的方法数为种，故C错误； 对于D，只需将“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共种方法，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.恰好有一个空盒，有____种放法. 【答案】144 【分析】按分步计数原理，先将小球分为三组，再放入四个盒子中的三个. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将4个小球分为三组，其中一组有2个小球，另外两组各有1个小球， 有种分组方法； ②从4个盒子中任选3个，放入三组小球，有种情况， 故共有种不同的放法； 故答案为：144. 8．（24-25高二下·青海·期末）两对夫妻准备周末出去旅游，有甲､乙､丙､丁四辆顺风车可以搭乘，其中甲､乙两车每辆最多可搭乘两人，丙､丁两车每辆最多可搭乘一人，不是夫妻的两个人不能搭乘同一辆车，若不考虑座位顺序，且这两对夫妻都要坐上车.则不同的搭乘方案共有___________种. 【答案】50 【分析】分情况讨论使用两辆车、三辆车、四辆车、利用排列组合知识即可求解. 【详解】当使用两辆车时，不同的搭乘方案有种；当使用三辆车时，不同的搭乘方案有种；当使用四辆车时，不同的搭乘方案有种. 故不同的搭乘方案共有50种. 故答案为：50 【点睛】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题. 9．（24-25高二下·宁夏·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有____________________  (用数字作答) 【答案】450 【分析】利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得. 【详解】由题知，名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑： 第一种，分人数为的三组，共有种； 第二种，三舱人数都为2，共有种； 所以不同的安排方法共有种． 故答案为：450 10．（24-25高二下·宁夏石嘴山市·期末）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有_______种（用数字表示）. 【答案】12 【分析】分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】分两种情况：（1）只有甲参加C项目，则有种分配方案； （2）甲与另外一人共同参与C项目，则有种分配方案. 综上：共有12种分配方案. 故答案为：12 11．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）在全运会期间，4名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有____________． 【答案】36 【分析】由题意结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】每个项目至少有一人参加，则需要有一个项目2人参加，其余的两个项目每个项目一人参加， 结合排列组合公式可知，满足题意的安排方法共有：种. 【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 12．（24-25高二下·山西长治·期末）五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是__________. 【答案】/0.4 【分析】根据条件概率公式可求出结果. 【详解】记“在五一长假期间值班2天”，“连续值班”， 则种，种， 所以. 所以已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率为. 故答案为：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 计数原理 高频考点概览 考点01加法原理和乘法原理 考点02排列组合的计算 考点03相邻问题的捆绑法 考点04不相邻问题的插空法 考点05 分组分配问题 考点06 特殊元素优先排序 考点07 其它排列组合问题 考点08 染色问题 考点09 排列组合综合问题 ( 考点01 加法原理和乘法原理 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 2．（24-25高二下·青海海南·期末）一项工作可以用两种方法完成，有6人只会用第一种方法完成，另有11人只会用第二种方法完成，现从中选出1人来完成这项工作，则不同选法的种数为（   ） A．60 B．66 C．16 D．17 3．（24-25高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 4．（24-25高二下·宁夏银川·期末）某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（    ）种 A．24 B．48 C．98 D．114 5．（24-25高二下·宁夏·期末）火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 A．种 B．种 C．50种 D．以上都不对 6．（24-25高二下·山西·期末）某校高一年级4名同学报名参加音乐、美术和体育社团，每名同学根据爱好选择其中1个社团，则他们不同的选法种数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为______. 8．（24-25高二下·陕西铜川·期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 9．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 三、解答题 10．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知名运动员中有人只擅长足球，人只擅长篮球，另外人篮球与足球都擅长． (1)若让这名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数； (2)从这名运动员中选派人参加某项活动，要求这人中有人擅长足球，有人擅长篮球，求满足条件的选派方法种数． ( 考点0 2 排列组合计算 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西海东·期末）已知，则（   ） A．2 B．3 C．2或5 D．3或4 2．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期末）的值是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·宁夏·期末）已知自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·青海·期中）若，则m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 三、填空题 7．（24-25高二下·山西·期末）__________（用数字作答）. 8．（24-25高二下·山西太原·期末）已知，则__________. 9．（24-25高二下·陕西·期末）若，则________． 10．（24-25高二下·青海西宁·期末）方程的根为______． ( 考点0 3 相邻问题的捆绑法 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·宁夏·期末）甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有（    ） A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种 2．（24-25高二下·青海西宁·期末）高三毕业季甲乙丙丁戊五位同学在孔子像前站成一排合影留念，其中甲乙丙要求站在一起，则不同的站队方法共有（    ）种. A．6 B．12 C．36 D．72 3．（24-25高二下·青海西宁·期末·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·陕西安康·期末）3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（    ） A．332 B．360 C．432 D．488 5．（24-25高二下·山西·期末）五一期间，李阳的父母带着李阳和李阳的妹妹，一家4人去五台山游玩，他们在入口处站成一排拍照留影，若李阳的父母相邻，则这4人不同的站法种数是（    ） A．24 B．12 C．8 D．6 二、填空题 6．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期末）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为___________.（用数字作答）. 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是___________种． 8．（24-25高二下·陕西渭南·期末）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为______． 三、解答题 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）（1）某兴趣小组有7名学生，其中男生4名，女生3名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （2）6名学生站成一排照相留念，其中男生3人，女生3人，3名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ ( 考点0 4 不相邻问题的插空法 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西晋城·期末）若甲、乙、丙、丁、戊随机站成一排，则甲、乙不同时站两端的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山西大同·期末）5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（    ） A．12种 B．10种 C．15种 D．9种 3．（24-25高二下·陕西西安·期末）为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（   ） A．72 B．84 C．120 D．150 4．（24-25高二下·青海玉树市·期末）有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ） A．36种 B．48种 C．72种 D．96种 5．（24-25高二下·青海西宁·期末）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（    ） A．216 B．228 C．384 D．486 6．（24-25高二下·宁夏固原市·期末）有3名女生和2名男生排成一排，男生不能相邻的不同排法有（    ） A．36种 B．72种 C．108种 D．144种 二、多选题 7．（24-25高二下·山西·期末）现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的是（    ） A．两份汤相邻的摆法共有种 B．每道素菜不相邻的摆法共有种 C．若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有种不同摆法 D．两汤不摆在首尾的摆法共有种 8．（24-25高二下·陕西省西安市·期末）为鼓励学生们进行兴趣爱好的培养，某学校拟在校园音乐节上邀请某乐队演唱6首风格不同的歌曲，设编号分别为A、B、C、D、E、F，且为了一定效果需对这6首歌的演唱顺序进行一定调整，则（   ） A．若歌曲B、C、D必须三首连续进行演唱，则有144种安排方式 B．若歌曲B、C、D任意两首不连续进行演唱，则有144种安排方式 C．若歌曲必须在歌曲之前进行演唱，则有120种安排方式 D．若歌曲必须第一个进行演唱，歌曲不能最后进行演唱，则有96种安排方式 三、填空题 9．（24-25高二上·陕西渭南·期末）6名同学排成一排，其中甲､乙两人不相邻的排法共有__________种方法； 10．（24-25高二下·宁夏六盘山·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 四、解答题 11．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数？ (1)选其中5人排成一排； (2)全体站成一排，男、女各站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起. ( 考点0 5 分组分配问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·宁夏吴忠市·期末）某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（    ） A．150 B．90 C．60 D．15 2．（24-25高二下·宁夏六盘山·期末）某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有（    ） A．320种 B．252种 C．182种 D．120种 3．（24-25高二下·青海西宁市·期末）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（    ） A．150 B．120 C．160 D．180 4．（24-25高二下·山西长治·期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（    ） A．540种 B．300种 C．210种 D．150种 5．（24-25高二下·青海省海南·期末）将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（    ） A．60种 B．180种 C．150种 D．300种 6．（24-25高二下·山西大同·期末）在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．6种 D．12种 7．（24-25高二下·山西吕梁·期末）某校有甲、乙等4名同学到3个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同社区的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 三、填空题 9．（24-25高二下·宁夏石嘴山市·期末）5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 四、解答题 10．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ ( 考点0 6 特殊元素优先排序 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·青海西宁·期末）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是（    ） A．240种 B．360种 C．480种 D．600种 2．（24-25高二下·宁夏银川·期末）将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻．则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 4．（24-25高二下·山西太原·期末）北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．48 C．360 D．720 二、填空题 5．（24-25高二下·山西吕梁·期中）由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个． 6．（24-25高二下·青海省平安县·期末）航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，若要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________． 7．（24-25高二下·宁夏中卫·期末）用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位偶数，这样的数有_______个. 8．（24-25高二下·陕西商洛·期末）王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 三、解答题 9．（24-25高二下·陕西渭南·期末）元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 10．（24-25高二下·山西·期末）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)四位数； (2)四位偶数； (3)大于4000的四位奇数. ( 考点0 7 其它排列组合问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出三种，分别种在不同土质的3块土地上，其中黄瓜必须种植，种植方法共有（    ）种． A．24 B．18 C．12 D．9 2．（24-25高二下·陕西省西安市·期中）火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（24-25高二下·陕西·期末）元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（    ）． A．32种 B．70种 C．90种 D．280种 4．（24-25高二下·山西省晋中市·期末）将甲、乙、丙等六位同学排成一排,且甲、乙在丙的两侧,则不同的排法种数共有(　　) A．480种 B．360种 C．120种 D．240种 5．（24-25高二下·山西省夏县·期末）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·山西长治·期末）在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（   ） A．若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B．若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C．若4名讲解员全部安排到三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5040种选派法 D．校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2880种排法 三、填空题 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有______个． 8．（24-25高二下·山西运城·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的4位数，其中奇数的个数为______． 四、解答题 9．（24-25高二下·青海海南·期末）现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） (1)两端是男生，有多少种不同的站法？ (2)任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ (3)男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 10．（24-25高二下·山西大同·期末）已知10位选手中有5位男生5位女生，从这10人中派出3人参加竞赛，则3人中至少有一位男生的选法有多少种？ ( 考点0 8 染色问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·山西省晋中市·期末）给图中五个区域染色，有4种不同的颜色可供选择，要求有公共边的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（   ） A．216种 B．192种 C．180种 D．168种 2．（24-25高二下·山西省朔州市怀仁县·期末）如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 A．96 B．84 C．60 D．48 3．（24-25高二下·山西太原·阶段检测）如图，用种不同的颜色给图中的个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（24-25高二下·山西省宝鸡市·期末）如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山西·期末）将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为 A．120 B．125 C．130 D．135 二、填空题 6．（24-25高二下·山西·期末）某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有四种不同的鲜花可供摆放，要求有公共边的区域摆放不同种类的鲜花，则摆放鲜花的不同方法种数为__________.    7．（24-25高二下·陕西西安·期末）用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有_________种． 8．（24-25高二下·山西·期末）如图，用6种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种． 9．（24-25高二下·陕西省西安·期末）现有5种不同的颜色，给四棱锥的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点的颜色不能同色，则涂色的方法一共有______种.（用数字作答） ( 考点0 9 排列组合综合问题 ) 一、单选题 1．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（     ）种 A．25 B．60 C．90 D．150 2．（24-25高二下·青海西宁市·期末）某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（    ） A．350 B．500 C．550 D．700 3．（24-25高二下·陕西汉中·期末）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山西大同·期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（    ） A．360 B．640 C．1350 D．1440 5．（24-25高二下·山西运城·期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（   ） A．150种 B．300种 C．720种 D．1008种 二、多选题 6．（24-25高二下·山西·期末）某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有（    ） A．共有90种安排方法 B．甲连续两天值班的安排方法有30种 C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种 D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种 三、填空题 7．（24-25高二下·陕西西安·期末）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.恰好有一个空盒，有____种放法. 8．（24-25高二下·青海·期末）两对夫妻准备周末出去旅游，有甲､乙､丙､丁四辆顺风车可以搭乘，其中甲､乙两车每辆最多可搭乘两人，丙､丁两车每辆最多可搭乘一人，不是夫妻的两个人不能搭乘同一辆车，若不考虑座位顺序，且这两对夫妻都要坐上车.则不同的搭乘方案共有___________种. 9．（24-25高二下·宁夏·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有____________________  (用数字作答) 10．（24-25高二下·宁夏石嘴山市·期末）在2024年巴黎奥运会志愿者活动中，甲、乙、丙、丁4人要参与到，，三个项目的志愿者工作中，每个项目必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一个项目，若甲只能参加项目，那么不同的志愿者分配方案共有_______种（用数字表示）. 11．（24-25高二下·宁夏吴忠·期末）在全运会期间，4名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有____________． 12．（24-25高二下·山西长治·期末）五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是__________. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $