精品解析：陕西宝鸡市扶风县、千阳县部分校2024-2025学年第二学期期末质量检测高二数学试题

2024~2025学年度第二学期期末质量检测高二数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. {5} 2. 若复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 7. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，则（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的虚轴长为 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 10. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点对称 11. 将个数排成行列的一个数阵，如： … … … … … … … … … 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市举办马拉松比赛，分为全程、半程、五个组别，合计15000人参赛，其中半程组6000人参赛，10km、5km、3km三个组合计5000人参赛，赛后运用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取450人进行活动调研，则全程组应抽取___________人． 13. 已知某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的体积为___________． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求； （2）若，求. 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某公司为了了解产品的需求情况，随机抽取了100名客户作为样本，统计了样本中客户购买次数与客户年龄情况，得到如下的列联表： 客户年龄（岁） 客户购买次数 合计 购买过1次或2次 40 购买过3次以上（含3次） 20 10 合计 （1）补全列联表并根据小概率值的独立性检验判断客户购买次数与客户年龄是否有关联； （2）在样本中，从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：． 附： α 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期末质量检测高二数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. {5} 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以． 2. 若复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：根据乘法运算再应用模长计算求解；方法二：应用复数乘法的模长公式计算求解. 【详解】方法一：因为，所以. 方法二：. 故选：D. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量，，所以，解得． 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算作答. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：B. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 6. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故选：D. 7. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出及的值，令，按两角和的正弦公式展开求值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，所以，因为， 所以， 所以 ． 故选：B． 8. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数的单调性变形抽象函数不等式，再由一元二次不等式解的性质将不等式变形为无参数不等式，然后求解即可. 【详解】因为在上单调递增，，所以由，得， 因为的解集为， 所以，，， 即，，， 所以，即为，即， 解得， 所以关于的不等式的解集是． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，则（ ） A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的虚轴长为 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 10. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式判断A，利用换元法结合正弦函数性质判断B，利用整体代入法求解对称轴判断C，利用整体代入法求解对称中心判断D即可. 【详解】对于A，由最小正周期公式得函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，得， 因为在上单调递增， 所以由正弦函数性质得函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为， 所以函数的图象不关于对称，故C错误； 对于D，因为， 所以函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD. 11. 将个数排成行列的一个数阵，如： … … … … … … … … … 该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据结合，求得，根据等差数列、等比数列通项公式求得，，根据等比数列、等差数列求和公式得到. 【详解】因为，所以，解得（舍去），故A正确； ，，故B错误； ，，故C正确； ， 故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市举办马拉松比赛，分为全程、半程、五个组别，合计15000人参赛，其中半程组6000人参赛，10km、5km、3km三个组合计5000人参赛，赛后运用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取450人进行活动调研，则全程组应抽取___________人． 【答案】120 【解析】 【详解】全程组共有人参赛，所以抽取的人数为人． 13. 已知某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的体积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设底面半径为，高为，母线长为，则，则，解得， 则， 则该圆锥的体积为． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算抛物线方程，再设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得，根据题意即可求得直线的斜率. 【详解】 因为抛物线经过点，所以，所以， 圆的圆心为，半径为， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 代入可得， 设、，则， 所以， 所以， 所以， 所以，所以，即得 解得. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知两边及其夹角，可根据余弦定理求出第三边； （2）已知两边及其中一边的对角，可根据正弦定理求出角. 【小问1详解】 已知在中，，，. 根据余弦定理可得： 所以. 【小问2详解】 已知，，. 根据正弦定理可得， 因为，根据大边对大角可知，又， 所以为锐角，则. 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）在椭圆上，求直线的斜率之积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质结合关系求解可得； （2）设，由在椭圆上，得，再利用斜率的定义代入化简可得. 【小问1详解】 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得. 又，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为. 17. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理证明可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以是的中点， 又为的中点，所以. 又平面，平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，，，所以， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，令1，得，， 所以平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某公司为了了解产品的需求情况，随机抽取了100名客户作为样本，统计了样本中客户购买次数与客户年龄情况，得到如下的列联表： 客户年龄（岁） 客户购买次数 合计 购买过1次或2次 40 购买过3次以上（含3次） 20 10 合计 （1）补全列联表并根据小概率值的独立性检验判断客户购买次数与客户年龄是否有关联； （2）在样本中，从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：． 附： α 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 客户年龄（岁） 客户购买次数 合计 购买过1次或2次 30 40 70 购买过3次以上（含3次） 20 10 30 合计 50 50 100 认为客户购买次数与客户年龄有关联 （2）的分布列为 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先根据已知数据补全列联表，再计算卡方统计量，将其与对应的临界值进行比较，判断是否拒绝原假设，从而确定购买次数与年龄是否有关联； （2）先根据分层抽样的比例确定抽取的6人中两个年龄段的人数，再确定的所有可能取值，计算对应的概率，从而得到分布列，进而求期望. 【小问1详解】 补全的2×2列联表如下： 客户年龄（岁） 客户购买次数 合计 购买过1次或2次 30 40 70 购买过3次以上（含3次） 20 10 30 合计 50 50 100 零假设为：客户购买次数与客户年龄无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为客户购买次数与客户年龄有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． 【小问2详解】 从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人， 年龄在的人数为，年龄在的人数为， 依题意，的所有可能取值分别为1，2，3， 所以， 所以X的分布列为 1 2 3 所以． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明如下： 令， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． （3）证明如下： 当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）运用即可求解，再进行检验即可； （2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式； （3）先根据和的关系求出，再结合前面的结论进行放缩得到，进而结合等比数列求和证明不等式即可. 【小问1详解】 由，得， 因为函数的极值点为0，所以，解得， 此时，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极值点，满足题意，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $