专题02 一元函数的导数及其应用（期末真题汇编，安徽专用）高二数学下学期

**基本信息** 聚焦一元函数导数及其应用9大高频考点，汇编安徽多所名校期末真题，涵盖变化率、几何意义、单调性、不等式等核心内容，梯度设计适配高二期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|约30题|变化率、导数运算等基础考点|结合宿州二中、合肥一中期末真题，注重概念辨析| |多选题|约15题|函数零点、图象性质等综合考点|如合肥八中双变量问题，考查逻辑推理| |填空题|约10题|切线方程、极值计算等中档考点|如芜湖期末切线斜率题，强调运算准确性| |解答题|约20题|单调性、不等式恒成立、极值点偏移等难点|如中科大附中极值点偏移证明，对接高考命题趋势|

专题02 一元函数的导数及其应用 9大高频考点概览 考点01变化率问题 考点02 导数的几何意义 考点03 导数的运算 考点04 利用导数研究函数单调性、极值和最值 考点05 利用导数研究不等式问题 考点06 利用导数研究函数零点问题 考点07 利用导数研究函数图象及性质 考点08 利用导数研究双变量问题 考点09 极值点偏移问题 地 城 考点01 变化率问题 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义，基本初等函数的导数公式可得，再根据同角三角函数的平方关系求值即可. 【详解】记，则， 由， 可得， 即，因， 故. 故选：B. 2．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)已知函数在处可导，且，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出目标值. 【详解】依题意，. 故选：B 3．(24-25高二上·安徽六安第一中学·期末)若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 4．(24-25高二上·安徽合肥庐江县庐江中学·期末)在处的导数为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】利用导数的定义计算即可. 【详解】函数的平均变化率为， 当趋近于0时，趋近于2，即在处的导数为2. 故选：B. 5．(23-24高二下·安徽合肥第一中学·期末)若质点运动的位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系是），那么该质点在 时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用瞬时速度公式即可求得 时的瞬时速度，利用物体在到这段时间内的平均速度为公式即可求得从到这两秒内的平均速度. 【详解】， 所以.即该质点在时的瞬时速度为； 从到这两秒内的平均速度为； 故选：D. 6．(18-19高二下·安徽安庆·期末)函数的图象如图所示，是函数的导函数，下列数值排序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设为函数的上的点，由导数的几何意义分析可得（3）与（2）的几何意义，又由﹣＝为直线的斜率，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，设为函数的上的点， 则为函数在处切线的斜率，为函数在处切线的斜率， ﹣＝，为直线的斜率， 结合图象分析可得 ﹣ ； 故选D． 7．(18-19高二下·安徽池州·期末)函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数几何意义，结合图象确定选择 【详解】、是分别为1、2时对应图像上点的切线斜率，，为图像上为2和1对应两点连线的斜率，由图可知，，故选B. 二、填空题 8．(24-25高二下·安徽宿州第二中学雪枫校区·期末)已知函数，则_______________，的最小值为___________． 【答案】 【分析】由出导函数，令求得，由极限定义可得极限，再根据导数求得最小值． 【详解】由已知得，所以，解得， ， ，， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以的极小值也是最小值为， 故答案为：；． 地 城 考点02 导数的几何意义 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到函数单调性，在处取得极小值，且计算出，要想在区间上存在最小值，需满足，从而得到答案. 【详解】，由题意得，解得， ，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即， 要想在区间上存在最小值，需满足， 解得. 故选：C 2．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知函数，若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可得，进而得，利用基本不等式求解，进而根据，构造函数，即可利用导数求解函数的单调性求解. 【详解】由可得， 由题意可得，即， 化简得，进而， 由可得，即，由于，故， ， 令， 记，则， 则在单调递增，所以， 因此， 故选：D 3．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值. 【详解】由题可知，曲线为， 则，设， 当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值， 令，，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 此时的距离最小值为直线与直线的距离：. 故选：B. 4．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导函数即可求出，再利用点斜式即可求出切线方程. 【详解】由得， 则在点处的切线斜率为， 又，则切线方程为，即. 故选：B 5．(24-25高二上·安徽县中联盟·期末)已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求，利用导数的几何意义可求的值. 【详解】由题意得，函数的定义域为，且， ∴， ∵曲线在点处的切线与直线垂直， ∴，即，故. 故选：D. 6．(24-25高二上·安徽六安第一中学·期末)若直线l与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为（    ） A．0或1 B．1或 C．1或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用导数的几何意义可得答案. 【详解】设直线l的方程为，分别与两函数相切于， ，，则，整理得①； 由，整理得②； 联立①②可得，解得或. 故选：C 二、多选题 7．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点M处的切线与在点N处的切线相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，构造函数，利用导数判断单调性求出极值，即可判断；对B，由切线的斜率公式得和，则是方程的两根，由韦达定理结合选项A求解判断；对C，由两边取对数可得，利用对数不等式得解；对D，由选项B，结合得解. 【详解】对于A，令，则，， 当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 所以的极大值为，且，， 因为直线与曲线相交于两点， 所以与的图象有两个不同交点，所以，故A正确； 对于B，由，得，则曲线在点处切线的斜率， ，整理得， 同理，可得， 所以是方程的两根，则，， 又由A，，即，，故B正确； 对于C，先证明对数不等式， 上式等价于（其中）， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减， ，即，上式得证. ，，又，则， 同理，由，可得， ，即， 由对数不等式，，即，故C错误； 对于D，由B知，，所以，故D正确. 故选：ABD. 8．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（  ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】AD 【分析】函数有两个零点，所以有两个根，即与图象有两个交点，作出函数图象，根据交点个数，找出函数过原点的切线，再根据斜率关系解题即可. 【详解】函数有两个零点，所以有两个根，即与图象有两个交点，如图 又因为， 当时，若与图象有两个交点，则需，，，则， 所以时，实数的取值范围为; 当时，与图象只有一个交点，不符合题意； 当时，若与图象有两个交点，则需，，，则， 所以时，实数的取值范围为. 故选：AD 三、填空题 9．(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)若直线是曲线的切线，则______. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解． 【详解】因为，所以， 设与曲线切于点， 所以，所以， 所以切点为，又该点在上， 所以，所以 故答案为：. 10．(24-25高二下·安徽滁州·期末)不等式对任意恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】/0.5 【分析】不等式变形为，只需函数在函数的上方即可，即大于等于函数过切线的斜率即可. 【详解】由，得 令，则，所以是单调增函数. 设是过点与相切的直线，设切点为， 则直线的方程为：，把带入切线方程得：， 解得，所以切线斜率. 不等式对任意恒成立，只需函数在函数的上方即可， 即大于等于函数过切线的斜率即可，所以.即实数的最小值为. 故答案为： 地 城 考点03 导数的运算 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 故选：A 2．(24-25高二下·安徽亳州·期末)下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【详解】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D 3．(24-25高二下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求导，可得切点坐标为，切线斜率，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，， 当时，则， 即切点坐标为，切线斜率， 由题意可得：，解得. 故选：A. 二、多选题 4．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列成立的有（    ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】求导函数利用奇函数的定义判断A，推导导函数的周期，利用赋值求值判断B，赋值法结合的周期求值判断C，由及的奇偶性与周期性求和判断D. 【详解】由是偶函数，则，两边求导得， 所以是奇函数，故A正确； 由，得， 所以，代入， 得， 即，又因为是奇函数， 所以，，即， 所以是周期函数，且周期为4，由是奇函数，所以，所以，故B错误； 对选项C，在中，令得，， 在中，令得，，故，故C正确； 对于D：由得， ， 由B选项知，令得，故， 因为是周期函数与奇函数，且周期为，所以，即，因为，所以 所以，故D正确． 故选：ACD 5．(24-25高二下·安徽部分学校·期末)下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用求导来判断在区间上是否恒为正数，若可能不恒为正数，则可以举反例，或证明恒为负数，即可得到判断. 【详解】对于A，当时，，故在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，当时，，故不满足题意，故B错误； 对于C，当时， ，故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，故不满足题意，故D错误； 故选：AC. 6．(24-25高二上·安徽合肥庐江县庐江中学·期末)下列求导数运算中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用初等函数的导数公式,分别求出选项中函数的导函数即可求解. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确． 故选：ABC. 三、填空题 7．(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)若直线是曲线的切线，则______. 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解． 【详解】因为，所以， 设与曲线切于点， 所以，所以， 所以切点为，又该点在上， 所以，所以 故答案为：. 8．(24-25高二上·安徽六安第一中学·期末)已知函数的导函数为，若，则__________. 【答案】 【分析】由求导，先求得，进而得到 求解. 【详解】解：因为， 所以，则 ， 解得 ，所以 ， 所以 ， 故答案为： 9．(24-25高二下·安徽宿州第二中学雪枫校区·期末)已知，直线与曲线相切，则的最小值是____________． 【答案】25 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 地 城 考点04 利用导数研究函数单调性、极值和最值 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 2．(24-25高二下·安徽·期末)已知定义在区间上的函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，求出，从而得到答案. 【详解】，， 令得，解得， 则的单调递减区间为. 故选：A 3．(24-25高二下·安徽亳州·期末)下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【详解】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D 4．(24-25高二下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)函数在下面哪个区间上单调递增（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，再一一分析各选项范围内导数正负情况即可得解. 【详解】由题得， 对于A，当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A不符合； 对于B，当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B不符合； 对于C，当时，所以函数在上单调递减，故C不符合； 对于D，当时，所以函数在上单调递增，故D符合； 故选：D 二、多选题 5．(24-25高二下·安徽宣城·期末)已知函数，则（   ） A．当时，的对称中心为 B．若函数在上递增，则 C．函数的图像过定点 D．若的极大值与极小值互为相反数，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出，的对称中心为，A错误；B选项，恒成立，故，解得，B正确；C选项，，故的图像过定点；D选项，当时，不合要求，当时，求出极大值为，极小值为，根据互为相反数得到方程，变形后计算出. 【详解】A选项，时，， ，， 故，故的对称中心为，A错误； B选项，若函数在上递增，则恒成立， ，解得，B正确； C选项，，故函数的图像过定点，C正确； D选项，，令得或0， ，当时，，此时无极值，舍去， 当时，，令得或， 令得， 故的极大值为， 极小值为， 令，即， 变形为，， ，又，则，D正确. 故选：BCD 6．(24-25高二下·安徽部分学校·期末)下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用求导来判断在区间上是否恒为正数，若可能不恒为正数，则可以举反例，或证明恒为负数，即可得到判断. 【详解】对于A，当时，，故在区间上单调递增，故A正确； 对于B，，当时，，故不满足题意，故B错误； 对于C，当时， ，故在区间上单调递增，故C正确； 对于D，当时，，故不满足题意，故D错误； 故选：AC. 三、解答题 7．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，无极大值. (2)答案见解析. 【分析】（1）时，求导，利用导数分析函数单调性确定极值即可. （2）求导，利用判别式讨论的零点，根据零点分析的符号即可得到单调性. 【详解】（1），， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. （2）定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 8．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)为单调递减区间，为单调递增区间，极小值为，无极大值 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率即可得解； （2）利用导数得到函数的单调性，即可分析求解函数的极值. 【详解】（1）因为．所以． 由题意．所以； 所以， 所以切线方程为 （2）因为．所以． 由；由． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，且，无极大值． 9．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知函数在处切线是x轴（a，）. (1)求a，b； (2)求函数的单调性和极值. 【答案】(1)， (2)单调减区间为；单调增区间为，极小值；无极大值. 【分析】（1）根据切线及导数几何意义、函数所过的点列方程求参数即可得解； （2）对函数求导，根据导数的符号确定区间单调性，进而求极值. 【详解】（1）， 由题意知：. （2）由（1）得，， . 令得，，的单调减区间为； 令得，，的单调增区间为； 所以的极小值；无极大值. 地 城 考点05 利用导数研究不等式恒成立问题 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽宿州第二中学·期末)已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 二、多选题 2．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)已知函数，则（   ） A．最小正周期为π B．是该函数的一个极值点 C．当，的取值范围是 D．图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】ABC 【分析】对于A，由三角恒等变换化简函数表达式，进一步由周期公式验算即可；对于B，只需验算是否为函数的最值即可；对于C，由，进一步结合三角函数性质即可判断；对于D，由函数平移变换法则即可求解. 【详解】对于A，，所以最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以是该函数的一个极值点，故B正确； 对于C，，所以的取值范围是，故C正确； 对于D，的图象向右平移个单位长度得到的函数图象对应的解析式为，故D错误. 故选：ABC. 3．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)已知函数则（    ） A．若存在两个零点，则 B．若仅有一解，则 C．用表示不大于的最大整数，若，则 D．若方程无解，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A，，即有两个解，根据交点，不妨取，然后根据对数运算可得即可判断；对于B，即，然后分析分段函数的单调性即可得；对于C，根据高斯函数即可证明；对于D，当，即，分段求导分析函数单调性确定值域，即可确定有解时的取值范围，从而判断选项D. 【详解】对于A，，即有两个解，如图 由图知，不妨取， ，故A正确； 对于B，，即， 又在单调递减， 时，，， 所以在单调递减， 即在单调递减， ， 即仅有一解，则； 对于C，，， ，故C正确； 对于D，，即， 当时，在单调递增，值域为， 当时，，（舍）， 所以在单调递减，在单调递增， ，， 即时，的值域为， 故有解，， 所以方程无解，则的取值范围是，故D错误； 故选：AC. 4．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知a，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知得出，然后构造函数，，，利用其单调性分别判断ABD，用反例判断C． 【详解】因为a，，且，所以， 选项A，易知函数是增函数，所以，即，所以，A正确； 选项B，设，则，在时，，因此时，是增函数，从而，即，所以，B正确； 选项C，若，则满足，但，不成立，C错误； 选项D，由函数是增函数知，D正确； 故选：ABD． 5．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)若数列满足（，d为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（   ） A．则，则 B．若，且，，则 C．若中各项均为正数，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据“调和数列”的定义可以确定为等差数列，再利用等差数列的性质可判断A；利用等差数列的定义求得其通项公式可判断B；根据等差数列的性质结合基本不等式可判断C；构造函数，得，得，再求和可判断D. 【详解】依题意可得为等差数列，由， 根据等差数列的性质得， 则可得，， ，故A正确； 由，且，，可得，，， ，，则，故B错误； 由为等差数列，可得， ， 当且仅当时取等号，故C正确； 由，，可求得， 令，， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 即恒成立，即在时恒成立， 恒成立， ，，， ，故D正确. 故选：ACD. 6．(24-25高二下·安徽·期末)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线与直线相切 B．存在不同时为0的实数a，b，使得恒成立 C．存在实数a，b且，使得既有极大值又有极小值 D．若且恒成立，则 【答案】ABD 【分析】求出时的解，从而可求解A项；由，当方程无正根如时，恒成立，则在上单调递增，可对B判断求解；若既有极大值又有极小值，则方程有两个不同的实根，再利用根与系数关系即可对C判断求解；由若，则恒成立，则得，分别讨论，时的情况，从而求出，即可求解D. 【详解】A：若，则，， 令，解得，又，所以曲线与直线相切，故A正确； B：，当方程无正根， 如时，恒成立，则在上单调递增， 而恒成立，所以恒成立，故B正确； C：若既有极大值又有极小值，则方程有两个不同的实根， 即方程有两个不同的正根，设为， 则，且，，所以，故C错误； D：若，则，， 当时，，不符合条件， 当时，有一个正根， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到极小值也是最小值， 要使恒成立，只需，解得，故D正确. 故选：ABD. 7．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)已知是可导函数与的共同极值点，则下列说法正确的是（    ） A．函数可以是 B．若，则 C．与至多有一个为 D．若是极大值点，则 【答案】BCD 【分析】利用导数研究函数与的单调性，可判断A选项；利用极值点的定义可判断B选项；利用反证法可判断CD选项. 【详解】令， 对于A选项，若，则，由，可得；由可得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有且只有一个极小值点，无极大值点. ，对任意的恒成立，所以函数在上单调递增，无极值点，A错； 对于B选项，因为，则， 由可得，即函数在上单调递减， 由可得，即函数在上单调递增， 故函数存在唯一的极小值点， ，则， 由题意可知，解得或， 由题意可知，解得，合乎题意，B对； 对于C选项，由题意可知，且，， 若与至多有一个为，则，假设，则，， 不妨假设为函数的极大值点，则存在实数、使得， 当时，，，则， 当时，，，则， 故对任意的，，则函数在上单调递减， 若为函数的极小值点，同理可知函数在处不取得极值， 故假设不成立，所以，C对； 对于D选项，若是极大值点，则，，可得， 由C选项可知，假设， 则存在实数、使得， 当时，，，则， 此时函数在上单调递减，此时不是函数的极大值点，不合乎题意， 假设不成立，故，D对. 故选：BCD. 8．(24-25高二下·安徽县中联盟·期末)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若有两个零点，则 B．若，则无最值 C．当时，方程有唯一实根 D．若存在，使得，则 【答案】BCD 【分析】利用求导来判断单调性和值域可判断A；利用求导结合基本不等式判断单调性可判断B；利用作差构造函数求导，结合单调性和值域可判断C；利用分离参变量构造函数求导结合单调性可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 令，则，令0，则， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为， 即函数的极小值为， 若函数有两个零点，则，解得，故A错误； 对于B，若，对于函数，有， 解得，即函数的定义域为， 由则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以函数在上为减函数，函数无最值，故B正确； 对于C，当时，方程，即， 即，令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 即， 所以在上有一个零点，所以方程有唯一实根，故C正确； 对于D，若存在，使得，则， 令，则， 又，令，则， 所以在上单调递减，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 9．(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)若不等式对任意正数x恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先求出不合要求，故，推出要使对任意正数x恒成立，有且只有即，故，令，求导得到其单调性，求出最大值，得到答案. 【详解】由题意得， 当时，， 又对任意正数x恒成立， 故恒成立， 因为的值域为R，故不可能恒成立，不合要求； 所以，由得，由得， 由得，由得， 因此，若，则当时，，， 故，不合题意； 若，当时，，， 故，不合题意， 因此，要使对任意正数x恒成立， 有且只有即，因为，所以， 此时，令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，最大值为. 故答案为： 10．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】先对求导，得到，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得到，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则可化简为：， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 11．(24-25高二下·安徽·期末)已知函数，若当时，恒成立，则实数的最小值为____________. 【答案】/ 【分析】根据题意恒成立等价于恒成立，设，利用导数求出，再设，则在上单调递增，且，从而可求解. 【详解】原不等式等价于在时恒成立， 即在时恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，设，则在上单调递增， 且，要使时，恒成立， 则恒成立，即，所以实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 12．(24-25高二下·安徽阜阳·期末)设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有 ，那么称在上是凹函数；如果恒有 ，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知. (1)已知，求过点A且与曲线相切的直线方程； (2)判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； (3)证明：. 【答案】(1) (2)凹函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求导并切点，进而得切线方程，将点A代入切线方程求出即可得解； （2）换元和变形构造并结合导数工具计算分析差值的正负情况即可得证； （3）先由是凹函数且是它的切线得到，接着记，求证即可得证. 【详解】（1），令切点， 则过点的切线方程， 因为切线过点，则，解得， 所以切线方程为. （2）是凹函数.证明如下： 令，则 不妨令，则， 记， 则 因为，所以，则，所以在单调递减， 则， 所以， 从而，所以是凹函数. （3）证明：由题意，因为是凹函数，且是它的切线，则， 记，则 ， 即.所以. 13．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间存在两个不同零点，，证明： ． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）由，得到，再求，从而把代入与中得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； （2）先求出，再分类讨论，进而可得到函数的单调区间； （3）不妨设，根据（2），则，且，得，，则，再根据在上单调递增，从而得到，再结合，构造，，再根据复合函数的求导公式求出，进而根据函数的单调性即可证明结论． 【详解】（1）由，即，得， 则，得， 所以点处的切线方程为，即． （2）依题意可得， 令，得或， 当时，若时，，则在上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递增； 当时，若时，，则在上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为 ； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）证明：不妨设， 根据（2），若存在、是函数在区间的两个不同零点， 则，且，得，， 则， 又在上单调递增， 则， 又，所以只要证明即可． 设， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，成立， 即当时，成立， 即成立， 即成立． 【点睛】方法点睛：（ⅱ）利用函数的单调性证明不等式，如增函数，则，再根据，从而再构造函数，再根据复合函数的求导公式求出，进而根据函数的单调性即可证明结论． 14．(24-25高二下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数有两个极值点，，，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）当时，，利用导数求出处的斜率，从而可求切线方程； （2）由，分情况讨论，，再结合导数即可求解； （3）设是的极大值点，是的极小值点，要证要证，只要证，即等价于，令，设，再结合导数求出，从而可求解. 【详解】（1）由题意可知的定义域为， 当时，，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）， ①当，因为，恒成立，所以在上单调递减； ②当，令，即，因为， 若时，得，，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 若时，，则恒成立，则在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，有两个极值点， 其中是的极大值点，是的极小值点，且，，所以， 要证，只要证， 由， 代入可得，原式， 令，设， 所以，即， 则在上单调递增，所以， 则，即， 所以原不等式成立. 15．(24-25高二下·安徽合肥第八中学·期末)已知函数，； (1)当时， ①求在上的最大值； ②求证：，； (2)若，恒成立，求a的取值范围.（参考数据,） 【答案】(1)①，②证明见解析； (2) 【分析】（1）①利用求导，通过作图分析导数的正负，即可得到最大值； ②利用作差构造函数求导来证明，由于0的端点值为0，所以进行了四次连续求导，最后可以通过导数的分析，可得到原不等式恒成立的证明； （2）利用端点值效应，因为0的端点值为0，要证明的不等式恒成立，必需要满足0的导数值为正数，从而得到必要条件，然后再证明充分性，可通过必要条件放缩参数，再构造不含参数的函数，来求导分析单调性，即可得到证明. 【详解】（1）①当时，,则， 因为，且， 可作出图象分析： 所以可得：当时，， 即在上单调递增，此时； ②要证明，只需要证明，即证明， 构造函数，求导得， 又构造，求导得， 再构造，求导得， 所以在上单调递增，又因为， 所以，即， 则在上单调递增，又因为， 所以，即， 所以函数在上单调递增，又因为， 所以，即得证; （2）由，恒成立， 则， 构造函数，则， 因为，所以， 则对，恒成立的必要条件是， 再证明充分性，当时，要证明，恒成立， 因为此时，所以， 即只需要证明， 构造函数，求导 再作出两个函数图象分析 当时，， 所以在区间上存在零点且零点， 则由图可知：当时，， 所以在上单调递增， 当时，， 所以在上单调递减， 由于 ， 根据函数单调性可知， 综上可得：对，恒成立的a的取值范围是. 16．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知函数在上有两个不同的极值点． (1)求m的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，问题化为在上有两个不同的零点，结合对勾函数的性质求左侧值域，即可得参数范围； （2）应用韦达定理得 ，结合（1）所得范围，应用导数证明不等式. 【详解】（1）因为，所以， 由题意，在上有两个不同的零点， 所以在上有两个不同的零点， 由在上单调递减，在上单调递增， 其中区间上的值域为，区间上的值域为， 所以，则. （2）由（1）知，， 所以 令，则，且，故， 所以在上单调递减，则，所以得证. 17．(24-25高二下·安徽芜湖·期末)已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)解方程，其中e为自然对数的底（…）； (3)若a，b为均大于1的不等实数，满足，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，按照和分类讨论，解不等式即可求得单调区间. （2）由得，当时，，利用导数判断函数单调性，求出最大值，进而求解方程. （3）由题意得，由已知可得，设，则，故，要证，即证，令，利用导数的单调性证明可得. 【详解】（1）对于，则，. 当时，令得，所以， 令得，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令得，所以， 令得，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）因为，所以，即， 由（1）可知，当时，，，. 当时，即时，，此时在上单调递增； 当时，即时，，此时在上单调递减； 故函数在处取到极大值，即最大值，为. 所以方程有唯一解，即方程的解为； （3）由得，即， 因为a，b为均大于1的不等实数，且函数在上递增，在上递减， 不妨设，由可得， 设，则则，即， 则 ， 故要证，只需证，即证，故需证， 令，则， 所以在上单调递增，又，所以，所以， 所以 18．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导，根据参数的取值，分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性； （2）求导得，设，得函数在上单调递增，利用零点存在定理，得到存在，满足，推得的单调性，即得 ，从而证得结论； （3）由转化为，设，求得，再设，判断其单调性得到，即得参数的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 当时，，即函数在上为增函数； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因函数的定义域为，， 令，则， 即函数在上单调递增，当时，，且， 故存在，使，则得. 当时，，即，故函数在上单调递减； 当时，，即，故函数在上单调递增. 故， 因，故得，即，故. （3）由可得，即， 设，则，故函数在上单调递增，则. 再设，则， 当时，，故函数在上单调递减； 当时，，故函数在上单调递增， 故，故得，即的取值范围是. 19．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知， ， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，， ， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证 ， 因为，所以 ， 而 ，得证. 地 城 考点06 利用导数研究函数零点问题 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽阜阳·期末)函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据导函数的正负得出函数的单调性结合零点存在定理得出零点个数. 【详解】函数，， 当单调递减； 当单调递增； ， ， 所以；； 所以函数的零点个数为2. 故选：C. 2．(23-24高二下·安徽阜阳·)已知函数.若是的一个极大值点，且，则的零点个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】求出函数导数，结合题意可求出参数的值，分类讨论，将函数零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题，数形结合，即可判断答案. 【详解】由题意知定义域为， 则， 因为是的一个极大值点，所以， 结合，知， 当时，， ， 作出函数和在上的图象如图： 结合图象可知当时，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 故函数在处取极大值，适合题意； 则的零点问题， 即为的根的问题， 即函数的图象的交点个数问题， 作出函数的图象如图： 可知二者在上有1个交点， 而，，，， 而当时，， 故函数的图象有3个不同的交点， 故的零点个数为3； 当时，， ， 作出函数和在上的图象如图： 因为，， 故在上，函数和在上的图象必定相交， 设二者最左侧交点横坐标为，则时，， 此时，在上单调递减， 当时，，，在上单调递增， 则函数在处取极小值，不适合题意； 综合以上可知的零点个数为3， 故选：B 二、多选题 3．(24-25高二下·安徽蒙城第一中学·期末)已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C．无最大值，有最小值 D．若函数有两个零点，则 【答案】AC 【分析】根据题意，求得，得到，可判定A正确；求得函数的单调区间，可得判定B错误；作出的大致图象，可判定C正确；由和，结合有两个零点，求得的取值范围，可得判定D错误． 【详解】由函数，可得，则.所以A正确； 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减.所以B错误； 作出的大致图象，如图所示，可得无最大值，有最小值.所以C正确； 又由，， 所以函数有两个零点，则 或，所以D错误． 故选：AC. 4．(23-24高二下·安徽安庆、铜陵、池州·期末)定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数（）的对称中心为，则下列说法中正确的是（    ） A．， B．函数有三个零点 C． D．过可以作三条直线与图象相切，则m的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，对函数连续两次求导，然后“拐点”的定义列方程组可求出， 对于B，对函数求后由导数的正可求出函数的单调区间，再结合零点的定义分析判断， 对于C，由函数的对称中心得，结合此结论求解即可， 对于D，设切点为，然后利用导数的几何意求出切线方程，转化为关于的方程有3个不等的根，结合图象求解即可. 【详解】对于A，由，可得，则， 因为是对称中心，结合题设中心“拐点”的定义可知， 且，解得，，所以A正确； 对于B，由，，可知，则， 令，可得或， 当，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为，，， 所以函数只有两个零点，所以B错误； 对于C，因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以 ， 所以， 即 ，所以C正确； 对于D，设切点为，由，得，则 切线的斜率为，所以切线方程为， 即， 因为切线经过点，所以， 化简得， 由题意可知关于的方程有3个不等的根， 令，则， 由，得或， 当或时，，当时，， 所以在和上递减，在上递增， 所以的极小值为， 极大值为， 所以的大致图象如图所示， 由图象可知当时，直线与的图象有3个交点， 所以当时，关于的方程有3个不等的根， 所以当时，过可以作三条直线与图象相切，所以D正确， 故选：ACD 三、填空题 5．(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意方程有三个根，即方程有三个根，转化为与函数有三个交点，利用导数研究的单调性，画出示意图，数形结合可得或，解对数不等式即可得解. 【详解】函数且有三个零点，则方程有三个根， 即方程有三个根，即方程有三个根，易知， 所以方程有三个根，所以与函数有三个交点， 当时，，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为， 令得， 又无限趋向于0且时，趋向于负无穷大， 无限趋向于正无穷大时，趋向于0； 当时，，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，令得， 又无限趋向于0且时，趋向于正无穷大， 无限趋向于负无穷大时，趋向于0； 作出与函数的示意图： 由图可知，或，所以或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 6．(24-25高二上·安徽池州·期末)已知函数，若函数恰有3个不同零点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据，为开口向下的二次函数，而时，利用导数求解单调性，进而可得极值，结合三个零点即可得，进而可求解. 【详解】当时，函数，在上单调递增，在上单调递减；此时最大值为， 当时，，则当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减,此时函数极大值为，且当时， ， 由于， 所以函数恰有3个不同零点，则，所以． 故答案为：. 7．(24-25高二下·安徽六安第一中学·期末)已知实数满足则______． 【答案】1 【分析】根据指数对数的运算性质化简后，构造函数，结合函数单调性及得解. 【详解】因为 所以，且，，即， 令，则， 当时，， 所以在上单调递增， 又， 所以，即. 故答案为：1 四、解答题 8．(24-25高二下·安徽合肥一六八中学·期末)已知函数，为的导函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在单调递增； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性； （2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围； （ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. （2）（i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，，所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 9．(24-25高二下·安徽宣城·期末)已知且，函数. (1)设，，为数列的前项和，当时，求； (2)当时，证明：； (3)当且时，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1，答案见解析 【分析】（1）先列出的表达式，然后根据等比数列和等差数列的前项和公式进行分组求和即可. （2）先列出的表达式，然后求导，判断单调性，即可证明不等式成立. （3）讨论和的函数的单调性，即可判断函数的零点个数. 【详解】（1）当时，， 则 . （2）由题意知，的定义域为. 当时，， 令，则， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，于是， 所以，函数在上单调递增，又， 因此时，，当时，， 所以当时，. （3）①若，则函数在上单调递增，且， 所以函数有且仅有一个零点； ②若，当时，，当时，. 由（2）知：当时，， 当时，， 且，所以函数只有一个零点. 综上所述：当且时，函数的零点个数为1个. 10．(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知函数． (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题可得，其中，然后利用导数求得在上的最小值可得答案； （2），注意到时，在上单调递增，然后由零点存在性定理可得零点情况；当时，通过研究函数可得单调性，然后通过讨论与大小关系可判断零点情况. 【详解】（1）由题可得恒成立，因， 则恒成立，即. 令，则. ，. 则在上单调递减，在上单调递增， 则，从而； （2）由题，其中， 则. 当时，恒成立， 在上单调递增. 注意到，，，， 则此时在上只有一个零点； 当时，令，其中， 则， 因，则，则在上单调递减. 注意到，，，则， 使， 则，解得，. 则在上单调递增，在上单调递减. 对于函数， ，则在上单调递减， 其中，故， 若，则， 故，此时， 此时只有一个零点； 当，由得， 由以上分析可得，又在上单调递增， 则， 又，，，，则此时有两个零点； ，由， 由以上分析可得，则， 因，则， ， 令，， 在上单调递增， 注意到，则，则此时没有零点； 综上可得：当或时，只有一个零点； 当时，有2个零点； 当时，没有零点 11．(24-25高二下·安徽合肥第七中学·期末)已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解； （2）（ⅰ）转化为有两个相异正根，，利用导数研究的大致情况得解； （ⅱ）设，利用导数判断函数单调性，据此可得当时，，再由及函数单调性得出得证. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 （2）（ⅰ） 易知的定义域为， 由题意得，方程有两个相异正根，， 即方程有两个相异正根，， 设，则， 因为，所以， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 由，及的性质知， 当且时，，， 所以当时，，又，， 所以要使有两个相异正根，，必有， 故实数的取值范围为. （ⅱ）证明：由题意可知，，不妨设，则， 设，则 ， 令， 则当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 所以当时，， 所以在上单调递减，故当时，， 所以当时，， 所以，即， 又，， 由（ⅰ）可知，在上单调递减，所以，故. 地 城 考点07 利用导数研究函数图象及性质 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽安庆第二中学·月考)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 2．(24-25高二下·安徽安庆第二中学·期末)若过点可以作曲线的三条切线，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，利用导数的几何意义及条件可得关于的方程有三个不同的解，构造函数，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得. 【详解】由题可得， 设切点，则，整理得， 由题意知关于的方程有三个不同的解， 设，， 由，得或，又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增， 当时， 当时，，且，， 函数的大致图像如图所示， 因为的图像与直线有三个交点， 所以，即. 故选：D. 3．(24-25高二下·安徽亳州第二中学·期末)已知为上的可导函数，且有,则对于任意的，当时，有(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把,通分即可构造新函数 ，并可得到的单调性，借助单调性比较大小得答案． 【详解】解：由题意知为上的可导函数，且有， 所以，令 ，则 ， 则当 时，，， 当 时，，， 因为，当， ，即， 故答案选C． 二、多选题 4．(24-25高二下·安徽合肥肥西县·期末)在同一直角坐标系中，函数和的大致图象可能为（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】BCD 【分析】根据二次函数的性质研究的图象，利用导数研究函数的性质及图象，从而得出答案． 【详解】由已知得，， 函数的图象为开口向上的抛物线，与轴在和处相交， 的图象是“型曲线”，当时有和两个极值点， 当时单调递增，且的图象与轴交于点． 对于A，由二次函数图象可知，但三次函数图象与轴的交点在轴上方，故A不正确； B项图中两条曲线符合时的情况； C项图中两条曲线符合时的情形； D项图中两条曲线符合时的情况． 故选：BCD. 三、填空题 5．(24-25高二下·安徽高中教科研联盟·期末)已知函数，若对任意实数，直线与有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】利用导数可研究得到图象，通过图象进行分析可得的取值范围. 【详解】，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， 在上单调递增， 由此可得图象如下图所示： 结合图象分析可知：当，即在轴截距大于等于时，对任意实数，直线与有且仅有一个公共点， 实数的取值范围为. 故答案为：. 6．(24-25高二上·安徽宿州十三所重点中学·期末)对于三次函数（）给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算______. 【答案】2020 【解析】由题意“拐点”就是对称中心,求出给定函数的对称中心坐标,探究出对称性,计算出结果. 【详解】函数,则,, 结合题意令,解得,而,由题意可知函数关于点对称,则有, 令 则 两式相加得,所以, 即. 故答案为: 四、解答题 7．(24-25高二下·安徽合肥十一中、三十二中等六校·期末)已知函数. (1)求的单调区间; (2)若和有两个公共点，求的范围. 【答案】(1)的增区间为：，；减区间为：，； (2) 【分析】（1）确定函数定义域，利用函数求导来判断函数单调性，得单调区间； （2）由（1）中函数单调性，确定函数极值，以及函数的零点，得函数图像，利用图像求解的范围即可. 【详解】（1）解：， 所以 令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上：的增区间为：，；减区间为：，. （2）解：由（1）得，， 又 且得，则是的唯一零点 结合（1）中的单调区间得函数图像为： 由于和有两个公共点，求所以的范围是：. 地 城 考点08 利用导数研究双变量问题 一、单选题 1．(24-25高二下·安徽六安中学·期末)已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的两个极值点是的两个根，根据韦达定理，确定的关系，用表示出，用表示出，求该函数的最小值即可. 【详解】解：的定义域， ，令，则必有两根， ，所以， ， ， ， 当时，，递减， 所以 的最小值为 故选：A. 二、填空题 2．(24-25高三上·安徽六安示范高中·期末)已知函数，，若，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】对已知等式进行同构可得，令，利用导数可求得单调递增，由此可得，从而将所求式子化为；令，利用导数可求得，即为所求最大值. 【详解】由得：； 由得：，； ， 令，， ，在上单调递增， ； 令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 3．(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)已知函数． (1)讨论在区间上的单调性； (2)当时，若存在满足，证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用分类讨论思想，由函数解析式，求得其导数，根据导数与单调性的关系，可得答案； （2）整理等式，可得，则将问题等价转化为极值点偏移问题，构造函数，研究其单调性，可得答案. 【详解】（1）当，在单调递减； 当时，， ①当时，，，，； ②当时，在恒成立； ③当时，，，，； 综上所述，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由，得，即， 由（1）可知，当时，，， 当时，；当时，， 在单调递增，在单调递减， 又当，，当时，， 故，即．欲证，即证． 设，， 则， 即在单调递减， 又，所以，即， 又，所以， 又因为在单调递增，，， 所以，即得证． 4．(24-25高三上·安徽合肥·)已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1)当时在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减． (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，对分类讨论，求出单调性；（2）结合第一问，化多元为单元问题，构造函数进行证明. 【详解】（1）定义域为， ，． ∵，， ∴当时，， 所以，当时，在上单调递增； 当时，令，即， 解得，． 所以，当时，在，上单调递增， 在上单调递减． （2）由（1）知，若函数有两个极值点，则，，， ． 设，则． ∵，∴． 设，易知在单调递减，且， ∴在恒成立，在区间单调递增， ∴， ∴． 5．(24-25高二下·安徽滁州明光第二中学·期末)已知函数，，若函数的图象与函数的图象的一个公共点的横坐标为且两函数图象在点处的切线斜率之和为. （1）求的值； （2）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意列方程组，解出的值； （2）把对任意，不等式恒成立，转化为 ，分别求出和，建立不等式，即可求出k的范围. 【详解】解：（1）因为，所以，即，      又，所以 ， 由题意得， 所以 由得 （2）由（1）得， 对任意的，恒成立， 所以 ， 因为， 令得，令得或. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 而，所以， 而， 当时，， 故， 所以实数的取值范围是. 6．(24-25高二下·安徽宿州泗县第一中学·期末)已知函数. （1）讨论函数在上的单调性； （2）当时，若时，求证：. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析. 【分析】（1）对求导后讨论的范围来判断单调性； （2）构造函数，借助得到，设，使得，设，根据该函数性质即可证明 【详解】（1）由题意可知，，， （i）当时，恒成立， 所以函数在上单调递增； （ii）当时，令，得， ①当，即时，在上恒成立， 所以函数在上单调递减； ②当，即时， 在上，，函数在上单调递增； 在上，，函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：令， 由题意可得，不妨设. 所以，于是. 令，，则， ，. 令， 则，在上单调递增， 因为，所以，且， 所以，即. 7．(24-25高二下·安徽皖东县中联盟·期末)已知函数． （1）设，求函数的极值； （2）当时函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1) 极大值，无极小值．(2)证明见解析 【分析】(1)对函数求导，得其导函数的正负，研究原函数的单调性得极值； (2)根据导函数为零，得关于这两个极值点的韦达定理，从而将两个变元的问题可转化成一个变元的问题，再研究关于这个变元的函数的单调性和最值. 【详解】（1）解：， 则． 令，得. 所以当x变化时，的变化情况如下表： x + - ↗ 极大值 ↘ 因此有极大值，无极小值． （2）证明：． 由题意得，. 因为，所以． 由，得， 则，解得． 所以. 由（1）得， 所以 令，则. 分析可得在区间上单调递减． 当时． 所以. 地 城 考点09 极值点偏移问题 一、解答题 1．(24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知函数，且. (1)求; (2)已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有； (3)证明：对任意的，均有. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数判断函数的单调性， 可得，只需 满足，计算即可得解； （2）先写出，将不等式变形，通过换元，构造函数，利用导数证其单调性，从而推导不等式成立； （3）由（1）中的结论，取得到，对不等式左边求和，结合对数运算性质（裂项相消），证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则， ①当时，恒成立，在上单调递减，且，不符题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即，又， 所以，解得. （2）由（1）知， ， 要证，即证， 进一步变形为证，即证. 因为，令，则需证（）， 即证（） 设，， ， 当时，，在单调递增，所以，得证. （3）由（1）知，且， 当时，，即； 令（），则. 要证，即证 ， 因为，所以 ， 而 ，得证. 2．(24-25高二上·安徽阜阳颍上第一中学·)已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)若方程有两个不相等的实数根，证明：． 【答案】(1)见解析. (2)见解析. 【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可. （2）根据不单调，令，令，，求出的单调性，得到，从而证出结论. 【详解】（1）函数的定义域为： 当时，，的单调递增区间为 当时，当时，，的单调递增区间为；            当时，，的单调递减区间为； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为方程存在两个不同的实数解， 因此不为单调函数，所以， 令，则的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值， ，令，， ， 在上单调递增，且， 当时，， ，， ， 的单调递增区间为，、 ，. 3．(24-25高二下·安徽名校·期末)已知函数在上有个零点、． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）令可得，将问题等价于直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，且有，可得，于是可将所证不等式等价于证明不等式，令，即证，令，利用导数证明出即可. 【详解】（1），等价于， 设，则， 令得，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即. 而且时，时， 如下图所示： 由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是； （2）由（1）知，当函数有个零点时， 一定有，且， 两边取对数得，所以． 要证明的不等式等价于． 等价于，等价于证明， 令，等价于证明，其中， 设函数， 则， 故函数在上是增函数，所以， 即成立，所以原不等式成立． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02一元函数的导数及其应用 ☆)大高频考点概览 考点01变化率问题 考点02导数的几何意义 考点03导数的运算 考点04利用导数研究函数单调性、极值和最值 考点05利用导数研究不等式问题 考点06利用导数研究函数零点问题 考点07利用导数研究函数图象及性质 考点08利用导数研究双变量问题 考点09极值点偏移问题 目地城诗点01 变化率问题 一、单选题 1.(24-25高二下安徽宿州第二中学期已知1im △x+0 血+As-生we受则n 2△x () A.2 B.±2 1 c.2 D.4 2.4,25商下安徽蒙城第-中学期利已知函数(x在x=X,处可导，且mfx。+4f引x, =1 3△x 则fx=（） A.-3 B.3 c.-1 D.1 1/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1imf(1-△x)-f(1) 3.(24-25高二上·安微六安第一中学期末)若函数f(x)的导函数f(x)存在，且4x-0 一=4 2△X 则f1)=（） A.-2 B.2 C.-8 D.8 4.(24-25高二上安徽合肥庐江县庐江中学期fX=X在x=1处的导数为(） A.2x B.2 c.2+d D.1 5.(23-24高二下·安徽合肥第一中学.期末)若质点A运动的位移S(单位：m)与时间t(单位：s)之间的 函数关系是S1(=.2[t≥1），那么该质点在t=3s时的瞬时速度和从t=1s到r=3s这两秒内的平均速度分 别为() 22 A.39 B. 22 3’g c号 D. 22 9’3 6.(18-19高二下·安微安庆·期末)函 y=x的图象如图所示，f(x是函数fx的导函数，下列数值排序 正确的是() 4 3 1 01234567x A.f(2)<f(3)<f3-f2<0 B.f3<f(2<f3-f2<0 C.f3-f2<f(3)<f(2)<0 D.f2)<f3-f2kf3)<0 7.(18-19高二下.安徽池州·期末)函数y=f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 2/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 ò1234x A.f'(1<f'(2)<f(2)-f1) B.f'(1)<f(2)-f1)<f'(2) c.f'(2)<f(2)-f(1)<f'(1) D.f'(2)<f'(1)<f2)-f(1) 二、填空题 8.(Q4-25高=下安徽宿州第二中学雪枫校区期末)已知函数fX=e+2f3x-1'则 lim f(3+x)-f(3 x+0 fx的最小值为 目地城诗点02 导数的几何意义 一、单选题 1.45商二下安散安肤江准物作区期村已如西数fx-青父+X+bx号在x=1处的切线与直线y=】 3 平行，且在区间a-8,a内存在最小值，则实数a的取值范围是() A.1,9 B.1,9 c.3,9 D.3,9 2.(24-25高二下·安徽阜阳临泉县·期末)已知函数fx=VX-lnx,若曲线y=fx在x=x1处的切线与曲线 y=fx在x=x,处的切线平行(x≠x,则fx+fx的取值范围为（) A. 4ln号，+oo B. 4n2,+o e 3/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 D 8ln+e 3.(24-25高二下·安徽毫州期末)已知点P在曲线E:y=1(x>0)上，点Q在直线2x+y=0上，则P,Q两 点距离最小值为() A. V10 2/10 5 B. 5 D.26 5 4.(24-25高二下·安徽芜湖·期末)曲线fx=lnx+2在x=0处的切线方程为() 1 A.y=2x+In2 B.y=7x+h2 -1 C.y-zx D.yx+in2 5.(24-25高二上安微县中联盟：期)已知曲线fx=nx+aX+2在点Q11,f1处的切线与直线 x+4y+8=0垂直，则a的值为() A昌 B.-1 C.1 D.2 6。(24-25商二上安微六安第一中学期未若直线1与两函数fx=1+1nxg(x)=e-1的图象都相切，则 该直线的斜率为() 1 A.0或1 B.1或 C.1或e D.二或e e 二、多选题 7.(24-25高二下·安徽合肥第一中学·期末)已知直线y=kx与曲线y=1nx相交于不同两点 MX,y,NX,y,曲线y=lnx在点M处的切线与在点V处的切线相交于点pX,y。则 () A.0<k<1 B.X1X2>exo C.y1y2>1 D.y1+y2=1+yo 8.Q4-25高二下安微阜阳临泉县期已知函数fX=e-1小-ax有两个零点x'X:则下列说法正确的 是() 4/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.若x1<0,则实数a的取值范围为-1,0 B.若X1<0,则实数a的取值范围为1，+∞ C.若x2>0,则实数a的取值范围为-1,0 D.若x2>0,则实数a的取值范围为1，+oo 三、填空题 9.(24-25高=下安徽合肥庐江县期末)若直线y=2(x-1)是曲线y=lnx+x+a的切线，则a=一 10.Q425高二下安徽滁州期不等式e-axe+1-1≤0对任意x∈0,1恒成立，则实数a的最小值为 目地城诗点03 导数的运算 一、单选题 1.(24-25高二下·安徽蚌埠·期末)下列求导正确的是() A=京 B.ex=ex C.cos'x=2sinxcosx D Inx 1+Inx X +3 2.(24-25高二下.安徽毫州·期末)下列函数在区间(0，π)上单调递减的是() A.y=x-sinx B.y=x+cosx C.y=xsinx+cosx D.y=Xcosx-sinx 3.(24-25高二下·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)已知曲线y=lnx-1+ax在 X=2处的切线方程为y=2x+b,则b=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 二、多选题 4.(Q425高二下安微六安第一中学期利已知函数flx)glx)的定义域为R'gx为g1x的导函数，且 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 fx+gx-8=0'fx-2-g6-x-8=0'若gx为偶函数，则下列成立的有() 2 A.gx为奇函数B.g-4=-1 C.f1+f3=16 D. ∑f(n)=160 5.(24-25高二下·安徽部分学校·期末)下列函数在区间 0 π上单调递增的是() 2 A.y=xsinx B.y=xcosx C.y=xsinx+cosx D.y=x cos x-sinx 6.(24-25高二上·安徽合肥庐江县庐江中学.期末)下列求导数运算中不正确的是（) A.4=2 B.(Inx)'=1 xIn10 C.3=x3-1D.x=5x4 三、填空题 7.(24-25高二下·安徽合肥庐江县·期末)若直线y=2(x-1)是曲线y=lnx+x+a的切线，则a=一 8.(Q24-25高二上安徽六安第一中学期利已知函数f(x)的导函数为f(x若fx=2x+3f0e,则 f(2)= 9.(24-25高二下.安徽宿州第二中学雪枫校区·期末)已知a>0,b>0,直线y=x+a与曲线y=e-相切，则 9.4 +6的最小值是 a 目地城诗点04 利用导数研究函数单调性、极值和最值 一、单选题 1.24:25商二下安版合肥第-中学期利若西数fX=nx+aX-2在区间子，3内存在单润递减区间， 则实数a的取值范围是() A.o 6/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高二下·安徽期末)已知定义在区间0，π)上的函数f(x)=x-2sinx,则f(x)的单调递减区间为 () A. o引 C. 2π 3,n D 2π 3’3 3.(24-25高二下.安徽毫州·期末)下列函数在区间(0，π)上单调递减的是() A.y=x-sinx B.y=x+cosx C.y=xsinx+cosx D.y=xcosx-sinx 4.(24-25高二下.安微合肥普通高中六校联盟·期末)函数y=X COS X-snx在下面哪个区间上单调递增 () A. T3π B. 3π5π 2’2 2’2 C.0, D.(n,2) 二、多选题 5.(Q425高二下安微宣城期已知函数fx=X-aX+a-1则（） A.当a=-3时，fx的对称中心为-1,2 B.若函数fx在x∈R上递增，则a=0 C.函数fx的图像过定点 D.若fx的极大值与极小值互为相反数，且a∈N,则a=3 6.(24-25高二下：安徽部分学校期下列函数在区间0，上单调递增的是(） A.y=xsinx B.y=xcosx C.y=xsinx+cosx D.y=xcosx-sinx 三、解答题 7.24-25高二下安徽合肥第一中学：期已知函数fx=X-a-lnx+1川a∈R (1)当a=4时，求函数y=fx的极值： 7/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)讨论函数y=fx的单调性 8.(4-25高二下安微六安第一中学期利已知函数fx=x1a+1nx曲线y=fx)在点(e,fe)处的 切线与y=5x-1平行. ①0求曲线在点(e,fe)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间和极值. 9.(24-25高二下安徽合肥第八中学·期利已知函数fx=ae2+a-21e-x+b在0，f10处切线是x轴 (a,b∈R). (1)求a,b: (2)求函数的单调性和极值， 目地城诗点05 利用导数研究不等式恒成立问题 一、单选题 1.(24-25高二下安徽宿州第二中学·期利已知函数fX=xnX-e对定义域内任意x,≤<X都有 fxfx<1'则正实数nm的取值范围（） X1-X2 A. 二，+00 B.0,e) ,+00 D.e,+oo 二、多选题 2.Q4-25高二下安徽蚌埠期末)已知函数f引x=3 sin xcosx·20s2x,则（） 1 A.fx最小正周期为元 B.X=是该函数的一个极值点 3 8/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.fx图象可由gx=sin2x的图象向右平移二个单位长度得到 6 3.(24-25高二下·安徽六安第一中学期末)已知函数fx=lnx-a,gx=x,则() A.若fx存在两个零点X1,X2,则X1X2=1 B.若fx=gx仅有一解，则a=-1 C.用x表示不大于x的最大整数，若hx=gx:则hx+1>hx D.若方程fx+gxP=0无解，则。的取值范围是-x,1+2 2 4.(24-25高二下，安徽合肥第八中学期末)已知a,b∈R,且2>2°>1，则() A.e-Inb>e-Ina B.be a C.sina-sinb>1 a-b D.a°>ba 5.2125高=下安撒合肥第八中学期利若数列a,满足。=dn∈心，d为帘数)，则称数列 an+1 an a为“调和数列”.已知数列b,为“调和数列”，下列说法正确的是（） A.则号1=20则bo+bn=2bob1 台b B.若bn=2n+1 G。,且c4=3,G=15,则bo=19 C.若bn中各项均为正数，则bn+1≤ bn+bn+2 2 D=-号学he 6Q45有=下安散期为已知函数fx-nx+足+是，则下列说法正确的是（) A.若a=1,b=0,则曲线y=f(x)与直线y=1相切 9/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.存在不同时为0的实数a,b,使得rX+1fX+3恒成立 C.存在实数a,b且ab>0,使得f(x)既有极大值又有极小值 D.若a=0且f(x)>0恒成立，则b>1 2e 7.(24-25高二下.安徽芜湖·期末)已知x=x是可导函数y=fx与y=fx的共同极值点，则下列说法正 确的是() A.函数fx可以是fx=X B.若fx=X+ax+1则a=士2 C.x,与fxo至多有一个为0 D.若x,是极大值点，则X,>0 8.(24-25高二下.安徽县中联盟期末)已知函数fx=x-nx+aa∈R,则下列说法正确的是() A.若fx有两个零点，则a≤-e B.若gx=fx-f2-x,则gx无最值 c.当a=1时，方程fx=3lnX+3有唯一实根 D.若存在x,∈0，+o:使得fx≤1-ax。+2则a≤1 三、填空题 9.(24-25高二下安徽合肥第一中学期末)若不等式X2-mnx-2n≥0对任意正数x恒成立，则2的最大 m 值为 10.Q4-25商二下安徽安庆江淮协作区：期已知函数fx是定义在R上的偶函数，fx是fx的导函数， 且fx+fx=4e+1若kfx-2e-1sx在R上恒成立，则实数k的取值范围为 1.(2425高二下安徽期已知函数fx=Xna+ae-XInX,g(x=X-X若当x∈(0，+o)时， g(x)≤f(x)恒成立，则实数a的最小值为 10/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题 12.(24-25高二下·安徽阜阳·期末)设函数f(x)在区间I上的图象是连续不断的，如果对I上任意X1,x2,恒 有 +2 fx+f,那么称y=fx在1上是凹函数：如果恒有 X1+X2 fx+fx2,那 2 2 2 2 么称y=f(x)在I上是凸函数.若y=kx+b是凹函数f(x)的一条切线，则总有fx)≥kx+b成立，而凸函数 则相反.已知fx)=xnx, )已知A(0,-1),求过点A且与曲线f(x相切的直线方程； (②)判断f(x=xnx在(0，+o∞)上是凹函数还是凸函数，并加以证明： i引fx2k 13.24-25高二下安徽蚌埠期利已知函数fx=x3-aX2+a'a∈R ()若a=2求函数fx的图象在点1，f1匹的切线方程： (2)求函数fx的单调区间： 6)若函数fx在区间0，+o0存在两个不同零点x,x,证明：X+X,<49 3 14.4-25高二下安微安庆江淮协作区期末)已知函数fx=aX-x血X-a X )当a=2时，求函数fx在点1，f1)必的切线方程： (2)讨论f引x的单调性： 包法西数f有个餐位×，名，仪x正明：名号 15.e425商三下安微合肥第八中学期村已知的数断x=a5inX,g=x言名 (1)当a=1时， ①求hx=f号in5x产0，号上的大位. 03 ②求证：Hx>0,fx>gx: 11/18 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2若yx∈0, 引eX-1>0恒成立，求a的取值范围.（参考数揭n5≈0.916 16.(24-25高二下安徽阜阳临泉县期末已知函数f(x)=[X2-(m-2)x+m+2]e在(0,4)上有两个不同的 极值点X1,X2. (1)求的取值范围； 2)求证：f{x1)f(x)<4e· 17.Q425高二下安徽芜湖期末)已知函数fx=minx m≠01. X (1)讨论函数fx的单调性： (2)解方程e=x°，其中e为自然对数的底(e=2.71828…): 3)若a,b为均大于1的不等实数，满足a”=b,求证：ab>e2 18.24-25高二下安徽合肥中国科学技术大学附属中学期已知函数f(x=ax-e”gx=X2+xlnx (1)讨论fx的单调性： @证明：g小6 3)若gx≥fx,求a的取值范围. 19.24-25高二下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学期末)已知函数f(x)=a(x-1)-xlnx,且f(x)≤0. (1)求a; ②已知fx为函数fx)的导函数，证明：对任意的0<X<X均有rx》≥f,-fx山： X2-X1 6)证明：对任意的neN*,均有1t1++,1<n2 n+2n+3 2n+1 目地城诗点06 利用导数研究函数零点问题 一、单选题 1.(24-25高二下：安微阜阳期利函数f(x)=10(x+1)e+1的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.3 12/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(23-24高二下，安徽阜阳)已知函数f(x)=ln(x+1)+a·sinx+b·cosx.若x=0是fx的一个极大值点， 且a2+6=4则fx的零点个数为〈） A.4 B.3 C.2 D.1 二、多选题 3.(4-25高二下安徽蒙城第一中学期已知函数fx=X2-2Xe,其导函数为fx?则下列说法正确 的是() A.f(i=f(1) B.fx在区间-2,2上单调递减 C.fx无最大值，有最小值 D.若函数y=fx-mm∈R有两个零点，则2-221e<m≤0 4.(Q3:24商二下安徽安肤、铜陵、池州期利定义：设fx是fx的导函数：fx是函数fx的导函数 若方程fx=0有实数解x。则称x,f(X,为函数y=fx的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函 数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数fx=aX+bX+4(b≠0的对称 中心为1,2，则下列说法中正确的是() A.a=1,b=-3 B.函数fx有三个零点 2025 4047 =2×4047 12024 +f1+f 2024 +…+f2024 D.过2，m可以作三条直线与y=fx图象相切，则m的取值范围为-1,0 三、填空题 13/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.《24-25高二下安徽毫州期已知函数f(x)=a-X(a>0且a≠1)有三个专点，则实数。的取值范围是 6.(24-25高二上，安徽池州期末)已知函数fx=乙，若函数y=fx-m+2恰有3个不同零点，则实数m的 取值范围为 72425商二下安六安第-中学期表利已知实数a,b满足e-。hb=方则ab-一 四、解答题 8.(24-25高二下安徽合肥一六八中学期末)已知函数fX=aX+1a-2x-lnXa∈R'fx为fx的导 函数， (1)当a=1时，讨论fx的单调性； (2)若fx有两个零点， (i)求a的取值范围： (i记fx较小的一个零点为x,'证明：xfx,>-2 9.(24-25高二下安徽宜城：期末)己知a>0且a≠1函数fx=a+ln1+x-1 a)设a,=fnl-lnn+1+nn∈N'Sn为数列a的前n项和，当a=2时，求so 2当a=上时，证明：对x≥0： e B)当a>上且a≠1时，讨论函数fx的零点个数 e 10.(24-25高二下·安徽阜阳临泉县期末)已知函数fx=lnx+ax+1. (I)若x≤0恒成立，求a的取值范围： ②)讨论函数gx=fx-ae的零点个数. 1.(24-25高二下安徽合肥第七中学期已知函数fx=e-Xnx+mx-1m∈R 四当m=1时，求曲线y=fx在1，f1处的切线方程： 14/18 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若fx有两个不同的零点X1,x2. (i)求实数m的取值范围； (iⅱ)证明：X1x2<1 目地城道点07 利用导数研究函数图象及性质 一、单选题 1.4-25高=下安微安庆第三中学月考)函数fx=X-2Xe的图象大致是（） 2.(24-25高二下·安徽安庆第二中学.期末)若过点a,ba>0可以作曲线y=xe的三条切线，则() A.0<a<be B.-ae<b<0 C.0<ae2<b+4 D.-a+4<be2<0 3.04-25高二下安徽毫州第二中学期末利已知y=f(x为0，+o01止的可导函数，且有f(x+fX>0,则 X 对于任意的a,b∈(0，+o,当b>a时，有() A.af(b)>bf(a) B.af(b)<bf(a) C.af(a)<bf(b) D.af(a)>bf(b) 二、多选题 4.(4-25高二下安徽合肥肥西县期末)在同一直角坐标系中，函数f(x)=X-x和 15118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 gx)号x-口+1×+0a的大致图象可能为(） 三、填空题 5.(24-25高二下安徽高中教科研联盟期末)已知函数fx=号X2-xInX,若对任意实数k,直线y=kx+b 与y=fx有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是 6.(24-25商二上安徽宿州十三所重点中学期末)对于三次函数f代(x=aX2+bX+cx+da≠02给出定 义：设f(x是函数y=fx)的导数，f(x是函数f(x的导数，若方程f(x=0有实数解x。'则称点 xo,fx为函数y=f(x)的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个 三次腰数都有对称中心，且“粥点”就是对称中心给定司数fX)弓×方×+3 5 12, 请你根据上面探 究结果，计算f +f品+f品 3 +…+f 2020 2021 16118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题 7(24-25商二下安徽合肥十一中、三十二中等六校期末已知函数f1X-e2x-山 x-1 (1)求fx的单调区间； (2)若y=fx和y=a有两个公共点，求a的范围. 目地城竟点08 利用导数研究双变量问题 一、单选题 1.24-25高二下安徽六安中学期末己知函数fx)=x1+alnX,且f(x有两个极值点x1,X,其中 X x∈1,2小则fx小-fx,的最小值为() A.3-5ln2 B.3-4ln2 c.5-3ln2 D.5-5n2 二、填空题 2.(Q4-25高三上安徽六安示范高中，期已知函数fx=x+nx'gx=xnx若fx,=2lnt g=正，则XX的最大值为一 Int 三、解答题 3.24-25高二下安徽蚌埠期末已知函数fx=1-xe, (1)讨论f(x)在区间(0，+∞)上的单调性； ②当m=1时，若存在a<b满足a+ln1-a)=b+n1-b,证明。+分>0. a b 4.(24-25高三上安徽合肥)已知函数fx=号x2+nx-oxla∈R. (1)讨论函数fx的单调性： 2)若函数fx有两个极值点x'为'且x<x,:证明：2xfX+3<0 17/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 324:25商=下安散除州明兆第三中学期末利已知函数fXa+bx-2x-1a,bER。 2 gX=X2-x+1'若函数fx的图象与函数gx的图象的一个公共点p的横坐标为1且两函数图象在点p处 的切线斜率之和为9. (1)求a,b的值： (2)对任意x1,X,∈-1,1不等式fX+k<gx,恒成立，求实数k的取值范围. 6.(24-25高二下·安徽宿州泗县第一中学.期末)已知函数f(x)=lnx-bx+aa,b∈R）. (1)讨论函数f(x)在(1，+∞)上的单调性： @当b=时.f-f=0k%别求>2 7.(24-25高二下·安徽皖东县中联盟期末)已知函数f(x)=ax(x-1)-lnx(a∈R). (1)设g(x)=(x-1)(ax-1)-f(x,求函数gx的极值： (2)当a<0时质数fx)有两个授值点X,K<证明：f化小号 0,1 1 1,+0o 0 9(x) g(x) ☑ 极大值 目地城 18/18