专题05 概率（期末真题汇编，安徽专用）高一数学下学期

**基本信息** 聚焦概率五大高频考点，融合二进制、二十四节气、AI养老等时代情境，精选安徽多地高一期末试题，注重基础与综合应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|随机事件判断、独立事件概率计算等|结合二进制转化、二十四节气等文化科技素材| |多选题|8|互斥与独立事件辨析、样本空间分析|通过骰子抛掷、卡片抽取等情境考查概念辨析| |填空题|3|随机模拟估计概率、频率计算|联系医疗手术成功率、汉字抽取等实际问题| |解答题|10|频率分布直方图、独立事件综合应用|设计AI调查、数学竞赛等复杂情境，融合分层抽样与概率计算|

专题05 概率 5大高频考点概览 考点01 随机事件与概率 考点02 相互独立事件与互斥事件 考点03 独立事件的乘法公式 考点04 独立事件的判断 考点05 频率与概率 地 城 考点01 随机事件与概率 一、单选题 1．(24-25高一·安徽淮北第五中学·期末)掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 2．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·安徽宣城·期末)二进制是以2为基数代表系统的二进制，通常用0和1表示.二进制化为十进制的计算公式如下：.若从二进制数，，，，，中任选一个，则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高一下·安徽宣城·期末)先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“两次正面向上”发生的概率是 C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 三、填空题 6．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)某种心脏手术，成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为___________. 四、解答题 7．(24-25高一下·安徽宣城·期末)为普及消防安全知识，某校开展了“消防知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛学生中随机抽取了100名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“消防达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的平均数和中位数（结果保留小数点后一位）； (2)若在抽取的100名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为消防达人的概率； (3)已知组的方差为9，组的方差为6，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（每个分组区间内平均数取区间中点，结果保留小数点后一位）. 8．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)每年的3月14日为国际数学日，也被称为“日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为p、q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概率为． (1)求p和q的值； (2)求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 9．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)AI正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“AI情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图求实数的值及样本数据的平均数； (2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，分别用，，，，，来表示，再从这6人中随机抽取2人进行电话采访， （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人中至多有1人的年龄在这一组”，求事件发生的概率． 10．(24-25高一下·安徽滁州·期末)某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩（满分100分）中抽取容量为的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5. (1)求频率分布直方图中的，并估计全年级学生竞赛成绩的众数. (2)从样本中成绩在的学生中随机抽取2人，则所抽取的2人成绩恰好在和各1人的概率是多少? (3)已知样本中成绩在的平均数，方差，在的平均数，方差，试估计总体成绩在的方差. 地 城 考点02 相互独立事件与互斥事件 一、解答题 1．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. (1)用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； (2)甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； (3)甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 2．(24-25高一下·安徽淮北第一中学·期末)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求p和q的值； (2)求甲、乙两人共答对3道题的概率． 地 城 考点03 相互独立事件的乘法公式 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽合肥百花中学等四校联考·期末)已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为（   ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 2．(24-25高一下·安徽滁州·期末)某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由各答题一次.已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（   ） A．在第一轮比赛中，都没有答对的概率为 B．在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率 C．在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为 D．在两轮比赛中，至多答对三题的概率为 二、多选题 3．(24-25高一下·安徽六安毛坦厂中学教育集团·期末)已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D．若两两独立，则 4．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件，“点数大于2”记为事件，“点数小于3”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 5．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，，则（    ） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C． D． 6．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)设，，是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是（   ） A．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件，相互独立与，互斥不能同时成立 C．若成立，则事件与相互独立 D．若成立，则事件，，一定两两独立 7．(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若事件A，B互斥，则 B．若事件A，B相互独立，则A，B不互斥 C．若，则事件A，B相互独立 D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为 8．(24-25高一下·安徽六安·期末)已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若B发生时A一定发生，则 B．若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 三、填空题 9．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 四、解答题 10．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立. (1)试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大； (2)求甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率. 11．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． (3)已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为、．已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率． 12．(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 13．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 地 城 考点04 相互独立事件的判断 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)对于随机事件，下列说法错误的是（    ） A．如果事件与事件互为对立事件，那么 B．如果事件与事件满足，那么 C．如果，是一个随机试验中的两个事件，那么 D．对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立 2．(24-25高一下·安徽芜湖·期末)有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件为互斥事件 B． C．事件与事件不是独立事件 D． 3．(24-25高一下·安徽合肥一六八中学·期末)柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（   ） A． B．与相互独立 C． D．A与互斥 二、多选题 4．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．两两独立 D． 5．(24-25高一下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（   ） A． B．与相互独立 C． D．与互斥 6．(24-25高一下·安徽六安第一中学·期末)甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法正确的是（    ） A．事件相互独立 B．事件不互斥 C．事件相互独立 D．事件相互对立 7．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（   ） A．事件与为互斥事件 B．事件与为对立事件 C．事件两两相互独立 D． 三、解答题 8．(24-25高一下·安徽六安舒城县晓天中学·期末)质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. (1)抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； (2)抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 地 城 考点05 频率与概率 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽六安毛坦厂中学教育集团·期末)下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 2．(24-25高一下·安徽淮北第一中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 3．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 二、填空题 4．(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为______. 三、解答题 5．(24-25高一下·安徽六安·期末)近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 (1)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； (2)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； (3)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率 5大高频考点概览 考点01 随机事件与概率 考点02 相互独立事件与互斥事件 考点03 独立事件的乘法公式 考点04 独立事件的判断 考点05 频率与概率 地 城 考点01 随机事件与概率 一、单选题 1．(24-25高一·安徽淮北第五中学·期末)掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【详解】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 2．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 3．(24-25高一下·安徽宣城·期末)二进制是以2为基数代表系统的二进制，通常用0和1表示.二进制化为十进制的计算公式如下：.若从二进制数，，，，，中任选一个，则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将二进制转化为十进制，再利用古典概型概率公式计算概率即可. 【详解】，， ，， ，， 可得二进制数所对应的十进制数大于3的有3个， 所以则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为. 故选：C. 4．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为，列举出所有情况，和至少有一个在八月的情况，从而求出概率. 【详解】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为， 4个节气中任选2个节气，有以下情况，， 共6种情况， 其中这2个节气至少有一个在八月的情况有， 共5种情况，所以这2个节气至少有一个在八月的概率为. 故选：C 二、多选题 5．(24-25高一下·安徽宣城·期末)先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（    ） A．样本空间中一共含有4个样本点 B．事件“两次正面向上”发生的概率是 C．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D．事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【答案】ABD 【分析】根据列举法判断选项A；根据古典概型判断计算判断选项B；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项C、D.. 【详解】对于A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确； 对于B，两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是，故B正确； 对于C：当恰好一次正面向上，一次反面向上时， 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生， 故不是互斥事件，故C错误； 对于D：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 6．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)某种心脏手术，成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为___________. 【答案】0.8/ 【分析】根据题意和数据即可求出“3例心脏手术全部成功”的概率. 【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907， 表示“3例心脏手术全部成功”的有812,832,569,683,271,989,537,925，共8个， 故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为. 故答案为：0.8. 四、解答题 7．(24-25高一下·安徽宣城·期末)为普及消防安全知识，某校开展了“消防知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛学生中随机抽取了100名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“消防达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的平均数和中位数（结果保留小数点后一位）； (2)若在抽取的100名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为消防达人的概率； (3)已知组的方差为9，组的方差为6，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（每个分组区间内平均数取区间中点，结果保留小数点后一位）. 【答案】(1)平均数为，中位数为 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图估算平均数、中位数公式计算得解； （2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解； （3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差. 【详解】（1）平均数为， 由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 在内的频率为，所以中位数在内， ，所以估计参加这次竞赛的学生成绩的中位数为. （2）因为，，， 所以从成绩在内的学生中分别抽取了人，2人，1人， 其中有3人为消防达人，设为，有3人不是消防达人，设为， 则从6人中选择2人作为学生代表， 有， ，共15种，其中2人均为消防达人为，共3种， 所以被选中的2人均为消防达人的概率为. （3）内的频率为，内的频率为， 内的平均数为85，内的平均数为95， 所以内的平均数为， 所以此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为 . 8．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)每年的3月14日为国际数学日，也被称为“日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为p、q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概率为． (1)求p和q的值； (2)求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型和已知条件求出事件“甲，乙各有一轮胜出”、“甲，乙两轮都胜出”的概率，然后求出参数即可. （2）甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的概率等于甲两轮胜出的概率、乙两轮胜出的概率以及甲乙两轮都胜出的概率之和. 【详解】（1）记事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 记事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件 “第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得相互独立， 且， 记事件 “甲，乙各有一轮胜出”，事件 “甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 从而有，解得， （2）记事件 “甲两轮都胜出”，事件 “乙两轮都胜出”， 事件 “甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ， . 9．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)AI正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“AI情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图求实数的值及样本数据的平均数； (2)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，分别用，，，，，来表示，再从这6人中随机抽取2人进行电话采访， （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人中至多有1人的年龄在这一组”，求事件发生的概率． 【答案】(1)，平均数为50 (2)（i）答案见解析；（ii） 【分析】（1）由各个矩形面积之和为1即可列方程求解，根据平均数的计算公式可得平均数； （2）应在组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为，，，，（i）直接两两进行组合即可；（ii）由古典概型概率计算公式以及对立事件概率公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得， 样本数据的平均数为； （2）与两组的频率之比为1：2， 现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为，，，， （i）所有可能的情况为，，，，，，， ，，，，，，，，共15种， （ii）事件发生的概率． 10．(24-25高一下·安徽滁州·期末)某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩（满分100分）中抽取容量为的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5. (1)求频率分布直方图中的，并估计全年级学生竞赛成绩的众数. (2)从样本中成绩在的学生中随机抽取2人，则所抽取的2人成绩恰好在和各1人的概率是多少? (3)已知样本中成绩在的平均数，方差，在的平均数，方差，试估计总体成绩在的方差. 【答案】(1)，众数估计值为75. (2) (3)38. 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并得到众数估计值为75. （2）先求出样本容量为，求出成绩在和内的人数，列举出从这5人中随机抽取两人的情况数和和各1人的情况数，得到概率； （3）计算出成绩落在与的人数比，利用整体方差和样本方差的计算公式计算出答案. 【详解】（1）由，解得， 由图可得全年级学生竞赛成绩的众数估计值为75. （2）由成绩在的频率为，频数为5，得样本容量为， 成绩在内的人数为人，编号为1，2，3， 成绩在内的人数为人，编号为4，5， 从这5人中随机抽取两人的随机试验的样本空间为 ， 设事件“所抽取的2人成绩分别在和”，则 ，，则. （3）由题意知成绩落在与的人数比为， 则这两组成绩的总样本平均数为， 所以样本中这两组成绩的总方差为 ， 所以由样本方差估计总体成绩在的方差为38. 地 城 考点02 相互独立事件与互斥事件 一、解答题 1．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. (1)用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； (2)甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； (3)甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 【答案】(1)列举出第二次排序时所有可能的及相应的值如下： (2) (3) 【来源】安徽省合肥市第六中学2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值如表所示； （2）根据（1）的结果，先计算，设甲参加第一轮测试值记为，第二轮测试值记为，则即可求解； （3）先计算，再计算两轮测试中被授予“特级品酒师”称号的概率，最后计算即可. 【详解】（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值列表如下： （2）由（1）可知，， 设甲参加第一轮测试值记为，第二轮测试值记为， 所以 . （3）由（1）可知，， 则两轮测试中被授予“特级品酒师”称号的概率， 所以. 2．(24-25高一下·安徽淮北第一中学·期末)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求p和q的值； (2)求甲、乙两人共答对3道题的概率． 【答案】(1)， (2) 【来源】安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷 【分析】（1）利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解； （2）先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率，再由甲乙总共答对3道题，等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，利用独立、互斥事件概率公式计算求得. 【详解】（1）设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，． 设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题， 则，． ∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响， ∴A与B相互独立，与互斥， ∴,． 由题意得解得或 ∵，∴，． （2）设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，． 由题意得，，，． 设E：甲、乙两人共答对3道题，则， ∴， ∴甲、乙两人共答对3道题的概率为． 地 城 考点03 相互独立事件的乘法公式 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽合肥百花中学等四校联考·期末)已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为（   ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 【答案】A 【来源】安徽省合肥市百花中学等四校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件A，B，“恰有一人命中”为事件C， 则 . 故选：A． 2．(24-25高一下·安徽滁州·期末)某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由各答题一次.已知每轮比赛中答对的概率为，答对的概率为，且和答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（   ） A．在第一轮比赛中，都没有答对的概率为 B．在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率 C．在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为 D．在两轮比赛中，至多答对三题的概率为 【答案】C 【来源】安徽省滁州市2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】在第一轮比赛中，都没有答对的概率为,故A错误； 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为，故B错误； 在两轮比赛中，恰好答对三题的概率为，故C正确； 在两轮比赛中，答对四题的概率为， 所以在两轮比赛中，至多答对三题的概率为，故D错误； 故选：C. 二、多选题 3．(24-25高一下·安徽六安毛坦厂中学教育集团·期末)已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D．若两两独立，则 【答案】AB 【来源】安徽省六安市毛坦厂中学教育集团2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】根据互斥事件和独立事件的性质，逐项判断即可. 【详解】对于选项A，若事件两两互斥，则根据互斥事件的性质，可得，故A正确； 对于选项B，因为事件相互独立，根据独立事件的性质，可得与也相互独立，故B正确； 对于选项C，若事件相互独立，则；若事件为互斥事件，则，所以若，，则事件相互独立与互斥不能同时成立，故C错误； 对于选项D，假设从、、、中随机选出一个数字，记事件为“取出的数字为或”，事件为“取出的数字为或”，事件为“取出的数字为或”，则，，所以，，，所以事件两两独立，但，故D错误. 故选：AB 4．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件，“点数大于2”记为事件，“点数小于3”记为事件.下列说法正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】BC 【来源】安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】先写出事件，然后根据互斥事件、对立事件的概念以及相互独立概率公式逐项分析即可. 【详解】事件，事件，事件， 对于A，事件有公共元素2，可能同时发生，A选项不正确； 对于B，事件与事件对立对立，B选项正确； 对于C，由， 所以， 所以事件与事件相互独立，故C选项正确； 对于D，由选项C知，则， 故D选项错误. 故选：BC. 5．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，，则（    ） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C． D． 【答案】BCD 【来源】安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试卷 【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A，B选项，由独立事件的乘法公式可验证C，利用对立事件计算和事件的概率可判断D. 【详解】M与N可能同时发生（出现4），所以M与N不是互斥事件，A错. 因为，，，所以，M与N是相互独立事件，B对. 因为，， 所以，C对. 因为，D对， 故选：BCD. 6．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)设，，是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是（   ） A．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件，相互独立与，互斥不能同时成立 C．若成立，则事件与相互独立 D．若成立，则事件，，一定两两独立 【答案】ABC 【来源】安徽省智学联考2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A；结合乘法公式可判断BC；举例判断D. 【详解】对于A：根据互斥事件与对立事件的定义可知A正确； 对于B：当，且时，, 事件，不相互独立，所以事件，相互独立与，互斥不能同时成立，故B正确； 对于C：由相互独立的定义可知，故C正确； 对于D：假设一个正八面体，八个面分别标以数字1到8， 任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字， 得到样本空间为．事件，事件，事件． 显然，事件，显然， 满足， 而此时，而，， 不能推出，相互独立，故D错误； 故选：ABC． 7．(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若事件A，B互斥，则 B．若事件A，B相互独立，则A，B不互斥 C．若，则事件A，B相互独立 D．若事件A，B相互独立，则事件A，B至少有一个发生的概率为 【答案】ABC 【来源】安徽省六安第二中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可判断A；利用独立事件与互斥事件的定义可判断B；利用独立事件的定义计算可判断C；利用对立事件概率的性质计算可判断D. 【详解】对于A，若事件A，B互斥，则，故A正确； 对于B，若事件A，B相互独立，则， 所以事件A，B能同时发生，故A，B不互斥，故B正确； 对于C，由于，所以，而. 因此事件，B相互独立，从而事件A，B相互独立，故C正确； 对于D，“事件A，B至少有一个发生”的对立事件为“事件A，B都不发生”，即“事件”， 又因为事件A，B相互独立， 所以事件A，B至少有一个发生的概率，故D不正确. 故选：ABC. 8．(24-25高一下·安徽六安·期末)已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（   ） A．若B发生时A一定发生，则 B．若A与B互斥，则A和B都不发生的概率为0.5 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】BC 【来源】安徽省六安市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】根据题意，由子事件的性质分析A，由互斥事件的概率性质分析B，由相互独立事件的定义分析C，由概率的性质及独立事件的乘法公式分析D． 【详解】对于A，若B发生时A一定发生，则，则，A错误； 对于B，若A与B互斥，则，而， 故，B正确； 对于C，，则， 则有，故与相互独立，则必有与相互独立，C正确； 对于D，若A与B相互独立，则， D错误． 故选：BC 三、填空题 9．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【答案】 【来源】安徽省合肥市第六中学2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题 【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 四、解答题 10．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为0.8、0.5，乙通过笔试和面试的概率分别为0.6、0.7，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立. (1)试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大； (2)求甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率. 【答案】(1)乙 (2) 【来源】安徽省安庆市江淮协作区2024-2025学年高一下学期7月期末联合监测数学试题 【分析】（1）记甲被公司录取为事件A，乙被公司录取为事件B，利用独立事件的概率乘法公式，分别求得和，比较大小，即可得到结论； （2）由（1）得到和，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】（1）解：记甲被公司录取为事件A，乙被公司录取为事件B， 则，， 因为，故乙被该公司录取的概率更大. （2）解：由（1）可知，，， 故甲、乙两人中仅有1人被该公司录取的概率： . 11．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． (2)按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． (3)已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为、．已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率． 【答案】(1)，77.5分； (2) (3) 【来源】安徽省阜阳市临泉县2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量统测数学试题 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并利用平均数的定义进行计算，估计高一年级初赛的平均成绩； （2）求出和两组的频率之比，进而得到从内抽取了2名学生，设为，内抽取了3名学生，设为，列举法进行求解； （3）分别计算出甲，乙通过决赛的概率，相乘得到答案. 【详解】（1）由题意得，解得， ， 估计高一年级初赛的平均成绩为77.5分； （2）和两组的频率之比为， 故从内抽取了2名学生，设为，内抽取了3名学生，设为， 已抽取的5名学生中随机抽取2名， 分别为， 共有10种情况， 其中至少有1名学生的成绩在内的情况为 ，共有7种情况， 故至少有1名学生的成绩在内的概率为； （3）甲通过决赛的概率为， 乙通过决赛的概率为， 故甲、乙能同时通过决赛的概率为. 12．(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当时，分别求事件A，B的概率； (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】(1)， (2)n的取值为5，6，7 【来源】安徽省六安第二中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题 【分析】（1）先写出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书签的概率，从而得到概率，综合（1），由此得解. 【详解】（1）对于事件A，有放回地依次取出两个球的样本空间，则， 因为，所以， 所以， 对于事件B，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，则，因为， 所以，所以； （2）设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”， 从盒子中随机取出一个球的样本空间为， 则，，，所以. 则，，，互斥，A，B，C相互独立， 所以 . 同理，. 因为，所以，解得. 综合（1）知，，对应的均为，比大，所以满足题意； ，对应的均为，小于，不满足题意. 因此，符合题意的n的取值为5，6，7. 13．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间（单位：时），并按照将样本数据分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数； (2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率． 【答案】(1)答案见解析，中位数为6.4，平均数为6.2. (2)0.51． 【来源】安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据频率之和为1，可求出这一组的频率，进而求出矩形的“高度”，补全频率分布直方图，再根据中位数和平均数的概念，用评率分布直方图估计中位数和平均数. （2）利用对立事件概率的关系，结合独立事件计算公式，可求解. 【详解】（1）第五组的频率为， 所以该组对应的小矩形高度为，故补全频率分布直方图如下： 设样本数据的中位数为，平均数为. 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本中位数为6.4. 故估计样本平均数为6.2. 由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2． （2）由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为. 记事件“抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，“抽取的第2名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，由题意相互独立. 利用频率估计概率，． 记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”， 则 所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51． 地 城 考点04 相互独立事件的判断 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)对于随机事件，下列说法错误的是（    ） A．如果事件与事件互为对立事件，那么 B．如果事件与事件满足，那么 C．如果，是一个随机试验中的两个事件，那么 D．对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立 【答案】C 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由事件与事件互为对立事件，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，当事件不互斥时，，则 ，C错误； 对于D，由，得事件与事件相互独立，D正确. 故选：C 2．(24-25高一下·安徽芜湖·期末)有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件为互斥事件 B． C．事件与事件不是独立事件 D． 【答案】D 【分析】由古典概型判断事件互斥，计算事件概率判断是否独立. 【详解】事件，事件，事件， 因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误； ，所以，又因为，所以 ，B错误； ，所以， 所以，事件与事件是独立事件，C错误； ，所以，所以，D正确； 故选：D. 3．(24-25高一下·安徽合肥一六八中学·期末)柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.则有（   ） A． B．与相互独立 C． D．A与互斥 【答案】C 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记三双不同的鞋为：白1，白2，红1，红2，黑1，黑2， 从中随机取出2只共有： 白1白2，白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1红2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，黑1黑2，共15种情况， 事件包含：白1红1，白1红2，白1黑1，白1黑2，白2红1，白2红2，白2黑1，白2黑2，红1黑1，红1黑2，红2黑1，红2黑2，12个基本事假， 事件包含：白1红1，白1黑1，白2红2，白2黑2，红1黑1，红2黑2，6个基本事件， 事件包含：白1红2，白1黑2，白2红1，白2黑1，红1黑2，红2黑1， 6个基本事件， 事件包含：0个基本事件 显然：，A错误； ，，，，B错误； 对于C：由列举可知，所以，正确； 对于D，由列举可知A与不互斥，故错误. 故选：C 二、多选题 4．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与互斥 C．两两独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意：事件的样本点为：，事件的样本点为，事件的样本点为. 所以的样本点为：，所以，故A正确； 因为的样本点为：，所以的样本点为，又的样本点为，所以事件与互斥，故B正确； 因为的样本点为，所以，，. 因为，所以事件，不相互独立，故C错误； 因为，的样本点为，所以，又，所以，故D正确. 故选：ABD 5．(24-25高一下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（   ） A． B．与相互独立 C． D．与互斥 【答案】ABD 【分析】利用古典概型来求解各事件的概率，再研究交事件概率，即可判断是否是相互独立事件，也可通过是否同时发生来判断是否为互斥事件. 【详解】由题意可得：，故A正确； 因为，满足，所以与相互独立，故B正确； 由于两次点数为奇数，不可能满足两次点数之和为奇数，所以不可能同时发生，故C错误； 因为事件同时发生，表示两次点数之和为偶数，故与两次点数之和为奇数，不可能同时发生，所以与互斥，故D正确. 故选：ABD 6．(24-25高一下·安徽六安第一中学·期末)甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法正确的是（    ） A．事件相互独立 B．事件不互斥 C．事件相互独立 D．事件相互对立 【答案】ABD 【分析】根据互斥与对立事件的概念，独立事件的概率概率公式验证即可. 【详解】，两个单位招志愿者的不同选法种数为， 因为事件所包含的基本事件为（招甲、招丙），（招乙、招甲），（招乙、招丙），共3个， 所以，因为，所以为独立事件， 故A项正确，B项正确； ，两个单位招志愿者的不同选法种数为， 因为事件所包含的基本事件为（招甲、招乙），（招乙、招甲），共2个， 所以，因为，所以不是独立事件，故C项错误； 因为为不可能事件，为必然事件，所以为对立事件，故D项正确. 故选：ABD. 7．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)设样本空间含有等可能样本点，且，则下列说法正确的是（   ） A．事件与为互斥事件 B．事件与为对立事件 C．事件两两相互独立 D． 【答案】BC 【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据对立事件的定义判断B；根据独立事件的定义判断C；选项D需验证三事件同时发生的概率是否等于各自概率的乘积. 【详解】因为，即件与能同时发生，不是互斥事件，A错； 因为且，即事件与不能同时发生且必有一个发生， 事件与为对立事件，B正确； ，， ，故独立； ，，，故独立； ；，故独立, 综上事件两两相互独立，C正确； 选项D：，故,,，选项D错误. 故选：BC. 三、解答题 8．(24-25高一下·安徽六安舒城县晓天中学·期末)质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. (1)抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； (2)抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 【答案】(1) (2)事件A和B不独立，事件A和C独立 【分析】（1）因抛掷骰子得到的点数奇偶各占一半，易得题中概率； （2）依题分别求出事件的概率，以及与的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即可判断. 【详解】（1）抛掷一次骰子，奇偶点数各占一半，故点数是偶数的概率是； （2）依题易得，因“两次点数和为6”包括“”5种情况，故； 又“两次点数和为7”包括“”6种情况，故， 当第一次点数为4，则第二次点数只可能为2时，两次点数才会是6，所以， 而，故事件和B不独立． 第一次点数为4，则第二次点数只可能为3时，两次点数才会是7，所以， 而，故事件和C独立． 地 城 考点05 频率与概率 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽六安毛坦厂中学教育集团·期末)下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 2．(24-25高一下·安徽淮北第一中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 【答案】C 【分析】根据概率的性质判判断A，根据对立事件的概率性质判断B，根据概率加法公式判断C，根据概率的性质判判断D. 【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误； 对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误； 对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确； 对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误. 故选：C. 3．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【分析】根据概率与频率的关系判断. 【详解】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B 二、填空题 4．(24-25高一下·安徽六安第二中学·期末)盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为______. 【答案】 【分析】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为： 三、解答题 5．(24-25高一下·安徽六安·期末)近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量（平均每天送的外卖单数），数据如下表： 31 37 38 32 33 42 24 20 37 26 (1)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率； (2)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差； (3)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大?（直接给出结论即可，不需要写计算过程） 【答案】(1) (2)平均数32，方差43.2 (3)乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由见解析 【分析】（1）计算出频率为，从而估计出概率为； （2）利用平均数和方差的计算公式进行求解即可； （3）计算出两公司的外卖骑手日单量的极差，得到答案. 【详解】（1）10名外卖骑手中有7人的日单量大于30，频率为， 因此估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率为. （2）平均数为. 方差为. （3）乙公司的外卖骑手日单量的差异更大，理由如下： 甲公司的外卖骑手日单量的极差为， 乙公司的外卖骑手日单量的极差为， 由于，故乙公司的外卖骑手日单量的差异更大. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $