专题02 复数（期末真题汇编，安徽专用）高一数学下学期

**基本信息** 安徽多校高一下期末复数专题试题汇编，覆盖复数概念、运算及综合应用三大高频考点，题型多样且注重分层能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|20题|复数虚部、四则运算、几何意义（如象限判断）|基础巩固，结合名校期末真题| |多选题|10题|纯虚数条件、共轭复数性质（如命题真假判断）|辨析逻辑关系，培养推理能力| |填空题|3题|复平面向量、模计算|简洁考查核心技能| |解答题|7题|欧拉公式应用、方程根问题（如含三角参数）|综合融合跨模块知识，体现数学建模|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02复数 ☆3大高频考点概览 考点01复数的概念 考点02复数的四则运算 考点03复数综合题 目目 考点01 复数的概念 一、单选题 1.(24-25高一下.安徽合肥第一中学期末)若复数z满足(1-(z+)=4,其中是虚数单位，则z的虚部为 () A.i B.1 C.2 D.3i 2.(24-25高一下，安徽六安善新高级中学期末)已知复数z=a2-4+(a-2)i是纯虚数，则实数a=() A.0 B.±2 C.2 D.-2 二、多选题 3.(23-24高一下·安徽太和中学)已知复数z=m2-1+(m+1)i(mER),则下列命题正确的是() A.若z为纯虚数，则m=1 B.若z为实数，则z=0 C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=-1 D.z在复平面内对应的点不可能在第三象限 三、填空题 4.(24-25高一下安微六安舒城县晓天中学期末)设复数-V5+2i和复数2+V5在复平面上分别对应的向 量分别是OA和O,则A= 四、解答趣 5.(24-25高一下安徽滁州期末)欧拉公式：eir=cosx十isinx(e是自然对数的底数，i为虚数单位， x∈R),建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式 1/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)根据欧拉公式将em化成复数的代数形式： (2)设函数f(x)=e3x+e2ix+4 sinxcosx,0≤x≤号，求f(x)的值域， 6.(24-25高一下.安徽合肥庐江县期末)已知m为实数，设复数z=(2m2-3m-2+(m2-5m+6i. ()当复数z为纯虚数时，求m的值： (2)设复数z在复平面内对应的点为x,y),若满足x-y+5>0,求m的取值范围. 7.(24-25高一下安徽部分学校)已知复数Z1=2sin6+V3i,z2=1-(2cos)i,6e[0,要] (1)若21=Z2,求角0； (2)复数2122对应的向量分别是豆石，若与的夹角为锐角，求的取值范围 考点02 复数的四则运算 一、单选题 1.(24-25高一下·安微合肥第六中学期末)复数z满足i·z=1+i,则|z=() A.1 B.2 C.2 D.5 2.(24-25高一下安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学期末)复数z=是的虚部是() A.i B.1 c.- D.- 3.(24-25高一下·安微蚌埠期末)若复数z满足z·i=2-i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位 于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(24-25高一下·安徽宿州、示范高中期末)已知复数z=(1+(2+31),其中i为虚数单位，则z的共轭 复数2在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(24-25高一下·安徽安庆江准协作区·期末)己知z=(5-21)i,则在复平面内，复数z所对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.(24-25高一下·安微毫州涡阳县期末)复数z满足i·z=1-i(1是虚数单位)，则z的虚部是() A.i B.-i C.1 D.-1 7.(2425高一下·安微马鞍山期末)已知复数z满足1·z=1-i,则z=（) A.吉 B.1 c.2 D.2 2/5 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2425高一下安徽智学联考期末)已知z-2i=片，则z=（) A.-i B.i C.-3i D.3i 9.(24-25高一下.安徽芜湖期末)为虚数单位，则i+2=() A.0 B.1 c.2 D.2 10.(24-25高一下安徽合肥普通高中六校联盟期末)在复平面内，会对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1.Q425商一下安微大安舒城县晓天中学期为法二-() A.-i B.i C.1+i D.-1+i 12.(24-25高一下.安微天一大联考期末)已知复数z满足(2-)z=1+3i,则z=() A.-青-i B.-青+1 c.-吉-i D.-吉+1 13.(24-25高一下，安微合肥中国科学技术大学附属中学期末)已知复数z1=2+31,22=1+1,则 Z1+22=() A.3+2i B.-1+21 C.-1+41 D.3+41 二、多选题 14.(2425高一下安徽蚌埠期未已知复数2=支+号1ǘ为虚数单位)，则下面结论正确的是(） A.z十z=0 B.z2=2 C.z·z=z2 D.+= 三、填空题 15.(2425高一下安徽宿州、示范高中期末)已知复数z=3-21,其中i为虚数单位，则|= 16.2425高一下安微智学联考期末)若向量A成，AC分别表示复数乙1=1-i,22=8+i,则Bd= 3/5 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 复数综合题 一、多选题 1.(24-25高一下·安徽合肥第六中学，期末)下列说法正确的是() A.对于复数21z2,若|21=|z2,则21=士z2 B.若2122互为共轭复数，则2122为实数 C.若1+i是关于x的二次方程ax2+bx+2=0(ab∈R)的根，则a=1 D.复数z满足z-i=1,则z-1的最小值是2 2.(24-25高一下·安徽马鞍山期末)已知21z2为复数，下列命题为真命题的是() A.若zER,则z1∈R B.若Z1∈R,则Z∈R C.若21=Z,则2122ER D.若z十z3=0,则z1=22=0 3.(24-25高一下·安徽滁州期末)已知复数21,22，则下列命题正确的是() A.z1Z1=z12 B.若|z1z2=Z1+22,则z122=0 C.若z>1,则21>1或21<-1 D.若(21-1)2+(22-2)2=0，则21=1且22=2 4.(24-25高一下·安徽阜阳临泉县期末)已知z为复数，1为虚数单位，则下列结论正确的是() A.若2=京，则z到=写 B.z2=z. C.若|z+1=|z-1,则z为纯虚数 D.若|z=1,则z-2的最小值为1 5.(24-25高一下·安徽天一大联考期末)已知复数Z1=2+i,z2=-1+2i,则（) A.Z2=1:Z1 B.|2=|22 C.复数z122的虚部为-4 D.复数爱在复平面内对应的点位于第三象限 6.(24-25高一下.安徽六安独山中学.期末)已知复数z1=1+2122=-2+1,则() A.|z1|=|z2 B.复数2122在复平面内对应的点位于第三象限 C.21=iz2 D.21的虚部与22的虚部之和为3 4/5 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题 7.(2425高一下安徽合肥百花中学等四校联考期末)已知复数z满足(2+1)z-71=2y3-2i (1)求复数z (2)若复数z是关于x的方程2x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根，求a,b的值 8.(24-25高一下·安微毫州涡阳县期末)设a是实数，复数z1=(a+1)(i-1)(i是虚数单位)的模是2. (1)求a的值： (2)若a<0,且复数22满足z2十22z1=1十1，求z2 9.(24-25高一下.安徽A10联盟调研)设复数z1=2+iZ2=1-ai(a∈R),且爱是纯虚数 (1)求实数a的值； (2)若z2是方程x2+bx十c=0(b,cER)的根，求实数b,c的值 10.(24-25高一下·安徽六安舒城县晓天中学期末)已知复数z=a-4+(a-2)i,(a∈R). (1)若z是纯虚数，求|z-4|: (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围. 5/5 专题02 复数 3大高频考点概览 考点01 复数的概念 考点02 复数的四则运算 考点03 复数综合题 地 城 考点01 复数的概念 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽合肥第一中学·期末)若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（    ） A． B．1 C．2 D．3i 【答案】B 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则的虚部为， 故选：. 2．(24-25高一下·安徽六安善新高级中学·期末)已知复数是纯虚数，则实数（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得：. 故选：D. 二、多选题 3．(23-24高一下·安徽太和中学·)已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】ABD 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A正确； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 4．(24-25高一下·安徽六安舒城县晓天中学·期末)设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 5．(24-25高一下·安徽滁州·期末)欧拉公式：（是自然对数的底数，为虚数单位，），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式. (1)根据欧拉公式将化成复数的代数形式； (2)设函数，，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据欧拉公式，代入求解即可； （2）变形得到，并得到，从而得到的最值，求出值域. 【详解】（1）根据欧拉公式，可得； （2） ， ∵，，. 当，即时，； 当，即时，； 所以的值域为. 6．(24-25高一下·安徽合肥庐江县·期末)已知m为实数，设复数． (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出关于的不等式组，解出即可； （2）先得z在复平面内对应的点的坐标，解不等式即可. 【详解】（1）由题意得， 所以； （2）复数z在复平面内对应的点的坐标为， 因为点的坐标满足，所以． 解得或， 所以m的取值范围为. 7．(24-25高一下·安徽部分学校·)已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数及复数相等的概念列出方程求解即可； （2）由复数得出对应的向量，利用向量夹角公式得出不等式求解，注意检验向量共线时即可得解. 【详解】（1）因为 , 所以， 又， 所以. （2）由题意，， 若与的夹角为锐角， 则， 因为，所以， 所以，即， 当时，，即， 解得，此时与的夹角为， 综上，θ的取值范围 地 城 考点02 复数的四则运算 一、单选题 1．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，根据复数模的计算公式，即得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：B 2．(24-25高一下·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·期末)复数的虚部是（    ） A．i B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据等式先求出复数，然后根据虚部的含义求出虚部即可. 【详解】，虚部为. 故选：D. 3．(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)若复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】解方程求出复数的具体形式，确定实部和虚部的符号，从而确定对应点所在象限. 【详解】已知，则，分子分母同时乘以， 复数对应点，实部为负，虚部为负，所以该点位于第三象限. 故选：C. 4．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)已知复数，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据等式求出复数，进而得到共轭复数，从而可确定其象限. 【详解】因为复数， 所以共轭复数. 所以共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 5．(24-25高一下·安徽安庆江淮协作区·期末)已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，化简复数，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数， 可得在复平面内，复数z所对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 6．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部是（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法、除法公式可求，再根据复数的概念可确定复数的虚部. 【详解】，虚部是. 故选：D. 7．(24-25高一下·安徽马鞍山·期末)已知复数满足，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的模公式求解. 【详解】由题，， 所以. 故选：C. 8．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的除法运算可得. 【详解】因为，所以． 故选：D 9．(24-25高一下·安徽芜湖·期末)为虚数单位，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的模的运算得到答案. 【详解】，所以， 故选：C. 10．(24-25高一下·安徽合肥普通高中六校联盟·期末)在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据复数的运算法则对复数进行化简；再根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以对应的点为， 则该复数对应的点位于第二象限. 故选：B. 11．(24-25高一下·安徽六安舒城县晓天中学·期末)（    ） A．－i B．i C．1+i D．－1+i 【答案】B 【分析】由可将分式化为，再按复数的除法法则进行运算即可. 【详解】. 故选：B 12．(24-25高一下·安徽天一大联考·期末)已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求解. 【详解】依题意，. 故选：D 13．(24-25高一下·安徽合肥中国科学技术大学附属中学·期末)已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 二、多选题 14．(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)已知复数（i为虚数单位），则下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据共轭复数，复数模的公式，复数运算逐一计算判断. 【详解】对于A，由，则，所以，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，由，则，， 所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 15．(24-25高一下·安徽宿州、示范高中·期末)已知复数，其中i为虚数单位，则_______. 【答案】1 【分析】先根据复数的除法化简，再根据模的概念求解. 【详解】因为 . 所以 故答案为：1 16．(24-25高一下·安徽智学联考·期末)若向量，分别表示复数，，则_____． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义结合向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】因为，又向量，分别表示复数，， 所以表示复数， 所以． 故答案为：． 地 城 考点03 复数综合题 一、多选题 1．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)下列说法正确的是（    ） A．对于复数，若，则 B．若互为共轭复数，则为实数 C．若是关于的二次方程的根，则 D．复数满足，则的最小值是 【答案】BC 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由共轭复数概念可判断选项正误；对于C，将代入方程结合复数相等定义可判断选项正误；对于D，设，由题可得，然后由三角变换可得最小值. 【详解】对于A，取，，可得，，故A错误； 对于B，因互为共轭复数，设，则，从而为实数，故B正确； 对于C，将代入方程可得，则，故C正确； 对于D，设，则，令，. 则 ，当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：BC 2．(24-25高一下·安徽马鞍山·期末)已知为复数，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对AD，举反例说明；对B，由共轭复数的定义可判断；对C，根据共轭复数的定义结合复数的乘法运算可判断. 【详解】对于A，，此时，故A错误； 对于B，若，由共轭复数的定义可得，故B正确； 对于C，设，由，则， 所以，故C正确； 对于D，如，，满足，但，故D错误. 故选：BC. 3．(24-25高一下·安徽滁州·期末)已知复数，，则下列命题正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则或 D．若，则且 【答案】AC 【分析】利用复数的运算可判断AB，利用复数中的实数才有大小比较可判断C，利用举反例可判断D. 【详解】设，则，故A正确； 设， 则 ， 而，所以得不到，故B错误； 设，由于，可得， 根据虚数不能比较大小，所以为实数，则由上式可得， 所以或，又因为，所以或,故C正确； 不妨令且也满足，所以且是不一定成立，故D错误； 故选：AC. 4．(24-25高一下·安徽阜阳临泉县·期末)已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】选项A，根据复数除法运算，求得，再根据模长运算即可求解；选项B，令，分别计算和，即可判断；选项C，设，由得，可解得，但要注意的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断. 【详解】对于A，根据复数除法，， 则，所以A正确； 对于B，令，则， 所以，，所以，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，， 因为，即，解得，， 所以当，，不是纯虚数，故C错误； 对于D，当，复数对应的点在单位圆上，即， 表示复数对应的点到点的距离，最小值为圆心到点的距离减去半径，即最小值为，故D正确. 故选：ABD. 5．(24-25高一下·安徽天一大联考·期末)已知复数，则（    ） A． B． C．复数的虚部为-4 D．复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】AB 【分析】根据给定条件，利用复数乘法、除法运算，结合复数模及几何意义逐项求解判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，其虚部为3，C错误； 对于D，，复数在复平面内对应的点在虚轴上，D错误. 故选：AB 6．(24-25高一下·安徽六安独山中学·期末)已知复数，则（   ） A． B．复数在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．的虚部与的虚部之和为3 【答案】ABD 【分析】计算即可判断A，计算即可判断B，计算即可判断C，根据题意得的虚部与的虚部即可判断D. 【详解】由题意得，，，所以，故A正确； 因为，其对应点位于第三象限，故B正确； 因为，故C错误； 的虚部为2，的虚部为1，虚部和为3，故D正确； 故选：ABD. 二、解答题 7．(24-25高一下·安徽合肥百花中学等四校联考·期末)已知复数满足 (1)求复数 (2)若复数是关于的方程的一个根，求，的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算即可； （2）把代入方程化简，再利用复数相等条件列方程组求实数，的值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得. 8．(24-25高一下·安徽亳州涡阳县·期末)设a是实数，复数（i是虚数单位）的模是2. (1)求a的值； (2)若，且复数满足，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算直接化简复数，由模长运算可求得a的值； （2）因，由（1）得到复数，设，将复数代入等式化简，根据复数相等得到方程组求得，求解即得. 【详解】（1）因为，的模是2， 所以，解得. （2）因为， 由（1）得，所以. 设，，则. 代入得，， 即， 因此，解得. 故. 9．(24-25高一下·安徽A10联盟·调研)设复数，且是纯虚数. (1)求实数a的值； (2)若是方程的根，求实数b，c的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的除法运算化简，再结合纯虚数的定义即可求出； （2）将代入方程中，利用复数相等的概念即可求出. 【详解】（1）因为，         因为是纯虚数，所以解得. （2）由（1）知，， 因是方程的根，则， 即， 则，得. 10．(24-25高一下·安徽六安舒城县晓天中学·期末)已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出，再利用复数的模长公式计算即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得， 则，所以，故． （2）由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $