2026年江苏省南京市鼓楼区中考数学三模卷

**基本信息** 2026年南京鼓楼区中考数学三模卷，以核心素养为导向，覆盖代数、几何、统计三大模块，通过基础题（如科学记数法）、综合题（如抛物线与几何综合）、创新题（如矩形折叠探究）的梯度设计，适配中考三模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|平方根、无理数、负指数幂|注重概念辨析，如第5题结合等边三角形与弧长计算，体现几何直观| |填空题|10/20|分式意义、因式分解、韦达定理|融入现实情境，如第8题“预防流感”数据用科学记数法，培养数据意识| |解答题|11/88|方程求解、几何证明、函数综合|突出综合应用，如26题抛物线与角度关系探究，27题矩形折叠与圆结合，发展推理能力与创新意识|

2026年江苏省南京市鼓楼区中考数学三模卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1．16的平方根是（　　） A．±4 B．4 C． D．﹣4 2．，，0，，，，，3.1415926，，中，无理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．计算3﹣1的值是（　　） A．0 B．1 C．3 D． 4．某礼品包装盒为体积900cm3的正方体，若这个正方体棱长为xcm，则x的范围为（　　） A．7＜x＜8 B．8＜x＜9 C．9＜x＜10 D．10＜x＜11 5．如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（　　） A．π B．2π C．4π D．6π 6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．若∠A+∠B＝90°，AD＝2，BC＝3，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若分式有意义，则x的取值范围是　 　 ． 8．为了预防流感，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约75000万个，将数据75000用科学记数法表示是　 　 ． 9．计算：　 　 ． 10．若多项式x2﹣2x+2k因式分解后结果是（x+2）（x+k），则k的值是 　 　 ． 11．若α、β是方程x2+3x﹣2023＝0的两个实数根，则α2+4α+β的值为 　 　 ． 12．小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则　 　 （填“＞”“＜”或“＝”号）． 13．如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y（x＜0）的图象有一个交点A，直线BC∥OA，交反比例函数的图象于点B，交y轴于点C，若BC＝2OA，则直线BC的解析式为 　 　 ． 14．已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　 　 边形． 15．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．若AB＝4，BC＝6，且AH＜DH，则AH的长为 　 　 ． 16．已知二次函数y1＝a1x2+b1x+c1，y2＝a2x2+b2x+c2的部分对应值如表： x … m﹣1 m m+1 m+2 … y1 … n+2 n n+2 p … y2 … n+4 n n+4 q … 对于下列说法：①a2＝2a1；②b2＝2b1；③c2＝2c1；④q﹣p＝8．其中所有正确结论的序号是　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（1）解方程：3（x﹣1）＝x（1﹣x）； （2）化简：； （3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示． 18．已知关于x，y的二元一次方程（a+1）x+（3a﹣2）y+5﹣2a＝0，每取一个a的值，就得到一个方程． （1）若a＝1，判断是不是该方程的解； （2）是否存在方程的一组解使得这个方程的解与a的取值无关，若存在，请求出这组解；若不存在，请说明理由． 19．如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE． （1）求证：△BCD为等腰三角形． （2）求∠EDC的度数． 20．在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张． （1）从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率； （2）第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率． 21．为了解某校九年级学生一周体育锻炼时长的情况，随机抽取了名男生和名女生，获得了他们某一周体育锻炼时长单位：的数据，并对数据进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息： 抽取的名男生这一周体育锻炼时长的频数分布直方图如图数据分成组：，，，，； 抽取的名男生这一周体育锻炼时长在这一组的是：，，，，； 男生、女生这一周体育锻炼时长的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 男生 女生 根据以上信息，解答下列问题： 表中的值为______； 若该校九年级共有名男生，估计该校一周体育锻炼时长不低于的男生人数； 抽取的名男生中，这一周体育锻炼时长超过男生平均数的人数为，抽取的名女生中，这一周体育锻炼时长超过女生平均数的人数为，比较、的大小，并说明理由． 22．已知不等式组 （1）分别求出当k，k＝3，k＝﹣2时不等式组的解集； （2）由（1）可知不等式组的解集随k值的变化而变化，当k为任意实数时，写出不等式组的解集． 23．如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔AB和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面BO上的G点，构造模型如图2．通过测量得到BC＝8米，DG＝3米，并测得光线与水平面夹角为37°． （1）求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度； （2）求出高压线塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 24．如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE． （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S． 25．如图，已知劣弧和其所在圆的圆心O，若要等分，请按以下要求作图： （1）利用直尺和圆规完成作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法作图． 26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图1，连接AC，点D在抛物线上，连接AD，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标； （3）如图2，点P在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点（0，﹣4），与抛物线交于M，N两点，连接AP交MN于点E，Q为MN的中点，连接AQ，设点P的横坐标为m，若△AEQ的面积为2，求m的值． 27．综合与实践 【情境】现有矩形纸片ABCD，AB＝4，，要在该纸片上找一点P，使得∠APB＝45°．根据圆的相关性质可知，纸片上有无数个点满足要求，点P应在以AB为弦的圆弧上，试作出此圆弧． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的思路如下： ①作∠DAB的平分线AO； ②作∠CBA的平分线BO，交AO于点O； ③以点O为圆心，OA或OB长为半径画圆，交AD于点M，交BC于点N； ④劣弧即为所求． 如图2，淇淇的思路如下： ①作线段AB的垂直平分线，与AB交于点E，与CD交于点F； ②以点E为圆心，AE长为半径画弧，交EF于点O； ③以点O为圆心，OA或OB长为半径画圆，交AD于点M，交BC于点N； ④劣弧即为所求． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）图1中，∠AOB＝　 　 °，并求⊙O的半径； （2）根据淇淇的作图过程，请说明图2中的∠APB＝45°； 【拓展】结合以上活动经验，进一步解决下面的问题． （3）在纸片ABCD中找一点Q，且∠AQB＝30°，设满足要求的点Q在劣弧上，在图3中，用尺规作图作出劣弧（不写作法，保留作图痕迹）； （4）在（3）的基础上，连接DQ，直接写出DQ长的最小值． 参考答案 一．选择题（共6小题） 1．【解答】解：∵（±4）2＝16， ∴16的平方根是±4． 故选：A． 2．【解答】解：，是分数，0，是整数，，3.1415926是有限小数，是无限循环小数，它们不是无理数， ，，是无限不循环小数，它们是无理数，共3个． 故选：B． 3．【解答】解：3﹣1． 故选：D． 4．【解答】解：依题意，得x3＝900， x， ∵， ∴9＜x＜10， 故选：C． 5．【解答】解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和3＝2π． 故选：B． 6．【解答】解：连接AC，取AC的中点G，连接FG，EG， ∵E，F分别是AB，CD的中点，AD＝2，BC＝3， ∴FG是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线， ∴FG∥AD，EG∥BC，FGAD＝1，GEBC， ∴∠FGC＝∠DAC，∠AEG＝∠B， ∵∠CGE＝∠GAE+∠AEG， ∴∠FGC+∠CGE＝∠DAC+∠GAE+∠AEG， ∴∠FGE＝∠BAD+∠B＝90°， ∴EF． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 7．【解答】解：由题可知， x﹣1≠0， 解得x≠1． 故答案为：x≠1． 8．【解答】解：75000＝7.5×104． 故答案为：7.5×104． 9．【解答】解：原式． 故答案为． 10．【解答】解：∵x2﹣2x+2k因式分解后结果是（x+2）（x+k）， ∴x2﹣2x+2k＝（x+2）（x+k）， 即x2﹣2x+2k＝x2+kx+2x+2k， ∴﹣2＝k+2， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 11．【解答】解：∵α、β是方程x2+3x﹣2023＝0的两个实数根， ∴α2+3α﹣2023＝0，α+β＝﹣3， ∴α2+3α＝2023， ∴α2+4α+β ＝α2+3α+α+β ＝2023﹣3 ＝2020． 故答案为：2020． 12．【解答】解：前5次射击的平均数为9.2， ∴0.56； 10次射击的平均数为：9.2， ∴[4×（10﹣9.2）2+4×（9﹣9.2）2+2×（8﹣9.2）2]＝0.56， 故， 故答案为：＝． 13．【解答】解：∵直线y＝﹣2x与反比例函数y（x＜0）的图象交于点A， ﹣2x， 解得：x＝±2， ∴A的横坐标为﹣2， 如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BD⊥x轴于F，过点C作CD⊥BD于D，则∠AEO＝∠D＝90°， ∵OA∥BC， ∴∠AOE＝∠BCD， ∴△AEO∽△BDC， ∴， ∵BC＝2OA， ∴CD＝OF＝2OE， ∴B的横坐标为﹣4， 把x＝﹣4代入y得，y＝2， ∴B（﹣4，2）， ∵直线BC∥OA， 即将直线y＝﹣2x沿y轴向下平移m个单位长度，得到直线y＝﹣2x+m， ∴把B（﹣4，2）代入得：2＝8+m， 解得：m＝﹣6， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x﹣6． 故答案为：y＝﹣2x﹣6． 14．【解答】解：设这个多边形的边数为n， 由题意，得（n﹣2）×180°＝360°×2， 解得：n＝6，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 15．【解答】解：作HP⊥BC于点P，则∠FPH＝∠BPH＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AD∥BC， ∴四边形ABPH是矩形， ∴PH＝AB＝4，AH＝BP， 由折叠得∠EHJ＝∠EHA∠AHF，∠GHK＝∠GHD∠DHF， ∴∠EHG＝∠EHJ+∠GHK（∠AHF+∠DHF）180°＝90°， 同理∠FEH＝∠GFE＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， ∴EH＝GF， ∵∠EHJ＝∠EHA∠AHF，∠GFK＝∠GFC∠CFH，且∠AHF＝∠CFH， ∴∠EHA＝∠GFC， 在△EHA和△GFC中， ， ∴△EHA≌△GFC（AAS）， ∴AH＝CF， ∴BP＝CF， ∵JH＝AH＝CF，JF＝BF， ∴FH＝JH+JF＝CF+BF＝BC＝6， ∴PF2， ∴BP+CF＝2AH＝6﹣2， ∴AH＝3， 故答案为：3． 16．【解答】解：由题意，根据表格数据可得，二次函数y1＝a1x2+b1x+c1的对称轴是直线xm，y2＝a2x2+b2x+c2的对称轴是直线xm， ∴其顶点式分别为y1＝a1（x﹣m）2+n，y2＝a2（x﹣m）2+n． 又∵当x＝m+1时，y1＝n+2，y2＝n+4， ∴a1（m+1﹣m）2+n＝n+2，a2（m+1﹣m）2+n＝n+4． ∴a1＝2，a2＝4． ∴a2＝2a1，故①正确． 又∵二次函数y1的对称轴为直线xm，二次函数y1的对称轴为直线xm， ∴b1＝﹣2a1m，b2＝﹣2a2m． 又∵a1＝2，a2＝4， ∴b1＝﹣4m，b2＝﹣8m． ∴b2＝2b1，故②正确． ∵y1＝a1（x﹣m）2+n，y2＝a2（x﹣m）2+n， ∴当x＝0时，则c1＝2（0﹣m）2+n＝2m2+n，c2＝4m2+n． ∴2c1﹣c2＝n． ∵n不一定为0， ∴2c1＝c2不一定成立，故③错误． ∵当x＝m+2时，y1＝p，y2＝q， ∴2（m+2﹣m）2+n＝p，4（m+2﹣m）2+n＝q． ∴p＝n+8，q＝n+16． ∴q﹣p＝8，故④正确． 故答案为：①②④． 三．解答题（共11小题） 17．【解答】解：（1）3（x﹣1）＝﹣x（x﹣1） 3（x﹣1）+x（x﹣1）＝0 （x﹣1）（x+3）＝0 x1＝1，x2＝﹣3． （2） ． （3）解不等式3x+1≤2，得x 解不等式，得x＜﹣1， 将解集表示在数轴上如下： 故不等式组的解集为x＜﹣1． 18．【解答】解：（1）根据题意可知，把a＝1代入原方程得， 2x+y+3＝0， 将x＝4，y＝﹣2代入方程2x+y+3＝0得，2×4+（﹣2）+3＝9≠0， ∴不是方程的解； （2）将原方程（a+1）x+（3a﹣2）y+5﹣2a＝0按含a的项整理：a（x+3y﹣2）+（x﹣2y+5）＝0， 若解与a取值无关，即不论a取何值等式恒成立， 因此需要同时满足：， 解方程得，因此存在这组固定解． 19．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴DB＝DC， ∴△BCD为等腰三角形； （2）解：∵∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴∠BDC＝180°﹣35°﹣35°＝110°， ∵DB＝DC，E为BC的中点， ∴． 20．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到蓝色卡片的结果有1种， ∴从中任意抽取一张卡片，抽到蓝色卡片的概率为． （2）列表如下： 红 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，黄） 共有12种等可能的结果，其中两次抽到的都是红色卡片的结果有2种， ∴两次抽到的都是红色卡片的概率为． 21． 【解答】解：第个数据是， 中位数， 故答案为：； 人， 答：估计该校一周体育锻炼时长不低于的男生人数有人； ． 理由：男生这一周体育锻炼时长平均数是，中位数是，， 则， 女生这一周体育锻炼时长平均数是，中位数是， 说明有超过一半的女生体育锻炼时长低于平均数， 即， 所以． 22．【解答】解：（1）当k时，原不等式组可化为 ，故不等式组的解集是﹣1＜x； 当k＝3时，原不等式组可化为，故不等式组无解； 当k＝﹣2时，原不等式组可化为 ，故不等式组的解集是﹣1＜x＜1． 故答案为：﹣1＜x、无解、﹣1＜x＜1． （2）若k为任意实数，不等式组的解集分以下三种情况： 当1﹣k≤﹣1即k≥2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为无解； 当1﹣k≥1即k≤0时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1； 当﹣1＜1﹣k＜1即0＜k＜2时，原不等式组可化为，故原不等式组的解集为﹣1＜x＜1﹣k． 23．【解答】解：（1）连接OF， 设半圆O的半径OF＝OE＝OC＝OD＝r， ∵FG是半圆O的切线， ∴OF⊥FG， 在Rt△OFG中，∠OGF＝37°，OF＝r，OG＝r+3 ∴OF＝OG•sin37°，即r＝sin37°（r+3）， 解得r≈4.5． 故半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度即为半径的长度为4.5m． （2）连接OE，过点E作EH⊥AB于点H． 由题意可得：OE⊥CD， ∵∠ABO＝90°，∠BHE＝90°（EH⊥AB），∠EOB＝90°， ∴四边形BHEO是矩形． ∴BH＝EO，EH＝OB＝BC+CO． 在Rt△AEH中，∠AEH＝37°． ∴AH＝EH•tan37°＝（BC+CO）tan37°≈（8+4.5）×0.75＝9.375（米）． ∴AB＝AH+BH≈9.375+4.5＝13.875≈13.9（米）． 答：高压线塔AB的高度约为13.9米． 24．【解答】解：（1）结论：四边形ABDF是菱形． ∵CD＝DB，CE＝EA， ∴DE∥AB，AB＝2DE， 由旋转的性质可知，DE＝EF， ∴AB＝DF，AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵BC＝2AB，BD＝DC， ∴BA＝BD， ∴平行四边形ABDF是菱形． （2）连接BF，AD交于点O． ∵四边形ABDF是菱形， ∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，设OA＝x，OB＝y， 则有， ∴x+y＝4， ∴x2+2xy+y2＝16， ∴2xy＝7， ∴S菱形ABDFBF×AD＝2xy＝7． 25．【解答】解：（1）如图，OM即为所求； （2）如图，即为所求． 26．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0得， x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； （2）如图， 作DE⊥x轴于E， 设D（m，m2﹣2m﹣3）， ∴AE＝m+1，DE＝|m2﹣2m﹣3|， ∵∠DAB＝∠ACO， ∴tan∠DAB＝tan∠AOC， ∴， ∴， 即， ∴m或m， 当m时，y， ∴D（）， 当m时，y， ∴D（）， 综上所述：D（）或（）； （3）∵P（m，m2﹣2m﹣3）， ∴设直线l的解析式为：y＝k（x﹣m）+（m2﹣2m﹣3）， 由x2﹣2x﹣3＝k（x﹣m）+（m2﹣2m﹣3）得， x2﹣（k+2）x+km﹣m2+2m＝0 ∵直线l与抛物线有唯一公共点P， ∴x1＝x2＝m， ∵x1+x2＝k+2 ∴2m＝k+2， ∴k＝2m﹣2， ∴直线MN的解析式为：y＝（2m﹣2）x﹣4． 由x2﹣x﹣3＝（2m﹣2）x﹣4得， x2﹣2mx+1＝0， ∴xM+xN＝2m， ∴yM+yN＝（2m﹣2）•（xM+xN）﹣8＝4m2﹣4m﹣8， ∴Q（m，2m2﹣2m﹣4）， ∴PQ∥y轴，PQ＝m2﹣1， ∴S△AEQ＝S△APQ﹣S△PQE， 由A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3）得直线AP的解析式为：y＝（m﹣3）（x+1）， 由得， ， ∴E（1，2m﹣6）， ∴， ∴m或m（舍去）， ∴m． 27．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝∠CBA＝90°， ∵AO，BO分别为∠DAB，∠CBA的平分线， ∴∠OABDAB＝45°，∠OBACBA＝45°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝90°． ∴△OAB为等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴OA＝OBAB＝2． ∴⊙O的半径为2． 故答案为：90； （2）连接OA，OB，如图， ∵EF为AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵以点E为圆心，AE长为半径画弧，交EF于点O， ∴AB为⊙E的直径， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOB为⊙O的圆心角，∠APB为⊙O的圆周角， ∴∠APBAOB＝45°； （3）1．分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点O， 2．以点O为圆心，AB的长为半径画圆，交AD于点M，交BC于点N， 则劣弧即为所求．如图， （4）连接DO，交⊙O于点Q，如图， 则此时DQ的长取得最小值， 过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F， 则AE＝BEAB＝2， 由作法可知：⊙O的半径为4，△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝∠OAB＝60°，OA＝AB＝OB＝4， ∴OE2． ∵∠DAB＝90°，OE⊥AB，OF⊥AD， ∴四边形OFAE为矩形， ∴AF＝OE＝2，OF＝AE＝2， ∴DF＝AD﹣AF＝3， ∴OD， ∴DQ＝OD﹣OQ4． ∴DQ长的最小值为4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $