2026年甘肃陇南市西和县晒经乡九年制学校第三 次学学情自测 数学试题

机密★启用前 普通高中招生考试大卷（仿真试卷） 数学（三） 时间：120分钟 满分：120分 题号 三 四 总分 得 分 得分 评分人 、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给 出的四个选项中只有一项符合题目要求) 1.下列各数是无理数的是 知 A.V27 B.V-8 C.3.1415926 D. 22 2.如图是物理学中经常使用的U形磁铁示意图，其左视图是 如 正面 第2题图 A B 3.下列运算正确的是 A.a.aa5 B.(ab)2=ab2 C.(c)2=a D.a÷a3=a4 4.若关于x的一元二次方程2x2_4x+k=0没有实数根，则飞的取值范围为 A.k>4 B.k>2 C.k≥4 D.k<2 5.在平面直角坐标系x0y中，点P(1,2)在反比例函数y=(k是常数，k≠0)的图象 上.下列各点中，在该反比例函数的图象上的点是 ( A.(-2,0) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(1,-2) 6.如图，若射线OA的方向是北偏东40°，∠A0B=90°，则射线OB的方向是 有)电 A.南偏东50° B.南偏东40° C.东偏南50° D.南偏西50° 数学试卷（三）第1页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App D 东 0 第6题图 第7题图 7.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是BC的中点，连接AC,CD,DB,若 ∠BAC=80°，则∠ACD的度数是 () A.100° B.110° C.120° D.130° 8.已知一组数据：33,42,42,4●，51,68，第四个两位数的个位数字被墨水涂污，关于 这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是 () A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数 9.如图甲是一款桌面可调整的学习桌，图乙是其示意图.桌面宽度AB为60cm,桌面 平放时高度DE为70cm,若书写时桌面适宜倾斜角∠ABC的度数为，则桌沿处 (点A)到地面的高度h为 A.(60sing+70)cm B.(60cosa+70)cm C.(60tana+70)cm D.130 cm y个 。: 8 。。。。 、 。。 。 甲 。 图1 图2 第9题图 第10题图 10.如图，正△ABC的边长为1，点P从点B出发，沿B→C→A方向运动，PH⊥AB 于点H.下面是△PHB的面积随着点P的运动形成的函数图象（拐点左右两段都 是抛物线的一部分)，以下判断正确的是 () A.函数图象的横轴表示PB的长 B.当点P为BC中点时，点H为线段AB的三等分点 C.两段抛物线的形状不同 D.图象上点的横坐标为子时，纵坐标为3 32 数学试卷（三）第2页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 得分 评分人 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.分解因式：3x212= 12.已知正比例函数y=(a-2)x的图象经过第一、三象限，那么a的取值范围是 13.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长 短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳 子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，则木头还剩余1 尺，那么木头长 尺 14.如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC,将AC沿直线AC翻折，翻 折后的圆弧恰好经过点O.若AB=4cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，点E为AB的中点，点D在CA的延长线上，且DC=3AC,连接 BD,CE,延长CE交BD于点F,若∠D=∠ABC,DF=7V3,则AB的长为 16.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等 原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷…癸 烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲 烷的化学式为CH4,乙烷的化学式为CH6,丙烷的化学式为CHg…其分子结构 模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 @ @@ @@( @ @ @ @-O-@⑧⊙-@-@@©-⊙-（⊙@…@-（⊙-(@… @-(@-@ ⑧ @ @ @ @ 甲烷 乙烷 丙烷 第16题图 得分 评分人 三、解答题（本大题共6个小题，共32分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)】 n.(4分)计算：(V4分+分 6x>3(x-1) 18.(4分)解不等式组： +2≤+5，并求出所有整数解的和 2 3 数学试卷（三）第3页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 194分)先化简，再求值：是品2其中V万-2 20.(6分)如图，已知∠PAQ的两边与以AB为直径的圆交于B,C两点. (1)在射线CP上求作点M,使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相 等；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） P (2)在(1)的条件下，若anMA=子，CM=12,求BM的长. C 0 B Q 第20题图 21.(6分)在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有 数字1,2,3,4，甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小 球，若两球上的数字之和为奇数，侧甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这 个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由. 22.（8分)小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图甲，测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的 仰角为32°； 方案二：如图乙，测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达 点E,眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A. 数学试卷（三）第4页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 已知小明身高1.6米，请分别用方案一、方案二求出树AB的高度.（结果保留整数， tan32°=0.64) 132 甲 第22题图 得分 评分人 四、解答题（本大题共5个小题，共40分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 23.(7分)为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，某中学在八年级和九年级开展 了 “传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分为 四组：A.90≤x≤100，B.80≤x<90,C.70≤x<80,D.x<70),得到如下不完全的 信息： 八年级所抽取学生竞赛成绩条形图 人数 8 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 2 九年级 86.6 88.5 n A BCD等级 八年级抽取的竞赛成绩在B组中的数据为：89,88,86,86,86,86 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99,98,96,96,94,92,92,90,90,89,88， 88,88,82,81,77,77,76,73,66. 请根据以上信息完成下列问题： (1)填空：m= ,n= 并补全八年级的成绩条形统计图； (2)根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更 优秀？请说明理由；（写出一条理由即可） 数学试卷（三）第5页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (3)规定在90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学 生共有1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀 等级的共有多少人？ 24.(7分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A,B,与反比 例函数y=左(x>0)的图象交于点C.已知点A的坐标为(-2,0)，点C的坐标为 (1,6),点D在反比例函数y=(x>0)的图象上，纵坐标为2 (1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； (2)连接BD,OD,请直接写出四边形ABD0的面积. 第24题图 25.(8分)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙0上，∠EAC=∠CAB,直线CD⊥AE于点 D,交AB的延长线于点F, (1)求证：直线CD为⊙0的切线； (2)当an2,CD=4时，求Br的长. 第25题图 数学试卷（三）第6页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 26.(8分)如图，∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A. p -P B 0 备用图 第26题图 【操作判断】(1)如图甲，过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图甲中画出PC,图 中∠APC的度数为 度； 【问题探究】(2)如图乙，点M在线段AO上，连接PM,过点P作PN⊥PM交射线 OB于点N,求证：OM+ON=2PA; 【拓展延伸】](3)点M在射线AO上，连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点 N,射线MM与射线P0相交于点，若ON=30M,求器的值， 数学试卷（三）第7页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 27.(10分)如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(-3,0),C(1,0),点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D, 再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E. 备用图 第27题图 (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大，求出P点坐标； (3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在， 说明理由. 数学试卷（三）第8页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP数学(三) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分；每小题给出的四个选项 中只有一项符合题目要求) 1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.C 9.A 10.D 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.3(x+2)(x-2)12.a>2 13.6.5 $$1 4 . \frac { 2 } { 3 } \pi 1 5 . \frac { 2 8 } { 3 }$$ $$1 6 . C _ { 1 2 } H _ { 2 6 }$$ 三、解答题(本大题共6个小题，共3 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(4分)解： $$\left( \sqrt 2 \right) ^ { 2 } + \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 0 } + \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { - 1 } = 2 + 1 + 2 = 5 .$$ .....................4. (6x>3(x-1)① 18.(4分)解： $$\frac { x + 2 } { 2 } \le \frac { x + 5 } { 3 } \textcircled 2$$ 解 ① 得x>-1， 解 ② x≤4，∴-1<x≤4， ...................... 2分 ∴ .整数解有 ：0，1，2，3，4， ∴ ∴ 所有整数解的和是 0+1+2+3+4=10. ......................................4分 19.(4分)解：原式 $$= \frac { 4 } { \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) } \cdot \frac { x - 2 } { 2 } - \frac { 1 } { x + 2 } = \frac { 2 } { x + 2 } - \frac { 1 } { x + 2 } = \frac { 1 } { x + 2 } .$$ ...3分 $$x = \sqrt 2 - 2$$ 时，原 $$若 = \frac { 1 } { \sqrt 2 - 2 + 2 } = \frac { \sqrt 2 } { 2 } ， \cdots$$ ....................... 4. 20.(6分)解：(1)如图，作 ∠CBQ 的平分线交AP于M，点M即为所求作；3分 (2)由(1)可 和M=CM=12， $$\because \tan A = \frac { M H } { A H } ， \therefore \frac { M H } { A H } = \frac { 3 } { 4 } ，$$ $$且 \frac { 1 2 } { A H } = \frac { 3 } { 4 } ，$$ ，解得 ，AH=16， P 由勾股定理得， $$， A M = \sqrt { A H ^ { 2 } + M H ^ { 2 } } = 2 0 ，$$ M ∵M AB=MB，MH=MC=MC. C ∴Rt△MBH≅△MBC(HL)，∴BH=BC， 设 BH=BC=a， A B H Q $$\because S _ { \triangle A B F } = S _ { \triangle M B + } S _ { \triangle M a P } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 0 a + \frac { 1 } { 2 } \times 1 2 a = 1 6 a ， S _ { \triangle A B E } = \frac { 1 } { 2 } \times 1 6 \times 1 2 ，$$ 第20题图 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 16a=×16x12,解得，a-6. 由勾股定理得，BM=VBH+M严=6V5, ,OC为⊙0的半径，.直线CD为⊙0的切线. …4分 (2)设0C=10=0B=x. .BM的长为6VS …6分 5分 21.(6分)解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下，画出树状图如下： LCF-90,nF-CF-20c-2 开始 ..OF=VOC+CF=V5 甲 AD∥OC,. CF OF CD-0=V5 6分 56457567 …4分 ,CD=4, ∴CF=V5CD=4V5,.=2V5,0F=10. 由树状图可知，一共有12种等可能性，其中两数字之和为奇数的有8种，两数 ,BF=0F-0B,.BF-=10-2V5 8分 字之和为偶数的有4种， 26.(8分)解：(1)如图甲：90；… 2分 甲胜的概率为是=号，乙胜的概率为受=号 (2)证明：如图甲，过P作PC⊥OB于C,由(1)知：四边形OAPC是矩形 123 点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA,PC⊥OB,.PA=PC, 子>号，即甲胜的概率大于乙胜的概率， 329 :.矩形OAPC是正方形， ∴.OA=AP-PC=0C,∠APC=90 游戏规则对甲乙双方不公平.… 6分 甲 .PN⊥PM,∴.∠APM=∠CPN=90°-LMPC 22.(8分)解：方案一：如图甲作DE⊥AB,垂足为E, 第22题图 又∠A=∠PCN=90°，AP-CP, 则四边形BCDE是矩形，.DE=BC=1O米， ∴.△APM≌△CPN,.AM=CN 第26题图甲 在RL△ADE中，∠ADE=32°， .OM+ON=OM+CN+OC=OM+AM+A P-OA+AP-2A P:..................... .AE=DE-tn32°=10x0.64=6.4(米)， 4分 (3)①当M在线段AO上时，如图乙，延长NM,PA相交于点G 树AB的高度为6.4+1.6=8（米）.… …4分 由(2)知OM+0N=2PA, 方案二：如图乙根据题意可得∠ACB=∠DCE 设0Mx,则ON=3x,0A=PA=2x ∠B=∠E=-90、 ,.△ACB∽△DCE. ..AM=A0-OM-xOM 48=S,即A8=9,解得：AB=-8米。 .:∠AOB=∠MAG=90°，∠AMG=∠OMN. DE CE 1.6 2 .∴.△AMG≌△OMN(SAS),..AG=ON=3x. 第26题图乙 答：树AB的高度为8米.… …8分 第22题图 四、解答题（本大题共5个小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤】 LAOB=90°，PA⊥OA,·AP∥OB,△ON△PCF, 23.(7分)解：(1)87,88，补全八年级的成绩条形统计图如下：.3分 .:Op ON 3x 3 八年级所抽取学生竞赛成绩条形图 3x+2x 5 (2)九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 人数 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年 级学生竟赛成绩的中位数和众数都高于八年 ②当M在AO的延长线上时，如图丙，过P 级学生的，所以九年级学生的竞赛成绩更优 作PC⊥OB于C,并延长交MN于G,由(2) 秀：…5分 知：四边形OAPC是正方形 (3)1600x8+9 20+20=680, ∴.OA=AP-PC=0C,∠APC-90°，PC∥A0, ,PN⊥PM,.∠APh∠CPN90-∠MPC. 答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的 第23用” 等级 又∠A=∠PCN-90°，AP-CP 第26题图两 学生中获得优秀等级的共有680人.…7分 ,.△APM≌△CPN,.AM=CN, 24.(7分)解：(1：点C的坐标为(1,6，且在反比例函数= -(0)的图象上， .ON-OM-0C+CN-OM=A0+AM-OM-A0+AO-2A0. .∵0N=30M=3x, ..AO=t,CN=AM=2x .6=k,即k=6, 2分 5,一反比例函数的解析式为6；…2 PC∥AO, ∴.△CGN∽△OMN. 设直线AC的解析式为yax+b(a≠0)，把A,C两点坐标分别代人得： 品即 3t, a+6=6，解得：2. -2a+b=0 :PC∥AO, .△OM△PGF, lb=41 即直线AC的解析式为1y=2x44,令0，y4, %号 2 ,点B的坐标为(0,4)；…4分 x 3 (2):点D在反比例函数-6的图象上，纵坐标为2，.2=5，解得：x=3; 综上，咒的值为子或号 8分 由题意知，0A=2,0B=4, 27.(10分)解：(1)抛物线-ar+bx+3过点B(-3,0).C(1,0), Sa9u0a-SaMar+Sar=0A0B+7OB-xF -2x4+ -×43=10...7分 9a-3b+3=0 a+b+3=0 解得：/s-1 lb=-2' 25.(8分)解：(1)证明：如图，连接0C 抛物线解析式为)=-x2-2x+3;… …3分 ,OA=OC,.∠AC0=∠CAO. .LEAC=LCAB...LEAC=LACO. (2):x=0时-2x+3=3,A(0,3),直线AB解折式为)=x+3. ,点P在线段AB上方抛物线上， ∴，AD∥0C.……2分 ∴.设P(,-2-2+3)(-3<<0),.D(t,+3), CD⊥AE于点D,∴.∠ADC-90 ∴.∠0CF=∠ADC-90°，∴.0C⊥DC. 第25题因 P0=-243-(43)=--3=-42)月号， 部分参考答案第3页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP :a-1<0,当=-3时，DP的长最大， 2 此时，点P的坐标为(，平)： 6份 (3)存在点P使△PDE为等腰直角三角形，设P(t,-2-2+3)(-3<<0),则D(t,+3), ∴.PD=-t2-2t+3-(+3)=-t2-3t, .抛物线y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,.对称轴为直线x=-1, PE∥x轴交抛物线于点E,∴.E,P关于对称轴对称， ∴.xE(-1)=(-1)-t,∴.x=-2-t,∴.PE=xx2=|-2-2t|, .△PDE为等腰直角三角形，∠DPE=90°，∴.PD=PE, ①当-3<<-1时，PE=-2-2t, ∴.-t-3t=-2-2t,解得：t=1(舍去)，-2，∴.P(-2,3) ②当-1<<0时，PE=2+2t∴.-t2-3t=2+2t, 解得5Y75Y7(含去.P5y7,5yYT) 2 2 2 2 篆上所述，点P唑标为(2,3)或-+y7,-5Y7月 时，使△PDE为等 腰直角三角形.。 10分 CS扫描全能王 3亿人雕在用的目描APP