专题04 二元一次方程组8大考点（期末真题汇编，天津专用）七年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 专题聚焦二元一次方程组，涵盖8大高频考点，汇编天津多区县期末真题，注重概念理解与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约10题|二元一次方程概念、古代问题|引用《九章算术》《算法统宗》情境| |填空|约5题|解的意义、列方程|开放题设计（如补全方程）| |解答|约15题|代入/加减消元法、销售利润/几何图形问题|销售利润问题分层设问，几何图形结合场地设计情境|

专题04 二元一次方程组 8大高频考点概览 考点01 二元一次方程的概念和解 考点02 列方程 考点03 代入消元法和加减消元法 考点04 二元一次方程组实际问题-销售利润问题 考点05 二元一次方程组实际问题-几何图形问题 考点06 二元一次方程组实际问题-古代问题 考点07 二元一次方程组实际问题-其它问题 考点08二元一次方程组实际问题-数字问题 ( 地 城 考点01 二元一次方程的概念和解 ) 1．（24-25七年级下·天津蓟州·期末）下列方程组的解为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津河西·期末）在不造成浪费的情况下，现在需要把一根长的钢管截成长和长两种不同规格的钢管，有_____种不同的截法． 3．（24-25七年级下·天津河西·期末）如果方程和另一个二元一次方程组成的方程组的解为，则另一个二元一次方程可以是_____．（写出一个即可） 4．（24-25七年级下·天津蓟州·期末）已知，是方程的解，则的值为________． 5．（24-25七年级下·天津南开·期末）已知是方程的解，则m的值为______． ( 地 城 考点0 2 列方程 ) 1．（24-25七年级下·天津西青·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 3 代入消元法和加减消元法 ) 1．（24-25七年级下·天津南开·期末）把方程改写成用含有x的式子表示y的形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津红桥·期末）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（24-25七年级下·天津和平·期末）方程组的解为_____________． 4．（24-25七年级下·天津河北·期末）解二元一次方程组： ． 5．（24-25七年级下·天津西青·期末）解下列方程组： (1) (2) 6．（24-25七年级下·天津河东·期末）解方程组 (1) (2) 7．（24-25七年级下·天津河西·期末）解方程组： 8．（24-25七年级下·天津红桥·期末）解下列方程（组）： (1) (2) 9．（24-25七年级下·天津和平·期末）解方程组： 10．（24-25七年级下·天津西青·期末）解下列方程组： (1) (2) 11．（24-25七年级下·天津·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． ( 地 城 考点0 4 二元一次方程组实际问题-销售利润问题 ) 1．（24-25七年级下·天津和平·期末）某商场售出A，B两种型号的空调，已知2台A型空调和3台B型空调总售价为19000元，3台A型空调和7台B型空调的总售价为36000元． (1)求A，B两种型号空调每台的售价各是多少元？ (2)为了增加A型空调的销量，商场在“五一”和“6·18”期间对A型空调搞了两次“以旧换新”活动：购买一台A型空调，可以用一台旧空调抵价1000元（每台A型空调最多允许用一台旧空调抵价）． 已知“五一”促销，售出的A型空调和收到的旧空调共30台；“6·18”促销，售出A型空调a台，收到的旧空调是“6·18”促销活动中售出A型空调台数的．统计两次促销活动，收到的旧空调台数是一共售出的A型空调台数的． ①“五一”促销活动中售出的A型空调的台数为______（用含a的代数式表示）； ②若两次促销活动A型空调的总销售额超过了157000元，求a的最小值． 2．（24-25七年级下·天津南开·期末）某超市用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售，其中苹果的收购单价为10元，橘子的收购单价为15元． (1)设收购苹果，收购橘子． ①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 ②列出二元一次方程组，并求收购苹果和橘子各多少千克； (2)已知苹果在运输和仓储过程中质量损失，若此超市计划销售苹果至少要获得的利润，不计其他费用，求苹果的最低销售单价． 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 3．（24-25七年级下·天津红桥·期末）冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 (1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． (2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 4．（24-25七年级下·天津和平·期末）某学校为推进学生“德智体美劳”全面发展，制定系列考察制度，半期后，根据对所有学生这半期的表现进行综合评价，准备购买“实用性书包”和“多功能文具盒”奖励表现特别优秀的学生．经调查，3个“实用性书包”和2个“多功能文具盒”要260元，5个“实用性书包”和4个“多功能文具盒”要460元． (1)“实用性书包”和“多功能文具盒”的单价分别是多少元？ (2)学校经过预算，最多不超过1140元购买这两种奖品共25个，奖励优秀学生，则“实用性书包”最多能够买多少个． ( 地 城 考点0 5 二元一次方程组实际问题-几何图形问题 ) 1．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少? ( 地 城 考点 06 二元一次方程组实际问题-古代问题 ) 1．（24-25七年级下·天津蓟州·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了这样一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问：人数、物价各是多少．设共有人，物价为元，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津和平·期末）成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津河东·期末）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·天津·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·天津河北·期末）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（    ） A．44 B．45 C．46 D．47 6．（24-25七年级下·天津西青·期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． ( 地 城 考点 07 二元一次方程组实际问题-其它问题 ) 1．（24-25七年级下·天津红桥·期末）七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如下表所示，则他们购买的车票中有________张往返票． 票种 票价/元 往返 80 单程 45 2．（24-25七年级下·天津·期末）如图，丝路纺织厂与、两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知长绒棉的进价为万元，纺织面料的出厂价为万元，公路运价为元（），铁路运价为元（），且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 3．（24-25七年级下·天津西青·期末）列二元一次方程组解决下面的问题． 某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物560吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ 4．（24-25七年级下·天津蓟州·期末）为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按元/度计费．2025年某月张华家用电250度，缴费124元；李明家用电300度，缴费151元． (1)这个市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ (2)某用户一个月的电费为元，则该用户这个月的用电量为________度．（直接写出结果，不必说明理由） 5．（24-25七年级下·天津·期中）根据以下信息，探索完成任务： 选择招聘方案？ 素材1 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某工艺品厂设计出一款国庆纪念工艺品，计划在一个月（按22个工作日计算）内生产2024件限量工艺品．由于抽调不出足够的熟练工来完成工艺品的生产，为顺利完成任务，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行生产． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每天共加工28件产品；3名熟练工和2名新工人每天共加工32件产品． 素材3 工厂给的每名熟练工每天发300元工资，每名新工人每天发160元工资． 问题解决 任务一 分析数量关系 （1）每名熟练工和新工人每天分别可以生产多少件工艺品？ 任务二 确定可行方案 （2）如果工厂新招聘工人至少2人且不得超过抽调熟练工的人数，那么工厂有哪几种工人招聘方案，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一个月（按22个工作日计算）的生产任务． 任务三 选取最优方案 （3）在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 6．（24-25七年级下·天津河北·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由． ( 地 城 考 08 二元一次方程组实际问题-数字问题 ) 1．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为_____；（II）图③中的为_____（用含的式子表示） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 8大高频考点概览 考点01 二元一次方程的概念和解 考点02 列方程 考点03 代入消元法和加减消元法 考点04 二元一次方程组实际问题-销售利润问题 考点05 二元一次方程组实际问题-几何图形问题 考点06 二元一次方程组实际问题-古代问题 考点07 二元一次方程组实际问题-其它问题 考点08二元一次方程组实际问题-数字问题 ( 地 城 考点01 二元一次方程的概念和解 ) 1．（24-25七年级下·天津蓟州·期末）下列方程组的解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解，将解代入各选项的方程组，验证是否同时满足两个方程即可． 【详解】解：A.，此项错误，故不符合题意； B.，，此项正确，故符合题意； C.，此项错误，故不符合题意； D.，此项错误，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·天津河西·期末）在不造成浪费的情况下，现在需要把一根长的钢管截成长和长两种不同规格的钢管，有_____种不同的截法． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系列出方程，得出x，y的值是解本题的关键，注意x，y只能取正整数． 设截成2米长的钢管x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设截成2米长的钢管x根，1米长的y根， 由题意得：， 因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：，，， 所以共有3种不同的截法． 故答案为3． 3．（24-25七年级下·天津河西·期末）如果方程和另一个二元一次方程组成的方程组的解为，则另一个二元一次方程可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，注意对概念灵活应用是解决本题的关键． 由x，y的值，可求出的值，进而可得出，由此即可得出一个二元一次方程． 【详解】解：∵， ∴， ∴是二元一次方程组的解． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级下·天津蓟州·期末）已知，是方程的解，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，根据二元一次方程的解是使方程左边两边相等的未知数的值，把，代入原方程得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，是方程的解， ∴， 解得 故答案为：． 5．（24-25七年级下·天津南开·期末）已知是方程的解，则m的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是知道方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把x与y的值代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． ( 地 城 考点0 2 列方程 ) 1．（24-25七年级下·天津西青·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． ( 地 城 考点0 3 代入消元法和加减消元法 ) 1．（24-25七年级下·天津南开·期末）把方程改写成用含有x的式子表示y的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查解二元一次方程，将方程中的单独解出，转化为用表示的形式即可． 【详解】解：， 移项得：， 两边同时乘以：得， 故选A． 2．（24-25七年级下·天津红桥·期末）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的解题过程．过程如图所示，合作中，出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组．解二元一次方程组的关键思想是消元，把二元一次方程转化为一元一次方程，解决本题的关键是注意在去分线、移项、合并同类项的、系数化为的过程中是否出现错误． 【详解】解：由， 移项可得：， 方程两边同时乘以可得：， 故甲计算正确， A选项不符合题意； 把代入得：， 故乙计算正确， B选项不符合题意； 去分母可得：， 去括号可得：， 故丙计算错误， C选项符合题意； 丁看到的是， 移项可得：， 合并同类项得：， 解得：， 把代入可得：， 故丁计算正确， D选项不符合题意． 故应选：C． 3．（24-25七年级下·天津和平·期末）方程组的解为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入法．可以先消去，求得的值然后代入求得的值． 【详解】解：， 由①②得：， 解得③ 把③代入②解得：． 解得 故原方程组的解是：． 故答案为： 4．（24-25七年级下·天津河北·期末）解二元一次方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握好代入消元法和加减消元法是解题关键． 使用代入消元法，将①式变形后代入②式，即可求得x的值，进一步求出y的值． 【详解】解：由①得，， 把③代入②，得， 解得，， 把代入③，得， ∴方程组的解是． 5．（24-25七年级下·天津西青·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 化简方程组，得：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； 6．（24-25七年级下·天津河东·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：； 把代入①，得：， 解得：； ∴方程组的解为； （2）原方程组可化为：， ，得：， 把代入②，得：， 解得：； ∴方程组的解为． 7．（24-25七年级下·天津河西·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键． 先去括号，整理后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解． 【详解】解：原方程整理得， ①+②得， 解得， 将代入①得， 解得， 原方程组的解为． 8．（24-25七年级下·天津红桥·期末）解下列方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 整理得 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程的解为． 9．（24-25七年级下·天津和平·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：方程组整理得： 得：③， 得：． ． 将代入①得： ， 这个方程组的解是． 10．（24-25七年级下·天津西青·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解二元一次方程组，解题关键在于需要熟练掌握运算法则． （1）根据代入消元法，可得答案； （2）先将方程去分母，再用加减消元法解方程组． 【详解】（1）解： 解：①代入②，得，解这个方程，得． 把代入①，得． ∴这个方程组的解是； （2）解：原方程组可以化简为 ，得，解得． 把代入①，得． ∴这个方程组的解是． 11．（24-25七年级下·天津·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程即可求得解． （1）采取代入消元法，由①得，然后代入②，解出，然后再代入，则求出y值． （2）采取加减消元法，方程整理后由得：③，由②减去③得y值，然后把y值代入①，求得值． 【详解】（1）解：， 由①得，然后代入②， 得， 展开得：， 解得：， 把代入， 得：， ∴这个方程组的解是． （2）， 方程组整理得：， 由得：③， 由得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得． ∴这个方程组的解是． ( 地 城 考点0 4 二元一次方程组实际问题-销售利润问题 ) 1．（24-25七年级下·天津和平·期末）某商场售出A，B两种型号的空调，已知2台A型空调和3台B型空调总售价为19000元，3台A型空调和7台B型空调的总售价为36000元． (1)求A，B两种型号空调每台的售价各是多少元？ (2)为了增加A型空调的销量，商场在“五一”和“6·18”期间对A型空调搞了两次“以旧换新”活动：购买一台A型空调，可以用一台旧空调抵价1000元（每台A型空调最多允许用一台旧空调抵价）． 已知“五一”促销，售出的A型空调和收到的旧空调共30台；“6·18”促销，售出A型空调a台，收到的旧空调是“6·18”促销活动中售出A型空调台数的．统计两次促销活动，收到的旧空调台数是一共售出的A型空调台数的． ①“五一”促销活动中售出的A型空调的台数为______（用含a的代数式表示）； ②若两次促销活动A型空调的总销售额超过了157000元，求a的最小值． 【答案】(1)A型空调每台的售价是5000元，B型空调每台的售价是3000元 (2)①；②最小值为18 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设A型空调每台的售价是x元，B型空调每台的售价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）①设“五一”促销活动中售出的A型空调的台数为，根据题意列出方程，解方程即可；②根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设A型空调每台的售价是x元，B型空调每台的售价是y元． 根据题中的相等关系，列方程组 解这个方程组，得 答：A型空调每台的售价是5000元，B型空调每台的售价是3000元． （2）解：①设“五一”促销活动中售出的A型空调的台数为， 由题意可得：， 解得：， 故“五一”促销活动中售出的A型空调的台数为； ②由题意可得：， 解得 因为a是正整数且a为9的倍数， 所以a的最小值为18． 2．（24-25七年级下·天津南开·期末）某超市用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售，其中苹果的收购单价为10元，橘子的收购单价为15元． (1)设收购苹果，收购橘子． ①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 ②列出二元一次方程组，并求收购苹果和橘子各多少千克； (2)已知苹果在运输和仓储过程中质量损失，若此超市计划销售苹果至少要获得的利润，不计其他费用，求苹果的最低销售单价． 【答案】(1)①填表见解析；②收购苹果千克，橘子千克 (2)苹果的最低销售单价为元/ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据单价乘以数量即可填表；②根据“用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售”建立方程组求解； （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【详解】（1）解：①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 ②由题意得：， 解得：， 答：收购苹果千克，橘子各千克； （2）解：设苹果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故苹果的最低销售单价为元/． 3．（24-25七年级下·天津红桥·期末）冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 (1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． (2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元 (2)A型号的取暖器最多能采购22台 (3)能，购进方案：方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台；方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （1）设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据销售3台A型号、4台B型号取暖器的收入为760元，销售5台A型号、7台B型号取暖器的收入为1300元，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A型号的取暖器购进a台，则B型号的取暖器购进台，根据总价单价数量结合总价不多于3020元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）根据总利润每台的利润销售数量(购进数量)，结合总利润超过1400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合（2）的结论即可得出结论． 【详解】（1）解：设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据题意，得 解得 答：A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元． （2）解：设购进A型号取暖器a台，则购进B型号取暖器台． 根据题意，得， 解得． 答：A型号的取暖器最多能采购22台． （3）解：由（2）可得， 解得， 因为且a为整数， 所以a可取21或22， 所以在（2）的条件下该超市能实现利润超过1400元的目标． 购进方案： 方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台． 方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台． 4．（24-25七年级下·天津和平·期末）某学校为推进学生“德智体美劳”全面发展，制定系列考察制度，半期后，根据对所有学生这半期的表现进行综合评价，准备购买“实用性书包”和“多功能文具盒”奖励表现特别优秀的学生．经调查，3个“实用性书包”和2个“多功能文具盒”要260元，5个“实用性书包”和4个“多功能文具盒”要460元． (1)“实用性书包”和“多功能文具盒”的单价分别是多少元？ (2)学校经过预算，最多不超过1140元购买这两种奖品共25个，奖励优秀学生，则“实用性书包”最多能够买多少个． 【答案】(1)每个“实用性书包”60元，每个“多功能文具盒”40元； (2)“实用性书包”最多能够买7个． 【分析】（1）设每个“实用性书包”元，每个“多功能文具盒”元，根据3个“实用性书包”和2个“多功能文具盒”要260元，5个“实用性书包”和4个“多功能文具盒”要460元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买“实用性书包”个，则购买“多功能文具盒”个，根据最多不超过1140元购买这两种奖品，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设每个“实用性书包”元，每个“多功能文具盒”元， 根据题意得： ，解得：， ∴每个“实用性书包”60元，每个“多功能文具盒”40元； （2）解：设购买“实用性书包”个，则购买“多功能文具盒”个， 根据题意得：． 解不等式得：， 由题意可得：为最大正整数解， ∴， 因此，根据学校预算，“实用性书包”最多能够买7个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． ( 地 城 考点0 5 二元一次方程组实际问题-几何图形问题 ) 1．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少? 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设通道的宽为，，则，根据长包含3个的长和2个通道宽，宽包含2个长和1个通道宽建立方程组求解． 【详解】解：设通道的宽为的长是，则， 由题意，列方程组为，解得． 答：通道的宽是． ( 地 城 考点 06 二元一次方程组实际问题-古代问题 ) 1．（24-25七年级下·天津蓟州·期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了这样一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问：人数、物价各是多少．设共有人，物价为元，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，每人出8元时多3元，即总钱数比物价多3元，得方程；每人出7元时少4元，即总钱数比物价少4元，得方程．联立方程组即可求解． 【详解】解：设共有人，物价为元，根据题意得： 故选∶D 2．（24-25七年级下·天津和平·期末）成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到两个等量关系：一是5只雀和6只燕的总重量为1斤，二是交换一只雀和燕后两边平衡，通过分析交换后的重量关系，确定方程组． 【详解】解：总重量1斤：5只雀和6只燕共重1斤，即 交换后的平衡：交换一只雀和燕后，原五雀变为四雀加一燕，原六燕变为五燕加一雀，此时两边重量相等，即化简后为： 联立方程组：． 故选：D ． 3．（24-25七年级下·天津河东·期末）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】设绳长为x尺，木长为y尺，根据题意可得方程组为 故选：C 4．（24-25七年级下·天津·期末）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 5．（24-25七年级下·天津河北·期末）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有数目是（    ） A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】C 【分析】设有x人分银子，银子的总数为y两，根据“若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设有x人分银子，银子的总数为y两， 依题意得： ， 解得：， ∴银子的总数为46两． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．（24-25七年级下·天津西青·期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． 【答案】(1)， (2)6.5，11；6.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可； 【详解】（1）解：设木条长x尺，绳子长y尺，由题意，得： ； 故答案为：，； （2） 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； 答：木条长6.5尺． ( 地 城 考点 07 二元一次方程组实际问题-其它问题 ) 1．（24-25七年级下·天津红桥·期末）七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如下表所示，则他们购买的车票中有________张往返票． 票种 票价/元 往返 80 单程 45 【答案】8 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设购买了往返票x张，单程票y张，根据总张数为20张，总费用为1180元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设购买了往返票x张，单程票y张，根据题意得： ， 解得：， ∴购买了往返票8张，单程票12张． 故答案为：8． 2．（24-25七年级下·天津·期末）如图，丝路纺织厂与、两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知长绒棉的进价为万元，纺织面料的出厂价为万元，公路运价为元（），铁路运价为元（），且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 【答案】这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共购买了x吨长绒棉，制成了y吨纺织面料，根据两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，列出二元一次方程组，进而求得销售额和原料费用，相减，即可求解． 【详解】解：设共购买了x吨长绒棉，制成了y吨纺织面料． 根据题意得 解得， 纺织面料的销售额为（万元）， 原料费用为（万元）， （元）， 答：这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多元． 3．（24-25七年级下·天津西青·期末）列二元一次方程组解决下面的问题． 某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物560吨．求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ 【答案】每台A型机器人每天搬运货物吨，每台B型机器人每天搬运货物吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的数量关系是解题的关键．根据题意列出方程组，最后求解即可． 【详解】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨， 则， 解得， 答：每台A型机器人每天搬运货物吨，每台B型机器人每天搬运货物吨． 4．（24-25七年级下·天津蓟州·期末）为提倡节约用电，某市居民阶梯电价采用三档分档递增模式，具体标准如下：每户每月用电量不超过220度时，按第一档单价收费；超过220度且不超过400度时，超过的部分按第二档单价计费；超过400度时，超过400度的部分按元/度计费．2025年某月张华家用电250度，缴费124元；李明家用电300度，缴费151元． (1)这个市第一档电费、第二档电费的单价分别是多少？ (2)某用户一个月的电费为元，则该用户这个月的用电量为________度．（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】(1)第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度 (2)410 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程（组）是解题的关键． （1）设第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度，根据张华家和李明家的用电量和缴费列出方程组，求出的值，即可解答； （2）先计算用电400度时应缴费（元），比较与205的大小得到该用户这个月的用电量超过400度，设该用户这个月的用电量为度，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度， 由题意得，， 解得：， 答：第一档电费的单价为元/度，第二档电费的单价为元/度． （2）解：用电400度时应缴费（元）， ∵， ∴该用户这个月的用电量超过400度， 设该用户这个月的用电量为度， 由题意得，， 解得：， ∴该用户这个月的用电量为410度． 故答案为：410． 5．（24-25七年级下·天津·期中）根据以下信息，探索完成任务： 选择招聘方案？ 素材1 为庆祝中华人民共和国成立75周年，某工艺品厂设计出一款国庆纪念工艺品，计划在一个月（按22个工作日计算）内生产2024件限量工艺品．由于抽调不出足够的熟练工来完成工艺品的生产，为顺利完成任务，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行生产． 素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每天共加工28件产品；3名熟练工和2名新工人每天共加工32件产品． 素材3 工厂给的每名熟练工每天发300元工资，每名新工人每天发160元工资． 问题解决 任务一 分析数量关系 （1）每名熟练工和新工人每天分别可以生产多少件工艺品？ 任务二 确定可行方案 （2）如果工厂新招聘工人至少2人且不得超过抽调熟练工的人数，那么工厂有哪几种工人招聘方案，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一个月（按22个工作日计算）的生产任务． 任务三 选取最优方案 （3）在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】（1）8件，4件；（2）共有三种方案，①使用熟练工10人，招聘新工人3人，②使用熟练工9人，招聘新工人5人，③使用熟练工8人，招聘新工人7人；（3）3名 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的解的应用，任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品，y件工艺品，根据题意列出方程组即可得出答案； 任务二：设使用熟练工a人，招聘新工人b人，根据题意列出方程式，再根据a、b的范围，即可得出答案； 任务三：分别求出三种方案需要的费用，比较即可得出答案． 【详解】解：任务一：设每名熟练工和新工人每天分别可以生产x件工艺品，y件工艺品， ， 解得：， 答：每名熟练工和新工人每天分别可以生产8件工艺品，4件工艺品． 任务二：设使用熟练工a人，招聘新工人b人， 由题意得，， 即， ∵，且a、b为正整数， ∴，5，7， ∴共有三种方案，①使用熟练工10人，招聘新工人3人，②使用熟练工9人，招聘新工人5人，③使用熟练工8人，招聘新工人7人． 任务三：①（元）， ②（元）， ③（元）， 答：为了节省成本，应该招聘新工人3名． 6．（24-25七年级下·天津河北·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A，B两种材质的围棋，每套进价分别为210元、180元，下表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 (1)求A，B两种材质的围棋每套的售价； (2)若商家再采购A，B两种材质的围棋共30套，购买金额不超过5760元，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ (3)在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1030元的目标？请说明理由． 【答案】(1)A，B两种材质的围棋每套的售价分别为250元，210元 (2)A种材质的围棋最多能采购12套 (3)在（2）的条件下，商店不能实现利润为1030元的目标 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用， （1）设A，B两种材质的围棋每套的售价分别为x元，y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）令，解得，即可作答． 【详解】（1）设A，B两种材质的围棋每套的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得， 答：A，B两种材质的围棋每套的售价分别为250元，210元； （2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套， 根据题意，得， 解得 答：A种材质的围棋最多能采购12套； （3）根据题意，得， 解得， ∵， ∴在（2）的条件下，商店不能实现利润为1030元的目标． ( 地 城 考 08 二元一次方程组实际问题-数字问题 ) 1．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为_____；（II）图③中的为_____（用含的式子表示） 【答案】 12 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用． 根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可． 【详解】解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． 由图②中，， ∴， ∴ 解得： ∴， 由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ， ∴ 故答案为：12；． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $