专题08分式的加减乘除及分式方程 专项训练（19大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，通过20类分层题型系统构建分式运算与方程的解题方法体系，融合新定义与实际应用，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|8类/24题|分式化简“三步法”（通分/约分→符号处理→结果最简）|从同分母到异分母加减，从乘除到混合运算，逐步构建运算规则| |方程应用|6类/18题|分式方程“四步解法”（去分母→整式求解→验根→分类讨论无解/增根）|从定义辨析到解法，再到解的情况分析，形成方程求解完整链条| |拓展提升|6类/18题|新定义转化法（如“和谐分式”拆分、“差整分式”建模）|结合最值问题与实际应用，实现从知识到能力的迁移，发展推理意识|

专题08分式的加减乘除及分式方程 专项训练 题型梳理归纳 题型1.同分母分式加减法 题型2.异分母分式加减法 题型3.整式与分式相加减 题型4.分式乘法、分式除法 题型5.分式乘方 题型6.分式方程的定义 题型7.解分式方程（化为一元一次方程） 题型8.分式加减混合运算 题型9.分式乘除混合运算 题型10.含乘方的分式乘除混合运算 题型11.分式加减乘除混合运算 题型12.分式化简求值 题型13.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型14.列分式方程 题型15.根据分式方程解的情况求值 题型16.分式加减的实际应用 题型17.分式最值 题型18.分式方程无解问题 题型19.分式方程实际应用 题型20.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.同分母分式加减法 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．计算：______． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； (3)应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______． 题型2.异分母分式加减法 1．计算的结果是（    ） A． B． C．－1 D．1 2．计算：________． 3．已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 题型3.整式与分式相加减 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．化简：______． 3．【阅读材料】 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式之和的形式， 如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)填空：①请写出一个含有字母x的真分式：________； ②把下列假分式化成带分式的形式：________． (2)把分式化为“带分式”的形式，并求它的最大值． (3)把分式化为“带分式”的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 题型4.分式乘法、分式除法 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．化简__________． 3．按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)化简：． 题型5.分式乘方 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．_________． 3．计算： (1) (2) 题型6.分式方程的定义 1．下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．下列关于x的式子是分式方程的是______．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 3．我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 题型7.解分式方程（化为一元一次方程） 1．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ）． A． B． C． D． 2．方程的解为________． 3．解方程：． 题型8.分式加减混合运算 1．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 2．对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于__________． 3．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： (1)以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______． (2)第______步开始出现错误，出现错误的原因是______． 任务二： (3)请直接写出该分式化简后的正确结果：______． 题型9.分式乘除混合运算 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．____． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型10.含乘方的分式乘除混合运算 1．已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：_________． 3．计算或化简： (1)； (2)． 题型11.分式加减乘除混合运算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： __________． 3．化简： 题型12.分式化简求值 1．已知，则代数式的值为（  ） A． B． C．4 D．2 2．已知，则______． 3．先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 题型13.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 2．已知，则______， ______． 3．我们定义：如果两个分式A与B的差为整数k，则称A是B的“差整分式”，整数k称为A关于B的“差整值”．例如分式，，，则A是B的“差整分式”，A关于B的“差整值”为2． (1)已知分式，，判断C是不是D的“差整分式”．若不是，请说明理由；若是，求出C关于D的“差整值”． (2)已知分式，，M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是，求P所代表的代数式． 题型14.列分式方程 1．《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 3．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 题型15.根据分式方程解的情况求值 1．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 2．已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 3．完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 题型16.分式加减的实际应用 1．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 2．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要___________天完成． 3．（1）利用因式分解说明：能被120整除． （2）某蓄水池装有A，B两根进水管，每小时可分别进水，．若单独开放A进水管，可将该水池注满．如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？ 题型17.分式最值 1．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 2．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 3．材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 题型18.分式方程无解问题 1．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 2．若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 3．已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 题型19.分式方程实际应用 1．2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步，再骑行，最后跑步．已知小华全程共花了，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 3．为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 分层精练 一、单选题 1．计算的结果正确的是（   ） A．3 B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．中国古代有“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 5．要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 二、填空题 6．计算_______． 7．计算的结果为_________． 8．笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买，两种型号毛笔共50支，型号毛笔的单价是型号毛笔单价的1.4倍，购买型号毛笔共花费420元，购买型号毛笔共花费450元．设型号毛笔的单价是元/支，则可列分式方程为____． 9．已知，则________． 10．若关于的方程无解，则的值为_____． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元? (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． 则甲所列方程中的表示________，乙所列方程中的表示________； (2)从甲、乙两种方法中选择一种进行完整解答； (3)该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个? 13．先化简，再求值：，其中． 14．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“和谐方程”． 例如：可化为，容易检验，是方程的解， ∴是“和谐方程”； 根据上面的学习解答下列问题： (1)若是“和谐方程”，则________，________．（） (2)若，是“和谐方程”的两个解，求的值． 15．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08分式的加减乘除及分式方程 专项训练 题型梳理归纳 题型1.同分母分式加减法 题型2.异分母分式加减法 题型3.整式与分式相加减 题型4.分式乘法、分式除法 题型5.分式乘方 题型6.分式方程的定义 题型7.解分式方程（化为一元一次方程） 题型8.分式加减混合运算 题型9.分式乘除混合运算 题型10.含乘方的分式乘除混合运算 题型11.分式加减乘除混合运算 题型12.分式化简求值 题型13.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型14.列分式方程 题型15.根据分式方程解的情况求值 题型16.分式加减的实际应用 题型17.分式最值 题型18.分式方程无解问题 题型19.分式方程实际应用 题型20.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.同分母分式加减法 1．计算的结果是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：． 2．计算：______． 【答案】 【详解】解：. 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，不属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式（写过程）； (3)应用：若为正整数，且分式值为整数，则_______． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义进行判断即可； （2）由化简解答即可； （3）先将分式化为，根据为正整数，且分式值为整数，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”； （2）解：． （3）解：， ∵为正整数，且分式值为整数， ∴是整数， ∴， ∴． 题型2.异分母分式加减法 1．计算的结果是（    ） A． B． C．－1 D．1 【答案】D 【详解】解：， ． 2．计算：________． 【答案】 【分析】先将整式1通分为与原式同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 【详解】解：． 3．已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”．例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． (1)下列 （填序号）是关于x的“4值分式” ①与    ②与 (2)若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值； (3)若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)， (3)； 【分析】（1）利用“值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算，约分后得到的常数即为值；先对进行通分化简，结合的关系，再利用完全平方公式推导的取值． 【详解】（1）解：① ② 因此，②是关于x的“4值分式”； （2）解：由题意得：， 则， 去分母得：， 整理得：， 则， 解得：； （3）解：由题意得：， ， ， 由于分式与是关于x的“k值分式”， 则； ， ， ， ， ． 题型3.整式与分式相加减 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了幂的运算法则、因式分解、分式的加减等知识，根据运算法则进行计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法运算，先约分再相加即可．本题也可以先通分再约分，但相比先约分再计算要麻烦些，因此在有多种方法可解的情况，寻找最简捷的方法． 【详解】解：； 故答案为：． 3．【阅读材料】 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式之和的形式， 如：，． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)填空：①请写出一个含有字母x的真分式：________； ②把下列假分式化成带分式的形式：________． (2)把分式化为“带分式”的形式，并求它的最大值． (3)把分式化为“带分式”的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，最大值是4 (3)，或或或． 【分析】（1）根据真分式定义和转化方法解答①②即可； （2）先把化成，再根据x的范围，依次求出的最小值、的最大值即可； （3）把转化成“带分式”形式即：，由题意可知，的值应为5的因数，据此分类讨论即可． 【详解】（1）解：（1）①答案不唯一：如 ② （2）解：原式 ， 的最小值是2 的最大值是1 的最大值是4 即分式的最大值是4． （3） 若这个分式的值为整数，的值应为5的因数， 则或或或， 或或或． 题型4.分式乘法、分式除法 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 2．化简__________． 【答案】 【详解】解： ． 3．按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5.分式乘方 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 2．_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算乘方，再把除法化为乘法，最后运算乘法化简，即可作答． （2）先进行因式分解，再化简原式，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型6.分式方程的定义 1．下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 2．下列关于x的式子是分式方程的是______．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可． 【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程； ②不是方程，故不是关于x的分式方程； ③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程； 关于x的分式方程是①④． 故答案为：①④． 3．我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值 ． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据十字分式方程的定义解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，，再利用完全平方公式的变形运算解答即可求解； （）根据十字分式方程的定义得，进而由可得，，再代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵ 为十字分式方程，可化为， ∴，； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴； （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∵时， ∴， ∵关于的十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴，， ∴． 题型7.解分式方程（化为一元一次方程） 1．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察两个分母可知，与互为相反数，先对原方程变形，确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母即可得到去分母后的整式方程． 【详解】解：∵， ∴原方程可变形为， 将方程两边同时乘最简公分母，得：． 2．方程的解为________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴去分母得 ， 移项，合并同类项，得 ， 解得 ， 检验：当时， ， ∴原分式方程的解是． 3．解方程：． 【答案】 2 【详解】解：， 等式两边同乘以，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验：将代入最简公分母中，最简公分母不为， ∴是原方程的解． 题型8.分式加减混合运算 1．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、横坐标分别是方程组的解，则的值等于__________． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将n看做已知数求出方程组的解表示出x与y，列举出所求式子各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：方程组， 得，即， 将代入①得：， ∴， ∵， ∴是该方程组的根， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 任务一： (1)以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______． (2)第______步开始出现错误，出现错误的原因是______． 任务二： (3)请直接写出该分式化简后的正确结果：______． 【答案】(1) 一，分式的基本性质 (2) 二，去括号时，括号前为负号，括号内各项未全部变号 (3) 【分析】（1）化简时把化为是通分把异分母分式化为同分母分式，通分时利用的是分式的基本性质； （2）第二步出现错误，分子中去第二个括号时，括号前是负号，只把第一项的符号改变了，后两项符号没有改变； （3）根据分式的性质进行计算得到正确结果． 【详解】（1）解：化简步骤中，第一步是通分，依据是分式的基本性质； （2）解：第二步中，分子去括号出现错误， 错误原因是括号前面是负号，去括号时括号中各项符号没有全部变号； （3）解： ． 题型9.分式乘除混合运算 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．____． 【答案】 【分析】先分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型10.含乘方的分式乘除混合运算 1．已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的运算、因式分解、分式的性质等知识点，综合运用所学知识成为解题的关键． 根据题意得出，根据非负数的性质求解即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，． ， ∵， ， ∴． 故选A． 2．计算：_________． 【答案】 【分析】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11.分式加减乘除混合运算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式 . 2．计算： __________． 【答案】 【详解】解： 3．化简： 【答案】 【详解】解： 题型12.分式化简求值 1．已知，则代数式的值为（  ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】先对所求分式因式分解化简，再利用已知条件得到的值，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．已知，则______． 【答案】 【分析】先对已知等式通分，得到与的等量关系，再将待求分式变形后整体代入，约分即可得到结果． 【详解】解：对通分，得， 整理得 ， 所以． 3．先化简，再求值：，并从1，2，3三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，正确根据分式的混合运算法则化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算即可，要注意取2，3时分式无意义，故只能取1． 【详解】解： ； 取2，3时分式无意义， ∴当时，原式 题型13.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 2．已知，则______， ______． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分，利用左右两侧分子相等得到关于A、B的方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 3．我们定义：如果两个分式A与B的差为整数k，则称A是B的“差整分式”，整数k称为A关于B的“差整值”．例如分式，，，则A是B的“差整分式”，A关于B的“差整值”为2． (1)已知分式，，判断C是不是D的“差整分式”．若不是，请说明理由；若是，求出C关于D的“差整值”． (2)已知分式，，M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是，求P所代表的代数式． 【答案】(1)是； (2) 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先根据题意得出，进而得到，最后进行整理即可． 【详解】（1）解：C是D的“差整分式”， 理由：∵， ∴C关于D的“差整值”为， ∴C是D的“差整分式”，C关于D的“差整值”为． （2）解：∵M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是， ∴， ∴， 整理得． 题型14.列分式方程 1．《九章算术》是中国古代数学专著，其中有一道关于古代驿站送信的题目，大意是：一份文件需要紧急送往600里远的城市，若用慢马，所需时间比规定时间多2天；若用快马，所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马、快马的速度分别是多少？若设慢马的速度为x里/天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 2．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 【答案】60 【分析】设人工巡检速度为，列出方程解出后乘以即可得出无人机巡检速度． 【详解】解：设人工巡检速度为， ， 解得，， 经检验：是原方程的根且符合题意， 无人机速度为． 3．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】智能机器人每小时可以装载货物9吨 【分析】建立分式方程，求解后得到智能机器人每小时可以装载多少吨货物． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载货物吨，则智能机器人每小时可以装载货物吨，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：智能机器人每小时可以装载货物9吨． 题型15.根据分式方程解的情况求值 1．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值. 【详解】∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， 将增根代入上式，得： ， 解得． 2．已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 3．完成下列题目 (1)为何值时，关于的分式方程的解为． (2)当为何值时，关于的方程有增根． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先求出分式方程的解，再根据方程的解是得出答案； （2）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得出方程的解，再根据有增根可得，然后求出m的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ∵方程的解是， ∴，且， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 当时，． ∵方程有增根， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 题型16.分式加减的实际应用 1．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 2．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，若甲、乙两人一起做，则需要___________天完成． 【答案】 【分析】本题考查了分式的应用，根据题意得出甲每天完成，乙每天完成，设工作总量为，进而根据工作总量除以工作效率，即可求解． 【详解】解：甲单独做天完成，乙单独做天完成，设工作总量为， ∴甲每天完成，乙每天完成 ∴两人合作一共需要天 故答案为：． 3．（1）利用因式分解说明：能被120整除． （2）某蓄水池装有A，B两根进水管，每小时可分别进水，．若单独开放A进水管，可将该水池注满．如果A，B两根水管同时开放，那么能提前多长时间将该蓄水池注满？ 【答案】（1）见解析；（2）h． 【分析】本题考查因式分解的应用，列代数式（分式），解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， （1）先把化成以5为底数的幂，然后提取公因式，整理即可得证． （2）根据工作总量工作时间工作效率，可求蓄水池的容积，根据工作时间工作总量工作效率，可求、两个水管同时开放，将该蓄水池注满需要的时间，再用单独开放进水管需要的时间减去该时间即可求解． 【详解】（1）解：原式 ， ∴能被120整除． （2）解：蓄水池的容积为， 、两个水管同时开放， 将该蓄水池注满需要的时间为， 提前的时间为． 故能提前长时间将该蓄水池注满． 题型17.分式最值 1．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 2．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 3．材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的整数或2或16或 (4) 【分析】（1）根据题意，即可获得答案； （2）由分母，可设，进而可得，求解即可获得答案； （3）对于分式，由分母，可设，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可； （4）对于分式，由分母，可设，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴； （3）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴满足条件的整数或2或16或； （4）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， 当时，， ∴， 当取最小值时，取最大值，则取最小值， 此时取最小值， ∴当时，取最小值，此时， 即分式的最小值为． 题型18.分式方程无解问题 1．若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②整式方程的解为分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程， 可变形为， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴分两种情况讨论：① 当整式方程本身无解时，，解得； ② 当整式方程的解为原分式方程的增根时，原分式方程分母为，增根为， 把代入得：， 解得， 综上，的值为或． 2．若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】 1 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 3．已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程无解求参数． （1）将“▲”替换为后，先统一分式的分母，再通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的合理性即可得到方程的解． （2）先设“▲”为，将原分式方程化为整式方程，分式方程无解包含两种情况，一是整式方程本身无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别分析求解即可得到“▲”的值． 【详解】（1）解：当“▲”时，原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 移项得 合并同类项得 解得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． （2）解：设“▲”表示的数为， 原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 整理得 原分式方程无解 分两种情况讨论 情况一：整式方程无解，此情况不存在． 情况二：整式方程的解是原分式方程的增根，原分式方程的增根满足， 即 将代入 得 解得 所以“▲”表示的数是． 题型19.分式方程实际应用 1．2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步，再骑行，最后跑步．已知小华全程共花了，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式“时间路程速度”，结合“总时间跑步总时间骑行时间”列方程即可． 【详解】解：∵设小华跑步的平均速度为，骑行平均速度是跑步平均速度的2倍， ∴骑行平均速度为． ∵小华两次跑步总路程为，骑行路程为， ∴跑步总时间为，骑行时间为． ∵全程总时间为，总时间等于跑步总时间与骑行时间之和， ∴可得方程． 2．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 3．为丰富同学们的课间活动，某学校计划购进一批跳绳和实心球，其中跳绳的单价比实心球低5元，已知用600元购买跳绳的数量是用400元购买实心球数量的2倍． (1)请列方程求出跳绳和实心球的单价； (2)该校计划购买跳绳和实心球共100个，且购买跳绳的数量不超过实心球数量的4倍，求该校购买跳绳和实心球的最低费用． 【答案】(1)跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元 (2)最低费用为1600元 【分析】（1）先将跳绳的单价和实心球的单价设出来，再根据“数量总价单价”列出代数式，根据题目的等量关系列出等量关系式； （2）根据跳绳的数量与实心球的数量之间的关系列不等式求出跳绳数量的取值范围，再列出跳绳与实心球的总费用的一次函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，则实心球的单价为元， 根据题意得：，解得， 将代入验证，分母不为， ∴是原方程的解， ， 答：跳绳的单价为15元，实心球的单价为20元． （2）解：设购买跳绳个，则购买实心球个，购买跳绳和实心球的费用为元， 则题意， 解得， ， ∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，最小， （元）， 答：最低费用为1600元． 分层精练 一、单选题 1．计算的结果正确的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】按照先算乘方，再从左到右依次计算乘除的运算顺序即可求解． 【详解】解： 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的基本运算，根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除以单项式法则，分式的乘方法则，对各选项分别计算即可判断． 【详解】解：对选项A，∵合并同类项时，系数相加减，字母及指数不变， ，A错误； 对选项B，∵积的乘方等于各因式乘方的积，负数的偶次幂为正数，，B错误； 对选项C，∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂底数不变指数相减，，C正确； 对选项D，∵负数的奇次幂为负数，分式乘方需分子分母分别乘方，，D错误． 4．中国古代有“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行，则根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原计划每日行 ，根据时间路程速度，结合实际比原计划提前1日到达的等量关系，列出分式方程即可． 【详解】解：设运输这批公粮原计划每日行 ，则实际每日行 ， 可得原计划所需天数为，实际所需天数为， ∵实际比原计划提前1日到达，即原计划天数比实际天数多， ∴． 5．要使的值为整数，下列选项中，的值不能是（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】先对原式通分化简，再根据分式值为整数的条件判断选项，找出不符合要求的值． 【详解】首先对原式变形整理 ∵ ，，分式分母不为0，得 ∴ 原式 通分后计算分子得： ∴ 原式 将选项依次代入验证： A． 时， 是整数，符合要求； B． 时， 是整数，符合要求； C． 时， 是整数，符合要求； D． 时， 不是整数，不符合要求． 因此的值不能是7． 二、填空题 6．计算_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．计算的结果为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 先算乘方运算，再把除法化为乘法运算，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 8．笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买，两种型号毛笔共50支，型号毛笔的单价是型号毛笔单价的1.4倍，购买型号毛笔共花费420元，购买型号毛笔共花费450元．设型号毛笔的单价是元/支，则可列分式方程为____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设型号毛笔单价为元/支，则型号毛笔单价为元/支．根据总价和单价可求出，两种型号毛笔的数量，再结合两种毛笔总数量为支这一等量关系列方程． 【详解】解：根据题意可得，型号毛笔数量为，型号毛笔数量为， 两种毛笔总数量为支， 列分式方程为 . 9．已知，则________． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 10．若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 ． 12．近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元? (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． 则甲所列方程中的表示________，乙所列方程中的表示________； (2)从甲、乙两种方法中选择一种进行完整解答； (3)该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个? 【答案】(1)B型玩具的单价；用元购进A型玩具的数量 (2)A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元 (3)最多可购进A型玩具116个 【分析】（1）根据所列方程即可判断出的意义； （2）任意选择一种方法解答即可； （3）设可购进A型玩具个，则，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示B型玩具的单价；乙所列方程中的表示用元购进A型玩具的数量； （2）解：甲：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； 乙：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； （3）解：设可购进A型玩具个，则B型玩具个， 根据题意得：， 解得， 整数最大值是116， 答：最多可购进A型玩具116个． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式， 当时， 原式． 14．对于形如的分式方程，若，，容易检验，是分式方程的解，所以称该分式方程为“和谐方程”． 例如：可化为，容易检验，是方程的解， ∴是“和谐方程”； 根据上面的学习解答下列问题： (1)若是“和谐方程”，则________，________．（） (2)若，是“和谐方程”的两个解，求的值． 【答案】(1)2，5； (2) 【分析】（1）根据题干方法求解即可； （2）根据新定义得到，，再对分式化简代入求解即可． 【详解】（1）解：∵是“和谐方程” ∴可化为，容易检验，是方程的解， ∴的解为，； （2）解：∵，是“和谐方程”的两个解， ∴，，      ∴． 15．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $