2026年山东济宁市邹城市中心店镇东滩中学等校中考数学模拟卷一

**基本信息** 本卷以核心素养为导向，融合科技前沿（抖音AI算力）、文化传承（割圆术、饮酒诗）与生活实践，通过10道选择、5道填空、8道解答题（总分120分），全面考查九年级数学核心知识，注重空间观念、运算能力与模型意识的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆与数轴、对称图形、视图、科学记数法、代数式运算等|第1题圆在数轴滚动体现空间观念，第4题AI算力考查科学记数法，第8题割圆术渗透文化| |填空题|5/15|分式意义、因式分解、不等式组、规律探究、三角形综合|第14题围棋子规律培养抽象能力，第15题等边三角形综合考查推理能力| |解答题|8/75|计算、几何证明、函数应用、交通安全问题、二次函数综合、矩形旋转探究|第18题注意力指标函数建模，第20题交通安全问题培养应用意识，第23题矩形旋转探究发展创新思维|

九年级数学试题 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2025的点是（　　） A．A B．B C．C D．D 2．围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 4．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用1400万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成1×1012次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（　　） A．1.4×1018 B．1.4×1019 C．14×1018 D．1.4×1020 5．下列各式中，计算正确的是（　　） A．x3+x4＝x7 B．x﹣6•x6＝0 C．（﹣2xy）3＝﹣6x3y3 D． 6．明代程大位有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人．共同饮了一十六，二十九客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？现进行了变式，大意是：好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果29位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．依题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．已知方程x2﹣kx﹣6＝0的两个根都是整数，则k的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 8．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，⊙O的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可求得π的估计值是（　　） A．3 B． C．3.14 D．3.142 9．函数y＝kx﹣k和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．抛物线y＝2x2﹣kx+3的对称轴是直线x＝1，则该函数的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．都不对 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如果代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 12．有下列代数式：①10am﹣15a；②4xm2﹣9x；③4am2﹣12am+9a；④﹣4m2﹣9．其中，含有因式2m﹣3的是　 　 （填序号）． 13．不等式组的最大整数解是　 　 ． 14．观察如图图形，把黑色围棋子按如图所示的规律摆放，第1个图案有4颗棋子，第2个图案有7颗棋子，第3个图案有10颗棋子…第2024个图案有n颗棋子，则n的值为　 　 . 15．如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD交于点H，下列选项正确的序号是　 　 ． ①AE＝DC； ②∠DHA＝60°； ③DH＝HC； ④连接HB，则HB平分∠AHC． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（8分）计算： （1）； （2）解分式方程：． 17．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，OP交⊙O于点C． （1）如图1，作∠BOP的角平分线，交BP于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． （2）如图2，在（1）的条件下，若DP＝2BD＝4，求阴影部分的面积． 18．（8分）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，点D是⊙O上的一点，AD＝CD，且∠ADC＝120°． （1）如图1，求证：CD是⊙O的切线； （2）如图2，过BC上的点P，作AD的平行线，交⊙O于点E，F，若AB＝6，BP＝2．求BE•BF的值． 20．（10分）每年12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度DE为6米．现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，如图，汽车里司机A与斑马线前后两端的视角∠FAE，∠FAD的大小分别为15°和30°，司机与车头的水平距离BC为1米，与车顶的垂直距离为0.2米． （1）旅游车高约多少米？ （2）为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离CD不得小于3米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？（E，D，C，B四点在平行于斑马线的同一直线上） （参考数据：tan15°≈0.27，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，1.73，1.41） 21．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）． （1）若该函数的图象经过（﹣1，0）和（3，0）两点，求该函数的表达式，并写出该函数图象的顶点坐标； （2）写出一组b，c的值，使函数y＝x2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由； （3）若b＝c＝1，点（x1，y1），（x2，y2）为函数图象上的两点，且x1•x2＝2．求y1+y2的最小值． 22．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形； （3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标． 23．（13分）（1）【问题发现】如图1，矩形AEFG与矩形ABCD相似，且矩形AEFG的两边分别在矩形ABCD的边AB和AD上，连接CF． ①线段CF与DG的数量关系为 　 　 ；②直线CF与DG所夹锐角的度数为 　 　 ； （2）【类比探究】如图2，将矩形AEFG绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． （3）【知识迁移】如图3，当矩形ABCD的边AD＝AB时，点E为线段CD上异于D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD＝4，DE＝2，直接写出DH的长 　 　 ． （4）【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，点P时直线BC上一动点，连接PA、PD，直接写出的取值范围 　 　 ．（用含有a、b的代数式表示，可以不化简） 2026年05月27日taianliu20的初中数学平行组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B D B C A A A 11．x且x≠0． 12．①②③． 13．20． 14．6073． 15．①②④． 16．（1）；（2）． 17．（1）见解析； （2）． 解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，过点D作DH⊥OP于H， ∵DB是⊙O的切线， ∴OB⊥BP， ∵OD平分∠BOP，DH⊥OP， ∴BD＝DH， ∵DP＝2BD＝4， ∴DP＝2DH， 在Rt△DHP中，， ∴∠P＝30°， ∴∠BOP＝60°， ∴， ∴，， ∴． 18．（1）线段AB所在的直线的解析式为y1＝2x+20．C、D所在双曲线的解析式为y2； （2）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1＝2， ∴y1＝2x+20． 设C、D所在双曲线的解析式为y2， 把C（25，40）代入得，k2＝1000， ∴y2； （2）令y1＝36， ∴36＝2x+20， ∴x1＝8 令y2＝36， ∴36， ∴x227.8 ∵27.8﹣8＝19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 19．（1）证明见解答； （2）BE•BF的值为6． （1）证明：如图1，连接OD，则OA＝OD， ∵AD＝CD，∠ADC＝120°， ∴∠A＝∠C（180°﹣120°）＝30°， ∴∠ODA＝∠A＝30°， ∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ODA＝120°﹣30°＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：如图2，作BG⊥PE于点G，连接AF，则∠PGB＝∠EGB＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝∠EGB＝90°， ∵∠FAB+∠FEB＝180°，∠GEB+∠FEB＝180°， ∴∠FAB＝∠GEB， ∴△AFB∽△EGB， ∴， ∴BE•BF＝AB•BG， ∵PF∥AD， ∴∠BPG＝∠DAC＝30°， ∵AB＝6，BP＝2， ∴BGBP2＝1， ∴BE•BF＝AB•BG＝6×1＝6， ∴BE•BF的值为6． 20．（1）旅游车高约为3.2米； （2）该旅游车停车符合上述安全标准，理由见解答． 解：（1）由题意得：AB⊥BE，AF∥BE， ∴∠FAE＝∠AED＝15°，∠FAD＝∠ADB＝30°， ∵∠ADB是△ADE的一个外角， ∴∠EAD＝∠ADB﹣∠AED＝15°， ∴∠AED＝∠EAD＝15°， ∴DE＝AD＝6米， 在Rt△ABD中，ABAD＝3米， ∵司机与车顶的垂直距离为0.2米． ∴旅游车高约＝3+0.2＝3.2（米）， ∴旅游车高约为3.2米； （2）该旅游车停车符合上述安全标准， 理由：在Rt△ABD中，AD＝6米，∠ADB＝30°， ∴BD＝AD•cos30°＝63（米）， ∵BC＝1米， ∴CD＝BD﹣BC＝31≈4.19（米）， ∵4.19米＞3米， ∴该旅游车停车符合上述安全标准． 21．（1）y＝x2﹣2x﹣3，（1，﹣4）； （2）b＝3，c＝1；理由见解析； （3）． 解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴该函数图象的顶点坐标是（1，﹣4）； （2）例如b＝3，c＝1，此时y＝x2+3x+1， ∵Δ＝32﹣4×1×1＝5＞0， ∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点； （3）∵b＝c＝1， ∴y＝x2+x+1， ∵点（x1，y1），（x2，y2）为函数图象上的两点，且x1•x2＝2， ∴y1＝x1，y2＝x2， ∴y1+y2 ， ∵1＞0， ∴当时，y1+y2有最小值，最小值为． 22.（1）y＝x2﹣4x+3，D（2，﹣1）； （2）见解析； （3）P（，）． （1）解：设函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， 即：3a＝3，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点D（2，﹣1）； （2）证明：∵OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴AM＝MB＝AB•sin45°， ∵AD＝BD， ∴AM＝MB＝AD＝BD， ∴四边形ADBM为菱形， ∵AM⊥BC， ∴∠AMB＝90°， ∴四边形ADBM为正方形； （3）解：∵B（3，0），C（0，3）， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∵点P在抛物线上，且位于直线BC下方， ∴设P（p，p2﹣4p+3），其中，0＜p＜3， 如图所示，作PM∥y轴，交BC于点M， ∴M（p，﹣p+3）， ∴PM＝yM﹣yP＝﹣p2+3p， ∵S△PBC＝S△PMB+S△PMC，S△PMB，S△PMC， ∴S△PBC（﹣p2+3p）×3， 整理可得：S△PBC（p）2，其中0＜p＜3， ∵0， ∴当p时，S△PBC取得最大值， 将p代入y＝x2﹣4x+3，得y， ∴此时点P的坐标为（，）． 23．（1）CF＝2DG；60°； （2）成立，理由见解答； （3）； （4）． 解：（1）①如图，延长EF交DC于H， 直线CF与DG所夹锐角度数为60°， 矩形AEFG与矩形ABCD相似，且矩形AEFG的两边分别在矩形ABCD的边AB和AD上， ， 在Rt△ABC中， 在Rt△ABC中，， ∴∠ACB＝∠CAD＝60°， 故答案为：CF＝2DG；60°； （2）成立，理由如下： 如图，连接AC，AF， ∵矩形AEFG与矩形ABCD相似， ∴∠CAD＝∠FAG＝90°，， ∵∠CAF+∠FAD＝∠GAD+∠FAD， ∴∠CAF＝∠GAD， ∴△AFC∽△AGD， BC：， 设BC＝AD＝k（k＞0）， 则， ∴， ∴， ∴， ∴2DG＝FC； （3）如图，连接AC，AH， 在矩形ABCD中， ∵AD＝AB， ∴ABCD为正方形， ∴∠CAD＝45°， ∵AEFG为正方形，点H为正方形AEFG的中心， ∴∠EAH＝45°， ∴∠CAE+∠EAD＝∠DAH+∠EAD， ∴∠CAE＝∠DAH， ∴AD＝4，DE＝2， ∴， ， ， ∴， ∴△ACE∽△ADH， ∴， ∴CE＝CD﹣DE＝2， ∴， 故答案为：； （4）构造△ABE∽△APD， ∴， ∴△ABP∽△AED， ∴E在AD为直径的圆弧上运动， ∴BOd≤BE≤BOd， ∵BO， ∴a≤BEa， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/27 6:39:55；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@163.com；学号：4961344 第1页（共1页） 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