2026年山东青岛市黄岛区黄岛初级中学等校中考数学模拟卷一

**基本信息** 九年级数学二模试卷，以南昌大学校车、方特租车等现实情境为载体，覆盖函数、几何、统计等核心知识，通过梯度设计考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|实数大小比较、图形对称与视图、坐标系平移|7题药薰消毒数据表格分析，考查数据意识| |填空题|5/15|分母有理化、科学记数法、统计估计、旋转角度|14题圆中阴影面积计算，融合几何直观与运算能力| |解答题|10/78|不等式组、概率、统计图表、几何证明、函数应用|20题等角六边形三问递进（位置关系、边相等、和关系），23题铅球运动函数模型，24题四边形中点问题延伸，均体现推理能力与创新意识|

九年级数学试题 一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1．在下列四个数中，最小的数是（　　） A．1.5 B．﹣2 C．﹣4 D．3 2．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点P（﹣5，﹣1）先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点P'，则点P'的坐标是（　　） A．（﹣1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（﹣1，﹣3） D．（1，3） 5．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠2＝105°，则∠1＝（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 6．某中学举行攀登一座480m高的山，第一小组的攀登速度是第二小组的1.2倍．第一小组比第二小组早15min到达山顶，求两个小组的攀登速度各是多少，若设第二小组的速度为xm/min，则可列出方程为（　　） A． B． C． D． 7．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得含药量y（毫克）与时间x（分）的部分数据如下表： 时间x/分 0 2 4 6 8 10 12 16 20 含药量y/毫克 0 1.5 3 4.5 6 4.8 4 3 2.4 则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 9．如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣2，其中A（2，0），B（0，c），且﹣3＜c＜﹣2．以下结论： ①abc＜0； ②； ③△ACD一定是钝角三角形； ④若方程ax2+（b﹣2）x+c＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则，． 其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 10．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫作分母有理化．化简　 　 ． 11．2024年国庆黄金周七天长假期间，全国共接待国内游客约765000000人次，将数765000000用科学记数法表示是 　 　 ． 12．某校为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见．校学生会从学校所有2400名学生中，随机征求了200名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有50名学生，则全校持“赞成”意见的学生人数约为　 　 人． 13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝50°，AC平分∠BAD．将四边形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一个角度，得到四边形AB′C′D′，且∠CAD′＝100°，则四边形ABCD旋转的角度是 　 　 °． 14．如图，在⊙O中，点A、B、C都在圆上，且AB＝AC，∠ACB＝75°，，则阴影部分的面积是　 　 ． 三．解答题（共1小题，满分4分，每小题4分） 15．如图，在△ABC中，∠A＝90°．请用尺规作图法，在边AC上找一点P，使点P到边AB、边BC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 四．解答题（共9小题，满分71分） 16．（9分）（1）化简：； （2）解不等式组；，并求出它的所有整数解． 17．（6分）南昌大学，拥有前湖校区与青山湖校区等多个教学区域，校方后勤部精心安排了A，B，C三条专用车线，服务于教职工的日常通勤需求，确保往返于工作地点与生活社区之间的便捷通行．现有甲、乙两名教师各自随机选择搭乘一辆校车返程回家． （1）“甲、乙两名老师同坐A车”是 　 　 （填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的概率是多少？ 18．（6分）为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2）、B（2≤x＜4）、C（4≤x＜6）、D（x≥6），并根据调查结果绘制了如 图两幅不完整的统计图： （1）本次共调查了 　 　 名学生； （2）在扇形统计图中，等级D所对应的圆心角为 　 　 度： （3）本次调查的每名学生每周课外阅读的总时间的众数落在的“组别”是 　 　 ，中位数落在的“组别”是 　 　 ； （4）全校有2400名学生，估计阅读时间少于2小时的学生有 　 　 名． 19．（6分）如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树AB的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼CD的高度为30m，在楼顶端C处测得松树顶端A的俯角为22°，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端A的影子落在地面上的点E处，楼顶端C的影子落在地面上的点F处，测得DE＝8m，DF＝30m，已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点B，E，D，F在同一条直线上，求松树的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 20．（8分）①如图①，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论； ②如图②，等角六边形ABCDEF中，如果有AB＝DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF相等吗？证明你的结论； ③如图③，等角六边形ABCDEF中，试判断AB+BC与DE+EF的大小，并证明你的结论. 21．（8分）为了让同学们走进中国神话传说，在体验中探索中国先进的科技力量，5月14日，我校八年级的全体师生走进鹰潭方特游乐园，开展以“绘东方神画，传华夏文明”为主题的实践活动．活动前，年级组准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用5辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元，若2辆A型和1辆B型车坐满后共载客140人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客335人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若年级组计划租用A型和B型两种客车共24辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，请问有几种租车方案？直接写出一种租金费用最少的租车方案？ 22．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，连接EF与对角线AC相交于点O． （1）求证：OE＝OF； （2）连接CE，G为CE的中点，连接OG．若OG＝2，求CF的长． 23．（10分）如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式是y＝ax2+bx+2． （1）小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为4米时，铅球行进的高度最大，为3.6米，求铅球推出的水平距离． （2）小飞第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出的铅球行进的最大高度． （3）小飞第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足12米，请直接写出b的取值范围． 24．（10分）【教材呈现】如下，是华师版九年级上册数学教材第80页的部分内容： 如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM． （1）请将以下过程或理由补充完整： 证明：∵点P，N分别是BD，AB的中点， ∴PN是△ABD的中位线， ∴　 　 ，（依据是：　 　 ） ∵点P，M分别是BD，CD的中点， ∴PM是△BCD的中位线， ∴　 　 ， ∵AD＝BC， ∴　 　 ， ∴∠PMN＝∠PNM； （2）【类比迁移】如图②，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC＝90°，AD＝10，BC＝8，点P、Q分别为AB、CD的中点，求PQ的长． （3）【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC＝120°，AD＝12，BC＝6，点P、Q分别在AB、CD边上，AP＝2PB，，则PQ＝　 　 ． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C． A D D B C D C D 10．． 11．7.65×108． 12．1800． 13．75． 14．． 15．解：如图，点P为所作． 16．（1）； （2）﹣1＜x≤3，该不等式组的所有整数解是0，1，2，3． 解：（1） • • ； （2）， 解不等式①，得：x＞﹣1， 解不等式②，得：x≤3， ∴该不等式组的解集是﹣1＜x≤3， ∴该不等式组的所有整数解是0，1，2，3． 17．（1）随机； （2）． 解：（1）“甲、乙两名老师同坐A车”是随机事件， 故答案为：随机； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的结果有3种， ∴甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的概率是． 18．（1）50； （2）108； （3）C，C； （4）192． 解：（1）本次共调查的学生人数有：13÷26%＝50（名）， 故答案为：50； （2）在扇形统计图中，等级D所对的扇形的圆心角为：360°108°； 故答案为：108； （3）C等级的人数有：50﹣4﹣13﹣15＝18（名）， 故本次调查的每名学生每周课外阅读的总时间的众数落在的“组别”是C组；中位数落在的“组别”是C组； 故答案为：C，C； （4）2400192（名）， 即估计阅读时间少于2小时的学生大约有192名． 故答案为：192． 19．松树的高度AB约为19.1m． 解：如图，过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABDH为矩形， ∴AH＝BD，AB＝DH， 设AB＝xm，则DH＝xm， 由题意知AE∥CF， ∴∠AEB＝∠F， ∵∠ABE＝∠CDF＝90°， ∴△ABE∽△CDF， ∴， ∴BE＝AB＝xm， ∴CH＝CD﹣DH＝（30﹣x）m，AH＝BD＝BE+ED＝（x+8）m， 在C处测得A的俯角为22°， ∴， 解得：x≈19.1， 答：松树的高度AB约为19.1m． 20．①AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，理由见解答过程； ②EF＝BC，AF＝DC，理由见解答过程； ③AB+BC＝DE+EF，理由见解答过程． 解：①AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，理由如下： 连接AD，如图①， ∵六边形ABCDEF是等角六边形， ∴∠BAF＝∠F＝∠E＝∠EDC＝∠C＝∠B120°， ∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA＝360°， ∴∠DAF+∠EDA＝360°﹣120°﹣120°＝120°， ∵∠DAF+∠DAB＝120°， ∴∠DAB＝∠EDA， ∴AB∥DE， 同理BC∥EF，CD∥AF； ②EF＝BC，AF＝DC，理由如下： 连接AE、DB，如图②， ∵AB∥DE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝DB，∠EAB＝∠BDE， ∵∠BAF＝∠EDC， ∴∠FAE＝∠CDB， 在△AFE和△DCB中， ， ∴△AFE≌△DCB（AAS）， ∴EF＝BC，AF＝DC； ③AB+BC＝DE+EF，理由如下： 如图③，延长AF、DE相交于点P，延长FA、CB相交于点Q，延长ED、BC相交于点S， ∵六边形ABCDEF是等角六边形， ∴∠BAF＝∠ABC＝120°， ∴∠QAB＝∠QBA＝60°， ∴△QAB是等边三角形． ∴∠Q＝60°，QA＝QB＝AB， 同理：∠S＝60°，SD＝SC＝CD，∠P＝60°，PE＝PF＝EF， ∵∠S＝∠Q＝60°， ∴△PSQ是等边三角形， ∴PQ＝QS＝SP， ∴QC＝QS﹣CS＝PS﹣SD＝PD＝DE+PE＝DE+EF， ∴AB+BC＝QB+BC＝QC＝DE+EF． 21．（1）每辆A型车坐满后载客45人，每辆B型车坐满后载客50人； （2）有14种租车方案，当租用18辆A型车，6辆B型车时，租金最少，最少租金是12600元． 解：（1）设每辆A型车坐满后载客x人，每辆B型车坐满后载客y人， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型车坐满后载客45人，每辆B型车坐满后载客50人； （2）设租用A型车m辆，则租用B型车（24﹣m）辆， 根据题意得：， 解得：5≤m≤18， ∵m为正整数， ∴m＝5，6，7，…，17，18，共14个值， ∴有14种租车方案， 设所需租金费用为w元， 由题意得：w＝500m+600（24﹣m）＝﹣100m+14400， ∵﹣100＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝18时，w取得最小值＝﹣100×18+14400＝12600， 此时24﹣m＝6， 答：有18种租车方案，当租用18辆A型车，6辆B型车时，租金最少，最少租金是12600元． 22．（1）证明见解答； （2）CF的长为4． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在AB，CD上， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AEO＝∠CFO， ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， ∴AE＝CF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF． （2）解：∵OE＝OF， ∴O为FE的中点， ∵G为CE的中点， ∴OGCF， ∵OG＝2， ∴CF＝2OG＝4， ∴CF的长为4． 23．（1）铅球推出的水平距离为10米； （2）推出铅球行进的最大高度为2.45米； （3）b范围是b． 解：（1）∵铅球运行到水平距离为4m时，铅球行进的最大高度为3.6m， ∴抛物线顶点为（4，3.6）， ∴y＝a（x﹣4）2+3.6＝ax2﹣8ax+16a+3.6， ∵铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝ax2+bx+2， ∴16a+3.6＝2， ∴a＝﹣0.1， ∴y＝﹣0.1x2+0.8x+2， 令y＝0，则0＝﹣0.1x2+0.8x+2， ∴x＝﹣2（舍去）或x＝10， ∴铅球推出的水平距离为10米； （2）∵推出的水平距离刚好与第一次相同，且a， ∴x＝10是x2+bx+2＝0的解， ∴﹣5+10b+2＝0， ∴b＝0.3， ∴yx2+0.3x+2（x﹣3）2+2.45， ∵0， ∴当x＝3时，y最大值为2.45， ∴推出铅球行进的最大高度为2.45米； （3）∵小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同， ∴yx2+bx+2， ∵推出的水平距离超过第一次，但不足12米， ∴0x2+bx+2的一个根在10到12之间， ∴当x＝10时，yx2+bx+2的函数值和x＝12时，yx2+bx+2的函数值异号， ∴（10b﹣3）（12b﹣5.2）＜0， ∴b， ∴b范围是b． 24．（1）PNAD，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，PMBC，PN＝PM； （2）PQ的长是； （3）4． 解：（1）证明：∵点P，N分别是BD，AB的中点， ∴PN是△ABD的中位线， ∴PNAD，（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半） ∵点P，M分别是BD，CD的中点， ∴PM是△BCD的中位线， ∴PMBC， ∵AD＝BC， ∴PN＝PM， ∴∠PMN＝∠PNM， 故答案为：PNAD，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，PMBC，PN＝PM． （2）如图②，连结BD，取BD的中点G，连结PG、QG， ∵点P，G分别是AB，BD的中点，AD＝10， ∴PG是△ABD的中位线， ∴PG∥AD，PGAD＝5， ∵点G，Q分别是BD，CD的中点，BC＝8， ∴GQ是△BCD的中位线， ∴GQ∥BC，GQBC＝4， ∵∠BPG＝∠A，∠DGQ＝∠DBC，∠A+∠ABC＝90°， ∴∠PGD＝∠BPG+∠ABD＝∠A+∠ABD， ∴∠PGQ＝∠PGD+∠DGQ＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝90°， ∴PQ， ∴PQ的长是． （3）如图③，连结DB，在DB上取一点I，使IBDB，则DIDB，连结PI，IQ， ∵AP＝2PB，， ∴PBAB，DQDC， ∴，， ∵∠PBI＝∠ABD，∠QDI＝∠CDB， ∴△PBI∽△ABD，△QDI∽△CDB， ∴∠BPI＝∠A，，∠DIQ＝∠DBC，， ∴PI∥AD，IQ∥BC， ∵AD＝12，BC＝6， ∴PIAD12＝4，IQBC6＝4， ∴PI＝IQ， ∵∠BPI＝∠A，∠DIQ＝∠DBC，∠A+∠ABC＝120°， ∴∠PID＝∠BPI+∠ABD＝∠A+∠ABD， ∴∠PIQ＝∠PID+∠DIQ＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝120°， ∴∠IPQ＝∠IQP（180°﹣120°）＝30°， 作IH⊥PQ于点H，则PH＝QH，∠IHP＝90°， ∴cos30°， ∴PHPI4＝2， ∴PQ＝2PH＝2×24， 故答案为：4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/27 6:26:15；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@163.com；学号：4961344 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $