专题04 正弦定理、余弦定理及面积公式的应用12大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦正弦定理、余弦定理及面积公式的逻辑应用，以12类题型构建从基础到综合的递进训练体系，突出数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3题型（6+4+4题）|解三角形、判断解的个数、求外接圆半径|从定理直接应用到易错点辨析，夯实概念理解| |性质应用|2题型（6+5题）|边角互化、判断三角形形状|通过边与角的转化，培养推理能力| |度量计算|4题型（5+4+6+5题）|周长/面积计算及最值|结合公式与不等式，提升数学思维| |综合拓展|3题型（5+4+3题）|实际应用、向量/不等式融合|联系现实与跨知识，发展应用意识|

专题04 正弦定理、余弦定理及面积公式的应用 题型1 正、余弦定理解三角形（常考点） 题型7 求三角形周长的最值（取值范围）（难点） 题型2 正弦定理判断解的个数（易错点） 题型8 三角形面积公式的应用（常考点） 题型3 正弦定理求外接圆半径 题型9 求三角形面积的最值（范围）（难点） 题型4 边角互化（重点） 题型10 解三角形的实际应用 题型5 判断三角形的形状 题型11 解三角形与向量的融合 题型6 求三角形的周长（常考点） 题型12 解三角形与不等式的融合 题型一 正、余弦定理解三角形（共6小题） 1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）记的内角，，的对边分别是，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 题型二 正弦定理判断解的个数（共4小题） 7．（25-26高一下·重庆·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 题型三 正弦定理求外接圆半径（共4小题） 11．（25-26高一下·广东江门·期中）在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（   ） A．6 B．12 C． D． 12．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 13．（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 14．（25-26高一下·宁夏银川·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________. 题型四 边角互化（共6小题） 15．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 16．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 17．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 19．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）中，，则________． 20．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 题型五 判断三角形形状（共5小题） 21．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 22．（25-26高一下·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 23．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 24．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 25．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型六 求三角形的周长（共5小题） 26．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 27．（25-26高一下·广西河池·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 28．（2026·河南许昌·三模）的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 29．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值. (2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长； 30．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值. (2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长； 题型七 求三角形周长的最值（范围）（共4小题） 31．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32.（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一下·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 34．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 题型八 三角形面积公式的应用（共6小题） 35．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 36.（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 38．（多选）（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，的面积为，则（    ） A．外接圆的面积为 B． C．是等边三角形 D．的周长是 39．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______． 40．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________. 题型九 三角形面积的最值（范围）（共5小题） 41．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为(     ) A． B．2 C． D． 42．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为 43．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 44．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 45．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 题型十 解三角形的实际应用（共5小题） 46．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（    ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．45海里 47．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 49．（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 50．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘故障船．在处北偏西75°方向，距处2海里的处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从处向北偏东30°方向行驶．救援船最快追上故障船需要（   ）（精确到1分钟，） A．12分钟 B．15分钟 C．16分钟 D．19分钟 题型十一 解三角形与向量的融合（共4小题） 51．（25-26高一下·重庆·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 52．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 53．（多选）（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）“费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中，角所对的边分别为，且 ，，，点 为 的费马点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 54．（25-26高一下·上海奉贤·期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 题型十二 解三角形与不等式的融合（共3小题） 55．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知锐角三角形中角的对边分别为，且，不等式对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数的最大值为（    ） A．不存在 B． C． D． 56．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 57．（25-26高一下·山西长治·期中）在中，内角的对边分别为，已知 . (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； (3)若恒成立，求实数的最小值. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 正弦定理、余弦定理及面积公式的应用 题型1 正、余弦定理解三角形（常考点） 题型7 求三角形周长的最值（取值范围）（难点） 题型2 正弦定理判断解的个数（易错点） 题型8 三角形面积公式的应用（常考点） 题型3 正弦定理求外接圆半径 题型9 求三角形面积的最值（范围）（难点） 题型4 边角互化（重点） 题型10 解三角形的实际应用 题型5 判断三角形的形状 题型11 解三角形与向量的融合 题型6 求三角形的周长（常考点） 题型12 解三角形与不等式的融合 题型一 正、余弦定理解三角形（共6小题） 1．（25-26高一下·湖南株洲·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】在中由正弦定理，可得： 已知，则，且， 代入上式：，解得. 2．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）记的内角，，的对边分别是，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 3．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即. 由余弦定理得. 中，，所以. 4．（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】设，由余弦定理得： . 代入已知条件： . 化简计算，整理得. 解得或（边长为正，舍去负根），故. 5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，把，代入中化简， ， ， 结合基本不等式， ， 即，当且仅当时，取等号， 又，所以，为钝角，. ，,， 由二倍角公式，得，即. 6．（25-26高一下·广东广州·期中）在三角形中，为边上的一点，若，，，，则__________. 【答案】2 【详解】在中，，所以. 在中，，所以. 所以 . 因为为边上的一点，所以， 即， 则， 整理得，解得. 题型二 正弦定理判断解的个数（共4小题） 7．（25-26高一下·重庆·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一： 已知是锐角，固定角、边，画： 把角固定，一边固定射线，另一边为线段且. 过点向作高， ，这是点到直线的最短距离， 边是的长， ：以为圆心、为半径画圆， 和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解， 即三角形有两解的条件为 ， 计算 ， 所以 的取值范围为 . 方法二： 已知，，由余弦定理：， 代入得，整理为：， 有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 设方程两根为，满足：， 解得: . 两根之和：，恒成立， 两根之积： ⇒ ⇒ ， 综上所述，的取值范围：. 8．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 9．（多选）（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BD 【详解】对于A，由，得， 因为为锐角，且，，即， 所以三角形有两解，A错误； 对于B，由，得， 因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确； 对于C，因为，则是的最大内角， 又由，得，所以无解，C错误； 对于D，由，得，，恰有一个解，D正确． 10．（25-26高一下·广东江门·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【答案】 【详解】在中，由正弦定理及有两解， 得且，解得， 所以所求的取值范围是. 题型三 正弦定理求外接圆半径（共4小题） 11．（25-26高一下·广东江门·期中）在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 设外接圆的半径为，， 则， 所以外接圆的半径为. 12．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角，，所对的边为，，.若，，则外接圆的面积为____________. 【答案】 【详解】设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，故， 则外接圆的面积. 13．（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 【答案】1 【详解】∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴. 14．（25-26高一下·宁夏银川·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则其外接圆的半径为__________. 【答案】 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以，即， 由正弦定理知，，即. 题型四 边角互化（共6小题） 15．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 16．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为，且，则一定为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理得，所以. 由，两边同除以，得. 两边同乘，得. 因为，所以，故，即. 所以一定为直角三角形. 17．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则， 所以， 在中，有， 故． 18．（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期中）在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．是的充要条件 B．若，则 C．若，则 D．若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【详解】选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：， 因此是的充要条件. 选项B，若，结合内角和，得. 由正弦定理，B错误. 选项C，由正弦定理，将化边为角： 左边， 因此原式得， 中，故，又，得. 选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：， 因此，即，为等腰三角形. 19．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）中，，则________． 【答案】 【详解】根据题意，， 由正弦定理得， 即， 则， 因为，则， 所以，则， 因为，则. 20．（25-26高一下·江苏盐城·期中）在斜内，内角所对的边分别为，若，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 所以 因为，，为外接圆半径， 所以 因为， 所以， 题型五 判断三角形形状（共5小题） 21．（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】因为，由余弦定理得，整理得， 因为，所以，所以为等腰三角形. 22．（25-26高一下·上海浦东新·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 23．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】由三角形内角和 ，得 ， 因此原方程等价于 ，即 ， ， 则或，则是等腰或直角三角形． 24．（25-26高一下·四川资阳·期中）在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 25．（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 题型六 求三角形的周长（共5小题） 26．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）在三角形中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以. （2）因为，，且，即，则 又因为的面积为，即，则， 可得，即， 所以周长. 27．（25-26高一下·广西河池·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，可得， 因为，所以，所以，故. （2），解得， 由余弦定理可得， 解得，故的周长为. 28．（2026·河南许昌·三模）的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 又，所以．即， 由余弦定理得，得，即 ． 因为，所以，所以，所以． 所以． 因此或（舍去），所以． （2）因为的面积为，所以． 所以① 由正弦定理设，因为. 所以． 所以，，． 代入①式，解得，所以，，． 所以的周长为． 29．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值. (2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长； 【答案】(1)；(2)30 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长. 30．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值. (2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长； 【答案】(1)；(2)30 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长. 题型七 求三角形周长的最值（范围）（共4小题） 31．（25-26高一下·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 32.（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即. 而， 所以，即. 由于为锐角，所以，， 所以与异号或， 若，即， 又，，则，， 所以，即，此不等式组无解，所以不成立. 同理可得不成立. 所以， 即，所以，，即为直角三角形. 由题意知，，即，所以. 所以的周长， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 33．（25-26高一下·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，，且，得， 由正弦定理得，而，则， ，又，所以. （2）在中，，，由正弦定理得， 由，设，又为锐角三角形，则， 而， 因此 所以周长的取值范围是. 34．（25-26高一下·辽宁大连·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)6 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 在中， ， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， ， 又，所以，所以， 又因为，所以． （3）由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为6． 题型八 三角形面积公式的应用（共6小题） 35．（25-26高一下·贵州毕节·期中）在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由及余弦定理，得， 则，所以的面积为. 36.（25-26高一下·福建福州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 37．（25-26高一下·广东珠海·期中）记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得， 即，解得，而为三角形内角，所以， ，， 所以。 则.故选：B. 38．（多选）（25-26高一下·广东佛山·期中）在中，，，的面积为，则（    ） A．外接圆的面积为 B． C．是等边三角形 D．的周长是 【答案】ABD 【详解】由三角形面积公式：， 代入得： ，解得， 由余弦定理，代入得： ， 结合得， 因此，得， 选项A： 由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得： ，得，外接圆面积，A正确， 选项B： 由正弦定理，， 得，代入， ，B正确， 选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误， 选项D： 周长为，D正确. 39．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______． 【答案】 【详解】由和余弦定理，可得， 因，则， 又由可得， 因，则 ， 由正弦定理得，，设， 则，解得（负值舍去）， 所以． 40．（25-26高一下·四川内江·期中）在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 由正弦定理可得：，又，所以， 因为面积为4，所以，① 由余弦定理可得：， 所以，② ①②可得：，即， 所以. 题型九 三角形面积的最值（范围）（共5小题） 41．（25-26高一下·青海海东·期中）已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为(     ) A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理，将角化边， 得，整理得. 由余弦定理，得，又，故. 将代入，得. 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取等号. 又三角形面积， 因此，，即面积的最大值为. 42．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且满足， ，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．面积的最大值为 D．周长的取值范围为 【答案】ACD 【详解】因为，且， 则， 由正弦定理得， 所以， 整理得，而， 故，故， 所以，而为三角形内角， 故，所以，故A正确，B错误. 而，则． 由基本不等式（当且仅当时取等号），已知， 故，解得（当且仅当时取等号）． 因此，故C正确 周长，由余弦定理， 故，而，故， 故．因此周长的取值范围为． 43．（25-26高一下·天津南开·期中）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【答案】 ； 【详解】已知，根据正弦定理，. 因为，且，化简得. 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故，解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积. 由，得，故， 因此. 44．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； （2）， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 45．（25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得， 将代入上式解得，所以， 则. （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又，所以， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 题型十 解三角形的实际应用（共5小题） 46．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（    ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．45海里 【答案】B 【详解】设渔船航行路程为，所以海里，由已知，所以， ，延长，过点作延长线于，所以， 设，因为，所以，，，， ，所以，，所以，，所以，解得， ，所以（海里），此时渔船与灯塔的距离为海里. 47．（25-26高一下·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 48．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【答案】A 【详解】在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． 则B、C两点间的距离为海里. 49．（25-26高一下·重庆·期中）云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 可得： 解得： 50．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘故障船．在处北偏西75°方向，距处2海里的处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从处向北偏东30°方向行驶．救援船最快追上故障船需要（   ）（精确到1分钟，） A．12分钟 B．15分钟 C．16分钟 D．19分钟 【答案】B 【详解】如图，设救援船行驶小时在处最快追上故障船， 则救援船沿方向行驶，且，． 由题意，得，连接． 在中，由余弦定理，得 ， 即． 由正弦定理，得， 则． 又因为，所以，即点在点的正东方向上， 则． 在中，由正弦定理，得，则． 又因为，则，所以救援船沿北偏东的方向行驶． 在中，，则，即， 所以，解得小时，所以分钟， 所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 题型十一 解三角形与向量的融合（共4小题） 51．（25-26高一下·重庆·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】B 【详解】根据余弦定理，则. 根据三角形面积公式，则， 化简得，即.因为是三角形内角，所以. 又，由，可得. 则. 如图所示，在边上分别取点，使， 以为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，且，， . 又，且，，即. 又，所以，进而，所以是等腰直角三角形. 52．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】已知，，所以，化简得. 由是中点，，所以， 化简得，进而. 因为，所以. 由基本不等式，且，所以，当且仅当， 即，最小值为. 53．（多选）（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）“费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中，角所对的边分别为，且 ，，，点 为 的费马点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以，因为，所以， 代入，解得，所以A正确； 在中，根据余弦定理，解得， 所以，所以，， 由于最大内角，所以费马点 满足， 如图所示，，， ，，， ，化简得，所以C正确； 设，则，, 中，由余弦定理得， 所以，解得（舍去负根） 则，，， 所以，所以B错误； 过点作，垂足为，在上的投影向量为， ， 所以，即， 所以在上的投影向量为，D正确. 54．（25-26高一下·上海奉贤·期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）由可知为的三等分点， ． ， ， ，即，． ． 为中点，且E，O，F共线， ，则, ，解得． ． （2），． ，， 是的中点， ． ． ，，三点共线， ． 整理得，即． 为定值3． （3）． 由（2）知， ． 令，则， ，，． ． ， 当时，分母取最大值． 的最小值为． 题型十二 解三角形与不等式的融合（共3小题） 55．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知锐角三角形中角的对边分别为，且，不等式对于任意满足条件的此三角形恒成立，则实数的最大值为（    ） A．不存在 B． C． D． 【答案】B 【详解】， 在中，由正弦定理得 由题意，得 由，解得. ∵在上都是单调递减函数， ∴在上单调递减 故，即实数的最大值为. 56．（25-26高一下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 因为，所以， 因为，所以； （2）， 由余弦定理得， 化简得，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，故的面积最大值为. 57．（25-26高一下·山西长治·期中）在中，内角的对边分别为，已知 . (1)求角的值； (2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围； (3)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）在中，∵，∴． ∴ 即， ∴， ∵，∴， ∵，∴. （2）由正弦定理，. 由的面积为， 由为锐角三角形，得，解得， 则，那么， 从而. （3）由恒成立，即， 由，， 即， 由，当且仅当，即时取等号， 所以. 所以由恒成立，知， 从而实数的最小值为. 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $