青海省西宁市虎台中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年西宁市虎台中学七年级（下）期中数学试卷，以实数、坐标、方程组、几何为核心，通过无人机表演坐标平移、AI助教采购等真实情境，融合“对称二元一次方程组”创新定义题，考查抽象能力、推理意识与模型意识，实现基础巩固与创新应用的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|无理数判断、坐标象限、方程组建模|结合数轴化简考查符号意识，运动规律题培养空间观念| |填空题|8/20|命题改写、坐标距离、平移性质|等腰直角三角板与直尺组合，考查几何直观与推理能力| |解答题|7/56|方程组应用、角平分线证明、新定义运算|AI助教采购问题强化模型意识，“对称方程组”定义题发展创新思维|

2025-2026学年青海省西宁市城中区虎台中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列实数，，，，，，…每相邻两个3之间依次多一个中，无理数的个数有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.若点P在第二象限，则点P的坐标可能是(    ) A. B. C. D. 3.估计的值在(    ) A. 6和7之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 3和4之间 4.甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路.甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程.已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米.根据题意，所列方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 5.在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置.若点平移后的对应点为，则点平移后的器对应点的坐标是(    ) A. B. C. D. 6.实数a、b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果是(    ) A. 2a B. 2b C. D. 0 7.下列说法中，正确的个数有(    ) ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②无理数包括正无理数、0和负无理数； ③带根号的数都是无理数； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8.如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2025次运动后，点的坐标是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共20分。 9.把命题“同位角相等”改写成“如果那么”的形式是______，它是______命题．填“真”或“假” 10.在平面直角坐标系中，点P在第四象限内，且P点到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为          . 11.比较大小：______，______ 12.把一块等腰直角三角板和直尺如图放置，如果，则的大小为       13.班长小刚用170元为班里购买了若干副羽毛球拍和乒乓球拍，已知羽毛球拍每副30元，乒乓球拍每副20元，则购买方案有        种. 14.已知直线AB与直线CD相交于点O，，于点O，则      . 15.如图，在三角形ABC中，，，，将三角形ABC沿BC方向平移，得到三角形DEF，且AC与DE相交于点G，连接则阴影部分的两个三角形周长之和为        16.下列说法中：①的平方根是；②是9的一个平方根；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤；⑥的立方根是其中正确的有        只填序号 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解方程： ； 18.本小题8分 计算： ； 19.本小题8分 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，  若，求的度数；  若：：4，求的度数 20.本小题6分 为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型AI助教机器人和B型智慧课堂系统.若购买1套A型AI助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型AI助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元.求A、B两种教学设备的单价. 21.本小题8分 如图，点E在的边AC上，点F在边CB的延长线上，AB与EF交于点G，DE平分交BC于点D， 求证：； 若，求的度数. 22.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，若a、b、c满足关系式： 求三角形ABC的面积. 存在一点，使三角形AOP的面积与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标. 23.本小题10分 【定义】我们把关于x、y的两个二元一次方程与叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”.例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于x、y的“对称二元一次方程组”. 【理解】方程的“对称二元一次方程”是______； 若关于x、y的方程组为“对称二元一次方程组”，求a，b的值； 观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元. 解：两式相加：即，③， 两式相减：即，④， 代入求解：把④代入方程③，得：，解得，则 所以这个方程组的解是： 根据上述解题过程直接写出方程组的解： ①的解为______. ②的解为______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，开方开不尽，，是无限不循环小数，…每相邻两个3之间依次多一个是无限不循环小数， 无理数有：，，…每相邻两个3之间依次多一个个， 故选： 先用算术平方根或立方根的定义对、和进行化简，然后根据实数的分类进行判断即可． 本题主要考查无理数、算术平方根和立方根，掌握实数的分类是关键． 2.【答案】B  【解析】解：A、横、纵坐标均为负，属于第三象限，不符合题意； B、横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征，符合题意； C、横坐标为正、纵坐标为负，属于第四象限，不符合题意； D、横、纵坐标均为正，属于第一象限，不符合题意； 故选： 根据第二象限内点的横坐标小于0、纵坐标大于0逐项判断即可． 本题考查的是点的坐标，熟记平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：， ， 的值在5与6之间． 故选： 直接利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案． 此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数． 4.【答案】D  【解析】解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 依题意得：， 故选： 根据甲工程队每天比乙工程队多施工3米，可得方程，根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得，选择符合题意的选项即可． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，明确题意，列出相应的方程组是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：由题知，  因为点A坐标为，且平移后的对应点为，  则，  因为点B坐标为，  则，，  所以点平移后的对应点的坐标为  故选： 根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 本题主要考查了坐标与图形变化-平移及坐标确定位置，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：由数轴可得：，，， 故原式 故选： 直接利用数轴结合绝对值以及立方根的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数与数轴，正确化简各式是解题关键． 7.【答案】B  【解析】解：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，不符合题意； ②无理数包括正无理数和负无理数，不符合题意； ③带根号的数不一定是无理数，不符合题意； ④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，不符合题意． 故选： 根据平行公理及推论，平行线的判定与性质，实数的分类，点到直线距离的定义判断即可． 本题考查了平行公理及推论，平行线的判定与性质，点到直线距离的定义，熟练掌握相应的知识是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，先沿边长为2的等边三角形的边运动，再沿边长为2的正方形的边运动，点M的位置变化满足运动5次一循环，  ，  .即点M的2025次运动与第5次运动的位置相同，  第5次坐标，  第10次坐标，  第15次坐标，  ……，  第5n次坐标，  第2025次坐标为即，  故选： 由点的坐标变化得，坐标变化满足每5次一循环，探究出纵坐标为0，然后再探究其横坐标的变化规律即可． 本题考查了点在坐标系中的变化规律，找到点M的变化规律是解答本题的关键． 9.【答案】如果有两个角是同位角，那么这两个角相等；假  【解析】解：把命题“同位角相等”改写成“如果那么”的形式是“如果有两个角是同位角，那么这两个角相等”，它是假命题． 故空中填：如果有两个角是同位角，那么这两个角相等；假． 命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”的后接部分是题设，“那么”的后接部分是结论．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，能推出结论的即真命题，反之就是假命题． 正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 10.【答案】  【解析】解：因为点P在第四象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， 所以点P的横坐标是2，纵坐标是， 所以点P的坐标为 故答案为： 根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，点到坐标轴的距离，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 11.【答案】>，  【解析】解：，，且， ， 故答案为：>； ， ， ， 故答案为： 通过比较的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小绝对值大的反而小即可；先比较的大小，然后比较的大小即可． 本题主要考查算术平方根和实数大小比较，正确进行计算是解题关键． 12.【答案】13  【解析】解：如图所示，作， ， ， ，， 由题意得，， ， 故答案为： 由平行线的性质得，，由等腰直角三角形的性质得，进而得出答案． 本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，同位角相等”找出、是解题的关键． 13.【答案】3  【解析】解：设购买羽毛球拍x副，乒乓球拍y副， 则， 两边除以10得， ，y为正整数， 需为正整数且，， 即为2的倍数且， ，3，5， 当时，；当时，；当时， 因此购买方案有3种． 故答案为： 设羽毛球拍x副，乒乓球拍y副，根据总价列出方程，化简得，求正整数解，需为整数且，得，3，5，对应，4，1，故有3种方案． 本题考查了二元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 14.【答案】或  【解析】解：如图， ， ， ， ； 如图， ， ， ， 故答案为：或 根据题意分两类情况，根据垂直定义可得，然后利用角的和与差可得答案． 本题主要考查了垂线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． 15.【答案】12  【解析】解：由平移的性质可知：，， 则阴影部分的两个三角形周长之和为：， 故答案为： 根据平移的性质得到，，再根据三角形周长公式计算得到答案． 本题考查的是平移的性质，熟记经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等是解题的关键． 16.【答案】②③④．  【解析】解：， 的平方根， 故①说法错误； 的平方根是， 是9的一个平方根， 故②说法正确； 的平方根是， 故③说法正确； ， 的算术平方根是， 故④说法正确； ， 故⑤说法错误； ， 故⑥说法错误， 综上，说法正确的有②③④， 故答案为：②③④． 运用平方根、算术平方根和立方根的定义计算，然后判断即可． 本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是关键． 17.【答案】，   【解析】解：， 直接开平方，得： ， 当时： ， 当时： ， 方程的解为：， ， 整理方程①： ， 整理方程②两边同乘： ④， 由③④消去y： ， ， 将代入③：， ， ， 方程组的解为： 本题可直接用直接开平方法解方程，将看作整体，开方后分两种情况求解； 先将方程组中的两个方程整理为标准形式，再用加减消元法求解． 本题考查了直接开平方法解一元二次方程和加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握直接开平方法的双解情况，以及含分母、括号方程组的化简技巧，是解题的关键． 18.【答案】0    【解析】解： ； 根据实数的运算法则运算即可； 根据实数的运算法则运算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 19.【答案】；      【解析】解：，  ，  ，  ，  ，  平分，  ；  ：：4，  设，  平分，  ，  ，  解得，  ，  ，  根据补角，余角的关系，可得 O B，根据角平分线的定义，可得答案；  根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得，再根据余角的定义，可得答案． 本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键． 20.【答案】A种教学设备的单价为80元，乙种教学设备的单价为60元．  【解析】解：设A种教学设备的单价为x元，乙种教学设备的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种教学设备的单价为80元，乙种教学设备的单价为60元． 设A种教学设备的单价为x元，乙种教学设备的单价为y元，根据若购买1套A型AI助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型AI助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元；列出二元一次方程组，解方程组即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 21.【答案】平分， ， ， ，     【解析】证明：平分， ， ， ， ； 解：，， ， ， 由角平分线的定义可得，结合可得，根据“内错角相等，两直线平行”可证； 结合对顶角的性质求出，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 本题考查角平分线的定义，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定方法． 22.【答案】15  点P的坐标是或  【解析】解：， 又，，， ，，， ，，， 点B的坐标是，点C的坐标是， 轴，轴， ， 如图，过点A作于点D， ， 的面积是； 点A的坐标是，轴，点P的坐标是， 的面积是， 三角形AOP的面积与三角形ABC的面积相等， ， ， 点P的坐标是或 根据非负数的性质求出a、b、c的值，于是得出轴，轴，再根据三角形面积公式计算即可； 根据三角形AOP的面积与三角形ABC的面积相等计算即可． 本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，非负数的性质：绝对值、偶次方、算术平方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 23.【答案】  a的值为2，b的值为   【解析】解：由题知， 方程的“对称二元一次方程”是 故答案为：； 由题知， 因为关于x、y的方程组为“对称二元一次方程组”， 所以， 解得， 所以a的值为2，b的值为； ①由题知， 两式相加得，， ①， 两式相减得，， ②， ①+②得， ， ， 将代入②得， ， 所以原方程组的解为 故答案为：； ②由题知， 两式相加得，， ①， 两式相减得，， ②， ①+②得， ， ， 将代入②得， ， 所以原方程组的解为 故答案为： 根据所给定义，写出方程即可； 根据所给定义，得出关于a，b的方程组，据此进行计算即可； 结合所给求解方法进行计算即可． 本题主要考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解及解二元一次方程组，理解所给定义及熟知解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $