湖南邵东市创新学校2025-2026学年高二下学期5月创高杯考试数学试题

**基本信息** 本试卷覆盖高二数学核心知识，通过通信信号概率、训练成绩统计等现实情境题考查数据意识，立体几何与导数题培养空间观念和推理能力，适配月考巩固与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、二项式定理等|基础概念辨析，如向量夹角计算| |多选题|3/18|双曲线性质、三角函数、概率|通信信号情境（第11题），考查逻辑推理| |填空题|3/15|等差数列、函数对称中心|如第13题曲线对称中心，抽象能力应用| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、导数、圆锥曲线、统计|分层设计，第19题训练成绩统计分析数据观念，第16题长方体线面关系考查空间观念|

创新高级中学2026年上学期创高杯考试高二数学答案 1-8：BACC DBCA 9．BC 10．ACD   11．ACD   12． 13．2 14． 15．解：（1）由得， 即， ，即，， 又，． （2）已知，，，在边上，且满足， ， ，， 在中，由余弦定理得， 在中，已知， 则 ，解得． 16．解：（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 17．解：（1）时，因为，所以， 所以当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以． （2）因为，所以等价于， 令，则， 由（1）得时，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以． 18．解：（1）设到定直线的距离为， 依题意，可得，化简得， 即曲线的方程为. （2）依题意，直线的斜率不可能是0，不妨设其方程为：， 则圆的圆心到直线的距离，即 ① 由消去，可得， 由，可得， 设，则， 则 ， 将①式代入，化简得：， 因点到直线的距离为， 则的面积为， 设，则，， 因，当且仅当时取等号， 此时， 的面积的最大值为. 19．解：（1）依题意，平均值 ， ， 上四分位数落在区间，且等于. （2）由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩， 在之内的4次，在之内的抽取了2次， 所以可取的值有：0，1，2， ，，， 分布列为： 0 1 2 . （3）法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，， 则相互互斥，所以动作优化前， 在一次资格赛中，入围的概率， 设事件B为＂动作优化成功＂，则， 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 ， 故， 由解得，又的取值范围是. 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：， 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率， 由，得，又的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新高级中学2026年上学期创高杯考试高二数学试题 （分值：150分 时间:120分钟 命题人：林老师） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 3．的展开式中的系数为（ ） A．10 B．20 C．40 D．80 4．已知，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 5． 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（   ） A．15 B．19 C．21 D．23 8．已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、 多选题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知双曲线和，其中，且，则（    ） A．与有相同的实轴 B．与有相同的焦距 C．与有相同的渐近线 D．与有相同的离心率 10．已知，则满足（    ） A．最小正周期为 B．在区间上为减函数 C．图像关于点对称 D．在区间上的最小值为 11．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（    ） A． B．当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C．一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D．若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 三、 填空题 ：本题共 3小题，每小题 5分，共15分。 12．已知等差数列的前项和为．且．则______． 13．若曲线的一个对称中心为，则的最小值为_________． 14．已知函数的值域为，且，则________. 四、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分13分) 在中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)已知，，在边上，且满足，求的长． 16．(本小题满分15分) 如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 17．(本小题满分15分) 已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若对总成立，求实数a的取值范围． 18．(本小题满分17分) 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 19．(本小题满分17分) 某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $