专题03 二项式定理及其应用8大考点（期末真题汇编，北京专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 二项式定理专题期末试题汇编，覆盖求特定项系数、参数、系数和等8个高频考点，精选北京多区近年期末真题，针对性强。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|47题|含特定项系数（如常数项计算）、二项式系数和、杨辉三角应用等|梯度设计，从基础计算（如求系数）到综合应用（如参数求解、最值问题），融入北京各区期末真题，注重实战性|

专题03 二项式定理及其应用 高频考点概览 考点 01 求二项展开式中的特定项及其系数 考点 02 求二项展开式中的参数 考点 03 求二项展开式中的二项式系数和 考点 04 求二项展开式中的各项系数和 考点 05 求奇数项或偶数项系数和 考点 06 二项式系数的最值问题 考点 07 项的系数的最值问题 考点 08 杨辉三角 ( 考点01 求二项展开式中的特定项及其系数 ) 1．（2025秋•西城区期末）在的展开式中，常数项为 　　 ．（请用数字作答） 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，，6， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 故答案为：60． 2．（2021秋•朝阳区期末）在的展开式中，的系数为 　　． 【解答】解：的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以在的展开式中，的系数为． 故答案为：10． 3．（2024秋•海淀区期末）在的展开式中，的系数为（　　） A． B．40 C． D．80 【解答】解：在的展开式中，含的项为， 故的系数为：． 故选：． 4．（2020秋•海淀区校级期末）展开式中的常数项是　　． 【解答】解：展开式的通项公式为， 令，求得，可得常数项是24， 故答案为：24． 5．（2021春•海淀区校级期末）在的展开式中，项的系数是　　（用数字作答）． 【解答】解：在的展开式中，通项公式为 ， 令，得展开式中项的系数是 ． 故答案为：． 6．（2025秋•西城区期末）在的展开式中，的系数为　　 ． 【解答】解：由已知可得二项展开式的通项， 令，可得． 即项的系数为12． 故答案为：12． 7．（2012秋•海淀区期末）在的展开式中，常数项为　　．（用数字作答） 【解答】解：展开式的通项为 令可得，，此时 故答案为：135 8．（2023春•东城区校级期末）的展开式中含的项的系数为（　　） A．24 B． C．6 D． 【解答】解：二项式展开式的通项为且， 所以展开式中含的项为， 即展开式中含的项的系数为24． 故选：． 9．（2023春•通州区期末）二项式的展开式的第3项为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：二项式的展开式的第3项为． 故选：． 10．（2023秋•昌平区期末）已知，则（　　） A． B．32 C．495 D．585 【解答】解：令，解得； 当时，；①， 当时，，②， 故①②得：，解得， 故． 故选：． 11．（2025春•北京校级期末）在展开式中的系数为（　　） A．10 B．15 C． D． 【解答】解：展开式中含的项为： ， 所以的系数为． 故选：． ( 考点02 求二项展开式中的参数 ) 12．（2024秋•石景山区期末）在的展开式中，含的项的系数是7，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意可知展开式中含的项：， ． 故选：． 13．（2022秋•昌平区期末）已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：二项式的展开式中的通项公式为， 令，可得，故的系数是，故， 故选：． 14．（2025秋•西城区校级期末）在的展开式中无常数项，则的一个取值为 　　． 【解答】解：的展开式的通项公式为， 由，得，又，，， 因此，，所以的一个取值为7． 故答案为：7（答案不唯一）． 15．（2021春•海淀区校级期末）二项式的展开式中的系数为15，则　　（用数字作答）． 【解答】解：二项式的展开式中的系数为，则， 故答案为：6． 16．（2024春•北京校级期末）在的二项展开式中，常数项为160，则的值为 　　． 【解答】解：设的二项展开式中的通项为，则，1，2，，， 令，得， 故的二项展开式中的常数项为， 解得． 故答案为：． 17．（2025秋•西城区期末）已知，且，则等于（　　） A．8 B．0 C．4 D． 【解答】解：因为， 所以令，得， 令，得， 作差可得：， 因为，所以，解得． 故选：． ( 考点0 3 求二项展开式中的二项式系数和 ) 18．（2024春•海淀区期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（　　） A．0 B． C．1 D． 【解答】解：由题意可得所有二项式系数和为． 故选：． 19．（2023春•延庆区期末）在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（　　） A．常数项为240 B．含的项的二项式系数为15 C．各项的二项式系数和为64 D．第四项为 【解答】解：根据二项式的展开式，1，2，3，4，5，， 对于：当时，展开式为常数项，故常数项为，故正确； 对于：当时，含的项的二项式系数为，故正确； 对于：二项式的系数和为，故正确； 对于：根据二项式的展开式，故错误． 故选：． 20．（2023秋•东城区校级期末）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 　　． 【解答】解：若的展开式的奇数项的二项式系数和为，， 则展开式的通项公式为． 令，求得，可得展开式中的系数为． 故答案为：． 21．（2022春•海淀区校级期末）在的展开式中，若二项式系数的和为32，则的系数为（　　） A． B．80 C． D．40 【解答】解：二项式系数的和为，所以， 展开式的通项为， 令，则， 所以的系数为． 故选：． ( 考点0 4 求二项展开式中的各项系数和 ) 22．（2023秋•西城区期末）在的展开式中，所有项的系数和等于 　　．（用数字作答） 【解答】解：令时，所有项的系数和为． 故答案为：81． 23．（2024春•大兴区期末）展开式中各项的系数和为 　　． 【解答】解：令，则， 所以展开式中各项的系数和为1． 故答案为：1． 24．（2023春•东城区校级期末）已知的展开式的二项式系数之和为32，则　　；各项系数之和为 　　．（用数字作答） 【解答】解：的展开式的二项式系数之和为32，所以，则， 令，． 故答案为：5；243． 25．（2023春•密云区期末）在的展开式中，的系数为 　　；各项系数之和为 　　（用数字作答） 【解答】解：展开式的通项公式为，，，5， 令，可得的系数为； 各项系数之和与二项式系数和相等，即为． 26．（2022秋•朝阳区校级期末）的展开式中的常数项为 　　，各项的系数和为 　　． 【解答】解：展开式的第为，其中， 当为常数项时，，解得， 常数项为， 令，， 系数和为． 故答案为：40；． 27．（2022秋•西城区校级期末）若，则　　，　　（用数字作答） 【解答】解：由题意令，则， 令，则， 所以， 因为为二项式的展开式中含项的系数，则， 故答案为：；560． 28．（2021春•东城区校级期末）若，则的值是（　　） A． B． C．0 D．1 【解答】解：令，得， 令，得， ． 故选：． 29．（2025秋•石景山区期末）已知，则　　 ；　　 ． 【解答】解：由， 令，得，即； 由， 两边同乘16，可得， 令，则， 所以， 即． 故答案为：1；81． ( 考点0 5 求奇数项或偶数项系数和 ) 30．（2024春•怀柔区期末）若，则　　． 【解答】解：， 令，①， ，②， 可得，． 故答案为：32． 31．（2023春•大兴区期末）已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的展开式中含项的系数． 【解答】解：（Ⅰ）． 令，可得， 令，可得， 两式相加除以2，可得． （Ⅱ）直接根据的展开式的通项公式， 可得的展开式中含项的系数为． 32．（2022春•东城区校级期末）已知二项式，则　　． 【解答】解：令得，①， 令得，② ①②得，． 故答案为：122． 33．（2023春•顺义区期末）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）， 令，可得． （2）由二项式定理，得 ．① 因为，② 由①②可得，，． 所以． 34．（2025秋•石景山区期末）若，则　　 ；　　 ．（用数字作答） 【解答】解：的展开式的通项为，当为奇数时，为负数，当为奇数时，为正数， 在中， 令得：， 令得：， 所以． 故答案为：64；665． 35．（2025秋•朝阳区期末）已知，则　　 ；　　 ． 【解答】解：， 令，可得； 令，可得：，故． 故答案为：1；728． ( 考点0 6 二项式系数的最值问题 ) 36．（2021秋•昌平区期末）在的展开式中二项式系数最大的项是（　　） A．第3项和第4项 B．第4项和第5项 C．第3项 D．第4项 【解答】解：因为为偶数， 所以展开式中二项式系数最大的项只有一项，且为第项， 故选：． 37．（2023春•大兴区期末）的展开式中二项式系数的最大值为（　　） A．1 B．4 C．6 D．12 【解答】解：根据二项式系数的性质，可得的展开式中二项式系数的最大值为． 故选：． 38．（2020秋•西城区期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式共有7项， ， 故选：． 39．（2021春•东城区校级期末）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（　　） A． B．80 C． D． 【解答】解：二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，， 则展开式中项的系数为， 故选：． 40．（2024春•大兴区期末）已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求展开式中所有奇数项的系数和． 条件①：只有第4项的二项式系数最大； 条件②：第2项与第6项的二项式系数相等； 条件③：所有二项式系数的和为64． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：（Ⅰ）选条件①：只有第4项的二项式系数最大，故； 条件②：第2项与第6项的二项式系数相等，故，故； 条件③：所有二项式系数的和为64，故，解得． （Ⅱ）当时，，整理得； 令时，， 所以． 41．（2020秋•西城区校级期末）的展开式中第 　　项的二项式系数最大，各项的系数和为 　　． 【解答】解：展开式共有9项， 二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 令可得各项的系数和为：， 故答案为：5，256． 42．（2025春•顺义区期末）已知的展开式按的降幂排列，且只有第3项的二项式系数最大． （1）直接写出的值； （2）求展开式中各项系数的和； （3）判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）已知的展开式按的降幂排列，且只有第3项的二项式系数最大，所以； （2）要求展开式中各项系数的和，令，所以展开式中各项系数的和为0； （3）已知的展开式的通项为， 令，所以存在常数项，． ( 考点0 7 项的系数的最值问题 ) 43．（2021春•北京校级期末）二项式的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为　　． 【解答】解：展开式的通项为 所以展开式的系数与二项式系数相同 展开式中，只有第6项的系数最大 展开式的通项为 令得 所以展开式中的常数项为 故答案为：210 44．（2020秋•海淀区校级期末）展开式中系数最大的项是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：． 由，可得：． 解得． 展开式中系数最大的项是． 故选：． ( 考点0 8 杨辉三角 ) 45．（2021春•朝阳区期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表．杨辉三角的发现比欧洲早500年左右．如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数． 则第10行共有 　　个奇数；第100行共有 　　个奇数． 【解答】解：由杨辉三角可得， 第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个；第4行，2个；第5行，4个； 第6行，4个；第7行，8个； 第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个；第11行，8个；第12行，4个； 第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个； 第96行，2个；第97行，4个；第98行，4个；第99行，8个；第100行，4个； 第101行，8个；第102行，8个． 故答案为：4，4． 46．（2021春•大兴区期末）杨辉三角如图所示，在我国南宁数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律．图中第7行从左到右第4个数是 　　；第行的所有数的和为 　　． 【解答】解：根据题意， 在图中，第0行有1个数，为1， 第1行有2个数，依次为、， 第2行有3个数，依次为、、， 则第7行有8个数，依次为、、，故第7行从左到右第4个数是， 第行有个数，依次为、、、、，其和为， 故答案为：35，． 47．（2020春•丰台区期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是 　　． ①当是偶数时，中间的一项取得最小值；当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值； ②； ③； ④ 【解答】解：对于①，根据杨辉三角的特点，当为偶数时，中间的一项取得最大值；当为奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值， 当每一项取倒数时，再乘以一个常数，可得当是偶数时，中间的一项取得最小值；当时奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值，所以①正确， 对于②，第行的第2个数等于第行的第一个数和第行的第一个数相乘，所以②正确， 对于③，直接根据组合数的性质，所以，所以③正确， 对于④，开始每个数均等于其“脚下”两个数之和，即，所以④错误， 所以关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是①②③． 故答案为：①②③． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项式定理及其应用 高频考点概览 考点 01 求二项展开式中的特定项及其系数 考点 02 求二项展开式中的参数 考点 03 求二项展开式中的二项式系数和 考点 04 求二项展开式中的各项系数和 考点 05 求奇数项或偶数项系数和 考点 06 二项式系数的最值问题 考点 07 项的系数的最值问题 考点 08 杨辉三角 考点01 求二项展开式中的特定项及其系数 1．（2025秋•西城区期末）在的展开式中，常数项为 　　 ．（请用数字作答） 2．（2021秋•朝阳区期末）在的展开式中，的系数为 　　． 3．（2024秋•海淀区期末）在的展开式中，的系数为（　　） A． B．40 C． D．80 4．（2020秋•海淀区校级期末）展开式中的常数项是　　． 5．（2021春•海淀区校级期末）在的展开式中，项的系数是　　（用数字作答）． 6．（2025秋•西城区期末）在的展开式中，的系数为　　 ． 7．（2012秋•海淀区期末）在的展开式中，常数项为　　．（用数字作答） 8．（2023春•东城区校级期末）的展开式中含的项的系数为（　　） A．24 B． C．6 D． 9．（2023春•通州区期末）二项式的展开式的第3项为（　　） A． B． C． D． 10．（2023秋•昌平区期末）已知，则（　　） A． B．32 C．495 D．585 11．（2025春•北京校级期末）在展开式中的系数为（　　） A．10 B．15 C． D． 12．（2024秋•石景山区期末）在的展开式中，含的项的系数是7，则（　　） 考点02 求二项展开式中的参数 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2022秋•昌平区期末）已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（　　） A． B．1 C． D．2 14．（2025秋•西城区校级期末）在的展开式中无常数项，则的一个取值为 　　． 15．（2021春•海淀区校级期末）二项式的展开式中的系数为15，则　　（用数字作答）． 16．（2024春•北京校级期末）在的二项展开式中，常数项为160，则的值为 　　． 17．（2025秋•西城区期末）已知，且，则等于（　　） A．8 B．0 C．4 D． 考点03 求二项展开式中的二项式系数和 18．（2024春•海淀区期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（　　） A．0 B． C．1 D． 19．（2023春•延庆区期末）在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（　　） A．常数项为240 B．含的项的二项式系数为15 C．各项的二项式系数和为64 D．第四项为 20．（2023秋•东城区校级期末）若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 　　． 21．（2022春•海淀区校级期末）在的展开式中，若二项式系数的和为32，则的系数为（　　） A． B．80 C． D．40 考点04 求二项展开式中的各项系数和 22．（2023秋•西城区期末）在的展开式中，所有项的系数和等于 　　．（用数字作答） 23．（2024春•大兴区期末）展开式中各项的系数和为 　　． 24．（2023春•东城区校级期末）已知的展开式的二项式系数之和为32，则　　；各项系数之和为 　　．（用数字作答） 25．（2023春•密云区期末）在的展开式中，的系数为 　　；各项系数之和为 　　（用数字作答） 26．（2022秋•朝阳区校级期末）的展开式中的常数项为 　　，各项的系数和为 　　． 27．（2022秋•西城区校级期末）若，则　　，　　（用数字作答） 28．（2021春•东城区校级期末）若，则的值是（　　） A． B． C．0 D．1 29．（2025秋•石景山区期末）已知，则　　 ；　　 ． 考点05 求奇数项或偶数项系数和 30．（2024春•怀柔区期末）若，则　　． 31．（2023春•大兴区期末）已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的展开式中含项的系数． 32．（2022春•东城区校级期末）已知二项式，则　　． 33．（2023春•顺义区期末）已知． （1）求的值； （2）求的值． 34．（2025秋•石景山区期末）若，则　　 ；　　 ．（用数字作答） 35．（2025秋•朝阳区期末）已知，则　　 ；　　 ． 考点06 二项式系数的最值问题 36．（2021秋•昌平区期末）在的展开式中二项式系数最大的项是（　　） A．第3项和第4项 B．第4项和第5项 C．第3项 D．第4项 37．（2023春•大兴区期末）的展开式中二项式系数的最大值为（　　） A．1 B．4 C．6 D．12 38．（2020秋•西城区期末）在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 39．（2021春•东城区校级期末）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（　　） A． B．80 C． D． 40．（2024春•大兴区期末）已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求展开式中所有奇数项的系数和． 条件①：只有第4项的二项式系数最大； 条件②：第2项与第6项的二项式系数相等； 条件③：所有二项式系数的和为64． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 41．（2020秋•西城区校级期末）的展开式中第 　　项的二项式系数最大，各项的系数和为 　　． 42．（2025春•顺义区期末）已知的展开式按的降幂排列，且只有第3项的二项式系数最大． （1）直接写出的值； （2）求展开式中各项系数的和； （3）判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，说明理由． 考点07 项的系数的最值问题 43．（2021春•北京校级期末）二项式的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为　　． 44．（2020秋•海淀区校级期末）展开式中系数最大的项是（　　） A． B． C． D． 考点08 杨辉三角 45．（2021春•朝阳区期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表．杨辉三角的发现比欧洲早500年左右．如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数． 则第10行共有 　　个奇数；第100行共有 　　个奇数． 46．（2021春•大兴区期末）杨辉三角如图所示，在我国南宁数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律．图中第7行从左到右第4个数是 　　；第行的所有数的和为 　　． 47．（2020春•丰台区期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，在数学史上具有重要的地位．现将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和．如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是 　　． ①当是偶数时，中间的一项取得最小值；当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值； ②； ③； ④ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $