第20讲 导数中的同构讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数构造问题核心考点，涵盖公式同构、轮换式同构、指对同构三大题型，以构造函数基础理论和切线放缩为支撑，通过基础回顾梳理导数公式与结构同构方法，分题型例题精讲实现从理论到应用的递进，帮助学生构建系统解题框架。 讲义突出同构思想与导数工具的融合，如指对同构中“指对分离、缺啥补啥”策略培养数学思维，分层例题设计从基础变形到综合应用，助力学生快速突破难点，为教师提供精准复习节奏指导，有效提升学生高考应考能力。

第20讲 函数中的构造问题 题型一 公式同构 5 题型二 轮换式同构 7 题型三 指对同构 8 【基础回顾】 一、构造函数的基础理论 1.利用导数公式构造 (1)乘积构造：． 若出现，可构造． (2)商的构造：． 若出现，可构造． (3)复合函数求导：若，，则． 如可令，构造关于u的函数． (4).常见函数的导数特征 ：常与其他函数乘积构造（如），简化导数形式． ：若出现，可构造（需注意）． ：用于幂函数与其他函数的组合构造（如）． 2.结构同构 导数的同构其本质就是构造函数,构造形式大致可分为两类： （1）双变量轮换式构造 当,形如可等价变换为： 构造新函数,研究函数的性质即可.此类构造形式较为简单,对不等式移项或变形即可得到,难度不大. （2）指对混合构造 解决指对混合不等式时,常规的方法计算复杂,则将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于研究.常见变形方式:①; ②; ③;④; ⑤. 方法1：直接变形 指对跨阶时使用,何谓指对跨阶？比如在中,指数增长最快属于第一阶,其次属于第二阶,对数增长最慢属于第三阶. （1）积型: （同左）; （同右）; （取对数）. 说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知. （2）商型: （同左）; （同右）; （取对数）. （3）和差型: （同左）; （同右）. 方法2：先凑再变形 若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的有: ① ; 可构造,等价于. ② ; 可构造,等价于. ③ 可构造,等价于. ④ 可构造,等价于. ⑤ 可构造,等价于. 二．切线放缩基础 知识点1:重要的切线不等式 由图像可以分析得到: ①（当时,等号成立） ②（当时,等号成立） ③（当时,等号成立） ④（当时,等号成立） 说明:这4个不等式为切线放缩中较为重要的不等式,尽量掌握. 知识点2:其他放缩不等式（作为了解即可） 对数放缩 放缩为一次函数 放缩为双撇函数 放缩为二次函数 放缩为类反比例函数 指数放缩 放缩成一次函数 放缩成类反比例函数 放缩成二次函数 三角函数放缩 以直线为切线的函数 万能放缩： 当0<<1时，，可以用来比较大小。 说明:对于上述表格内的放缩不等式,略作了解即可,不必完全掌握,针对较为复杂的放缩类型,并不是高考考察的内容,并且在解答题中,选择何种放缩类型,也基本都会在前一问中给提示,所以不必熟记.重要的是要学会放缩这种解题技巧和方法. 题型一 公式同构 分为指数函数的构造、幂函数的构造、对数函数的构造以及三角函数的构造。 【例题精讲】 1．已知函数f（x）的定义域为（，），其导函数是f′（x），且满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）cosx的解集为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 2．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则（　　） A．f（1）＞f（2） B．f（1）＞2f（2） C．f（2）＞﹣2f（﹣1） D．f（﹣2）＞﹣2f（1） 3．已知定义在上的可导函数f（x）满足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0恒成立，且，则不等式f（x）＜2sinx的解集为（　　） A． B． C． D． 4．设f（x）为定义在R上的可导函数，e为自然对数的底数．若，则（　　） A．f（2）ln2＜f（e） B．f（2）＞f（e）ln2 C．f（2）ln2＞f（e） D．f（2）＜f（e）ln2 5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）＝0，当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（2，+∞） 6．定义在R上的奇函数f（x），满足f（2）＝0，且当x＜0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）＝lg|x﹣1|﹣xf（x）的零点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知f（x）是定义在（﹣5，0）∪（0，5）的偶函数，当x＞0时，xf′（x）﹣2f（x）＜0，且f（2）＝0，则（x﹣1）f（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣5，﹣2）∪（1，2） B．（﹣2，﹣1）∪（2，5） C．（﹣5，﹣2）∪（2，5） D．（﹣2，0）∪（0，2） 8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x），则（　　） A．f（4）＞ef（3） B．f（4）＞e2f（2） C．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．ef（﹣4）＞f（﹣3） 9．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）﹣f'（x）＞2，f（0）＝2026，则不等式f（x）＞2024•ex+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（2026，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2026，+∞） 10．f（x）是定义在R上的可导函数，且满足xf′（x）+f（x）＜0，对任意实数a，b，若a＜b，则必有（　　） A．af（a）＜bf（b） B．bf（a）＜af（b） C．af（b）＜bf（a） D．af（a）＞bf（b） 题型二 轮换式同构 同构原则：物以类聚。 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax2，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0] B． C．（﹣∞，e] D． 2．已知函数f（x）ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．．（） D．．（﹣∞，] 3．若对0＜x1＜x2＜a都有ln2x2﹣2x1成立，则a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．e D．2e 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 5．已知a＝ln2，，，则（　　） A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 6．已知实数x1，x2满足，则的最大值为（　　） A．e B．4e﹣1 C．4e﹣2 D．4e2 7．已知正数x，y，z满足，则（　　） A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜x＜z D．x＜z＜y 8．已知函数f（x）＝x3+mx2，若∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．若对于0＜x1＜x2＜a，都有x2lnx1﹣x1lnx2≤x1﹣x2成立，则a的最大值为（　　） A． B．1 C．e D．2e 10．已知函数f（x）ax+lnx，a∈R．若f（x）有两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，则实数λ的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型三 指对同构 同构原则：指对分离，物以类聚，缺啥补啥，多啥除啥。 【例题精讲】 1．已知函数，若不等式f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知不等式ekx+1对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0）∪（，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，0）∪（e，+∞） D．（e，+∞） 3．已知a＜0，若x＞1时，e﹣x﹣lne﹣x≥xa﹣lnxa恒成立，则a的最小值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2e D．﹣e 4．若ex﹣a≥lnx+a对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，e] 5．已知函数f（x）＝e（a+1）x+ax，若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥lnx恒成立，则实数a的最小值为（　　） A． B． C．e﹣1 D．e2﹣1 6．若关于x的不等式lnx+k≤eex﹣k﹣1恒成立，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C． D．（﹣∞，e] 7．设实数λ＞0，对任意的x＞1，不等式λeλx≥lnx恒成立，则λ的取值范围为 　 　 ． 8．若不等式ex+a≥lnx﹣a恒成立，则实数a的取值范围是　 　 ． 9．已知方程mxemx﹣xlnx＝0（m≥0）有两个解，则实数m的取值范围为　 　 ． 10．已知不等式aex≥lnx+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是 　 　 ． 11．已知当x＞1时，，则正数a的取值范围为 　 　 ． 12．已知a＞0，函数f（x）＝x1﹣a•ex﹣alnx，若f（x）≥0恒成立，则a的最大值为　 　 ． 13．已知不等式对任意的x∈[e2+2，+∞）都成立，则正实数a的取值范围为 　 　 ． 14．若实数λ∈R，不等式lnx在（1，+∞）上恒成立，则λ的取值范围是 　 　 ． 15．已知函数，若f（x）≥0有解，则a的取值范围是 　 　 ． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲 函数中的构造问题 题型一 公式同构 5 题型二 轮换式同构 11 题型三 指对同构 16 【基础回顾】 一、构造函数的基础理论 1.利用导数公式构造 (1)乘积构造：． 若出现，可构造． (2)商的构造：． 若出现，可构造． (3)复合函数求导：若，，则． 如可令，构造关于u的函数． (4).常见函数的导数特征 ：常与其他函数乘积构造（如），简化导数形式． ：若出现，可构造（需注意）． ：用于幂函数与其他函数的组合构造（如）． 2.结构同构 导数的同构其本质就是构造函数,构造形式大致可分为两类： （1）双变量轮换式构造 当,形如可等价变换为： 构造新函数,研究函数的性质即可.此类构造形式较为简单,对不等式移项或变形即可得到,难度不大. （2）指对混合构造 解决指对混合不等式时,常规的方法计算复杂,则将不等式变形为的结构,即为外层函数,其单调性易于研究.常见变形方式:①; ②; ③;④; ⑤. 方法1：直接变形 指对跨阶时使用,何谓指对跨阶？比如在中,指数增长最快属于第一阶,其次属于第二阶,对数增长最慢属于第三阶. （1）积型: （同左）; （同右）; （取对数）. 说明:取对数是最快捷的,而且同构出的函数,其单调性一看便知. （2）商型: （同左）; （同右）; （取对数）. （3）和差型: （同左）; （同右）. 方法2：先凑再变形 若式子无法直接进行变形同构,往往需要凑常数、凑参数或凑变量,如两边同乘以,同加上等,再用上述方式变形.常见的有: ① ; 可构造,等价于. ② ; 可构造,等价于. ③ 可构造,等价于. ④ 可构造,等价于. ⑤ 可构造,等价于. 二．切线放缩基础 知识点1:重要的切线不等式 由图像可以分析得到: ①（当时,等号成立） ②（当时,等号成立） ③（当时,等号成立） ④（当时,等号成立） 说明:这4个不等式为切线放缩中较为重要的不等式,尽量掌握. 知识点2:其他放缩不等式（作为了解即可） 对数放缩 放缩为一次函数 放缩为双撇函数 放缩为二次函数 放缩为类反比例函数 指数放缩 放缩成一次函数 放缩成类反比例函数 放缩成二次函数 三角函数放缩 以直线为切线的函数 万能放缩： 当0<<1时，，可以用来比较大小。 说明:对于上述表格内的放缩不等式,略作了解即可,不必完全掌握,针对较为复杂的放缩类型,并不是高考考察的内容,并且在解答题中,选择何种放缩类型,也基本都会在前一问中给提示,所以不必熟记.重要的是要学会放缩这种解题技巧和方法. 题型一 公式同构 分为指数函数的构造、幂函数的构造、对数函数的构造以及三角函数的构造。 【例题精讲】 1．已知函数f（x）的定义域为（，），其导函数是f′（x），且满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）cosx的解集为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】A 【解答】解：令g（x），x∈（，）， 则g′（x）， 因为f′（x）cosx+f（x）sinx＜0， 所以g′（x）＜0， 所以g（x）在（，）上单调递减， 所以f（x）＜2f（）cosx等价于，即g（x）＜g（）， 所以x，即不等式的解集为（，）． 故选：A． 2．已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则（　　） A．f（1）＞f（2） B．f（1）＞2f（2） C．f（2）＞﹣2f（﹣1） D．f（﹣2）＞﹣2f（1） 【答案】C 【解答】解：令，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0， 所以，g（x）在（0，+∞）单调递增， g（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 且，所以g（x）是偶函数， 对于A、B：因为g（1）＜g（2），即，所以2f（1）＜f（2），A、B错误； 对于C：因为g（﹣1）＝g（1）＜g（2），即，所以f（2）＞﹣2f（﹣1），C正确； 对于D：因为g（1）＜g（2）＝g（﹣2），即，所以f（﹣2）＜﹣2f（1），D错误． 故选：C． 3．已知定义在上的可导函数f（x）满足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0恒成立，且，则不等式f（x）＜2sinx的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，设， 则， 因为f'（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，所以g'（x）＞0， 故g（x）在上单调递增， 因为，所以， 所以当时，， 即当时，， 即f（x）＜2sinx的解集为． 故选：A． 4．设f（x）为定义在R上的可导函数，e为自然对数的底数．若，则（　　） A．f（2）ln2＜f（e） B．f（2）＞f（e）ln2 C．f（2）ln2＞f（e） D．f（2）＜f（e）ln2 【答案】D 【解答】解：令，定义域为（0，1）∪（1，+∞），导函数， 因，（lnx）2＞0，那么g′（x）＞0，因此g（x）在（0，1），（1，+∞）上均为增函数． 因1＜2＜e，那么g（2）＜g（e），即，因此可得f（2）＜f（e）ln2，即选项C错误，选项D正确； 由f（2）＜f（e）ln2可得f（2）ln2＜f（e）ln22，因f（e）ln22﹣f（e）＝f（e）（ln22﹣1）， 显然ln22﹣1＜0，但由题设条件，无法推得f（e）的正负，因此f（e）ln22与f（e）的大小无法比较， 从而无法比较f（2）ln2与f（e）的大小，故选项A，B错误． 故选：D． 5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）＝0，当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　） A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（2，+∞） 【答案】A 【解答】解：构造F（x）＝xf（x），那么导函数F′（x）＝xf′（x）+f（x）， 由于当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0， 因此当x＞0时，导函数F′（x）＞0，F（x）单调递增； 又由于f（x）是定义在R上的奇函数，F（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝F（x）， 因此函数F（x）是偶函数， 那么当x＜0时，函数F（x）是单调递减函数． 又由于f（2）＝0，那么f（﹣2）＝0，F（2）＝F（﹣2）＝0， f（x）＞0 等价于， 因此当x＞0时，F（x）＞0，即x＞2； 当x＜0时，F（x）＜0，即﹣2＜x＜0， 所以不等式f（x）＞0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故选：A． 6．定义在R上的奇函数f（x），满足f（2）＝0，且当x＜0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）＝lg|x﹣1|﹣xf（x）的零点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：设函数F（x）＝xf（x），则F′（x）＝f（x）+xf′（x）， 可知当x＜0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，因此F′（x）＝f（x）+xf′（x）＞0恒成立， 因此当x＜0时，F′（x）＞0，F（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 因为f（x）是R上的奇函数，因此f（﹣x）＝﹣f（x）， 可得F（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝F（x），因此函数F（x）＝xf（x）是R上的偶函数， 因此F（x）在（0，+∞）上单调递减， 因为f（2）＝0，f（0）＝0，因此F（2）＝2f（2）＝0，F（0）＝0， 函数g（x）＝lg|x﹣1|﹣xf（x）的零点的个数，因此方程lg|x﹣1|﹣xf（x）＝0的解的个数， 因此函数y＝lg|x﹣1|和函数y＝xf（x）图像交点的个数，在坐标系中作出函数大致图像，如下图所示， 由图像可知，有3个交点，因此函数g（x）＝lg|x﹣1|﹣xf（x）的零点的个数为3． 故选：D． 7．已知f（x）是定义在（﹣5，0）∪（0，5）的偶函数，当x＞0时，xf′（x）﹣2f（x）＜0，且f（2）＝0，则（x﹣1）f（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣5，﹣2）∪（1，2） B．（﹣2，﹣1）∪（2，5） C．（﹣5，﹣2）∪（2，5） D．（﹣2，0）∪（0，2） 【答案】A 【解答】解：设，因为f（x）是定义在（﹣5，0）∪（0，5）的偶函数， 所以g（x）是定义在（﹣5，0）∪（0，5）的偶函数， 且， 因为当x＞0时，xf′（x）﹣2f（x）＜0，可得g'（x）＜0， 所以g（x）在（0，5）为单调递减函数， 所以g（x）在（﹣5，0）为单调递增函数， 又f（2）＝0，所以g（2）＝0，则g（﹣2）＝g（2）＝0， 所以当﹣5＜x＜﹣2或2＜x＜5时，g（x）＜0，当﹣2＜x＜0或0＜x＜2时，g（x）＞0， （x﹣1）f（x）＞0等价于（x﹣1）g（x）＞0， 所以或，即或， 解得1＜x＜2或﹣5＜x＜﹣2， 即（x﹣1）f（x）＞0的解集为（﹣5，﹣2）∪（1，2）． 故选：A． 8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x），则（　　） A．f（4）＞ef（3） B．f（4）＞e2f（2） C．f（﹣4）＞e2f（﹣2） D．ef（﹣4）＞f（﹣3） 【答案】C 【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f′（x）＜f（x）， 令g（x），则g′（x）0， 所以g（x）在（0，+∞）上是减函数， 所以g（2）＞g（3）＞g（4）， 由g（3）＞g（4），即⇒f（4）＜ef（3），所以A不正确； 由g（4）＜g（2），即⇒f（4）＜e2f（2），所以B不正确； 由g（4）＜g（2）⇒﹣g（4）＞﹣g（2），即⇒f（﹣4）＞e2f（﹣2），所以C正确； 同理可得f（﹣4）＞ef（﹣3），所以D不正确； 故选：C． 9．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）﹣f'（x）＞2，f（0）＝2026，则不等式f（x）＞2024•ex+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（2026，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2026，+∞） 【答案】A 【解答】解：因为f（x）﹣f'（x）＞2，因此f'（x）﹣f（x）＜﹣2， 等式两边同时乘以e﹣x得：， 即：整理得：， 因此，我们构造辅助函数， 由导数小于0可知，函数g（x）在R上是单调递减的， 已知f（0）＝2026，因此， 不等式f（x）＞2024ex+2⇔f（x）﹣2＞2024ex⇔g（0）， 因为函数g（x）在R上是单调递减的，所以由g（x）＞g（0）可推出x＜0， 综上所述，不等式f（x）＞2024ex+2的解集为（﹣∞，0）． 故选：A． 10．f（x）是定义在R上的可导函数，且满足xf′（x）+f（x）＜0，对任意实数a，b，若a＜b，则必有（　　） A．af（a）＜bf（b） B．bf（a）＜af（b） C．af（b）＜bf（a） D．af（a）＞bf（b） 【答案】D 【解答】解：设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf′（x）＜0，即g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数， ∵a＜b， ∴g（a）＞g（b）， 即af（a）＞bf（b）， 故选：D． 题型二 轮换式同构 同构原则：物以类聚。 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax2，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0] B． C．（﹣∞，e] D． 【答案】B 【解答】解：已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax2， 由题意得f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2）， 设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣ax2，则h（x）在（0，+∞）上单调递增， 即h′（x）＝ex﹣2ax＞0（0，+∞）上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令v′（x）＝0，则x＝1， 当x∈（0，1）时，v′（x）＜0，v（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，v′（x）＞0，v（x）单调递增， 所以， 所以． 故选：B． 2．已知函数f（x）ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（） D．（﹣∞，] 【答案】A 【解答】解：根据题意，设g（x）＝xf（x）＝ex﹣ax3，x∈（0，+∞）， 若当x2＞x1时，不等式0恒成立，则有x1f（x1）﹣x2f（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2）， 则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数， 则有g′（x）＝ex﹣3ax2≥0在（0，+∞）上恒成立，必有3a在（0，+∞）上恒成立， 设h（x）， 则h′（x）， 分析可得：在（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）为减函数，在（2，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）为增函数， 则h（x）在区间（0，+∞）的最小值为h（2）， 若3a在（0，+∞）上恒成立，必有a，即a的取值范围为（﹣∞，]； 故选：A． 3．若对0＜x1＜x2＜a都有ln2x2﹣2x1成立，则a的最大值为（　　） A．1 B．2 C．e D．2e 【答案】B 【解答】解：由题意有：x1x2（lnx2﹣lnx1）＜2x2﹣2x1， ∵0＜x1＜x2， 对不等式两边同时除以x1x2， ， 化简得：， 故构造， ∵0＜x1＜x2＜a，g（x2）＜g（x1） 可得g（x）在（0，a）单调递减， ，故g（x）在（0，2）递减， 故a的最大值为2， 故选：B． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【解答】解：令，x∈（0，+∞）， 则，当f'（x）＞0时，0＜x＜e，当f'（x）＜0时，x＞e， 所以在区间（e，+∞）上单调递减， 因为，，， 且9＞6＞e，所以b＞a＞c． 故选：B． 5．已知a＝ln2，，，则（　　） A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 【答案】D 【解答】解：设f（x），x＞0，求导数得f′（x）， 当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减， 由f（e）＞f（3），可得，即，所以，即c＞b， 根据f（3）＞f（4），可得，所以，即b＞a， 综上所述c＞b＞a，D项的结论正确． 故选：D． 6．已知实数x1，x2满足，则的最大值为（　　） A．e B．4e﹣1 C．4e﹣2 D．4e2 【答案】C 【解答】解：由题意实数x1，x2满足，得， 设h（x）＝xex，x＞0，求导得h′（x）＝（1+x）ex＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增， 由，得﹣lnx2＞0，则，由，得x1＞0， 而，因此，即， 则，令函数，求导得， 当t＞2时，φ′（t）＜0，当0＜t＜2时，φ′（t）＞0；函数φ（t）在（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增， 于是，所以的最大值为4e﹣2． 故选：C． 7．已知正数x，y，z满足，则（　　） A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜x＜z D．x＜z＜y 【答案】B 【解答】解：由题意正数x，y，z满足， 可得， 则，令函数， 当t＞e时，求导得，函数f（t）在[e，+∞）上单调递减， 因此f（4）＜f（3）＜f（e），而，则lnz＜lnx＜lny， 所以z＜x＜y． 故选：B． 8．已知函数f（x）＝x3+mx2，若∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意函数f（x）＝x3+mx2，若∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有， 不妨设x1＞x2，则可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣2（x1﹣x2）， 即f（x1）+2x1＞f（x2）+2x2，令h（x）＝f（x）+2x，则h（x）在R上单调递增， ∵h（x）＝f（x）+2x＝x3+mx2+2x，求导得h′（x）＝3x2+2mx+2， 则h′（x）＝3x2+2mx+2≥0在R上恒成立， 由Δ＝（2m）2﹣4×3×2＝4m2﹣24≤0，解得． 故选：B． 9．若对于0＜x1＜x2＜a，都有x2lnx1﹣x1lnx2≤x1﹣x2成立，则a的最大值为（　　） A． B．1 C．e D．2e 【答案】B 【解答】解：由题意对于0＜x1＜x2＜a，都有x2lnx1﹣x1lnx2≤x1﹣x2成立， 对不等式两边同除以x1x2， 可得，即， 令，则， 当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，则φ（x）在（1，+∞）上单调递减， 当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，则φ（x）在（0，1）上单调递增， 故a≤1时满足题意，所以a的最大值为1． 故选：B． 10．已知函数f（x）ax+lnx，a∈R．若f（x）有两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，则实数λ的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由f（x）ax+lnx，a∈R． ∴f′（x）＝x﹣a（x＞0）， ∵f（x）有两个极值点x1，x2， ∴x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0（x＞0）的两个不相等实根， ∴Δ＝a2﹣4＞0，且x1+x2＝a＞0，x1x2＝1， 由f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）， 得ax1+lnx1ax2+lnx2＜λ（x1+x2）， 整理得（）﹣a（x1+x2）+lnx1x2（x1+x2）2﹣x1x2﹣a（x1+x2）+lnx1x2a2﹣1﹣a2a2﹣1＜λa， 因为a＞2，所以λa对∀a＞2恒成立， 令φ（a）a， 则φ′（a）（a＞2）， 所以 φ'（a）＜0，φ（a）a在（2，+∞）单调递减， 所以 φ（a）＜φ（2）， 因此 λ． 故选：A． 题型三 指对同构 同构原则：指对分离，物以类聚，缺啥补啥，多啥除啥。 【例题精讲】 1．已知函数，若不等式f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由f（x）≥0恒成立，则aex≥ln（x﹣1）﹣lna﹣1恒成立， 即aex+lna≥ln（x﹣1）﹣1恒成立， 即ex+lna+x+lna≥eln（x﹣1）+ln（x﹣1）恒成立， 令g（x）＝ex+x，则g（x+lna）≥g（ln（x﹣1））， 由g（x）＝ex+x，易得g（x）在R上单调递增， 故x+lna≥ln（x﹣1），即lna≥ln（x﹣1）﹣x恒成立， 令h（x）＝ln（x﹣1）﹣x（x＞1），则， 令h'（x）＞0，解得1＜x＜2，令h'（x）＜0，解得x＞2， 所以h（x）在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， 故h（x）≤h（2）＝ln（2﹣1）﹣2＝﹣2，故lna≥﹣2，则， 即实数a的取值范围为． 故选：A． 2．已知不等式ekx+1对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0）∪（，+∞） B．（，+∞） C．（﹣∞，0）∪（e，+∞） D．（e，+∞） 【答案】B 【解答】解：当k＜0时，ekx+1＜2，而当x→0时，→+∞，不符合题意，所以k＞0， 不等式ekx+1对∀x∈（0，+∞）恒成立， 即kx（ekx+1）＞（1+x）lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 即lnekx（ekx+1）＞（1+x）lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 设f（x）＝（1+x）lnx，则f（ekx）＞f（x），可得f'（x）＝lnx， 令g（x）＝f'（x）＝lnx，则g'（x）， 当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增； 当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减， 所以f'（x）在x＝1处取得极小值，且极小值为2， 所以f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则ekx＞x在（0，+∞）上恒成立， 即有k恒成立，设h（x），可得h'（x）， 当x＞e时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当0＜x＜e时，h'（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）在x＝e处取得极大值，且最大值为，此时k， 故k的取值范围是（，+∞）． 故选：B． 3．已知a＜0，若x＞1时，e﹣x﹣lne﹣x≥xa﹣lnxa恒成立，则a的最小值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2e D．﹣e 【答案】D 【解答】解：令f（x）＝x﹣lnx，则原不等式即f（e﹣x）≥f（xa）①恒成立， 因为a＜0，x＞1，故e﹣x∈（0，1），xa∈（0，1）， 由于，则x＞1，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 故①式即e﹣x≤xa在（1，+∞）上恒成立， 两边取对数：﹣x≤alnx，（x＞1），所以，（x＞1）， 令g（x），x＞1，令g′（x）0得x＝e， 当x∈（1，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞），g′（x）＜0， 故x＝e是g（x）的极大值点，也是最大值点，故g（x）max＝g（e）＝﹣e， 故a≥﹣e即为所求． 故选：D． 4．若ex﹣a≥lnx+a对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B．（﹣∞，1] C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，e] 【答案】B 【解答】解：ex﹣a≥lnx+a对任意x＞0恒成立，即ex﹣a﹣lnx﹣a≥0对任意x＞0恒成立， 令f（x）＝ex﹣a﹣lnx﹣a（x＞0），则f'（x）＝ex﹣a， 令g（x）＝ex﹣a（x＞0），则g'（x）＝ex﹣a0恒成立， ∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在（0，+∞）上单调递增， 又当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→+∞， 由零点存在性定理得存在x0∈（0，+∞），使得g（x0）＝0，即e0， 由f'（x）＞0得x＞x0，由f'（x）＜0得0＜x＜x0， ∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， ∴当x＝x0时，f（x）取得极小值也是最小值， ∴f（x0）＝elnx0﹣a≥0对任意x0∈（0，+∞）恒成立， 又e0，即x0﹣a＝﹣lnx0， ∴x0﹣a﹣a≥0对任意x0∈（0，+∞）恒成立，即2ax0对任意x0∈（0，+∞）恒成立， ∴x0≥22，当且仅当x0，即x0＝1时等号成立， ∴2a≤2，解得a≤1， 故选：B． 5．已知函数f（x）＝e（a+1）x+ax，若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥lnx恒成立，则实数a的最小值为（　　） A． B． C．e﹣1 D．e2﹣1 【答案】B 【解答】解：因为函数f（x）＝e（a+1）x+ax，对任意x∈（0，+∞），f（x）≥lnx恒成立， 所以e（a+1）x+ax≥lnx在（0，+∞）上恒成立， 变形得e（a+1）x+（a+1）x≥lnx+x在（0，+∞）上恒成立， 即（a+1）x+e（a+1）x≥lnx+elnx在（0，+∞）上恒成立， 设g（x）＝x+ex，则不等式变为g[（a+1）x]≥g（lnx）， 由g′（x）＝1+ex＞0，可知函数g（x）在R上单调递增， 因为g[（a+1）x]≥g（lnx）， 所以（a+1）x≥lnx， 分离参数，在（0，+∞）上恒成立， 设，则， 当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0， 所以函数h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减， 所以h（x）在x＝e时取得极大值，也是最大值为， 所以，即实数a的最小值为． 故选：B． 6．若关于x的不等式lnx+k≤eex﹣k﹣1恒成立，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C． D．（﹣∞，e] 【答案】B 【解答】解：由题意关于x的不等式lnx+k≤eex﹣k﹣1恒成立， 可得不等式lnx+k≤eex﹣k﹣1⇔ln（ex）≤eex﹣k﹣k⇔ln（ex）+ex≤eex﹣k+（ex﹣k） ⇔ex+ln（ex）≤eex﹣k+lneex﹣k，令函数f（x）＝x+lnx，显然函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 依题意，不等式f（ex）≤f（eex﹣k）⇔ex≤eex﹣k⇔ln（ex）≤ex﹣k恒成立，即k≤ex﹣ln（ex）， 令函数g（x）＝ex﹣ln（ex），x＞0，求导得， 当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0， 函数g（x）在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，g（x）min＝1，k≤1， 所以实数k的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：B． 7．设实数λ＞0，对任意的x＞1，不等式λeλx≥lnx恒成立，则λ的取值范围为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：x＞1，由λeλx≥lnx，可得λxeλx≥xlnx， 即eλxlneλx≥xlnx， 设F（x）＝xlnx，则F（eλx）≥F（x）（*）， F'（x）＝lnx+1＞0在（1，+∞）上恒成立， 故F（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，其中λ＞0，x＞1， 故eλx＞1， 故由（*）可得eλx≥x，即λx≥lnx，也即， 令，x∈（1，+∞）， 故， 令g'（x）＞0，得1＜x＜e，令g'（x）＜0，得x＞e， 故在x∈（1，e）上单调递增，在x∈（e，+∞）上单调递减， 故在x＝e处取得最大值，最大值为， 所以． 故答案为：． 8．若不等式ex+a≥lnx﹣a恒成立，则实数a的取值范围是　[﹣1，+∞）　 ． 【答案】[﹣1，+∞）． 【解答】解：由ex+a≥lnx﹣a得：ex+a+x+a≥x+lnx＝elnx+lnx①， 设f（x）＝x+ex，显然该函数为单调增函数， 又由①式得：f（x+a）≥f（lnx）， ∴x+a≥lnx，即a≥lnx﹣x； 令g（x）＝lnx﹣x，则g（x）定义域为（0，+∞）， ， ∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0； ∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴g（x）max＝g（1）＝﹣1， ∴a≥﹣1，即实数a的取值范围为[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）． 9．已知方程mxemx﹣xlnx＝0（m≥0）有两个解，则实数m的取值范围为　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为m≥0，x＞0， 所以mxemx≥0， 故lnx≥0， 令g（t）＝tet， 已知方程mxemx﹣xlnx＝0（m≥0）有两个解， 等价于g（mx）＝g（lnx）有两个解， 因为g′（t）＝（t+1）et， 则当t＞0时，g′（t）＞0，所以g（t）在[0，+∞）上单调递增， 所以mx＝lnx（x＞0）有两个大于零的解， mx＝lnx，可得， 令， 则， 当0＜x＜e时，h′（x）＞0，当x＞e时，h′（x）＜0， 所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且， 且当x＞1时，恒成立， 同一坐标系内，画出h（x）与y＝m的图像， 所以当时，有两个交点，即f（x）有两个零点． 故答案为：． 10．已知不等式aex≥lnx+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是 　[，+∞）　 ． 【答案】[，+∞）． 【解答】解：由aex≥lnx+1⇒a， 令f（x），x∈（0，+∞），则f'（x）， 令g（x）＝1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），g'（x）＝﹣lnx﹣2， 令g'（x）＜0，解得x＞e﹣2，令g'（x）＞0，解得0＜x＜e﹣2， 所以g（x）在（0，e﹣2）上单调递增，（e﹣2，+∞）上单调递减； 所以g（x）≤g（e﹣2）＝1﹣e﹣2lne﹣2﹣e﹣2＝1+e﹣2＞0， 又当x→0时，g（x）→1，g（1）＝0， 所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）单调递减， 所以f（x）max＝f（1），故只需a，即a∈[，+∞）． 故答案为：[，+∞）． 11．已知当x＞1时，，则正数a的取值范围为 　[，+∞）　 ． 【答案】． 【解答】解：由⇒， 即， 令f（x）＝xlnx（x＞1），则， 又f′（x）＝lnx+1，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增； 所以，两边同时取对数得：，即恒成立， 等价于， 令，则， 当1＜x＜e2时，g′（x）＞0，g（x）在（1，e2）上单调递增； 当x＞e2时，g′（x）＜0，g（x）在（e2，+∞）上单调递减； 所以， 所以， 故答案为：． 12．已知a＞0，函数f（x）＝x1﹣a•ex﹣alnx，若f（x）≥0恒成立，则a的最大值为e ． 【答案】e． 【解答】解：由f（x）＝x1﹣a•ex﹣alnx≥0， 可得xex≥xa•lnxa，构造函数g（x）＝xex，其中x＞0，则g'（x）＝（x+1）ex＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数， 由xex≥xa•lnxa，可得g（x）≥g（lnxa）， 所以x≥lnxa，所以， 令h（x），其中x＞0，则h′（x）， 由h′（x）＞0，可得0＜x＜e，由h′（x）＜0可得x＞e， 所以函数h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，当x＞0时，h（x）max＝h（e），则，故a≤e． 因此，实数a的最大值为e． 故答案为：e． 13．已知不等式对任意的x∈[e2+2，+∞）都成立，则正实数a的取值范围为 　[，+∞）　 ． 【答案】． 【解答】解：原不等式可化为axeax﹣（x﹣2）ln（x﹣2）≥0， 即axeax≥（x﹣2）ln（x﹣2）＝ln（x﹣2）•eln（x﹣2）①， 设f（x）＝xex，（x＞e2+2）， ①式即：f（ax）≥f[ln（x﹣2）]， 因为x≥e2+2，所以f′（x）＝（1+x）ex＞0恒成立， 所以f（x）＝xex在[e2+2，+∞）上单调递增，所以ax≥ln（x﹣2）， 即在[e2+2，+∞）上恒成立， 设， ∴， 设h（x）＝x﹣（x﹣2）ln（x﹣2），x≥e2+2， 所以， 所以h（x）在[e2+2，+∞）上单调递减， 故h（x）≤h（e2+2）， 又h（e2+2）＝e2+2﹣（e2+2﹣2）ln（e2+2﹣2）＝2﹣e2＜0， 所以h（x）＜0，又因为x2（x﹣2）＞0， 所以g′（x）＜0在[e2+2，+∞）上恒成立， 所以g（x）在[e2+2，+∞）上单调递减， 所以， 又因为a≥g（x）在[e2+2，+∞）上恒成立， 所以， 则正实数a的取值范围为． 故答案为：． 14．若实数λ∈R，不等式lnx在（1，+∞）上恒成立，则λ的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：不等式lnx在（1，+∞）上恒成立⇔（eλx+1）λx＞（x+1）lnx＝（elnx+1）lnx， 设f（x）＝（ex+1）x（x＞0），则f（λx）＞f（lnx）， 又f′（x）＝ex（x+1）+1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， 则λx＞lnx，即， 令， ∴， 当0＜x＜e，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，e）上单调递增， 当x＞e，g′（x）＜0，函数g（x）在（e，+∞）上单调递减， ∴， ∴， ∴λ的取值范围是． 故答案为：． 15．已知函数，若f（x）≥0有解，则a的取值范围是 　（﹣∞，0）∪[1，+∞）　 ． 【答案】（﹣∞，0）∪[1，+∞）． 【解答】解：当a＜0时，， f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增，且当x→+∞时，f（x）→+∞， 所以f（x）≥0一定有解； 当a＞0时，由f（x）≥0，得， 所以， 所以，所以， 令，则， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 因为ex﹣1﹣lna＞0， 所以ex﹣1﹣lna≤x，所以x﹣1﹣lna≤lnx，所以lna≥x﹣lnx﹣1有解， 令h（x）＝x﹣lnx﹣1，则， 当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0， 所以h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增， 所以h（x）min＝h（1）＝0，所以lna≥0，得a≥1． 综上所述：a的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）． 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $