第18讲 导数中的零点问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数中的零点问题，涵盖判断零点个数、含参讨论零点个数、由零点个数求参数范围及隐零点四大核心考点，按“基础回顾-题型突破-课时精练”逻辑架构，通过知识点梳理、解题方法指导、例题精讲等环节，帮助学生构建系统解题框架，精准突破高考难点。 资料突出数学思维与数学语言的培养，如隐零点问题采用“试根-虚设-代换”三步策略，引导学生通过逻辑推理简化运算，分题型例题结合选择、填空、解答题分层练习提升实战能力，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第18讲 导数中的零点问题（包含隐零点） 题型一 判断函数零点的个数 2 题型二 讨论函数零点的个数（含参） 9 题型三 零点个数求参数范围 19 题型四 隐零点问题 33 课时精练 44 【基础回顾】 知识点1：函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫作函数的零点。 （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图像与轴有交点的横坐标函数有零点。 知识点2：函数零点的判定 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根。我们把这一结论称为函数零点存在性定理。 注：函数单调+存在零点=唯一零点 知识点3：函数零点问题的常见题型 判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围。 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数。 题型一 判断函数零点的个数 函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。 （2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点。 （3）利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。 【例题精讲】 1．已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图像；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图像即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图像如下所示； 又， 解得或， 由函数图像可知，方程的根的个数为3． 2．已知曲线且.当实数变化时，函数的图像公共点个数最多有__________个，此时实数的取值范围是______. 【答案】 3 【分析】原题等价于与的图像公共点最多有几个，根据的情况，分和以及三种情况分类讨论，即可求解. 【详解】原题等价于与的图像公共点最多有几个，且此时的取值范围问题. （1）当时，与有2个公共点； （2）当时，令， ①当时，和在上单调递增， 在上单调递增， 且， 所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点， ②当时解方程， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 因此的最大值为，又时，，时，， 则与在上最多有2个公共点，此时需满足，即的范围是， 所以当的范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点； （3）当时， ③当时，在单调递减，且， 所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点， ④当时，，令， 解方程， 由②知，与在上最多有2个公共点， 此时需满足，解得， 所以当的范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点； 综上所述，与最多3个公共点，. 故答案为：；. 3．当时，函数的零点个数为__________，所有零点之和为__________. 【答案】 3 【分析】利用正、余弦函数的图像与对称性，结合导数研究函数的单调性数形结合分析即可. 【详解】易知， 取，则，且， 因为在上单调递减， 所以，即在上单调递减，， 即此时无零点， 分别作出的图像如下， 两函数都关于轴对称，且都关于中心对称， 显然由上结合图像可知上两函数无交点，有一个交点， 又由两函数的轴对称性可知也有一个交点， 又时，两函数相交，再由两函数的中心对称性知上无交点， 综上所述，两函数共有三个交点，其中一个为，另外两个关于轴对称， 故三个交点横坐标之和为. 故答案为：3；. 4．方程的实数解的个数为__________． 【答案】 【分析】构造函数，则方程的实数解个数等价于的实数根个数，借助导数求出函数的单调性，即可得出结果. 【详解】设， 因为 ，所以是偶函数， 当时， 因为，所以时，恒成立. 因此，在上单调递增. 因为； . 由单调性可知，在上有且仅有一个零点. 因为是偶函数，图像关于轴对称， 所以时也有一个零点. 因此共有个实数根. 综上，方程的实数解个数为. 故答案为： 5．设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 【答案】 1 【分析】分析每一段函数的零点情况，再结合函数的性质进行求解. 【详解】① 当时，， 当时，，解得， 所以在上有1个零点， 当时，，， 令，即，因为恒成立， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 得到， 所以在上恒成立，所以总零点个数为， ② 当时，令，解得， 要使在上有零点，则， 当时，令，即， 设，求导得， 令，因为恒成立， 所以，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 则，当时，， 当时，， 要使在上有一个零点，则， 结合，此时无交集，不符合题意。 当时，时无零点，需有两个零点。结合单调性和极小值可知，当的范围是时有两个零点。 6．讨论的零点个数． 【答案】在上存在唯一的零点，在上存在唯一的零点． 【分析】先利用导数法求得在上单调递增，然后利用零点存在定理判断零点个数即可. 【详解】由得，令得且， 故在上单调递增， 而， 故在上存在唯一的零点，在上存在唯一的零点． 7．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)判断的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数的正负，结合函数定义域，即可判断单调性； （2）利用分离参变量与数形结合，即可得到零点个数的判断. 【详解】（1）由，求导得：， 当时，，当或时，， 所以在,上单调递减，在上单调递增; （2）由得，，根据（1）的单调性结合极小值点， 可作出函数图像， 所以当，即时，可判断的零点个数为2； 当或，即或时，可判断的零点个数为1； 当，即时，可判断的零点个数为0， 综上可得：当时，的零点个数为2； 当时的零点个数为0；当或时，的零点个数为1. 8．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的零点的个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】（1）求导，分类讨论导函数的符号即可求解； （2）结合函数单调性、零点存在定理即可求解. 【详解】（1）对求导得，， 令或，令， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可得函数的极大值为， 极小值为， 而， 综上所述，函数的零点的个数为1，且零点位于区间. 9．已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)在上有两个零点 【分析】(1)利用导数讨论单调性即可求最值；(2)讨论函数在上的单调性，并用零点的存在性定理确定零点个数，再根据函数为偶函数即可求解. 【详解】（1）因为， 所以在区间上单调递减， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值. （2）先讨论在上的零点个数， 由（1）可知，在上递减，， 所以在上递减，因为， 所以在上有唯一零点， 又因为， 所以是偶函数，所以在上有两个零点. 10．已知函数. (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由. 【答案】(1)； (2)2个零点，理由见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可； （2）根据导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可. 【详解】（1）由， 而，所以该函数在点（0，f（0））处的切线方程为： ； （2）函数的定义域为， 由（1）可知：， 当时，单调递增， 因为，所以函数在时有唯一零点； 当时，单调递增， 因为，所以函数在时有唯一零点， 所以函数f（x）有个零点. 题型二 讨论函数零点的个数（含参） 含参零点的讨论，采用分类讨论的方法，在参数不同的取值范围内运用零点存在性定理得到零点的个数。 【例题精讲】 1．给定函数 (1)求函数的单调区间； (2)画出函数的大致图像； (3)求出方程的解的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，解导数大于0，小于0的不等式即可. （2）由（1）作出大致图像. （3）结合（2）的图像，求出函数的图像与直线的交点个数即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 由，得，由，得， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）由（1）知，函数在处取得最小值，，当时，， 函数的大致图像，如图： （3）方程解的个数等价于函数的图像与直线的交点个数， 由（2）知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 2．已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图像，结合图像可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图像如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 3．当时，讨论函数的零点个数． 【答案】答案见解析 【分析】求导可得函数的单调性，即可根据零点存在性定理求解. 【详解】，故在单调递增，又， ， 因此，使得． 故只有一个零点. 4．已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，画出函数的图像、函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）由， 令，或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数在时，极小值为，极大值为， 而， 所以函数在时，最大值为，最小值为， 所以函数在时，值域为 （2）函数， 函数的零点个数转化为直线与函数图像交点个数问题， 结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线与函数图像， 当，或时，直线与函数图像没有交点，因此函数没有零点， 当，或时，直线与函数图像有个交点，因此函数有个零点， 当时，直线与函数图像有个交点，因此函数有个零点， 综上所述：当，或时，函数没有零点， 当，或时，函数有个零点， 当时，函数有个零点. 5．已知函数， ，其中且． (1)当时，讨论函数的单调性和极值； (2)证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； (3)当时，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)在 单调递减，在 单调递增；极小值为 1 ，无极大值； (2)证明见解析 (3)零点个数为1 【分析】（1）根据导数研究函数的单调性和极值即可； （2）通过必要性和充分性讨论，结合函数存在零点进行化简证明即可； （3）对进行求导，根据零点存在定理，以及函数取极限的思想即可求出函数的零点个数. 【详解】（1）当 时， ，定义域为， ，令 ，解得 ， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递减， 当 时， ，即 ，因此 在 上单调递增； 所以 在 处取得极小值，极小值为：，无极大值. （2）必要性：若存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取以为底的对数，得 ，又，故，整理得： 0 ， 即 ，因此 存在零点 . 充分性：若 存在零点，则存在 ，使得 ，即 ， 等式两边取为底的指数，得 ，令 ，则 ， 即： 因此 ，即 存在零点. 综上，函数 存在零点的充要条件是函数 存在零点，得证. （3） ，其定义域为 ，其中且，， 因为 ，所以 ，则 在 上单调递增， 当 时，， ，所以 ；当 时， 0 ，所以 ； 因此，存在 ，使得 ，即 ，整理得 ； 当 时，单调递减；当 时， 单调递增， 所以在 处取得最小值 ，， 因为 ，且当 0 时， ， 所以 ；当 时， ，所以 ； 根据零点存在定理，因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 在 0 和 时分别趋近于和， 所以有且仅有一个零点. 6．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点 【分析】（1）函数求导，求点的斜率，用点斜式解直线方程 （2）令函数值为零，转化为两个函数交点个数问题，构造函数求导，求单调区间和最值 【详解】（1），则， 又，所以在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时，个零点. 7．已知函数，其中，且；． (1)试求的单调区间； (2)当时，讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)当时，有1个零点；当或时，有2个零点； (3)． 【分析】（1）将函数求导，根据导函数的符号即可求得单调区间； （2）利用零点定义将问题转换成方程的根的个数，构造函数，通过导数作出其图像，再由和、分类讨论即得； （3）通过和讨论，结合反函数对称性得到． 进而构造函数，求导确定最小值，进而可求解. 【详解】（1）函数的定义域是，， ∴当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）函数等价于．两端同取自然对数，得，即． 令，则原题转化为的解的个数． 由（1）知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 则在处取得极大值，也是最大值， 当时，；当时，， 函数图像如图所示． 当时，，解得，此时有1个零点； 当时，，与有2个交点，此时2个零点； 当时，，与有2个交点，此时2个零点． 综上，当时，有1个零点；当或时，有2个零点． （3）由恒成立，得恒成立． 当时，取，易得，则显然不成立，故时不合题意； 当时，由，可得． 因为曲线与关于直线对称， 所以． 令，则， 令，得， 又因为单调递增，则当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 所以当时，取极小值点，也是最小值． 所以的最小值为，其中． 由，得，即，所以． 综上可得，所以的取值范围是． 8．已知函数. (1)证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，讨论零点的个数. (3)当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，有两个零点；当时，有三个零点；当时，有四个零点. (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，利用导函数解析式可求出的值 （2）根据零点概念计算得到或，构造函数，通过分类讨论，借助导数研究函数的单调性和最值，分析函数的零点情况即可； （3）由（2）确定零点的分布和零点满足的条件，通过构造函数求最值证明结论. 【详解】（1）证明：， 由，得，， 则存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. （2）当时，由，得或. 设函数，则， 令，得，则在上单调递减， 令，得或，则在上单调递增，在上单调递增. 当时，， 若，则，若，则. 当时，， 若，则，若，则. 当时，方程只有一个非零实数解，则有两个零点； 当时，方程有两个非零实数解，则有三个零点； 当时，方程有三个非零实数解，则有四个零点. （3）证明：由（2）知，当时，的零点个数最多， 且0为其中一个零点，不妨设， 且，，等式两边同时取对数并整理得 ，. 设函数，则， ，则在上单调递增. 因为在上单调递增，且，所以. 要证，只需证，即证， 因为，且在上单调递增， 所以只需证，即， 令函数，， 则， 所以在上单调递减，则， 即，故. 故当的零点个数最多时，的零点之和大于3. 9．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点. 【分析】(1)求出切点坐标及切线斜率后即可求解 (2)分离参数将零点问题转化为直线与曲线交点个数问题，再利用导数研究函数单调性与最值求解即可. 【详解】（1），所以在处的切点坐标为， ，则， 故在处的切线方程为. （2）讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点，无零点； 当时，与有一个交点，一个零点； 当 时，与有两个交点，两个零点. 综上：当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点. 10．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当，在上有0个零点；当，在上有1个零点；当时，在上有2个零点 . 【分析】（1）求解导数，判断函数单调性，可求极值； （2）由函数单调性得到简图，结合图像可判断零点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 由，得， 令，即，解得； 令，即，解得，则当时，单调递增； 令，即，解得，则当时，单调递减； 所以当函数取极小值，无极大值. （2）由得方程，令， 则函数零点的个数就是与交点的个数，由（1）可知 当时，单调递减， 当时，单调递增， 时，;时，； 画出函数的图像如下： 当时，函数与无交点； 当或时，函数与有一个交点； 当时，函数与有两个交点- 所以当，在上有0个零点； 当，在上有1个零点； 当时，在上有2个零点 . 题型三 零点个数求参数范围 利用函数的零点求参数范围的方法 （1）分离参数( )后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图像的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构建不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图像的位置关系问题，从而构建不等式求解。 【例题精讲】 1．已知函数有3个零点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知是一个零点，当时，分离参数可得，构造函数 ，根据导数与单调性及极值的关系得到的单调性，求出的值域，即可求解. 【详解】令，则. 当时，左边，右边，所以是方程的一个零点. 当时，可化为. 令 ，则. 令 ，则. 令 ，则. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即当时，恒成立. 又，所以当时，恒成立， 所以在和上单调递增， 所以当时，；当时，， 即当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，所以为偶函数. 当时，. 令，则，则. 根据导数定义，而， 所以当时，，又当或时，. 所以，即，则的取值可以是，故B正确. 2．若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，有两个零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，和端点函数值，构造不等式求解即可. 【详解】当时，则，， 所以在上单调递增，且，， 在内存在唯一零点； 因为函数在其定义域内恰有三个零点， 所以当时，有两个零点， ，令，则或（舍去）， 在上单调递减，在上单调递增， 又当，时，，且，当时，， 所以当时，有两个零点时， 需满足，解得. 3．已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造新函数，求导，判断单调性，作出图像，即可根据零点个数求得结果. 【详解】函数在上有三个零点，即方程有三个根， 不妨设．设，则函数的图像与直线有三个交点． 函数 当时， 在上单调递增，且； 当时，，当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增． 又，当时，，当时，，当时，，作出函数的大致图像，如图所示． 由图可知，当时，函数的图像与直线有三个交点，即实数的取值范围是． 4．已知只有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，可得，结合的单调性可得，令，利用导数判断的单调性和图像，结合图像分析求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图像，如图所示： 由题意可知：与只有个交点， 则，解得， 所以a的取值范围是. 5．若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将零点问题转化为交点问题，数形结合可解. 【详解】函数在内有两个不同的零点， 即在内有两个不等实根. 设，，则， 由解得， 所以为上的减函数，为上的增函数. 则， 而当且时，；当时，. 如下图： 由题可知和有两个不同交点，所以有. 6．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号，可得函数的单调性. （2）分析函数的单调性，由函数的极小值小于0可得a的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以. 由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值 . 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点. 7．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值； （3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图像，结合图像求b的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 则， 曲线在点处的切线方程为： ，即． （2）令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 为极大值点，为极小值点， ， ， ， ， 综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为． （3）函数在有三个不同的零点， 等价于直线与有3个不同交点， 由（2）知，的极大值为，极小值， 作出大致图像如下： 由图像可知，要使直线与有3个不同交点， 则需满足：，解得． 8．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再求，，然后根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）根据题意可知存在，使，参变分离得，令函数，再利用导数结合交点个数求参数范围即可． 【详解】（1）解：由题意，，则， . ∴曲线在点处的切线方程为， 即； （2）解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图像有两个交点. ， 由，得. 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则. ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图像有两个不同交点， ∴实数的取值范围是． 9．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类确定函数的单调区间，进而由两个零点建立不等式求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图像在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 10．设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. (3)2个零点. 【分析】（1）求出导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程； （2）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （3）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【详解】（1）若，则，则， 因为，所以曲线在处的切线方程为； （2），令，解得， 因为， 所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）由（2）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则， 所以， 因为，且 ，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点. 11．已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求导，确定切线方程，进而可求解. （2）问题转换成曲线与直线有两个交点，通过求导，确定的图像，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，，即切点为，又， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 切线与坐标轴围成的三角形面积为. （2）因为，函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，， 且当时，，当时，， 所以的图像如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 12．已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，利用导数确定函数的单调性求出值域. （2）求出导数，按分类并用导数确定的零点个数，再建立不等式求出范围即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 而，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， ，，， 所以函数在上的值域为. （2）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点， 令函数，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 因此函数最多只有1个零点，不满足题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 且当时，，当时，， 则当且仅当时，函数有两个变号零点， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，所以的取值范围为. 13．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数有且只有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数，结合切点和斜率求得切线方程. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】（1）因为 所以曲线在处的切线斜率为 又所以切线方程为 （2） 由题知有且只有两个不相等的实数根， 即关于x的方程有且只有两个不相等的实数根. 令， 则 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减. 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， 又，所以可得的图像如图： 由图可知，当时，函数的图像与直线y=a有两个交点， 所以实数a的取值范围为. 14．已知函数，其中. (1)当时，求在处的切线； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； (3) 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定函数的单调性即可； （3）将问题化为的图像与直线有两个不同的交点，并应用导数研究函数性质，利用其图像分析参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 又 ，则， 切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ∴， 若，则， ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时， 或， ， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）， 令，则问题转化为的图像与直线有两个不同的交点， 所以 ，则 ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图像如下， 要使的图像与直线有两个不同的交点，则，即， 所以a的取值范围是. 15．已知函数，为自然对数的底数. (1)若此函数的图像与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程； （2）整理可得，令，原题意可转化为有两个零点，求导，利用导数分析函数零点即可. 【详解】（1）因为，则， 可得，， 所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即. （2）因为，则， 可得， 令，则，可得， 原题意可转化为有两个零点， 则， 因为，则， 若，则，可得， 可知在上单调递减，所以在上至多一个零点，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 当趋近时，趋近正无穷，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 若有两个零点，则， 令，则在上单调递增， 且，则不等式的解集为； 所以实数a的取值范围为：. 题型四 隐零点问题 在导数问题中，我们会无法避免地遇到导函数零点不易求的情况，对于这种零点确实存在，我们难以求解的情况，我们称之为隐零点问题。隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功。 隐零点问题常用策略 （1）依据函数式的结构特征和函数单调性，大胆“试根”，再由单调性说明“此根”的唯一性； （2）先“虚设零点，设而不求”，通过形式化的“变量代换”或推理，达到化简并求解的目的； （3）“多次求导”，合理变形，直至能够求解。 第1步：隐零点存在的证明 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间（a,b）内至少有一个零点。 第2步：对最值的化简 由，对最值进行化简。 【例题精讲】 1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，求证． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间； （3）由，转化问题为证明当时，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求证即可. 【详解】（1）当时，，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，而， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）当时，， 故只需证明当时，. 当时，，， 则在上单调递增. 又， 故在上有唯一实根，且. 当时，；当时，， 从而当时，取得最小值. 由，得， 故当时，的最小值， 综上所述，当时，. 2．已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数求单调区间即可； （2）易知时不符合题意，时，利用导数结合隐零点问题求解． 【详解】（1）当时，，． 由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，不满足题意． 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 所以 ，代入得到a的取值范围是． 3．已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时， ，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 4．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断的单调性，并求出的极值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为；时，取得极小值 (3)2. 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数可得函数的单调区间，根据极值的概念可得极值； （3）分离参数，令，，求导根据导数及对勾函数性质可解. 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知. 令，则， 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即 所以在区间上单调递减； 当时，，即， 所以在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值. （3），即恒成立，等价于恒成立， 即恒成立. 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又在上单调递减，所以， 即，所以， 又因为，所以的最大值为2. 6．已知函数在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1） 先求导数得出切线斜率结合点在切线上及切点在曲线上列式求解； （2）由（1）得，由，得存在，使，从而有，再结合的单调性及零点求得的最小值，通过证得即可证得结论. 【详解】（1）由，得， 在处的切线方程为， ，即， 解得，. （2）由（1）知，定义域， ， 则，， ∴存在，使， ，即. 均在上单调递增，∴在上单调递增, 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ， . ， 即． 7．已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； （3）令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 8．已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中 （i）若讨论函数的单调性； （ii）对，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）答案见解析；（ii）． 【分析】（1）求导得解析式，分析当时，各部分的范围，分析即可得证 （2）（i）求导得解析式，记，利用导数可得的单调性，分别讨论、和三种情况，根据边界值的正负，可得的正负，分析即可得的单调性. （ii）由（i）得的单调性，讨论可得与的大小关系，分析即可得答案. 【详解】（1）证明：当时，，则， 当时，，，等号不同时成立， 所以在上恒成立，则在上单调递增. （2）（i）由题意得， 则， 记，则， 因为，，所以， 则在上恒成立，所以递减， 又 当时，， 所以在上恒成立，则在上单调递减； 当时，，则存在唯一，使得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，， 所以在上恒成立，则在上单调递增； 综上，当时，单调递减；当时， 在上单调递增，在上单调递减；当时，单调递增； （ii）由（i）得，当时，在上恒成立，则在上单调递减； 所以恒成立，符合题意； 当时，在上单调递增，则，不符合题意， 综上的取值范围是. 9．已知函数. (1)求的极值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值； (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，求出函数单调性，得到极值情况； （2）令，求出导函数得到函数单调性，故，证明出结论； 【详解】（1）由题意得的定义域为， 则， 当时，在上单调递增，无极值； 当时，令，则，令，则， 即在上单调递增，在上单调递减， 故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值； 综上，当时，函数极大值为，无极小值；当时，无极值； （2）证明：当时，，设， ， 令， 则，即在上单调递增， ， 故，使得，即， 整理得，因为，所以， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 故， 即，即，则. 课时精练 一、单选题 1．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用导数求函数的单调性，易知0是函数的零点，从而可求解. 【详解】记，函数的定义域为， ，故函数在上单调递增. 又，所以函数的零点个数为. 故选:B. 2．若函数 在上有零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对函数求导，判断函数在内的单调性，然后根据函数在上有零点这一条件来求解的取值范围. 【详解】因为， 对函数求导得. 所以函数在上单调递减. 因为在上有零点， 所以. 即：，. 求解得：. 故选：A. 3．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图像如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 4．已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图像如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（    ） A．函数的极大值点有个 B．函数在是减函数 C．若时，的最大值是，则的最大值为4 D．当时，函数有个零点 【答案】C 【分析】利用导函数的图像可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合即可判断D选项的正误. 【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、， 单调递减区间为、，B选项正确； 由单调性可知，函数有个极大值点，A选项正确； 当时，函数最大值是，而最大值是，C选项错误； 作出函数的图像如下图所示，由下图可知， 当时，函数与函数的图像有四个交点，D选项正确. 故选：C 5．已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 6．若函数在内有两个零点，是自然对数的底数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数在内有两个零点转化为有两解，令，根据导数与最值的关系求解即可. 【详解】函数在内有两个零点，即有两解.令，则， 当时，，当时，， 故当时，取最小值1， 又，所以． 7．已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线与相切时的斜率，作出函数与的图像，由数形结合求解即可． 【详解】设与相切于点， 则，解得，此时. 由得， 由，可得，此时切点为， 作出函数与的图像如图， 由图像可知，当或时，直线与有三个不同的交点， 8．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，令其为零，再通过分离变量得到，借助导数研究的单调性和极值即可求解最终结果． 【详解】，令，即， 移项整理得，设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值， 而时，；时，，但此时， 因此，的大致图像为： 则直线与曲线有两个交点， 必有，解得． 二、多选题 9．（多选）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．有三个零点 D．函数图像的对称中心为 【答案】ACD 【分析】求导，确定单调性和极值判断AB选项，对原式因式分解确定根的个数判断C选项，根据三次函数，对称中心的横坐标是二阶导数为0的点判断D选项. 【详解】选项A，求导得， 令，解得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 因此是极大值点，是极小值点，有两个极值点，A正确； 选项B，由上述分析可知，在上单调递减， 当时，，故，B错误； 选项C，令，因式分解：， 解方程，得， 因此的三个零点为，共三个不同实根，C正确； 选项D， 对于三次函数，对称中心的横坐标是二阶导数为0的点， 求二阶导数：，令，得， 验证对称中心定义：若关于对称，则， 代入：， ， ， 满足对称中心定义，故的对称中心为，D正确. 10．（多选）已知函数，则（    ） A． B．函数有两个极值点 C．方程有两个不同的根 D．若函数 在定义域内为增函数，则 【答案】ACD 【分析】先对求导代入求出,判定A正确,再代入得到解析式与导数,由导数零点仅有知只有一个极值点,判定B错误,构造求导分析单调性与最值,结合两端趋势知有两个零点,判定C正确,整理增函数对应的导数恒非负,用基本不等式求出最小值为4,得,判定D正确,最终选ACD. 【详解】已知，定义域为，求导得. 令，则，解得，故选项A正确. 将代入得，. 令，得（舍去），当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故仅有一个极小值点，无极大值点，选项B错误. 令，求导得. 令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ，且和时， 由零点存在定理有两个不同根，即方程有两个不同根，选项C正确. 由在内为增函数，得恒成立，即恒成立. 由基本不等式得，当且仅当时取等号，故，选项D正确. 11．（多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．的极大值点是 C．的值域为 D．当时，函数有个零点 【答案】AD 【分析】已知是定义域为的奇函数，由时，利用奇函数性质推出时，判定A正确，对与分别求导得极值点为和，不是，故B错误，分析两段区间函数取值范围得值域为，不是全体实数，故C错误，结合函数值域与单调性，当时方程仅有一个解，对应函数有1个零点，故D正确，综上正确选项为AD. 【详解】选项A：当时，，代入解析式得. 由奇函数性质，得，故A正确. 选项B：时，，求导得. 令，得，时，时，故是的极大值点，无极大值点，故B错误. 选项C： 时， ，求导得 . 令，得 ， 时 ， 时 ， 故 是 时的极小值点. 所以时，在处取极大值，时，时，值域为. 时，在处取极小值，时，时，值域为 由奇函数性质，综上值域为，不是，故C错误. 选项D：函数的零点即的解. 当时，时，无解. 时，无零点. 时值域为，且仅有1个解. 故方程仅有1个解，D正确. 三、填空题 12．若函数有且仅有2个零点，则______. 【答案】3 【分析】参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和图像，结合函数图像分析求解. 【详解】因为，则，可知0不为的零点， 令，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图像，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 13．已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【分析】将问题转化为方程有且只有一个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合图像可求得答案. 【详解】由，得， 因为，所以， 令，则，令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以当时，函数有极小值， 且当时，， 因为函数有且只有一个零点， 所以结合函数图像可得，所以实数k的取值范围为. 14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】求出函数的导数，再利用导数求出有两个变号零点的的范围即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得函数有两个变号零点， 令函数，求导得，显然函数在R上单调递增， 当时，，函数，即单调递增，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，；当时，， 当且仅当时，函数有两个变号零点， 由，解得，所以实数的取值范围为. 四、解答题 15．已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）代入已知参数后求导并因式分解，通过分析导函数的正负符号变化，直接确定函数的单调区间与极值； （2）对原函数带参求导并提取公因式，以参数的符号及极值点分布情况进行分类讨论，结合极值正负与端点极限，利用零点存在性定理确定符合条件的范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. 求导：. 令，解得（舍去，因）. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 极大值为，无极小值. （2），， ①当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 此图像恒在轴下方，没有零点，故不符合题意， ②当时，因为，所以恒成立， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 若即，其最大值小于0，无零点，不符合题意， 若即，其最大值为，此时有且仅有这一个零点，符合题意， 若即，其最大值大于0， 由于时，时， 由零点存在性定理，函数在和上各有一个零点，共两个零点，不合题意. ③当时，令，解得， ，时，因为二次项系数，所以， ③-①当即时，此时，在上单调递增， 且当时，时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，符合题意， ③-②当即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极大值点，，说明在恒负，没有零点， 在上，单调递增，且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，共有1个零点，符合题意， ③-③当即时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极小值点，是极大值点，， 且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点， ， 因为，所以，从而，且， 所以极大值，则在上没有零点， 则此时仅有1个零点，符合题意. 即当时符合题意， 综上，的取值范围是. 16．已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上递减，在上递增. (2) 【分析】（1）求出的定义域，求出，利用基本不等式得到，故分别按照和这两种情况讨论求解，当时，令，即，求出此方程的两个根，；利用韦达定理得到，解出和的解，从而得到的单调性. （2）设有三个零点，，，而.求出得到，，满足，，，求出的单调性，求出，，故由零点存在性定理得到当时，必存在三个不同实数，，，且，使得 ，从而得到的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，， ，当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，， 则，所以在上单调递增； 当时，令，即， 则的两个根为，； 又，则， 则的解为或，的解为， 则在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上递减，在上递增. （2）设有三个零点，，，而. 当且时，由，得到：； 故，，又因为， 故，，满足，，， 所以有两个不等实根， 即在有两个不同的实数根，，， 则，得到，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 取，所以， 由，设，， 设函数的导函数为， 则， 则在上递减，故，故在上递减. 故，故， 而，， 取时，， 故由零点存在性定理可知， 当时，必存在三个不同实数，，， 且，使得 .故. 17．已知函数，其中. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即可写出切线方程； （2）先对函数求导并分解因式，再对参数分类讨论导函数的符号，以此确定原函数的单调性； （3）基于（2）的单调性结论，结合函数的极值、图像趋势与特殊值，对参数分类讨论，从而得到满足条件的取值范围． 【详解】（1）当 时，函数为： ， 求导： ， 计算 处的函数值与导数值： ， ， 切线方程为： ，即． （2）先求导: ， 令 , 则 ， 因为 , 故 的符号由 决定， 当 时, , 故 对所有成立, 在上单调递减， 当 时, 令 , 得 , 即 ， 当 时, , , 单调递减； 当 时, , , 单调递增． 综上： 时, 在上单调递减； 时, 在上单调递减, 在上单调递增． （3）由（2）的单调性结论： 时， 在 上单调递减，最多只有一个零点，不符合题意； 时， 在 处取得最小值： ， 令 ，求导： ， 故 在上单调递增，且， 当 时，，此时 在 处的最小值小于0； 又当 时，；当 时，，故 有两个零点， 当 时，，此时仅有一个零点； 当 时，，此时无零点． 综上，的取值范围是． 18．已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出； （2）令，得，构造函数，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合极限分析求出实数的取值范围； （3）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，命题得证． 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为， 把代入，得． （2）令，得， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 当且趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，且趋近于0， 要使函数有两个零点，只需，即实数的取值范围为． （3）当时，要证成立，即证成立， 记，则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即， 在上单调递增，当时，，即， 在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 19．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义结合直线垂直可得，运算求解即可； （2）整理可得，分和两种情况，根据导数的符号判断原函数单调性； （3）根据（2）中单调性可知，进而可得，利用单调性解不等式即可得结果. 【详解】（1）因为，则， 由题意可得：，解得. （2）因为的定义域为，且， （i）若，则，可知在单调递减； （ii）若，令，解得， 当时，；当时，； 可知在单调递减，在单调递增； 综上所述：当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）可知：当时，函数在上为减函数， 则至多有一个零点，不合题意，所以， 此时函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当，，当，， 若函数两个零点，则 ， 令 ，，可知在上单调递增，且， 则不等式的解集为，所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 导数中的零点问题（包含隐零点） 题型一 判断函数零点的个数 2 题型二 讨论函数零点的个数（含参） 3 题型三 零点个数求参数范围 4 题型四 隐零点问题 6 课时精练 8 【基础回顾】 知识点1：函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫作函数的零点。 （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图像与轴有交点的横坐标函数有零点。 知识点2：函数零点的判定 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根。我们把这一结论称为函数零点存在性定理。 注：函数单调+存在零点=唯一零点 知识点3：函数零点问题的常见题型 判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围。 求解步骤： 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像； 第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数。 题型一 判断函数零点的个数 函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。 （2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点。 （3）利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。 【例题精讲】 1．已知函数，则方程的根的个数为 ______． 2．已知曲线且.当实数变化时，函数的图像公共点个数最多有__________个，此时实数的取值范围是______. 3．当时，函数的零点个数为__________，所有零点之和为__________. 4．方程的实数解的个数为__________． 5．设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 6．讨论的零点个数． 7．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)判断的零点个数，并说明理由. 8．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的零点的个数. 9．已知函数. (1)设，求在区间上的最值； (2)讨论的零点个数. 10．已知函数. (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由. 题型二 讨论函数零点的个数（含参） 含参零点的讨论，采用分类讨论的方法，在参数不同的取值范围内运用零点存在性定理得到零点的个数。 【例题精讲】 1．给定函数 (1)求函数的单调区间； (2)画出函数的大致图像； (3)求出方程的解的个数. 2．已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 3．当时，讨论函数的零点个数． 4．已知函数. (1)求的值域； (2)讨论函数的零点个数. 5．已知函数， ，其中且． (1)当时，讨论函数的单调性和极值； (2)证明：函数存在零点的充要条件是函数存在零点； (3)当时，讨论函数的零点个数． 6．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 7．已知函数，其中，且；． (1)试求的单调区间； (2)当时，讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求的取值范围． 8．已知函数. (1)证明：存在，使得曲线在点处切线的斜率为定值. (2)当时，讨论零点的个数. (3)当的零点个数最多时，证明：的零点之和大于3. 9．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 10．已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数. 题型三 零点个数求参数范围 利用函数的零点求参数范围的方法 （1）分离参数( )后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图像的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解； （2）利用函数零点存在定理构建不等式求解； （3）转化为两个熟悉的函数图像的位置关系问题，从而构建不等式求解。 【例题精讲】 1．已知函数有3个零点，则可以是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 3．已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知只有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 7．设函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值与最小值； (3)若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围． 8．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 9．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 10．设函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间： (3)当时，求零点的个数． 11．已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 12．已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若有两个极值点，求的取值范围. 13．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数有且只有两个零点，求实数a的取值范围. 14．已知函数，其中. (1)当时，求在处的切线； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 15．已知函数，为自然对数的底数. (1)若此函数的图像与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 题型四 隐零点问题 在导数问题中，我们会无法避免地遇到导函数零点不易求的情况，对于这种零点确实存在，我们难以求解的情况，我们称之为隐零点问题。隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功。 隐零点问题常用策略 （1）依据函数式的结构特征和函数单调性，大胆“试根”，再由单调性说明“此根”的唯一性； （2）先“虚设零点，设而不求”，通过形式化的“变量代换”或推理，达到化简并求解的目的； （3）“多次求导”，合理变形，直至能够求解。 第1步：隐零点存在的证明 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间（a,b）内至少有一个零点。 第2步：对最值的化简 由，对最值进行化简。 【例题精讲】 1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，求证． 2．已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 3．已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断的单调性，并求出的极值； (3)若，求的最大值. 6．已知函数在处的切线方程为． (1)求a，b； (2)证明：． 7．已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 8．已知函数． (1)若，证明：在上单调递增； (2)令，其中 （i）若讨论函数的单调性； （ii）对，求的取值范围． 9．已知函数. (1)求的极值； (2)当时，证明：. 课时精练 一、单选题 1．函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若函数 在上有零点，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图像如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（    ） A．函数的极大值点有个 B．函数在是减函数 C．若时，的最大值是，则的最大值为4 D．当时，函数有个零点 5．已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 6．若函数在内有两个零点，是自然对数的底数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．有三个零点 D．函数图像的对称中心为 10．（多选）已知函数，则（    ） A． B．函数有两个极值点 C．方程有两个不同的根 D．若函数 在定义域内为增函数，则 11．（多选）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．的极大值点是 C．的值域为 D．当时，函数有个零点 三、填空题 12．若函数有且仅有2个零点，则______. 13．已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________． 四、解答题 15．已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 16．已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 17．已知函数，其中. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求a的取值范围. 18．已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)若恰有两个零点，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 19．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $