第四章 三角形单元测试 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学三角形单元复习卷，以核心素养为导向，覆盖全等判定、内角和等知识点，通过探究性问题与实际应用提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形内角和（第1题）、三边关系（第2题）、全等判定（第4题）|通过辅助线探究（第1题）考查数学眼光，基础与辨析结合| |填空题|6/18|高线计算（第11题）、全等对应关系（第12题）|强化几何直观，如第13题开放添加全等条件| |解答题|8/72|全等证明（第17题）、项目式测量（第23题）、动点问题（第8题）|第23题结合项目式学习，体现数学语言表达现实世界；第8题动点全等考查推理能力|

第四章」 三角形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在探究证明“三角形的内角和等于180。”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证 明“三角形的内角和等于180°”的是() ① 4 A.如图①，过点C作EF‖AB B.如图②，延长AC到F,过点C作CE‖AB C.如图③，过AB上一点D作DE‖BC,DF‖AC D.如图④，过点D作DE引‖BC 【答案】D 【详解】：EFAB, .∠ECA=A∠FCB=∠B, :∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°， :∠A十∠B十∠ACB=180°，故A选项不符合题意， CE‖AB, .∠FCE=∠A,∠ECB=∠B, :∠F℃E+∠ECB+∠ACB=180o, ∴∠A十∠B十∠ACB=180°，故B选项不符合题意， :DE‖BC,DFI‖AC .∠ADE=∠B,∠BDF=∠A,∠C=∠AED,AED=∠EDF, ∠C=∠EDF, :∠ADE+∠EDF+∠BDF=180°， ∠A十∠B+∠C=180°，故C选项不符合题意， :DE‖BC, ∠ADE=∠B,∠AED=∠C,不能证明“三角形的内角和等于180。”故D选项符合题意， 1 2、一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为() A.13 B.12 C.11 D.10 【答案】B 【详解】解：：一个三角形的两边长分别为2和5， 5-2<第三边<2+5，即3<第三边<7， :第三边长为奇数， 第三边长为5， :该三角形的周长为2+5+5=12， 3、如图，AD、BE分别是△ABC的高线、中线，若S△4BE=8,BC=8,则高线AD长为() B D A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【详解】解：：BE是△ABC的中线，S△ABE=8, .S△ABc=16, :AD是△ABC的高线， AD·BC=16,即克×8AD=16, 解得AD=4, 4、下列说法正确的是() A.周长相等的三角形是全等三角形 B.形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C.面积相等的三角形是全等三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【详解】解：A.周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原 说法错误，故选项A不符合题意； B.形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项B符合题意； C.面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项C不符合题意； 一2 D.所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选 项D不符合题意； 5、如图，△ABC≌△AED,则下列结论 B ①AC=AD;②BC=ED;③LACB=∠ADE;④LBAE=LCAD. 其中正确结论的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：：△ABC≌△AED, :.AC=AD,BC=ED,∠ACB=∠ADE,∠BAC=∠DAE .∠BAC-LBAD=LDAE-LBAD即LBAE=LCAD 故①②③④正确，正确结论的个数有4个 6、如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角 形模具，那么最省事的是带哪一块去() ③ ① A.① B.② C.③ D.①和② 【答案】C 【详解】解：由图可知，③中有两个完整的角和它们的夹边，利用ASA可以得到唯一三角形，故最省事 的是带③去； 7、如图，AC,BD相交于点O,且LACB=LDBC,添加下列条件，仍无法判定△ABO≌△DCO的是() A A.∠ABO=∠DCO B.∠A=∠D C.AB=CD D.AC=BD -3一 【答案】C 【详解】解：A、:LACB=LDBC,LAB0=LDC0, .ZABC ZDCB, 又：BC=BC, :△ABC≌△DCB(ASA, :AB=DC, 又：LAOB=LD0C,∠AB0=∠DC0, :△AB0≌aDCO(AAS),故选项不符合题意； B、:∠A=∠D,LACB=LDBC,BC=CB, :△ABC≌△DCB(AAS :AB=DC, 又LA0B=LD0C,∠A=∠D, :△ABO≌aDCO(AAS),故选项不符合题意， C、:LACB=LDBC, :0B=0C, 又：AB=CD, :.不能判定△ABO≌△DCO,故选项符合题意； D、:LACB=LDBC, 0B=0C, AC =BD, 0A=0D, 又LA0B=LD0C, :△MBO≌aDCO(SAS),故选项不符合题意； 8、如图，BC=6cm,∠PBC=∠QCB=60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动， 一4 同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运动的时间为t(s(当点M运动结束时，点N运动随 之结束).在射线BP上取点A,在M、N运动到某处时，有△ABM与△MCN全等，则此时AB的长度为 ( ）cm. P y N M A.1或3 8.2或 C.2或3 2 D.1或9 【答案】D 【详解】解：①若aABM≌△MCN,则BM=CN,AB=CM, 1=6-31,AB=31, 解得：1=1.5，AB=4.5cm; ②若aABM≌△NCM,则BM=CM,AB=-CN, .31=6-31,AB=1, 解得：t=1,AB=lcm 9 AB的长度为lcm或2cm 9、木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释.如画角平分 线：如图，在己知的∠AOB的两边分别取OM=ON,将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P), 将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面∠AOB内，则OP平分∠AOB.原 理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出LAOP=∠BOP.这里三角形全等的判定方法是() A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【答案】A 【详解】解：根据题意，得OM=ON,PM=PN, 5 OM=ON PM=PN PO=PO 3 :aPM0≌aPWO(SSS) LAOP=∠BOP, 1O、如图，AD平分∠BAC,BD⊥AD,若△ABC的面积是9，则△ADC的面积是() D B A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 【答案】D 【详解】解：延长BD交AC于点E, D B :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠EAD, 又'AD⊥BD于点D, :LADB=LADE=90°， ∠BAD=∠EAD AD=AD 在△ABD和△AED中， ∠ADB=∠ADE :△ABD≌△AED(ASA), :BD DE, 1 .。=二S4BEOC0Es3 2 S.CBE 2 =)5c=3x9=45 S.4DC 1 2 2 —6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，已知AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高，BC=5,AC=4,AD=3,则BE的 长是 B 【答案】华 【详解】解：：S△ABc=BE·AC=AD·BC BE·AC=AD·BC BB=0C=9=9, AC 故答案为：望 12、如图，△ABC≌△CDA·下列结论：①AB与AD是对应边；②AC与CA是对应边；③∠BAC与 ∠DAC是对应角；④∠CAB与∠ACD是对应角.其中正确的是 .(填序号) D B 【答案】②④ 【详解】解：：△ABC≌△CDA, AB与CD是对应边，故①错误； AC与CA是对应边，故②正确； ∠BAC与LACD是对应角，故③错误； ∠CAB与LACD是对应角，故④正确. 所以正确的有②④. 故答案为：②④ 13、如图，在△ABE和△DCF中，∠B=∠C,AB=DC,若要证明△ABE≌△DCF,还需要添加一个条 件： 一.（写出一种即可) 一7 【答案】BE=CF(答案不唯一) 【详解】证明：在△ABE和△DCF中， AB=DC ∠B=∠C BE=CF .△ABE≌△DCF(SAS), :.要证明△ABE≌△DCF,还需要添加一个条件：BE=CF(答案不唯一). 故答案为：BE=CF(答案不唯一). 14、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E,且DE=DA,连接DB,若∠C=20°， 则∠DBE的度数为—°. 【答案】35 【详解】解：：LA=90°，∠C=20°， ∠ABC=∠A-LC=70°， :DE⊥BC于点E, ∠BED=90°， 在Rt△EBD和Rt△ABD中， DE=DA DB=DB :RtaEBDS≌RtAABD(HL), .∠DBE=∠DBA, ∠DBE=∠2ABC=X70=350 故答案为：35. —8 15、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E是CD上的一点.若△BDE≌△CDA,AB=14, AC=10,则△BDE的周长为 【答案】24 【详】解：：△BDE≌△CDA, DE=DA,BE=CA, △BDE的周长BD+DE+BE=BD+DA+CA=BA+CA, :AB=14,AC=10, ·.△BDE的周长为BA+CA=14+10=24, 故答案为：24. 16、如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE,且 AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE,AE、BD交于点P.有下列结论：①AE=DB;② ∠APB=2∠ADC;③∠DPA=∠DCA;④C点到∠APB两边的距离相等其中正确的是 (把你认为 正确结论的序号都填上) B 【答案】①②③④； 【详解】解：：∠ACD=∠BCE, ·∠ACD十∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB, 在△ACE和△DCB中， AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC ·△ACE≌△DCB(SAS, AE=DB,故①正确； 9 :△ACE≌△DCB, ·∠CAE=∠CDB, :∠ACD=∠CDB+∠CBD, ·∠ACD=∠CAE+∠CBD, :∠CAE+∠CBD+∠APB=180°， ·∠ACD+∠APB=180°， AC=DC, ·∠CAD=∠ADC, :∠ACD+∠CAD+∠ADC=180°， ∠ACD+2∠ADC=180°， ·∠APB=2∠ADC,故②正确： 由外角的性质可知：∠DPA+∠CDP=∠DCA+∠CAP, 又：∠CAP=∠CDP ∴.∠DPA=∠DCA故③正确； 如图，连接PC,过点C作CG⊥AE于G,CH⊥BD于H, D C :△ACE≌△DCB, ·S△AcE=S△DcB'AE=BD, :青KAEX CG=克DB x CH, :CG=CH, 故④正确， 故答案为：①②③④. 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分，22-24，每题12 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，点A,E,F,B在直线I上，AE=BF,AC∥BD,且AC=BD,求证：∠C=∠D. 10— A E B 【答案】证明见解析 【详解】证明：：点A,E,F,B在直线I上，AE=BF, .AE+EF BF +EF, 即AF=BE, AC∥BD, :ZCAF ZDBE, 又：AC=BD, :aACF≌aDBE(SAS), .ZC=LD 18、已知：如图，AD⊥BD,BC⊥AC,AC=BD,求证：OA=OB. 【答案】证明见解析 【详解】证明：：AC⊥BC,BD⊥AD, ∠ADB=∠ACB=90°， 在Rt△ABC和Rt△BAD中， (AB=BA AC=BD .Rt△ABC≌RtABAD(HL), :.ZCAB ZDBA, 0A=0B 19、如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,CD交边AB于点E,在边AE上取点F,连结DF,使 11 ∠1=∠D: A B (1)求证：DF‖BC: (2)当∠A=40°，∠DFE=36°时，求∠2的度数. 【答案】(1)见解析 (2)88° 【详解】(1)证明：：CD平分∠ACB, .∠DCB=∠1， 又∠1=D, ∠DCB=∠D, :DF II BC. (2)解：：DF‖BC,∠DFE=36, .∠B=∠DFE=36°， 在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°， .∠ACB=180°-40°-36°=104°， 又：CD平分∠ACB, L1=克ACB=52°， .∠2=180°-40°-52°=88°. 20、如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM=HN,已知MH=3,PQ=2，,求QN的长 M R H P O 【答案】5 【详解】解：：M0、NR是△MPN的高， .∠MQP=∠MQN=∠NRP=90° 12 .∠P+∠PMQ=90°∠P+∠QNH=90° ∠PMQ=∠QNH, 在△PML和△HN№中 '∠PMQ=∠QNH ∠MOP=∠MON PM=HN ∴.aPMQ≌△HNQ(AAS) :.P0-HO,MO=ON, :P0=2, .HQ=2, 又：MH=3, .MQ=MH+HQ=3+2=5, .QN=5 故答案为：5. 21、如图，在△ABC中，AD平分∠BAE,E为CD的中点，∠DAC=∠ADC.求证：AB=2AE· 【答案】见解析 【详解】证明：延长AE至点F,使AE=EF,连接DF,则：AF=2AE, D E :E为CD的中点， :DE=CE, ZAEC ZDEF 13 :△AEC≌△FED, :ZF ZCAE :AD平分∠BAE, .∠BAD=LDAE, :∠ADC=∠B+∠BAD,∠DAC=∠DAE+∠CAE,且LDAC=LADC, .ZB ZCAE ∠B=∠F, 又：∠BAD=∠DAE,AD=AD, △ABD≌△AFD, :AB AF .AB =2AE. 22、如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BD=CD,BE=CF. B (1)求证：△DBE≌△DCF: (2)已知AC=18,AB=12,求BE的长. 【答案】()见解析 (2)3 【解析】(I)证明：：DE⊥AB于E,DF⊥AC于F, ∠E=LDFC=90°， 在RtDBE与RtADCF中 BD=CD BE=CF .RtaDBE≌RtADCF(HL) (2)解：RtADBE≌RtADCF; :DE =DF, -14— 在Rt△AED与Rt△AFD中 AD=AD DE=DF :Rt△AED≌Rt△AFD(HL): :AE AF, :AF AB+BE =12+BE .AC=AF+FC :AC=AB+BE+FC=12+BE+FC, 18=12+BE+CF, :BE=CF. 18=12+2BE, :BE =3. 23、某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度， 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形 硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进 行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度， 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方 方案一 方案二 案 测 B 量 示 意 图① 图 图② 测 如图①.对量员在地面上找一点C,在 如图②，测量员在地面上找一点C，沿着 量 BC连线的中点D处做好标记，从点C出 BC向前走到点D处，使得CD=AC,沿 15- 说 发，沿着与AB平行的直线向前走到点E 着AC向前走到点E处，使得CE=BC, 明 处，使得点E与点A、D在一条直线上， 测出D、E两点之间的距离 测出CE的长度 测 量 CE=2Om,BD=CD,CE∥AB AC=CD,BC=CE,DE =20m 结 果 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们 学习了以下三角形全等的条件：①SSS;②ASA或AAS;③SAS,请选择一个序号说出上述两种方案分 别应用了哪种三角形全等的条件？ 答；方案一： 方案二： (2)请写出方案一计算水潭的宽度AB的过程 【答案】(1)②，③ (2)见解析 【详解】(1)方案一：：CE∥AB, :∠A=∠E,∠B=LC, 在△BDA和△CDE中， [∠A=∠E ∠B=∠C BD=CD :&BDA≌&CDE(AAS), .AB=CE=20m 方案二：在△CAB和aCDE中， AC=DC ∠ACB=∠DCE BC=EC :aCAB≌△CDE(SAS) :AB=DE 20m -16 故答案为：②，③ (2)CE∥AB, :∠A=∠E,∠B=∠C, 在△BDA和△CDE中， ∠A=∠E ∠B=∠C BD=CD :△BDA≌ACDE(AAS) :AB=CE 20m 24、(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD,请直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系： (2)如图②，在四边形ABCD中，若AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠BF=∠B4D,则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由. ① ② 【答案】(1)EF=BE+DF;(2)成立，理由见解析 【解析】解：(1)如图所示，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG, :LABC=LD=90°， LABG=180°-∠ABC=90°， ∠ABG=LD, 在△ABG和△ADF中， 「AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF :△ABG≌△ADF —17 AG=AF,LBAG=∠DAF ∠F-84D ∠BAE+∠DAF=1∠BAD ∠BAG+∠BAE= 5∠BAD=∠EAF 即LGAE=LEAF, 又：AE=AE, :△AEG≌aAEF(SAS) ..EG=EF .'EG=BE+BG, :EF=BE DF. aD B ① (2)如图所示，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG, :∠ABC+LD=180°，LABG+∠ABC=180°， :ZABG=ZD 在△ABG和△ADF中， (AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF :△MABG≌ADF(SAS) AG=AF,∠1=∠2. :∠EAF=∠BAD 2 1 ∴.∠2+∠3=5∠BAD 2 ∠1+3=)∠BAD=∠EAF 2 18 即LGAE=LEAF, 又：AE=AE, △AEG≌△AEF, :EG=EF, .EG=BE+BG, :EF BE+DF. 1/3 B -19 第四章 三角形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 2、一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 3、如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4、下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 5、如图，，则下列结论 ①；②；③；④． 其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（ ） A．① B．② C．③ D．①和② 7、如图，相交于点，且，添加下列条件，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 8、如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（    ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 9、木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 10、如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 12、如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号） 13、如图，在和中，，，若要证明，还需要添加一个条件： ．（写出一种即可） 14、在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 15、如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ． 16、 如图，为线段上一动点不与点、重合，在的上方分别作和，且，，，、交于点有下列结论：①；②；③∠DPA=∠DCA；④C点到∠APB两边的距离相等其中正确的是 ______把你认为正确结论的序号都填上 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，点在直线上，，且，求证：． 18、已知：如图，，求证：． 19、如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 20、如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，求的长． 21、如图，在中，平分，E为的中点，．求证：． 22、如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 23、某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①．对量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点、在一条直线上，测出CE的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出、两点之间的距离 测量结果 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答；方案一：__________．方案二：__________． (2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 24、 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $