专题04因式分解8大题型（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材浙教版

专题04 因式分解 因式分解的概念 （一）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 关键点： 1. 左边是多项式，右边是几个整式相乘； 2. 分解要彻底，不能再分解为止； 3. 因式分解是恒等变形，不是计算求值。 （二）因式分解与整式乘法的关系 1. 整式乘法：整式积→多项式（展开） 2. 因式分解：多项式→整式积（还原），二者是互逆变形。 因式分解方法 （一）提公因式法 1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 2. 找公因式三步： · 系数：取各项系数的最大公因数； · 字母：取各项相同字母； · 指数：取相同字母的最低次幂。 3. 公式形式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 4. 特殊：首项为负，先提负号。 （二）公式法 1.平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 适用特征：两项、平方、异号。 2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2​ 适用特征：三项、首末平方、中间两倍乘积。 （三）十字相乘法（拓展） 定义：对于二次三项式x2+px+q，若能找到a,b 使得 a+b=p且ab=q，则可分解为(x+a)(x+b). 核心特征： · 适用于二次项系数为1的二次三项式； · 关键是找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项. 因式分解一般步骤（口诀） 一提、二套、三分组、四检查 1. 先提公因式； 2. 再套用公式（平方差、完全平方）； 3. 两项看平方差，三项看完全平方； 4. 分解后检查是否还能再分解，必须分解到不能再分为止。 因式分解的应用 1. 利用因式分解简便运算 2. 已知因式分解结果求参数 3. 代数式化简与求值 判断是否是因式分解 【例1】（25-26七年级下·浙江·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误； B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不符合要求，不符合题意． B．将多项式变形为整式乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意． C．右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意． D．右边中不是整式，不符合因式分解要求，不符合题意． 提公因式法分解因式 【例2】（2026·浙江台州·二模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，解题思路是找出多项式各项的公因式，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：． 【变式2-1】（2026·浙江台州·二模）分解因式：_________． 【答案】 【分析】直接提取公因式a即可． 【详解】解：． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式：___． 【答案】 【详解】解：． 【变式2-3】（2026·浙江绍兴·一模）因式分解：____． 【答案】/ 【详解】 判断能否用公式法因式分解 【例3】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的结构逐项分析判断即可 【详解】解：A. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，能用完全平方公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方式的结构熟练掌握是解题的关键． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； B、，不能用平方差公式进行因式分解，该选项符合题意； C、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 【变式3-3】（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 错误1：概念错误 · 混淆因式分解与整式乘法，分不清和差化积、积化和差； 错误2：提公因式易错 · 提取公因式后漏写1；提负号时部分项不变号；公因式提取不彻底； 错误3：公式运用易错 · 两项同号乱用平方差；完全平方漏掉2倍；公式符号记混； 错误4：分解不彻底 · 因式还能继续分解就停止运算，没有分到最简； 错误5：符号错误 · 去括号、添括号变号不全，正负号使用混乱； 错误6：步骤错误 · 不先提公因式，直接套用公式，解题顺序颠倒； 错误7：结果不规范 · 因式顺序杂乱，括号内首项带负号，书写格式错误。 已知因式分解的结果求参数 【例4】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解及整式的乘法，熟练掌握因式分解及整式的乘法是解题的关键；通过展开因式并比较多项式系数即可求解． 【详解】解：∵=， 展开右边：， 比较系数得：， ∴， ∴， 常数项与左边一致， ∴a的值为3； 故选B． 【变式4-1】（25-26八年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）已知整式可以因式分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·河南·期末）将因式分解为，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根． 根据题意得出，，再根据完全平方公式变形得出，再求算术平方根，即可求解． 【详解】解：对于多项式，设其因式分解为，则展开后可得． 比较系数，得，． ∵ 又∵， ∴ 故答案为：． 综合提公因式法和公式法分解因式 【例5】（25-26七年级下·浙江·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式法进行因式分解即可； （2）综合提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式5-3】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 技巧1：解题顺序口诀： · 一提公因式，二套乘法公式，三检查是否分解彻底。 技巧2：提公因式法 · 确定公因式：系数最大公因数，相同字母取最低次幂； · 首项为负先提负号，括号内各项全部变号； · 提取后剩余项不能漏掉1。 技巧3：平方差公式： · 形式：a2−b2=(a+b)(a−b) · 适用：两项、异号、均可写成平方形式 4完全平方公式 · 和：a2+2ab+b2=(a+b)2 ；差：a2−2ab+b2=(a−b)2 · 适用：三项，首尾平方同号，中间项为2倍乘积。 技巧5：综合运用 · 先提公因式，再套用公式，逐层分解。 平方差公式分解因式 【例6】（2026·浙江杭州·一模）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式6-1】（2026·浙江宁波·一模）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设所求代数式为， 由题意得，， ∵， ∴， ， ∴与的乘积等于的代数式是． 【变式6-3】（2026七年级下·浙江·专题练习）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解：； （5）解： 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、，可用平方差公式分解，不符合完全平方公式； B、，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解； C、无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； D、的常数项为负，无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； 故选：B． 【变式7-1】（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 【答案】9 【分析】将所求多项式利用完全平方公式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式因式分解，得 ， 将代入，得 原式． 【变式7-2】（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）． 因式分解的应用 【例8】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)288000 【分析】（1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差；图②是长为，宽为的长方形，再由长方形的面积公式进行解答即可； （2）由（1）中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，即面积为， （2）解：由（1）得，； （3）解：原式． 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 【答案】(1)40人 (2)16人 (3)13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据题意列方程组求解即可； （3）设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且），根据题意可得方程，化简得，最后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，7列2层空心方阵的人数为：（人）． 答：7列2层空心方阵的人数为40人． （2）解：由题意得，， 解得，， ． 答：该代表队的人数为16人． （3）解：设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且）， 则由题意得，， 化简得，． ，为正整数，且， 当时，，解得，，即可以排成13列1层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成8列2层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成7列3层空心方阵． 答：所有的正方形方阵排列方式为：13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵． 【变式8-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)图中阴影部分面积为； (3)代数式的值为． 【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 【变式8-4】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）________． 【答案】 【分析】先计算一般式，利用完全平方公式和平方差公式因式分解，得到，然后将分子分母的每一项变形为两数相乘，然后约分即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 原式 ． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 因式分解的概念 （一）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 关键点： 1. 左边是多项式，右边是几个整式相乘； 2. 分解要彻底，不能再分解为止； 3. 因式分解是恒等变形，不是计算求值。 （二）因式分解与整式乘法的关系 1. 整式乘法：整式积→多项式（展开） 2. 因式分解：多项式→整式积（还原），二者是互逆变形。 因式分解方法 （一）提公因式法 1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式。 2. 找公因式三步： · 系数：取各项系数的最大公因数； · 字母：取各项相同字母； · 指数：取相同字母的最低次幂。 3. 公式形式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 4. 特殊：首项为负，先提负号。 （二）公式法 1.平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b) 适用特征：两项、平方、异号。 2.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2​ 适用特征：三项、首末平方、中间两倍乘积。 （三）十字相乘法（拓展） 定义：对于二次三项式x2+px+q，若能找到a,b 使得 a+b=p且ab=q，则可分解为(x+a)(x+b). 核心特征： · 适用于二次项系数为1的二次三项式； · 关键是找到两个数，使其和为一次项系数，积为常数项. 因式分解一般步骤（口诀） 一提、二套、三分组、四检查 1. 先提公因式； 2. 再套用公式（平方差、完全平方）； 3. 两项看平方差，三项看完全平方； 4. 分解后检查是否还能再分解，必须分解到不能再分为止。 因式分解的应用 1. 利用因式分解简便运算 2. 已知因式分解结果求参数 3. 代数式化简与求值 判断是否是因式分解 【例1】（25-26七年级下·浙江·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 提公因式法分解因式 【例2】（2026·浙江台州·二模）因式分解：__________． 【变式2-1】（2026·浙江台州·二模）分解因式：_________． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式：___． 【变式2-3】（2026·浙江绍兴·一模）因式分解：____． 判断能否用公式法因式分解 【例3】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 错误1：概念错误 · 混淆因式分解与整式乘法，分不清和差化积、积化和差； 错误2：提公因式易错 · 提取公因式后漏写1；提负号时部分项不变号；公因式提取不彻底； 错误3：公式运用易错 · 两项同号乱用平方差；完全平方漏掉2倍；公式符号记混； 错误4：分解不彻底 · 因式还能继续分解就停止运算，没有分到最简； 错误5：符号错误 · 去括号、添括号变号不全，正负号使用混乱； 错误6：步骤错误 · 不先提公因式，直接套用公式，解题顺序颠倒； 错误7：结果不规范 · 因式顺序杂乱，括号内首项带负号，书写格式错误。 已知因式分解的结果求参数 【例4】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 【变式4-1】（25-26八年级下·重庆·期中）若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）已知整式可以因式分解为，则的值为______． 【变式4-3】（25-26八年级上·河南·期末）将因式分解为，若，则__________． 综合提公因式法和公式法分解因式 【例5】（25-26七年级下·浙江·期中）因式分解： (1) (2) 【变式5-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【变式5-3】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）分解因式： (1) (2) 技巧1：解题顺序口诀： · 一提公因式，二套乘法公式，三检查是否分解彻底。 技巧2：提公因式法 · 确定公因式：系数最大公因数，相同字母取最低次幂； · 首项为负先提负号，括号内各项全部变号； · 提取后剩余项不能漏掉1。 技巧3：平方差公式： · 形式：a2−b2=(a+b)(a−b) · 适用：两项、异号、均可写成平方形式 4完全平方公式 · 和：a2+2ab+b2=(a+b)2 ；差：a2−2ab+b2=(a−b)2 · 适用：三项，首尾平方同号，中间项为2倍乘积。 技巧5：综合运用 · 先提公因式，再套用公式，逐层分解。 平方差公式分解因式 【例6】（2026·浙江杭州·一模）因式分解：__________． 【变式6-1】（2026·浙江宁波·一模）分解因式：______． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026七年级下·浙江·专题练习）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 【变式7-2】（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 因式分解的应用 【例8】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【变式8-1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【变式8-2】（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 【变式8-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【变式8-4】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）________． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $