专题 12.2 定理与证明（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦初中数学“定理与证明”核心知识点，系统梳理证明的定义与推理步骤，定理的概念及作为证明依据的作用，反证法的原理与三步流程，构建从直接推理到间接证明的逻辑学习支架。 该资料通过分层题型设计，如证明依据填写、命题完整证明等，培养学生推理意识与数学表达能力，结合代数几何实例提升数学思维，同步检测助力课后查漏，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识。

专题 12.2 定理与证明（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】证明 1 【题型 1】已知证明过程写出理论依据 1 【题型 2】写出一个命题的已知、求证、证明过程 3 【题型 3】代数问题的证明 5 【题型 4】几何问题的推理与论证 5 【知识点二】定理 6 【题型 5】定理与证明 6 【题型 6】互逆定理 7 【知识点三】反证法 7 【题型 7】反证法的题设 8 【题型 8】利用反证法进行证明 8 二.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】证明 从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为…,所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 【要点提示】为了书写方便，在证明过程中，也可以用“”表示“因为”，用“”表示“所以”。 【题型 1】已知证明过程写出理论依据 【例题1】（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【题型 2】写出一个命题的已知、求证、证明过程 【例题2】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是（   ） A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【变式2】（24-25八年级上·广西梧州·阶段检测）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【变式3】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． （2）证明： （3）通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【题型 3】代数问题的证明 【例题3】（2026七年级下·江苏·专题练习）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元复习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【变式2】（2026·北京大兴·一模）某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【题型 4】几何问题的推理与论证 【例题4】（24-25八年级上·全国·课后作业）收集欧几里得和《原本》的有关资料，并与同伴进行交流． 【变式1】（2024·山西·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【知识点二】定理 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理。 【要点提示】定理可以作为证明后续命题的依据。 【题型 5】定理与证明 【例题5】（24-25八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【变式2】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【题型 6】互逆定理 【例题6】（24-25八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列说法对吗？请说明理由． （1）每个定理都有逆定理． （2）每个命题都有逆命题． （3）假命题没有逆命题． （4）真命题的逆命题是真命题． 【知识点三】反证法 1、定义：我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法。 2、反证法步骤： （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立。 【要点提示】（1）核心逻辑：不从正面直接证明，借假设推导出矛盾，反向佐证原结论属实； （2）关键前提：第一步必须否定原有结论，以此作为推理起始条件；（3）判定依据：推理出现与公理、定理、已知条件相悖的结果，即为矛盾；（4）最终归宿：推翻假设，回归认可命题原本的结论。 【题型 7】反证法的题设 【例题7】（24-25八年级下·陕西西安·期末）用反证法证明命题“如果在钝角中，那么”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若，证明，用反证法证明的第一步是______________． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________． 【题型 8】利用反证法进行证明 【例题8】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·广东汕头·期中）下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．同角的余角互余 D．平行于同一条直线的两条直线平行 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列命题中：①内错角相等，两直线平行；②相等的角是对顶角；③垂线段最短；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列语句中真命题有（    ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③两点之间线段最短； ④对顶角相等； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 10．（25-26八年级下·云南昭通·期中）把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 11．（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”） 12．（25-26八年级下·江西九江·期中）命题“若，那么”的逆命题是______． 13．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 14．（2026·北京石景山·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 15．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 16．（25-26八年级下·河南郑州·月考）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2026七年级下·江苏·专题练习）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 18．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” （1）写出命题的题设和结论； （2）直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 19．（24-25八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 20．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 12.2 定理与证明（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】证明 1 【题型 1】已知证明过程写出理论依据 1 【题型 2】写出一个命题的已知、求证、证明过程 5 【题型 3】代数问题的证明 8 【题型 4】几何问题的推理与论证 10 【知识点二】定理 14 【题型 5】定理与证明 14 【题型 6】互逆定理 16 【知识点三】反证法 17 【题型 7】反证法的题设 18 【题型 8】利用反证法进行证明 19 二.同步检测 21 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 27 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】证明 从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为…,所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 【要点提示】为了书写方便，在证明过程中，也可以用“”表示“因为”，用“”表示“所以”。 【题型 1】已知证明过程写出理论依据 【例题1】（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 解：证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【题型 2】写出一个命题的已知、求证、证明过程 【例题2】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见分析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 解：已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是（   ） A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 解：证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点拨】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·广西梧州·阶段检测）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见分析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【点拨】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 【变式3】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． （2）证明： （3）通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】（1），；（2）见分析；（3）真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 解：（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 【题型 3】代数问题的证明 【例题3】（2026七年级下·江苏·专题练习）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见分析 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 解：证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元复习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 【变式2】（2026·北京大兴·一模）某科技运维公司调配6台新一代智能巡检机器人，分配给甲、乙、丙、丁四个运维站，每个运维站最多可投放3台机器人，各运维站产生的单日运维增效利润（单位：元）与投放台数（单位：台）的对应关系如下表： 运维站 增效利润 投放台数 甲 乙 丙 丁 1 50 36 23 24 2 74 67 42 46 3 96 91 60 71 （1）若规定每个运维站至少投放1台机器人，剩余机器人追加投放到同一运维站，则应优先追加投放给_____运维站，才能使单日总增效利润最大； （2）若将6台机器人自由分配投放，则当日可获得的最大总增效利润为______元． 【答案】 乙 【分析】（1）根据题意，每个运维站至少1台，先确定已分配4台，剩余2台需全部投放到同一运维站，分别计算不同投放的总利润，比较得到最大值对应的运维站即可； （2）根据题意，自由分配6台机器人，每个运维站最多3台，列举所有可能使总利润较大的分配方案，计算总利润后比较得到最大值即可. 解：（1）由题意，每个运维站至少投放1台，共分配台，剩余台追加到同一运维站，因此该运维站共投放台，其余运维站各投放台，分别计算总利润： 若追加给甲：总利润为； 若追加给乙：总利润为； 若追加给丙：总利润为； 若追加给丁：总利润为； 因为，因此应优先追加投放给乙； （2）由题意，6台机器人自由分配，考虑到甲、乙两个运维站的增效利润较高，我们优先测试将机器人集中分配给这两个站的组合，每个运维站最多投放3台，列举所有总利润较大的情况： ①投放甲台，乙台，总利润； ②投放甲台，乙台，丁台，总利润； ③投放甲台，乙台，丁台，总利润； ④投放甲台，乙台，丁台，总利润； ⑤投放甲台，乙台，丙台，丁台，总利润； 故最大总利润为元. 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见分析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 解：证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【题型 4】几何问题的推理与论证 【例题4】（24-25八年级上·全国·课后作业）收集欧几里得和《原本》的有关资料，并与同伴进行交流． 【答案】见分析． 【分析】可以利用网络查阅手机，并交流心得体会． 解：欧几里得（Euctid,约公元前 300 年）是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发展前人的研究成果，编辑出旷世巨著《原本》（Elements）．这部书的最大意义在于，它是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范．欧几里得的生平后世所知甚少，但根据有限的历史记载推断，欧几里得早年就学于雅典，公元前 300 年左右，欧几里得应托勒密王一世之邀到当时的文化中心亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人．据说，托勒密王问欧几里得，除了他的《原本》之外，有没有其他学习几何的捷径，欧几里得回答道：“几何无王者之路．”意思是在几何里，没有专门为国王铺设的道路．这句话后来推广为“求知无坦途”，成为千古传诵的学习箴言．另一则故事记载，一个学生才开始学习第一个命题，就问，“学习了几何学之后我能得到什么？”欧几里得对家奴说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利．”由此可见，欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风和狭隘的实用主义观点． 《原本》的前四卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等．第Ⅴ卷是比例论，这是《原本》的最高成就．毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论，不过只适用于可公度量，这样很难建立关于一切量的比例关系．卷Ⅵ把卷Ⅴ已建立的理论用到平面图形上去，处理相似直线图形中的各种成比例线段等等．卷Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ是数论，讨论正整数的性质和分类．卷Ⅹ是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量，即不可公度量．卷Ⅺ是立体几何，卷Ⅻ是穷竭法，这是希腊人创造的强有力的证明方法．经欧多克索斯的努力臻于完善，最后被收入《原本》之中，最后的第ⅩⅢ卷主要讨论了球的内接正多面体的作图法．众所周知，公理化方法是数学中的重要方法，它的主要精神是从尽可能少的几条公理以及若干原始概念出发，推导出尽可能多的命题．历史上，公理化思想最早出现在希腊，而《原本》就是公理化思想的典型代表．过去所积累下来的数学知识是零碎的、片段的，只有借助逻辑的方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，系统化、条理化地整理在一个严密的系统之中，才能建成巍峨的几何大厦，《原本》完成了这项艰巨的任务，对整个数学的发展产生了深远影响． 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过两个问题来具体说明． 问题1：《原本》中第ⅩⅢ卷主要讨论了正整数的性质和分类． 解析：错误 问题2：《原本》中主要讨论无理量的是（ ） A．卷X B．卷VII C．卷XII D．卷VI 解：A 【点拨】本题是让学生了解欧几里得的情况，学习欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，以及它们在解题中具体怎么应用． 【变式1】（2024·山西·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 解：根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点拨】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见分析 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【知识点二】定理 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理。 【要点提示】定理可以作为证明后续命题的依据。 【题型 5】定理与证明 【例题5】（24-25八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见分析 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 解：（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点拨】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 解：将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 【变式2】（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见分析． 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 解：具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点拨】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 【题型 6】互逆定理 【例题6】（24-25八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． （1）请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； （2）判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】（1）①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么；（2）不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 解：（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 【变式1】（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“对顶角相等”_________（填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角，因此逆命题不成立，故没有逆定理． 解：定理“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 然而，相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角； 或者，两直线平行时同位角相等，但它们也不是对顶角． 因此，逆命题不成立，所以原定理没有逆定理． 故答案为：没有． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列说法对吗？请说明理由． （1）每个定理都有逆定理． （2）每个命题都有逆命题． （3）假命题没有逆命题． （4）真命题的逆命题是真命题． 【答案】（1）说法错误，理由见分析；（2）说法正确，理由见分析；（3）说法错误，理由见分析；（4）说法错误，理由见分析 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 解：（1）解：说法错误，理由如下： 每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； （2）解：说法正确，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （3）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （4）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 【知识点三】反证法 1、定义：我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法。 2、反证法步骤： （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立。 【要点提示】（1）核心逻辑：不从正面直接证明，借假设推导出矛盾，反向佐证原结论属实； （2）关键前提：第一步必须否定原有结论，以此作为推理起始条件；（3）判定依据：推理出现与公理、定理、已知条件相悖的结果，即为矛盾；（4）最终归宿：推翻假设，回归认可命题原本的结论。 【题型 7】反证法的题设 【例题7】（24-25八年级下·陕西西安·期末）用反证法证明命题“如果在钝角中，那么”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题关键． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可． 解：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立， 用反证法证明命题“如果在钝角中，那么”时，应先假设． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若，证明，用反证法证明的第一步是______________． 【答案】假设与不平行 【分析】此题主要是考查反证法，反证法是先假设结论不成立，即a不平行于c，然后再推出一个与已知相矛盾的结论，从而得到．据此进行作答即可． 解：若，证明，用反证法证明的第一步是假设与不平行， 故答案为：假设与不平行． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 解：反证法证明，若，则时，应假设， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段检测）用反证法证明“已知，求证：”时，第一步应假设__________． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法的证明．用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可． 解： “已知．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 【题型 8】利用反证法进行证明 【例题8】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见分析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 【变式1】（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 解：证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 解：假设， 根据不等式的基本性质，，这与矛盾， 假设不成立， 中至少有一个大于等于 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·广东汕头·期中）下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出判断的语句，据此对各选项逐一判断即可. 解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 2．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）下列事件是必然事件的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．同角的余角互余 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件，逐一判断各选项的事件类型即可． 解：A选项中，相等的角不一定是对顶角，该事件不一定发生，是随机事件，不符合要求； B选项中，只有两直线平行时同位角才相等，该事件不一定发生，是随机事件，不符合要求； C选项中，根据同角的余角相等，选项所述‘同角的余角互余’，即两个等于的角相加等于，只有当原角时成立，故该事件不一定发生，是随机事件，不符合要求； D选项中，根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线一定平行，该事件一定发生，是必然事件，符合要求． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先分别写出每个命题的逆命题，再逐一判断原命题与逆命题的真假，统计出两者均为真命题的个数． 解：①原命题：若，，则．原命题为真命题． 逆命题若，则，． 反例：，，，但，逆命题为假命题． ②原命题：若，则． 反例：，，，但，原命题为假命题． ③原命题：两直线平行，同位角相等．原命题为真命题． 逆命题：同位角相等，两直线平行．逆命题为真命题． ④原命题：对顶角相等．原命题为真命题． 逆命题：相等的角是对顶角．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角，逆命题为假命题． 综上，原命题与逆命题均为真命题的个数是． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 5．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 【答案】A 解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列命题中：①内错角相等，两直线平行；②相等的角是对顶角；③垂线段最短；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 解：①内错角相等，两直线平行，是平行线的判定定理，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行同位角相等，但这两个同位角不是对顶角，因此该命题是假命题； ③垂线段最短，是垂线的性质，是真命题； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是平行公理，是真命题； 综上，真命题共有3个． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 解：与的大小关系有，，三种情况， ∴的反面是“不小于”，即“”． ∴用反证法证明“”时，应先假设， 故选：D． 8．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列语句中真命题有（    ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③两点之间线段最短； ④对顶角相等； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查命题真假判断，用到点到直线的距离定义，平行线的性质与判定，线段公理，对顶角的性质等知识点，逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到答案． 解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，因此①是假命题； ②只有两直线平行时，内错角才相等，缺少平行的前提条件，因此②是假命题； ③两点之间线段最短是线段公理，因此③是真命题； ④对顶角相等是正确的性质，因此④是真命题； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，符合平行线的判定，因此⑤是真命题． ∴真命题共有3个， 故选:B． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 【答案】3 【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定与性质，逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可． 解：①对顶角相等，是真命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，是真命题． 综上，真命题共有个． 10．（25-26八年级下·云南昭通·期中）把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【分析】先分清命题“的倍数是奇数”的题设与结论，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分，即可完成改写． 解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 11．（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”） 【答案】假 【分析】根据命题真假的判定方法，若存在满足命题题设，不满足命题结论的例子，即可判定命题为假命题，只需找出反例即可判断． 解：举反例，例如， 能被整除，即， 不能被整除，即， 该数满足命题的题设，不满足命题的结论，因此原命题是假命题． 12．（25-26八年级下·江西九江·期中）命题“若，那么”的逆命题是______． 【答案】若，那么 【分析】交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题． 解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 13．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 14．（2026·北京石景山·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题． 15．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 【答案】③/3 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角和补角的定义；通过举反例和定义分析即可判断. 解：①一个角的余角不一定大于这个角， 反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与是对顶角， 反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故③是真命题. 故答案为③ 16．（25-26八年级下·河南郑州·月考）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设结论不成立，找出所证结论的所有反面情况即可． 解：本题要证明的结论是，其反面是， ∴应假设． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2026七年级下·江苏·专题练习）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】见分析 【分析】根据题意写出已知和求证，再利用数的整除证明． 解：已知：能被3整除，其中，，，且都为整数． 求证：能被3整除． 证明： ， ∵，，，且都为整数， ∴能被3整除， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 即“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 18．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” （1）写出命题的题设和结论； （2）直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 【答案】（1）命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等；（2）命题是假命题，反例见详解（反例答案不唯一，正确即可） 【分析】本题主要考查命题，反例，掌握命题是有题设和结论组成，有真命题，假命题之分，反例的含义是解题的关键． （1）“如果”后面的部分为题设，“那么”后面的部分为结论； （2）反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，由此即可求解 解：（1）解：命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等； （2）解：命题是假命题， 反例：如图， 与是同位角，但是． 19．（24-25八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 【答案】；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设 【分析】根据反证法的证明步骤分析即可． 解：证明：假设 ∵， ∴， ∴， 这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾． ∴此假设不成立． ∴， 故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设． 【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 20．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论． 解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $