专题 11.5 用一元一次不等式（组）解决问题（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 11.5 用一元一次不等式（组）解决问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】用一元一次不等式（组）解决问题 1 【知识点二】常考题型 2 【题型 1】列一元一次不等式 3 【题型 2】列一元一次不等式组 4 【题型 3】用一元一次不等式解决实际问题 5 【题型 4】用一元一次不等式解决几何问题 6 【题型 5】用一元一次不等式组解决行程问题 7 【题型 6】用一元一次不等式组解决经济问题 8 【题型 7】用一元一次不等式组解决分配问题 8 【题型 8】用一元一次不等式组解决方案选择问题 9 【题型 9】用一元一次不等式组解决阶梯收费问题 10 【题型 10】用一元一次不等式组解决其他应用 11 二.综合培优题型精析 13 【题型 11】一元一次不等式的应用 13 【题型 12】用一元一次不等式组解决实际问题 14 三.同步检测 15 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】用一元一次不等式（组）解决问题 1、用一元一次不等式解决问题的解题步骤： （1）审：审题，明确题目中的已知量、未知量，以及不等关系（如 “不超过”“至少”“最多”“不足” 等关键词）； （2）设：设未知数，通常直接设所求的量为，并注明单位； （3）列：根据不等关系，列出一元一次不等式； （4）解：解这个不等式，求出未知数的解集； （5）答：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数应为正整数），并写出答案。 2、用一元一次不等式组解决问题的解题步骤： （1） 审：读懂题意，找出题目中两个及以上不等关系； （2） 设：合理设未知数； （3） 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4） 解：分别解不等式，找出公共解集，结合实际取整数解； （5） 答：检测并写出完整答案。 【要点提示】用一元一次不等式与一元一次不等式组解决问题的解题步骤异同点 （1）相同点：均遵循审→设→列→解→答五步流程；（2）审题要点相同：都要抓取至少、最多、不超过、不足等关键词找不等关系；（3）实际要求相同：都需检验解集，结合生活实际取正整数，舍去无意义解。 （2）不同点：（1）不等关系数量不同：知识点一只有一个不等关系；知识点二有两个及以上不等关系；（2）列式形式不同：知识点一列单个一元一次不等式；知识点二列一元一次不等式组；（3）求解方式不同：知识点一直接求单个不等式解集；知识点二需先分别求解，再取公共解集，常需单独找整数解。 【知识点二】常考题型 （1） 分配问题：物品分配、人员分配、宿舍分配； 【要点提示】按固定数量分物品、分人员、分宿舍，出现有余、不足、剩几个、少几个等量差关系；利用分配前后数量限制列两个不等关系，求人数、物品数整数解。 （2） 方案选择问题：购物方案、租车方案、进货方案； 【要点提示】购物、租车、进货等多种可选方案，受总钱数、总数量、总载量双重限制；列出不等式组求出未知数整数解，每一个整数解对应一种可行方案，再可选最优方案。 （3） 最值问题：最多、最少、不低于、不超过类； 【要点提示】题干含至少、最多、不低于、不超过双向限制词；用不等式组锁定取值范围，在整数解里直接找最大值、最小值。 （4） 行程与工程问题：速度、时间、工作量限制； 【要点提示】行程受速度、时间、路程双重约束；工程受工作效率、工期、工作量双向限制；通过范围限制列不等式组求合理取值。 （5） 利润费用问题：成本、利润、总价范围限制。 【要点提示】同时限制成本下限、成本上限、利润最低、售价范围；用不等式组锁定进货量、定价的取值区间，常用于求盈利范围内的合理进货与定价方案。 【题型 1】列一元一次不等式 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： （1）若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． （2）若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 （1）现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． （2）如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【题型 2】列一元一次不等式组 【例题2】（24-25八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【变式2】（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【题型 3】用一元一次不等式解决实际问题 【例题3】（2026·河南周口·二模）2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： （1）求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． （2）现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案； ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 【变式1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． （1）某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ （2）市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 【题型 4】用一元一次不等式解决几何问题 【例题4】（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【变式1】（24-25七年级下·河北雄安·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【变式3】（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． （1） ．（用含m的代数式表示） （2）当时，求m的最小值． 【题型 5】用一元一次不等式组解决行程问题 【例题5】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． （1）当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； （2）若，利用不等式的基本性质比较与的大小； （3）如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【变式2】（24-25八年级下·全国·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． （1）若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h （2）已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型 6】用一元一次不等式组解决经济问题 【例题6】（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 （1）求A款最少购买多少本； （2）直接写出所有购买方案． 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 【题型 7】用一元一次不等式组解决分配问题 【例题7】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【题型 8】用一元一次不等式组解决方案选择问题 【例题8】（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： （1）求A，B两种品牌笔袋的每个进价； （2）该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． （1）求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ （2）学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【题型 9】用一元一次不等式组解决阶梯收费问题 【例题9】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． （1）设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； （2）该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； （3）若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 （1）若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； （2）若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） （3）若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【题型 10】用一元一次不等式组解决其他应用 【例题10】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． （1）甲型、乙型单价各是多少万元？ （2）若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ （3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·月考）按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）成都市双流区立格实验学校准备购买体育教学用的器材A和B，下表是这两种器材的价格信息： A B 总费用 3件 1件 500元 1件 1件 200元 （1）求每件器材A、器材B的销售价格； （2）若该学校准备用不多于2650元的金额购买这两种器材共25件，且购买器材A不少于12件，则有哪几种购买方案，并求出最少费用是多少元？ 二.综合培优题型精析 【题型 11】一元一次不等式的应用 【例题11】（2026·江西上饶·三模）为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． （1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； （2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 【变式2】（25-26七年级上·重庆北碚·月考）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】（2026·广西南宁·一模）学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话： （1）根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价； （2）由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 【题型 12】用一元一次不等式组解决实际问题 【例题12】（24-25七年级下·四川眉山·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： （1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； （3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 【变式1】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·月考）某校八年级同学中，有人参加数学竞赛，有人参加英语竞赛，有人参加作文竞赛，其中同时参加数学、英语两科的共人，同时参加英语、作文两科的共有人，同时参加数学、作文两科的共有人，已知参加竞赛的同学有的同学得了奖，那么得奖的同学共有______人 【变式3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） （1）求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ （2）该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，某电梯额定载重为，假设电梯内人员和货物的总重量为．为了安全运行，必须满足的不等关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图，已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 7．（25-26八年级下·山西太原·期中）某文旅公司计划购进一批“山西古建文创钥匙扣”进行销售，每件的进价为40元，官方标价为60元．根据清明假期的旅游消费趋势，前期按标价售出了的库存；为了迎接五一假期旅游旺季，尽快清完剩余库存，商家决定在标价基础上打折进行促销．若要保证这批文创产品销售完毕后的总利润率不低于（假设无其他成本），则满足的条件为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）今据天气预报，2022年4月1日高新区最高气温20℃，最低气温是8℃，则当天我区气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t＞8 B．t≤20 C．8＜t＜20 D．8≤t≤20 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·重庆·期中）根据“x的3倍与8的和不小于x的4倍”，可列不等式为_________． 10．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对_________道题． 11．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 14．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住：若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生有多少人，安排住宿的房间______间． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是__________． 16．（25-26八年级下·山西太原·期中）2026年，大同文旅迎来爆发式增长．依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省．入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能．某文创工作室定制了3000份周边徽章，每份成本为10元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润．设徽章的销售单价为元/份，则可列不等式为：___________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·江西吉安·期中）一辆小型货车的额定载重量为千克．两人要用这辆货车把一批家具从A地运向B地，这两人的质量分别为千克和千克，每组家具的质量为千克，他们每次最多可以搬运家具多少组？ 18．（24-25八年级上·浙江温州·开学考试）某化工厂从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知产品的销售款比原料的进货款多20000元，产品的销售款比原料的进货款多15000元． （1）求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？ （2）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共．若要增加的产品，就要再购买的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？ 19．（25-26七年级下·重庆·期中）一家文具店采购中性笔套装和笔记本套装，已知采购2套中性笔套装和3套笔记本套装的总进价为300元，且1套中性笔套装的进价比1套笔记本套装的进价多25元． （1）求一套中性笔套装和一套笔记本套装的进价分别为多少元？ （2）店家采购中性笔套装和笔记本套装共100套．已知每套中性笔套装的售价为90元，每套笔记本套装的利润率为，中性笔套装销售一半后，商家为了加快销售速度，对剩下的中性笔套装打九折销售，笔记本套装售价不变．两种套装全部售完后要求这批商品的总利润不低于930元，至少需要采购多少套中性笔套装？ 20．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 （1）求、两种型号空调的销售单价； （2）求型空调所有可能的进货台数； （3）在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.5 用一元一次不等式（组）解决问题（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】用一元一次不等式（组）解决问题 1 【知识点二】常考题型 2 【题型 1】列一元一次不等式 3 【题型 2】列一元一次不等式组 5 【题型 3】用一元一次不等式解决实际问题 8 【题型 4】用一元一次不等式解决几何问题 11 【题型 5】用一元一次不等式组解决行程问题 13 【题型 6】用一元一次不等式组解决经济问题 18 【题型 7】用一元一次不等式组解决分配问题 20 【题型 8】用一元一次不等式组解决方案选择问题 23 【题型 9】用一元一次不等式组解决阶梯收费问题 26 【题型 10】用一元一次不等式组解决其他应用 30 二.综合培优题型精析 34 【题型 11】一元一次不等式的应用 34 【题型 12】用一元一次不等式组解决实际问题 38 三.同步检测 42 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 42 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 46 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 49 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】用一元一次不等式（组）解决问题 1、用一元一次不等式解决问题的解题步骤： （1）审：审题，明确题目中的已知量、未知量，以及不等关系（如 “不超过”“至少”“最多”“不足” 等关键词）； （2）设：设未知数，通常直接设所求的量为，并注明单位； （3）列：根据不等关系，列出一元一次不等式； （4）解：解这个不等式，求出未知数的解集； （5）答：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数应为正整数），并写出答案。 2、用一元一次不等式组解决问题的解题步骤： （1） 审：读懂题意，找出题目中两个及以上不等关系； （2） 设：合理设未知数； （3） 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4） 解：分别解不等式，找出公共解集，结合实际取整数解； （5） 答：检测并写出完整答案。 【要点提示】用一元一次不等式与一元一次不等式组解决问题的解题步骤异同点 （1）相同点：均遵循审→设→列→解→答五步流程；（2）审题要点相同：都要抓取至少、最多、不超过、不足等关键词找不等关系；（3）实际要求相同：都需检验解集，结合生活实际取正整数，舍去无意义解。 （2）不同点：（1）不等关系数量不同：知识点一只有一个不等关系；知识点二有两个及以上不等关系；（2）列式形式不同：知识点一列单个一元一次不等式；知识点二列一元一次不等式组；（3）求解方式不同：知识点一直接求单个不等式解集；知识点二需先分别求解，再取公共解集，常需单独找整数解。 【知识点二】常考题型 （1） 分配问题：物品分配、人员分配、宿舍分配； 【要点提示】按固定数量分物品、分人员、分宿舍，出现有余、不足、剩几个、少几个等量差关系；利用分配前后数量限制列两个不等关系，求人数、物品数整数解。 （2） 方案选择问题：购物方案、租车方案、进货方案； 【要点提示】购物、租车、进货等多种可选方案，受总钱数、总数量、总载量双重限制；列出不等式组求出未知数整数解，每一个整数解对应一种可行方案，再可选最优方案。 （3） 最值问题：最多、最少、不低于、不超过类； 【要点提示】题干含至少、最多、不低于、不超过双向限制词；用不等式组锁定取值范围，在整数解里直接找最大值、最小值。 （4） 行程与工程问题：速度、时间、工作量限制； 【要点提示】行程受速度、时间、路程双重约束；工程受工作效率、工期、工作量双向限制；通过范围限制列不等式组求合理取值。 （5） 利润费用问题：成本、利润、总价范围限制。 【要点提示】同时限制成本下限、成本上限、利润最低、售价范围；用不等式组锁定进货量、定价的取值区间，常用于求盈利范围内的合理进货与定价方案。 【题型 1】列一元一次不等式 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： （1）若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． （2）若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； （1）（2）根据题干所给要求找出符合题意的不等关系列出式子． 解：（1）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆承载质量为，乙型汽车每辆承载质量为，货物总重为； 则：． （2）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆租金为800元，乙型汽车租金每辆为850元； 则：． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据利润等于实际售价减去进价，且利润率不低于即利润不低于进价的，列出不等式即可． 解：设该商品打折销售， 打折后的实际售价为标价乘， 列不等式得． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 （1）现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． （2）如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“至少含有3600单位的维生素C”可得不等式； （2）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“甲、乙两种原料的费用不超过65元”列出不等式. 解：（1）解：设所需甲种原料的质量，由题意得： . （2）解：根据题意，得． 【点拨】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式. 【题型 2】列一元一次不等式组 【例题2】（24-25八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·广西百色·期中）在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【题型 3】用一元一次不等式解决实际问题 【例题3】（2026·河南周口·二模）2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： （1）求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． （2）现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案； ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 【答案】（1）每本《朝花夕拾》的原价为15元，每本《西游记》的原价为20元；（2）①选择方案二优惠；②当购买数量为20本时，两种方式的费用一样；当时，选择方案二；当时，选择方案一 【分析】（1）设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元，根据小明与小亮的对话内容列出方程组，求解即可； （2）设购买《西游记》m本，①当购买数量不超过10本时，列出两种方案的付费金额，比较即可解答； ②当购买数量超过10本时，列出两种方案的付费金额，分类讨论即可． 解：（1）解：设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元， 根据题意，得， 解得． 答：每本《朝花夕拾》的原价为15元，每本《西游记》的原价为20元． （2）解：设购买《西游记》m本，则， ①当购买数量不超过10本时， 方案一：付费元， 方案二：付费元， 而， ∴选择方案二优惠； ②当购买数量超过10本时， 方案一：付费：元， 方案二：付费：元， 当，解得， 当，解得， 当，解得， ∴当购买数量为20本时，两种方式的费用一样；当时，选择方案二； 当时，选择方案一． 【变式1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【分析】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． （1）某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ （2）市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 【答案】（1）生产的一级毛峰至多为10千克；（2）至少售出一级毛峰50千克． 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，先设出一级毛峰的质量为未知数，再根据题干给出的不等关系列出一元一次不等式，求解不等式后结合题意得到最终结果． 解：（1）解：设生产一级毛峰千克，则生产二级毛峰千克． 根据题意可得不等式： 展开整理得： 解得： 答：生产的一级毛峰至多为10千克． （2）解：设售出一级毛峰千克，则售出二级毛峰千克． 调整价格后，一级毛峰单价为（元/千克） 调整价格后，二级毛峰单价为（元/千克） 根据总售价不低于56000元，可得： 展开整理得： 解得： 答：至少售出一级毛峰50千克． 【题型 4】用一元一次不等式解决几何问题 【例题4】（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 【变式1】（24-25七年级下·河北雄安·月考）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 解：根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 【变式3】（24-25七年级下·山东德州·月考）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． （1） ．（用含m的代数式表示） （2）当时，求m的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 解：（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 【题型 5】用一元一次不等式组解决行程问题 【例题5】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． （1）当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； （2）若，利用不等式的基本性质比较与的大小； （3）如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】（1）；（2）；（3）7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 解：（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． （1）若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h （2）已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】（1）①M，N；②；（2）①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 解：（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型 6】用一元一次不等式组解决经济问题 【例题6】（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 （1）求A款最少购买多少本； （2）直接写出所有购买方案． 【答案】（1）A最少买20本；（2）第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本 【分析】（1）设A款买x本，则B款买本，根据总费用不超过260元、A数量不少于B的列不等式组求解即可； （2）根据（1）中x的取值范围写出所有购买方案即可． 解：（1）解：设A款买x本，则B款买本，由题意，得 ， 解得， 所以A最少买20本； （2）解：∵， ∴x可取∶20、21、22、……、40，共21种方案， 方案：第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本． 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可． 解：由题意可得：， 由可得：， ∴； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？ 【答案】每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件，根据每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 解：设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件， 由题意得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴， 答：每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件． 【题型 7】用一元一次不等式组解决分配问题 【例题7】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（　　） A．8件 B．7件 C．6件 D．5件 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解． 解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得： ， 由得：， 解得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大取5， 答：A种仪器最多可买5件． 故选：D 【变式2】（24-25八年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·江苏南通·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】（1）A种产品应生产件，B种产品生产件；（2）有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件；（3）生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 解：（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 【题型 8】用一元一次不等式组解决方案选择问题 【例题8】（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： （1）求A，B两种品牌笔袋的每个进价； （2）该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】（1）A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元；（2）7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 解：（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为创建“文明校园”，琥珀中学学生会计划购买、两种分类垃圾桶，用于校园垃圾分类宣传活动．已知购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元；购买个种垃圾桶和个种垃圾桶共需元． （1）求、两种垃圾桶每个的单价分别是多少元？ （2）学生会计划购买、两种垃圾桶共个，且总费用不超过元，且购买的种垃圾桶数量不少于种垃圾桶数量的．请问共有几种购买方案，最省钱方案的费用是多少？ 【答案】（1）种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元；（2）共有种购买方案，最省钱方案费用为元 【分析】（1）列二元一次方程组，根据已知的购买数量和总价求出两种垃圾桶的单价； （2）列一元一次不等式组，确定购买数量的取值范围，然后判断最省钱方案． 解：（1）解：设种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元， 可得， 解得， 故种垃圾桶每个元，种垃圾桶每个元． （2）解：设购买种垃圾桶个，则购买种垃圾桶为个， 可得， 解得， ∵是正整数， ， ∴共有种购买方案， ∵种垃圾桶单价高于种垃圾桶， ∴当种垃圾桶的数量最少，即种垃圾桶个，种垃圾桶个时，总费用最低， ∴最省钱方案费用：（元）． 【题型 9】用一元一次不等式组解决阶梯收费问题 【例题9】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． （1）设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； （2）该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； （3）若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】（1）；（2）89.5元；（3） 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 （1）若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； （2）若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） （3）若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】（1）；（2），；（3）3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 解：（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【题型 10】用一元一次不等式组解决其他应用 【例题10】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． （1）甲型、乙型单价各是多少万元？ （2）若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ （3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲型单价是15万元，乙型单价是10万元；（2）共有2种采购方案；（3）采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元 【分析】（1）设甲型、乙型单价各是万元，万元，由购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 解：（1）解：设甲型、乙型单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型单价各是15万元，10万元． （2）解：设购买甲型a块，依题意，得 解①，得， 解②，得， 解③，得， ∴不等式组的解集为， ∵a为整数 ∴a的取值为59，60，共2种采购方案． （3）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵，（块） ∴采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元． 【变式1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）深圳中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟列不等式组即可． 解：由题意得，． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·月考）按图中的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值”到“结果是否？”为一次操作，若操作四次才停止，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意求出四次的操作结果，再根据题意列不等式组解答即可求解． 解：由程序可得，第一次的操作结果为， 第二次的操作结果为， 第三次的操作结果为， 第四次的操作结果为， ∵操作四次才停止， ∴， 解得， 即的取值范围是． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）成都市双流区立格实验学校准备购买体育教学用的器材A和B，下表是这两种器材的价格信息： A B 总费用 3件 1件 500元 1件 1件 200元 （1）求每件器材A、器材B的销售价格； （2）若该学校准备用不多于2650元的金额购买这两种器材共25件，且购买器材A不少于12件，则有哪几种购买方案，并求出最少费用是多少元？ 【答案】（1）每件器材A的销售价格为150元，每件器材B的销售价格为50元．；（2）共有3种购买方案，方案1：购买12件器材A，13件器材B；方案2：购买13件器材A，12件器材B；方案3：购买14件器材A，11件器材B．最少费用是2450元． 【分析】（1）设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元，根据题意列出方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件器材A，则购买件器材B，根据购买器材A不少于12件且购买费用不多于2650元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案，再分别求出各购买方案所需费用，比较后即可找出最少费用． 解：（1）解：设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每件器材A的销售价格为150元，每件器材B的销售价格为50元． （2）解：设购买m件器材A，则购买件器材B， 依题意，得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可以取12，13，14， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买12件器材A，13件器材B，所需费用为（元）； 方案2：购买13件器材A，12件器材B，所需费用为（元）； 方案3：购买14件器材A，11件器材B，所需费用为（元）； ∵， ∴最少费用是2450元． 答：共有3种购买方案，方案1：购买12件器材A，13件器材B；方案2：购买13件器材A，12件器材B；方案3：购买14件器材A，11件器材B．最少费用是2450元． 二.综合培优题型精析 【题型 11】一元一次不等式的应用 【例题11】（2026·江西上饶·三模）为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． （1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； （2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 【答案】（1）巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元；（2）29套 【分析】（1）设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元，由此列式求解即可； （2）根据题意得到无人机每套，智能小车每套的价格，结合题意列不等式求解即可． 解：（1）解：设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元， 依题意得， 解得，， 答：巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元． （2）解：无人机每套售价为（元）， 智能小车每套售价为（元）， 设这次购买巡线机器人m套， ∴， 解得，， 又∵m为整数， ∴m可以取的最大值为29， 答：这次最多能购买巡线机器人29套． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某段高速公路全长公里，交警部门在高速公路上距入口千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔公里处设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口千米处设置了摄像头，并在以后每隔千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口____千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 【答案】或或 【分析】根据题意可知：第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里，由摄像头所在的位置离入口的距离不超过公里，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，根据标志牌和摄像头重合，可得出关于的二元一次方程，化简后可得出，结合均为正整数，即可得出的值，再将的值代入中即可求出结论． 解：依题意可知，第（为正整数）个限速标志牌距离入口的距离为公里，第（为正整数）个摄像头距离入口的距离为公里， ， ， ∵标志牌和摄像头重合， ， ， 又均为正整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∴离入口或或千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头． 【变式2】（25-26七年级上·重庆北碚·月考）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为12分钟时需要的抽水机台数． 解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b， 根据题意得：， 解得：，， 如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：      故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台． 故选：C． 【变式3】（2026·广西南宁·一模）学校组织体育活动，某班级计划统一购买新的排球和跳绳．班长统计后去商店采购，和售货员有如下对话： （1）根据上述对话信息，求排球和跳绳的单价； （2）由于排球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进排球个（）和跳绳根，且恰好花费3600元，已知排球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ 【答案】（1）排球的单价为元，跳绳的单价为20元；（2）该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）根据题意可以得到，结合的取值范围和、为正整数的条件，求出和的值，从而得到购进方案． 解：（1）解：设排球的单价为元，跳绳的单价为元，根据题意得： ， 解得， 答：排球的单价为元，跳绳的单价为元； （2）解：根据题意得：， 即， 由于、为正整数， 则， 解得， 由于，且是3的倍数， 则的值可以为39、42， 当时，， 当时，， 答：该商店老板有两种购进方案：方案一：购进排球39个，跳绳32根；方案二：购进排球42个，跳绳16根． 【题型 12】用一元一次不等式组解决实际问题 【例题12】（24-25七年级下·四川眉山·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： （1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ （2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； （3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 【答案】（1）甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元；（2）共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个；（3）赠甲书包1个，乙书包3个 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据数量＝总价÷单价结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）先假设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意：总利润=总销售额-总成本，其中赠送的书包不产生销售收入，但其成本已包含在总成本中，则可列出方程，求出n的值即可． 解：（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得． 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得． 解得． ∵， ∴． ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110． ∴该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：分三种情况： ①购进甲种书包88个，乙种书包112个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立； ②购进甲种书包89个，乙种书包111个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得，， 故甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． ③购进甲种书包90个，乙种书包110个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立． 综上，甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式1】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，解题关键是通过任意人分数之和不超过分分析得到不含最高分的其余人满足任意三人分数之和不超过． 设得分最高的人分数为，则其他人总分为，结合任意人分数和，分析可得包括最高分者时，任意其他三人分数之和不超过，则其他 人需满足任意三人分数之和不超过，列出不等式 后即可得解． 解：总分，设最高分为，则其他人总分为， 又任意人分数和，包括最高分时，任意其他三人分数和， 其他人任意三人分数和，其总分， ， 即， ， ， 当时，其他人分数均为，任意三人之和为， 此时任意四人之和为，满足条件， 一个人最多得分． 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·江西赣州·月考）某校八年级同学中，有人参加数学竞赛，有人参加英语竞赛，有人参加作文竞赛，其中同时参加数学、英语两科的共人，同时参加英语、作文两科的共有人，同时参加数学、作文两科的共有人，已知参加竞赛的同学有的同学得了奖，那么得奖的同学共有______人 【答案】30 【分析】设同时参加数学竞赛，英语竞赛和作文竞赛的人数为x人，根据容斥原理可推出参加竞赛的总人数为人，结合获奖人数可推出一定是8的倍数，根据题意列出不等式组求出x的取值范围，据此确定x的值即可得到答案． 解：设同时参加数学竞赛，英语竞赛和作文竞赛的人数为x人， 则参加竞赛的总人数为人， ∵参加竞赛的同学有的同学得了奖， ∴一定是8的倍数， 又∵参加数学、英语两科的共人，参加英语、作文两科的共有人，参加数学、作文两科的共有人，且有人参加作文竞赛， ∴， ∴，且x为整数， ∴只有当时满足是8的倍数， ∴得奖的同学共有人． 【变式3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） （1）求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ （2）该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒；（2）当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确找出等量关系，列出相对应的方程组和不等式组是解决本题的关键． 解：（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得，，解之得：， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒． （2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元， 水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒， ，解之得：， 由题意可得，， ， 随的减小而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，某电梯额定载重为，假设电梯内人员和货物的总重量为．为了安全运行，必须满足的不等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：依题意． 2．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）某种商品的进价为元，出售时标价为元，由于该商品积压，商店准备打折出售，要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据利润等于实际售价减去进价，且利润率不低于即利润不低于进价的，列出不等式即可． 解：设该商品打折销售， 打折后的实际售价为标价乘， 列不等式得． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用3小时完成的任务量不小于列不等式即可． 解：由题意可得3小时完成的任务量不小于， 设剩余时间每小时平整， 如果工作3小时，则3小时总平整面积为， 可得不等式． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速， 船只逆流速度船静水中的速度水流流速， 根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案． 解：根据题意，得， 故选：． 【点拨】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键． 5．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图，已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，先确定的质量m的取值范围，在数轴上表示出来即可． 解：如图所示，可知， 在数轴上表示为： 故选：C． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（    ）套才能达标？ A．727 B．728 C．1800 D．1801 【答案】B 【分析】设需要卖出套，根据题意列出不等式，进行求解即可. 解：设需要卖出套， 由题意，得， 解得， ∵是正整数， ∴最小为， 由题意，可以出售的明信片的套数至少为（套）； ， 故至少需要卖出728套才能达标. 7．（25-26八年级下·山西太原·期中）某文旅公司计划购进一批“山西古建文创钥匙扣”进行销售，每件的进价为40元，官方标价为60元．根据清明假期的旅游消费趋势，前期按标价售出了的库存；为了迎接五一假期旅游旺季，尽快清完剩余库存，商家决定在标价基础上打折进行促销．若要保证这批文创产品销售完毕后的总利润率不低于（假设无其他成本），则满足的条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总利润率不低于”的条件，分别表示出总销售额与符合要求的最低总售价，进而列出不等式. 解：设这批文创产品的总库存为单位1， 则总进价为，前期售出，销售额为，剩余打折销售，打折后每件售价为，对应销售额为， ∵总利润率不低于，即总售价不低于总进价的倍， ∴． 8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）今据天气预报，2022年4月1日高新区最高气温20℃，最低气温是8℃，则当天我区气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t＞8 B．t≤20 C．8＜t＜20 D．8≤t≤20 【答案】D 【分析】最高气温是20℃，即气温小于或等于20°，最低气温8℃即温度大于或等于8°，据此即可判断． 解：若4月1日高新区最高气温是20℃，最低气温8℃， 则4月1日高新区的气温t（℃）的变化范围是8≤t≤20． 故选：D． 【点拨】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题意是解题的关键． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·重庆·期中）根据“x的3倍与8的和不小于x的4倍”，可列不等式为_________． 【答案】 【分析】根据题意列不等式即可． 解：由题意，可列不等式为． 10．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）某次数学竞赛共有20道题，评分标准是：答对一题得5分，答错或不答一题倒扣1分；某同学想要超过60分，他至少要答对_________道题． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，先设出未知数，根据题意找出不等关系，列不等式求解． 解：设该同学答对道题， 则答错或不答共道， 由题意得：， 解不等式得：， 为正整数， 的最小值为， 即他至少要答对道题． 11．（25-26七年级下·上海闵行·月考）如果一个锐角不大于它的余角，那么这个锐角最大为________度． 【答案】 【分析】设一个锐角度数为，则它的余角为，根据题意得到不等式，再解不等式即可． 解：设一个锐角度数为，则它的余角为， 由题意得，， 解得， ∴这个锐角最大为度． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 解：由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点拨】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住：若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生有多少人，安排住宿的房间______间． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 设安排住宿的房间有间，则学生有人，根据“每间住4人，则还余20人无宿舍住；每间住8人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可． 解：设安排住宿的房间有间，则学生有人， 根据题意，得， 解得. ∵只能取正整数， ∴． 即安排住宿的房间6间． 故答案为：6 15．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据水是否溢出的情况列出不等式组． 根据5个玻璃球放入水未满，列出；根据6个玻璃球放入水满溢出，列出；解不等式组，得出V的取值范围． 解：放入5个时水未满，即，解得； 放入6个时水满溢出，即，解得． ∴V的取值范围为， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·山西太原·期中）2026年，大同文旅迎来爆发式增长．依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省．入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能．某文创工作室定制了3000份周边徽章，每份成本为10元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润．设徽章的销售单价为元/份，则可列不等式为：___________． 【答案】 【分析】先求出可正常售卖的徽章数量，再根据总销售额不低于总成本的的不等关系列出不等式． 解：设徽章的销售单价为元/份， 由题意可得可正常售卖的徽章数量为 份，总销售额为 元． ∵总成本为 元． ∴． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·江西吉安·期中）一辆小型货车的额定载重量为千克．两人要用这辆货车把一批家具从A地运向B地，这两人的质量分别为千克和千克，每组家具的质量为千克，他们每次最多可以搬运家具多少组？ 【答案】每次最多可以搬运家具组 【分析】设每次可以搬运家具组，由题意列一元一次不等式求解即可． 解：设每次可以搬运家具组， 根据题意得， 解得， 答：每次最多可以搬运家具组． 18．（24-25八年级上·浙江温州·开学考试）某化工厂从A地购买原料运回工厂制成产品运到B地销售．已知产品的销售款比原料的进货款多20000元，产品的销售款比原料的进货款多15000元． （1）求每吨原料的进货款和产品的销售款分别多少元？ （2）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共．若要增加的产品，就要再购买的原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元，同时满足原料总重量是产品总重量的2倍，求至少需要再购买多少吨的原料？ 【答案】（1）每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元；（2）至少需要再购买8吨的原料 【分析】（1）设每吨原料的进货款为x元，每吨产品的销售款为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设工厂原计划从A地购买的原料为b吨，则送往B地的产品为吨，易得．解得： ．进而得到原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．再根据题意列关于a的不等式求解即可. 解：（1）解：设每吨原料的进货款为x元，每吨产品的销售款为y元，依题意得： ，解得：． 答：每吨原料的进货款为1000元，每吨产品的销售款为8000元． （2）解：设工厂原计划从A地购买的原料为b吨，则送往B地的产品为吨， ∵原料总重量是产品总重量的2倍， ∴．解得： ． ∴原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨． ∵产品的销售款与原料的进货款之差不少于66000元， ∴，解得：． ∴． 答：至少需要再购买8吨的原料． 19．（25-26七年级下·重庆·期中）一家文具店采购中性笔套装和笔记本套装，已知采购2套中性笔套装和3套笔记本套装的总进价为300元，且1套中性笔套装的进价比1套笔记本套装的进价多25元． （1）求一套中性笔套装和一套笔记本套装的进价分别为多少元？ （2）店家采购中性笔套装和笔记本套装共100套．已知每套中性笔套装的售价为90元，每套笔记本套装的利润率为，中性笔套装销售一半后，商家为了加快销售速度，对剩下的中性笔套装打九折销售，笔记本套装售价不变．两种套装全部售完后要求这批商品的总利润不低于930元，至少需要采购多少套中性笔套装？ 【答案】（1）一套中性笔套装的进价为75元，一套笔记本套装的进价为50元；（2）至少需要采购60套中性笔套装 【分析】（1）设一套中性笔套装为元，一套笔记本套装为元，根据“采购2套中性笔套装和3套笔记本套装的总进价为300元，且1套中性笔套装的进价比1套笔记本套装的进价多25元”列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购中性笔套装套，则采购笔记本套装套，然后表示出两种套装的利润，再根据总利润不低于930元，列出不等式，即可解答． 解：（1）解：设一套中性笔套装的进价为元，一套笔记本套装的进价为元， ， 解得， 答：一套中性笔套装的进价为75元，一套笔记本套装的进价为50元． （2）解：设采购中性笔套装套，则采购笔记本套装套， ， 解得， 答：至少需要采购60套中性笔套装． 20．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 （1）求、两种型号空调的销售单价； （2）求型空调所有可能的进货台数； （3）在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 【答案】（1）型空调销售单价为元，型空调销售单价为元；（2）型空调所有可能的进货台数是台，台，台；（3）三种进货方案的总利润分别为元，元，元；总利润最大的进货方案是购进型空调台，型空调台 【分析】（1）根据总利润的等量关系列一元一次方程，求解得到两种空调的销售单价； （2）设B型空调进货台数为未知数，结合题目给出的数量限制和总利润限制列一元一次不等式组，结合台数为正整数得到所有可能结果； （3）写出总利润关于B型空调台数的表达式，分别计算各方案总利润，比较得到总利润最大的方案． 解：（1）解：型空调销售单价为元，则型空调销售单价为 元． 由题意得 整理得 解得 则 答：A型空调销售单价为2300元，B型空调销售单价为2800元． （2）解：设购进B型空调台，则购进A型空调台． 两种空调总进价为 （元），满足不超过100000元的资金要求． 根据题意列不等式组 解第一个不等式得 解第二个不等式得 ，即 因为为正整数， 所以的取值为14，15，16 答：B型空调所有可能的进货台数为14台，15台，16台． （3）解：设总利润为元，由题意得 当时， （元），对应方案：购进A型空调36台，B型空调14台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调35台，B型空调15台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调34台，B型空调16台． 因为 所以总利润最大的方案为购进A型空调34台，B型空调16台 答：三种进货方案的总利润分别为22000元，22500元，23000元，总利润最大的进货方案是购进A型空调34台，B型空调16台． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $