精品解析：广东省普宁市兴文中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

高二期中试卷 一、单选题 1. 随机变量的分布列为 1 3 P m 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故选：A 2. 计算的值是（ ） A. 1 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的公式即可求解. 【详解】 故选：C 3. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数学期望与方差的性质求解 【详解】，得， ，得， 故选：B 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据导数的运算法则结合基本初等函数的导数即可得解. 【详解】; ; ; . 故选：D 5. 5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（　　） A. 36 B. 60 C. 72 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】采用插空法，先排列除甲、乙以外的3个人，然后将甲乙两人插入到3个人形成的4个空位中，根据排列数计算种数即可. 【详解】先将除了甲、乙两人之外的3人全排，共种不同的排法， 再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共种不同的排法， 所以5人并排站成一行，甲、乙两个人不相邻的不同排法种数是， 故选：C. 6. 现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 24种 B. 30种 C. 36种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解. 【详解】按涂色顺序进行分四步： 涂①部分时，有4种涂法； 涂②部分时，有3种涂法； 涂③部分时，有2种涂法； 涂④部分时，有2种涂法． 由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有4×3×2×2＝48种． 故选：D. 【点睛】本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题. 7. 已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式可求p,然后利用两点分布概率公式计算可得结果. 【详解】随机变量,， 解得（舍去，注意：），． 故选:C． 8. 已知函数，下列结论中错误是（ ） A. ， B. 函数的值域为R C. 若是的极值点，则 D. 若是的极小值点，则在区间单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据三次函数的图像特征，可判断A,B选项，根据极值点的定义，可知C选项，根据极值点与单调性的关系，即可判断. 【详解】对A,是三次函数，则在上一定有零点，且值域为，所以A，B都对. 对C，三次函数是连续的，故是的极值点，则是对的. 对于D,因为三次函数的三次项系数为正值，若函数存在极值点，则必有两根，故函数必有两个极值点，设为，且极小值点为，∴函数在，递增，在递减，故D错误. 故选：D 二、多选题 9. （多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的单调性可判断A选项；利用导数法可判断BCD选项. 【详解】对于A，当，则，则函数在区间上不单调，故A错误； 对于B，在区间上恒成立，则函数在区间上为增函数，故B正确； 对于C，在区间上恒成立，则在区间上为增函数，故C正确； 对于D，在区间上恒成立， 则在区间上为减函数，故D错误． 故选：BC. 10. 对于的展开式，下列说法错误的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式中的常数项是 C. 展开式的二项式系数之和为 D. 展开式的各项系数之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项展开式的特点可判断A选项的正误；利用二项展开式的通项可判断B选项的正误；利用二项展开式的系数和可判断C选项的正误；利用赋值法可判断D选项的正误. 【详解】A选项，的展开式共有项，A错， B选项，的展开式通项为， 令，解得，则展开式中的常数项为，B错， C选项，的展开式的二项式系数之和为，C对， D选项，令，则展开式的各项系数之和为，D错. 故选：ABD. 11. 若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 等比数列 D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由与关系可得出数列的通项公式，再对选项逐一判断即可. 【详解】当时，， 当时，由有， 所以， 所以数列时以为首项，2公比的等比数列，故C正确； ，故A正确； 由，故B错误； 因为，所以是等比数列，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解． 【详解】记事件＝“某人在春季里鼻炎发作”， 事件＝“某人在春季里感冒发作”， 由题意可知， 此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为 ， 故答案为： 13. 若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【详解】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 14. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有_________种． 【答案】1320 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及排列、组合列式计算作答. 详解】依题意，当甲和乙都不去时，选派方案有种， 当甲和乙之一去时，选派方案有种， 所以不同的选派方案共有. 故答案为：1320 四、解答题 15. 在内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）6. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及题设，得到等式，由代入等式得到关于的三角方程，再求得角的值； （2）根据（1）中结论，利用余弦定理得到关于的方程，求出，利用面积公式求得面积． 【详解】（1）由正弦定理及题设得：， 又 所以，即， 因为，所以． （2）由余弦定理可得：， 解得或（舍）， 因为． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形内角和、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力，求得，要注意写上条件，才能得到． 16. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式及前项和的表达式； （2）记数列的前项和为，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出数列的通项公式及前n项和的表达式；（2）由（1）得，由此利用裂项求和法能求出的值 试题解析：（1）∵等差数列中，， ∴，解得， ∴． ． （2）由（1）得， ∴ ∴． 考点：数列的求和；等差数列的性质 17. 在直角梯形中，，，，为的中点，如图，将沿折到的位置，使，点在上，且，如图． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，翻折后的图中①，易证②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得平面； （2）以为原点建立直角坐标系，易知平面的法向为，求平面的法向量，代入公式求解即可. 【详解】解：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，，为正方形， 所以在翻折后的图中，，，四边形是边长为2的正方形， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， （2）解：如图，以为原点建立直角坐标系，，，，，，， 平面的法向为 设平面的法向量为，，， 由，所以，可取 所以． 所以，设二面角为，显然二面角为锐二面角， 所以，所以， 所以，即二面角的正切值为. 18. 已知函数，若的最大值为 （1）求的值； （2）若在上恒成立，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先利用导数研究函数的单调性，故可得，可得的方程，解得的值； 分离参数可得，故可设，利用导数研究函数的极值，故得b的取值范围. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则上恒成立， 即可得在上单调递减， ， 因此的取值范围是 19. 已知椭圆，其左右焦点为，，过直线与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率； （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆存在点M，使得，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题可得结合离心率及关系，即得； （2）设，，，根据向量关系及椭圆方程可得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理法结合条件即可求出，进而即得． 【小问1详解】 因为过直线， 令，解得， ，又， ， ， 椭圆C的方程为； 【小问2详解】 设，，， 由， 可得，， 代入椭圆方程可得， ， ， 联立方程，消x可得， ，， ， 所以，即， 所以所求直线l 的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期中试卷 一、单选题 1. 随机变量的分布列为 1 3 P m 则（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值是（ ） A. 1 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 3. 已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C D. 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数可以是（　　） A. 36 B. 60 C. 72 D. 48 6. 现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 24种 B. 30种 C. 36种 D. 48种 7. 已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 8. 已知函数，下列结论中错误的是（ ） A. ， B. 函数的值域为R C. 若是的极值点，则 D. 若是的极小值点，则在区间单调递减 二、多选题 9. （多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于的展开式，下列说法错误的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式中的常数项是 C. 展开式的二项式系数之和为 D. 展开式的各项系数之和为 11. 若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 三、填空题 12. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______． 13. 若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是________． 14. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有_________种． 四、解答题 15. 在内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 16 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式及前项和的表达式； （2）记数列的前项和为，求的值． 17. 在直角梯形中，，，，为的中点，如图，将沿折到的位置，使，点在上，且，如图． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 18. 已知函数，若最大值为 （1）求的值； （2）若在上恒成立，求b的取值范围. 19. 已知椭圆，其左右焦点为，，过直线与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率； （1）求椭圆C方程； （2）若椭圆存在点M，使得，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$