精品解析：2025-2026学年河北省石家庄市第二十八中中七年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年河北省石家庄市第二十八中中七年级（下） 期中数学试卷 一、选择题 1. 下列计算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则，依次计算各选项即可判断正误． 【详解】解：对于选项A：，不正确； 对于选项B：，正确； 对于选项C：，不正确； 对于选项D：，不正确． 2. 如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，理由是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意，他选择的路线为公路，理由是垂线段最短. 3. 春季花粉易引发过敏，某种花粉的直径约为0.0000092米，将数据0.0000092用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，需满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 4. 下列命题是真命题的是（　　） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质和平行公理以及垂线的性质和定义等，逐项进行判断． 【详解】解：选项A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，是真命题； 选项B：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补，原命题错误，是假命题； 选项C：只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题未说明两条直线平行，错误，是假命题； 选项D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，则不存在符合要求的直线，原命题错误，是假命题． 5. 如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件利用角度和差关系求出的度数，再利用对顶角的性质即可得出结果． 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴， ∵直线、相交于点O， ∴． 6. 小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（ ） A. ， B. ，8 C. 1， D. ，1 【答案】A 【解析】 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 7. 一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图，妈妈对淇淇说：“若是，你能说出比小多少度吗？”淇淇很快给出了结果，他的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形外角的定义及性质可得，从而可得，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ， 由三角形外角的定义及性质可得：， ∴， ∵， ∴． 8. 计算的结果是（　） A. 1.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ． 9. 若为正整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解． 【详解】=， 故选A． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 10. 如图，，两点在数轴上，点所对应的数是，若的长为个单位长度，的长为个单位长度，则点对应的数可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点的数和的长度，确定点的位置；再设点对应的数为，表示出的长度；最后利用三角形三边关系（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）列不等式，求出的取值范围，结合选项得到答案． 【详解】解：设点对应的数为，则 ，， ， ， ． 由得或， ∴或． 由|得 ∴． ∴（不符合题意，舍去）或 结合选项，只有满足． 11. 如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列出大正方形的面积，再根据完全平方公式因式分解，即可得出大正方形的边长. 【详解】解：由题意得： 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：． 12. 在作业纸上，，点C在之间，要得知两相交直线所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图①和图②），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】分别验证两个方案：方案Ⅰ通过作辅助平行线，利用平行线的内错角相等，将所求角转化为 ；方案Ⅱ通过延长线构造同位角，利用平行线的同位角相等，将所求角转化为，从而判断两个方案是否都可行． 【详解】解：方案Ⅰ：过点作 令直线交直线于点， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ， ∴与所夹锐角 ， ∴方案Ⅰ可行． 方案Ⅱ： 延长交于点令直线交直线于点， ∵， ∴与延长线所夹锐角 ， ∴方案Ⅱ可行． 综上，Ⅰ、Ⅱ都可行． 二、填空题 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解： 14. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，首先分情况讨论腰长和底边长，依据三角形三边的关系验证能否构成三角形，再求三角形的周长． 【详解】解：当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 不能构成三角形； 当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 能构成三角形， 三角形的周长为． 故答案为：． 15. 若实数m，n满足，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负性，求出，再根据零指数幂和负整数指数幂的法则进行求解即可. 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴ ． 16. 如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数）． （1）当时，k＝_____ ； （2）对于下列两个说法，其中正确的有_____ ．（请填写序号） ①当时，； ②当时，． 【答案】 ①. 2 ②. ①② 【解析】 【分析】（1）由，利用平行线的性质求出的度数，即可求出与的度数，代入计算k值． （2）①当时，结合与的关系式求出两个角的度数，再根据平行线的判定定理判断与是否平行． ②设交于点，交于点，当时，利用三角形内角和，求出．．即可求出与的度数，代入计算k值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， ∴． （2）①当时：， ∵， ∴，． 又， ∴． ∵等腰直角中， ∴， ∴，①正确． ②设交于点，交于点， ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∴， ∴， ∴．②正确． 三、解答题 17. 计算 （1）解方程组：； （2）简便运算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过加减消元法，将第一个方程乘以2后与第二个方程相加，消去未知数，先求出的值，再代入原方程求出的值． （2）观察到，，可利用平方差公式对进行变形，简化计算． 【小问1详解】 解：， ，得， ，得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 将代入上式得， 原式． 19. 如图，在的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，将先向右平移2格，再向上平移1格，得到三角形． ①请画出； ②的面积是 ． （2）在图2中，线段与相交于点O，且，请作一个，使得，并在图中标出格点E的位置． 【答案】（1）② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①将三个顶点，按题意平移即可； ②方格边长都是单位长度，的面积等于矩形减去3个三角形的面积； （2）过点C作，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，满足题意． 【小问1详解】 ①如下图所示，就是要画的三角形， ②在的方格中，都是正方形，方格长度是单位1，的面积等于矩形减去3个三角形的面积， ． 【小问2详解】 解：过点C作，如图即为所求， 根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补， ． 20. 如图，已知．求证：． （1）请将下面证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． （2）若平分于点C，，求的度数 【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质以及补角定理进行证明； （2）根据垂直得出直角，利用角平分线得出，根据平行线的性质得出内错角相等，然后根据角的和差求解． 【小问1详解】 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，且平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 21. 甲、乙两张长方形纸片，边长如图1所示，其中m＞0，面积分别为S甲和S乙． （1）判断和的大小关系，并说明理由； （2）将甲、乙两张纸片按图2方式放置，没有重叠的部分用阴影表示，甲纸片阴影部分的面积为，乙纸片阴影部分的面积为，若，求m的值． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形面积： （1）根据多项式乘以多项式的计算法则分别求出和，然后利用作差法比较大小即可； （2）根据得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：，理由如下， 由题意得，， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 22. 某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ （2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（），使得最后能刚好一个月（30天）完成任务，求出所有符合条件的n值． 【答案】（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车，见详解 （2）n的值为1或4或7，见详解 【解析】 【分析】(1)根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，列二元一次方程组求解即可； (2) 由“工作总量=工作效率×工作时间”可得出关于n，a的二元一次方程，再根据n，a均为正整数且即可求解． 【小问1详解】 解：设每名熟练工人每天可以安装辆共享单车，每名新工人每天可以安装辆共享单车，根据题意，得 ， 解得． 答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车； 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 整理，得． 均为正整数，且 ， ，，， 的值为1或4或7． 23. 【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 （1）若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（ ）． A．8 B．10 C．14 D．17 （2）应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． （3）拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【答案】（1）C （2） 见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 【小问1详解】  解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； 【小问2详解】 证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； 【小问3详解】 解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 24. 已知直线，直线与，分别交于点，，．将一个直角三角板按如图所示放置，使点，分别在直线、上，，，，． （1）若，则 °， °； （2）求的度数； （3）将直角三角板沿向右平移． ①如图，当点与点重合时，若恰好平分，求的值； ②作的平分线，交直线于点，在整个平移过程中，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）， （2）； （3）①；②或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线定义与三角板角度计算，关键是熟练运用平行线性质并结合图形分析． （1）由和平角定义求，再用求； （2）过作平行线，利用平行线性质将两角转化为直角，求和得定值； （3）①结合平行线性质与角平分线定义列方程求； ②分点在左右两侧，结合角平分线与平行线性质，用含的式子表示． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作， 则， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得：； ②当点在点的左侧时，如图， , , ， 平分， ， ， ； 当点在点的右侧时，如图， , , ， 平分， ， ， ， ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河北省石家庄市第二十八中中七年级（下） 期中数学试卷 一、选择题 1. 下列计算结果正确的是（） A. B. C. D. 2. 如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，理由是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形任意两边之和大于第三边 3. 春季花粉易引发过敏，某种花粉的直径约为0.0000092米，将数据0.0000092用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（　　） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5. 如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（ ） A. ， B. ，8 C. 1， D. ，1 7. 一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图，妈妈对淇淇说：“若是，你能说出比小多少度吗？”淇淇很快给出了结果，他的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果是（　） A. 1.5 B. C. D. 9. 若为正整数，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，两点在数轴上，点所对应的数是，若的长为个单位长度，的长为个单位长度，则点对应的数可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 12. 在作业纸上，，点C在之间，要得知两相交直线所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图①和图②），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 二、填空题 13. 因式分解：___________． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 15. 若实数m，n满足，则_____ ． 16. 如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数）． （1）当时，k＝_____ ； （2）对于下列两个说法，其中正确的有_____ ．（请填写序号） ①当时，； ②当时，． 三、解答题 17. 计算 （1）解方程组：； （2）简便运算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在的方格中，请用无刻度的直尺按下列要求作图． （1）在图1中，将先向右平移2格，再向上平移1格，得到三角形． ①请画出； ②的面积是 ． （2）在图2中，线段与相交于点O，且，请作一个，使得，并在图中标出格点E的位置． 20. 如图，已知．求证：． （1）请将下面证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． （2）若平分于点C，，求的度数 21. 甲、乙两张长方形纸片，边长如图1所示，其中m＞0，面积分别为S甲和S乙． （1）判断和的大小关系，并说明理由； （2）将甲、乙两张纸片按图2方式放置，没有重叠的部分用阴影表示，甲纸片阴影部分的面积为，乙纸片阴影部分的面积为，若，求m的值． 22. 某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ （2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人（），使得最后能刚好一个月（30天）完成任务，求出所有符合条件的n值． 23. 【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 （1）若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（ ）． A．8 B．10 C．14 D．17 （2）应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． （3）拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 24. 已知直线，直线与，分别交于点，，．将一个直角三角板按如图所示放置，使点，分别在直线、上，，，，． （1）若，则 °， °； （2）求的度数； （3）将直角三角板沿向右平移． ①如图，当点与点重合时，若恰好平分，求的值； ②作的平分线，交直线于点，在整个平移过程中，直接写出的度数（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $