湖南长沙市麓山国际实验学校2025-2026学年高三下学期5月二模检测数学试卷

麓山国际2026届高三5月二模检测数学试卷 高三年级数学试卷 答案与解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.C2.A3.C4.D 5B解：令A0C=a,则∠A0B=2a,ta2a=是=a解得aa=专 sina=v10 10 ,c0sa=3V10 10, c5×沿5×).即c(2,). 6.B解：分两种情况： 第一种，先选择3个不同的球，放入其中一个盒子，再将剩下的1个球放入另外一个盒子，不同的方法有 C4C4C3=48种； 第二种，先把4个不同的小球平购分成两组有手种，再选择一组中的2个不同的球，放入共中一个盒子， 再将剩下一组的2个球放入另外一个盒子，不同的方法有伞=36种， 一共有48+36=84种.故选B. 7B解：因为fx+)是偶函数，所以了x)的图象关于x=对称， 因为号0所以x>.了a)>0了0单调途省，当x了田<0：了)单河滋减。 a=f(023)=f(0.008),b=f(1g23),c=f(2),且2--3,10.008-=1.492,11og3-3<0.5, 则a>c>b. 8A、解：由思意，椭圆离心率e-片-号，故c=竖。 2, 又2=b+c2,得b2-a2. 将点(5，)代入椭圆方程三+上 a2+6=1, 3,1 31 京+4=1→京+京=1→Q2=4,=1, 梯圆方程为号=1，焦点(8,0：55.0， 由中位线定理，ION=PF2,又IQW=引PF1, 10Q1=10M+1WQ1=0PF1+1PP0=a=2,故点Q在圆x2y=4上. 第1页，共8页 设0(x,y),则QF1·QF2=(-5-x)(5-x)+(-y)(-y)=x2+y2-3=4-3=1. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.AD.解：由频率分布直方图可知每组的频率依次为：0.22,0.3,0.24,0.14,0.1. 对于A,样本中延迟在[10,20)s内的模型个数为200×0.3=60，故A正确： 对于B,因为0.22<0.5,0.22+0.3=0.52>0.5， 所以估计样本的中位数落在区间[10,20)内，故B错误： 对于C,估计样本的平均数约为x=5×0.22+15×0.3+25×0.24+35×0.14+45×0.1=21(s),故C错误； 对于D,该分布峰值在左侧低延迟区间，频率随延迟增大逐渐降低， 所以呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，故D正确 100,着：迎东商数/)的图家，行42反小正周柴号=竖（立部利。2 f(-是)=0，得2(-)+0=k,kz,而lpl<2则k=0,p=云 对于A,f(x)=2sin(2x+),故A正确： 对于B,x)=1,得sin(2x+名)=云则2x+若=2kπ+石或2+若=26m+gkZ,∈Z。 则x=π或x=kπ+牙，1∈Z,∈Z, y=sinx/ y=f(x) 因为f(x1)=才(x）=1,x1≠x2,则x1xm=写故B正确： f(x-石)=2sim(2x-若)≠g(x),故C错误： 对于D,在同一坐标系内作出函数y=sinx与y=f(x)在[0,2π上的 图象，可得函数图象有4个交点，故D正确. 11.ABD.解：对于A,圆C:x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4, 所以此圆的半径为2，直径为4，故A正确： 对于B,设直线x=2与圆C交于M,N, 则MN⊥AB,即A'C⊥MN,BC⊥MN, 则∠A'CB为二面角的平面角，如图所示： 对于B,当6=罗时，即∠A'CB=60°，CA'=CB=2,则△4'CB为正三角形，则A'=2,B正确： 对于C,因为PA=2=CP=|CA,所以△PAC为正三角形，则PC=2,当6=时，BC⊥A'C, 又BC⊥MN,MN∩A'C=C,MN,A'Cc平面A'MN,所以BC⊥平面A'MN, 第2页，共8页 又CP'c平面A'MN,所以BC⊥CP',因为A'C=CP'=2, 所以AB|=|PB=V4+4=2V2,C错误. 厨于D以c为原点建空间直角华标系：C000B2Q0,M020P'(号V5, 平面BCP法向益=01-2)，平面MCP法向量：=6W310,c0sp-5 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.120. 13写解：根据影题意，函数f)=(2a-)M(+b),其完义或为(-6，+∞)， 由于f(x)≤0，令m(x+b)=0,得x=1-b,2a=1-b,即2+b=1. 又a2+b2=a2+(a-2a=5a2-4a+1=5(a-f}2+号aR, a= 1 当且仅当 时，取最小值号所以的最小值亏 b= 14.2m+1-n+n+1 1,2n2+3n 因为y=的导数为y'=一女，所以曲线y=女在x=EN)的切线为：y一=一C-m), 即，为y=一动x+六令y=0,可得x=2:令x=0,可得y=动 1 所以=2n,⅓=京所以x1+名#以=+出=有+世-2+片京 所以(+1+4W=2n+1-)+(兮-)++（片点）=2n+1-点=2 n+1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)，2 bcosC=2a-c,由正弦定理可得2 sinBcosC=2sinA-sinC, .A=Tt-(B+C),.'.sinA=sin (B+C)=sinBcosC+cosBsinC, ∴.2 sinBcosC=2 sinBcosC+.2 cosBsinC-sinC,化简得2 cosBsinC-=sinC, :Ce(0,m0,∴mC≠0，∴cosB= :8e(0,m0,B=3 (2):a,bsinB,c成等比数列，且a,b,c成等差数列，B=罗， :ac=at2+2x-4k,心2+e2+g-42, a+c=2kb 第3页，共8页 根据余弦定理得b=a24c2-2 acoB.六a2+c2=B+2-子， 41 ,7b23b2 +2 4 =428,60.2-10 ·ac=2b>0,∴k>0,k=压 4 16.解：(1)法一：取BC中点F,连接EF,AF, 因为E是B,C的中点，所以EF/BB且EF=号B1B. 由直三棱柱的性质知B1B/A1A且B1B=A1A,所以EF/A1A且EF=A1A, 又因为D是AA1的中点，所以EF//DA且EF=DA, 所以四边形ADEF为平行四边形，所以AF//DE. 因为DE⊥平面BCC1B1,BCC平面BCC1B1,所以DE⊥BC, 结合AF//DE,所以AF⊥BC,又因为F是BC的中点，所以AB=AC. 法二：由直三棱柱的性质知AA1I平面ABC, A 因为AB,ACC平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC, 又因为AB1AC,所以AB,AC,AA1两两垂直. 以A为坐标原点，AB,AC,AA1所在直线分别为x,y,z E 轴建立如图所示的空间直角坐标系0-xy2. 设AB=a,AC=b,AA1=C,则B(a,0,0),C(0,b,0),A1(0,0,c),B1(a,0,c) :0(d) 因为D,E分别为AA1和B1C的中点，所以D(0,0),E(,,),D正=(（9,0） 因为DEI平面BCC1B1,所以DE 1 BC, 又因为5C=（-Q,b0),所以DE,BC=-g号+号=0，由a>0,b>0解得a=b,即AB=AC. 2+2 (②法一：在等腰直角·ABC中，因为AB=1,所以DC=V2,AF-竖-号 由（④知，DE1平面8C1B1且DE=AR=-号 设B1到平面BCD的距离为d,AA1=h>1, 则三校锥B,-BcD的体积raco-专5.cd-号d(阌'+（合） 又因为=棱锥D-BCB1的体积V,-CB,=专S.Bc,·DB=名 所以由：0=得受月+号-合解得d √2h √h2+2 第4页，共8页 因为直线B,G与平面8cD所成角的正弦值为号所以品c-票-号 所以h2-3h+2=0,因为h>1,所以h=2,即AA1的长为2， 法二：因为a=b=1,所以由(1知8C=(-11,0),BD=（-1,0,),B1C=(-11,-c, 设平面BCD的一个法向量为7=(x,y,z),则 元.BC=-x+y=0, i:BD=-x+2z=0 取x=1,则y=1,z=2即元=(1,1，) 设直线B1C与平面BCD所成角为6，则sin6= B1C元 B1C网 即 2 √2 2+c22+ 号化简得2+之=5，因为c=AA>1,所以c=2,即A4,的长为2. 17.解：(1)当a=3时，f(x)=ex-3x,则f(x)=ex-3, 令f(x)=0,解得x=3, 当x>l3时，f(x)>0,f(x)单调递增： 当x<l3时，f(x)<0,f(x)单调递减： 所以f(x)单调递增区间为(l3,+∞)，单调递减区间为(-∞，n3); (2)由f(x)=e-m,可得f(x)-f(-x)=ex-ax-(ex+am)=e-ex-2, 设g(x)=e-ex-2,则f(x)-f(-x)≥0在(0，+∞)恒成立， 等价于g(x)≥0在(0，+∞)恒成立， g'(x)=exte'x-2a,e>0,ex>0, 则ex+e-x≥2Ver·ex=2,当且仅当x=0时等号成立， 所以当x>0时，e+ex>2, ①当2a>2,即a>1时， 令h(x)=e+ex-2a,则h=ex-ex=e2-1 ex 因为xe(0,+∞)，所以e2x-1>0,e>0, 则h'(x)>0,所以h(x)在(0，+∞)上单调递增， 又h(0)=e+e0-2a=2-2a<0,当x→+o∞时，h(x)>0, 所以存在x0∈(0，+∞)，使得h(x0)=0,即g'（x0)=0, 当0<x<x0时，h(x)=g'(x)<0,g(x)单调递减， 则g(x)<g(0)=0, 不满足f(x)-f(-x)≥0在(0，+∞)上恒成立： ②当2a≤2，即a≤1时，g'(x)=e+ex-2a>2-2a≥0， 第5页，共8页 g(x)在(0，+∞)上单调递增，又g(0)=e°-e°-0=0， 所以g(x)>8(0)=0,满足∫(x)-f(-x)≥0在(0，+∞)上恒成立： 综上，a的取值范围为(-∞，1] 18解：)由题意得e=日==2，则c=2,b=√22-1=V3: (②当b-2时，双曲线r:-琴-1，其中M(-20).4(10), 因为△MA2P为等腰三角形，则 O当以MA,为底时，显然点P在直线x=-上，这与点P在第一象限矛盾，故舍去； ②当以A2P为底时，|MPI=IMA2l=3, 则-1 x=一11 23 23 设P(x,y), 联立解得 (x+2)2+y2=9 y=- 或 x=-或1 8√17y=0' 11 y= 11 因为点P在第一象限，显然以上均不合题意，舍去： (或者由双曲线性质知MP|>MA2l,矛盾，舍去)： ③当以MP为底时，|A2P|=IMA2l=3,设P(xo,yo),其中xo>0,yo>0, x-1)2+y6=9 则有 6-晋=1 ，解得。2 =2VW2即P(2,2√)，综上所述：P(2,22: (3)由题知A1(-1,0),A2(1,0), 当直线的斜率为0时，此时A1R·A2P=0,不合题意，则k1≠0， 则设直线：x=y-2, 设点P(x1,y1),Q(x2,y2),根据0Q延长线交双曲线T于点R, 根据双曲线对称性知R(-x2,-y2), (x=my-2 联 {e-点-1→m2-1加2-46y+362=0 显然二次项系数b2m2-1≠0， 其中4=(-4mb2)2-4(b2m2-1)3b2=4b4m2+12b2>0, +=@,y=6②， 3b2 则A1R=(-x2+1,-y2),A2P=(x1-1,y1), 则A1R·A2F=（-x2+1)(x1-1)-y1y2=1,因为P(x1y),Q(x2,y2)在直线止， 则x1=my1-2,x2=my2-2, 第6页，共8页 即-(my2-3)(my1-3)-y1y2=1,即y1y2(m2+1)-y1+y2)3m+10=0, 362 将02代入有m2+1)-3m+10=0, 即3b2(m2+1)-3m·4b2m+10(b2m2-1)=0化简得b2m2+3b2-10=0, 所以m2=是-3，代入到b2m2-1≠0，得10-3b2≠1，所以b2≠3， 且m2=是-3≥0，解得b2≤号又因为b>0,则0<≤号 综上知，b2∈o,3)u3,,bE(0,V同u(3, 19.解：(1)设事件A:甲第i次投篮合中， 因为甲每次投篮的命中率为号所以P4)=号 因为甲投篮4次即停止投篮的概率P=P(A1A2A3A4+A1A2A3A4), 所以P-号×写×号×号+x×号×号= ,24 所以甲投篮4次即停止投篮的概率为 4 (2)由题得X的可能取值为2,3,4， 5 则P0=2)=号×2×号×2+×2×写×2 因为3局结束时，乙胜概率()×C××(2+C×号×(}×()3=石3局结束时， 甲胜概率()×c××()+C××(×(》=司 所以P0K=3)号+磊磊 所以P0K=④=1-P0X=2)-Cx=3)=10 所以X的分布列为： X 2 3 4 P 5 5 13 36 36 18 B0W=2×嘉+3×磊+4×品-号 5 5 3)当n=1时，EY）=1×号+(1+BY》×子所以a1=E(Y)=多 当n≥2时EY,)=(EYn-)+1)×号+(EYn-)+1+EY)×3 所以心)-2-+多即a.-2-1+是 第7页，共8页 所以a+3=2(a-1+3), 所以数列{a+3}是首项为)公比为的等比数列， 所以a.+3=2×()-,即a=3×()”-3, 所以5.-2-2-3n=9-3n-9. 1- 第8页，共8页麓山国际2026届高三5月二模检测数学试卷 高三年级 数学试卷 命题人：彭怀慧审题人：何文娟 总分：150分时量：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx>5},B={xlx+1川>6}，则() A.AnB=☑ B.BCA C.A∈B D.AUB=R 2.复数名的共轭复数是（) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 3.己知ab≠1，loga=2,1ogm=3,则logm(ab)=() B日 c. 6 6 D. 4.已知向量a=(1,1),b=(1,-1)若+61a+b,则() A.1+u=1 B.+u=-1 C.=1 D.=-1 5.已知扇形A0B的半径为5，以0为原点建立如图所示的平面直角坐标系，0A=(5,0), 0B=(4,3),弧AB的中点为C,则0C等于() A号) B(T,) C.(4,2) D.(2W5,V5) 6.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为() A.72 B.84 C.96 D.108 第1页，共5页 7.设R上的可导函数心x)满足四>0，且f化+)是偶函数.若a=0.2,b=水1og3), 2x-3 c=f(2),则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 8.己知椭圆E: 常+发=1的左、右焦点为A,及，离心率为月点(5， V3 )在椭圆E上， P是椭圆E上的动点，以PF1为直径作圆N,直线ON与圆N交于点Q(点Q不在椭圆 内部)，则QF1·QF2=() A.1 B.V3 C.2 D.3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入 长度(128os)的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单 位：心).测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间 为0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，则下列结论正确的是() 个频率/组距 0.030- 8831 0.014 0.010-- 01020304050延迟的时间(ms) A.样本中延迟在[10,20)s内的模型个数为60 B.估计样本的中位数落在区间[20,30)内 C.估计样本的平均数约为22.5s D.该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟较低 10.已知函数f)=Asin(ox+p)(A>0,w>0,lol<)的部分图象如图所示，则下列结 论正确的是() 第2页，共5页 y个 11π 12 0 12 A.f)=2sim(2x+若) B.若f(x1)=f(x)=1,x1≠x2,则x1-xlmm=写 C.将函数f(x)的图象向右平移二个单位长度得到函数g(x)=si2x D.当xE[0,2m时，曲线y=sinr与f(x)有4个交点 11.已知A,B分别是圆C:x2-4x+y2=0与x轴的左、右交点，点P在圆C上，且PA=2, 将圆C沿直线x=2翻折成一个二面角，使得点A、点P分别到达点A'、点P'的位 置，该二面角的大小为0，且0E(0,π)，翻折前后点B的位置始终不动。设翻折前点 M的坐标为(2,2)，下列说法正确的是() A.圆C的直径为4 B.当0=时，A'B=2 C.当9=时，A'>p'B D.当0=时，二面角B-CPM的正弦值为 2V5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(1+x)(1+2x)5的展开式中x3的系数为（用数字作答） 13.设函数f(x)=(2a-x)m(x+b),若∫(x)≤0，则a2+b的最小值为一 14曲线y=在x=n0m∈N)处的切线为，分别记在xy轴上的截距为x,,则 ∑=1(x:·y+1+X+1·y)= 第3页，共5页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bc0sC=2a-c. (1)求B; (2)若a,bsinB,c成等比数列，且a,b,c成等差数列，求k的值. 16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1AC,D,E分别为AA1和B1C的中点，DE1平 面BCC1B1 (1)证明：AB=AC: (2)若AB=1,AA1>AB,直线B1C与平面BCD所成角的正弦值为？，求AA1的长. C 17.已知函数f(x)=ex-ax. (1)若a=3,求函数y=f(x)的单调区间； (2)若f(x)-f(-x)≥0在(0，+∞)上恒成立，求a的取值范围. 第4项页，共5页 18已知双曲线r:2-兰=1，b>0),左右顶点分别为A,A:过点M(-2,0)的直线交双曲 线Γ于P,Q两点 (1)若离心率e=2时，求b的值： ②)若都=△MA,P为等腰三角形时，且点P在第一象限，求点P的坐标 (3)连接0Q并延长，交双曲线T于点R,若A1R·A2P=1,求b的取值范围. 19.甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为 乙每次投篮的命 中率均为 1 (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮.求甲投篮4次即停 止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球 总数.规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比 赛也停止.记X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列与数学期望： (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续n(N*)次命中，则停止投篮.设停止投 篮时甲投篮总次数为Ym,随机变量Ym的数学期望为E（Ym),记an=E(Ym).写出a 与a.1(n≥2)的递推关系，并求数列{an}的前n项和Sm 第5页，共5页