湖南长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试试卷 数 学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页。时量120分钟， 满分150分。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.在复平面内，（2+2i)1+2i)的共轭复数对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2已知函数)：{：三9则(-)() A B.1 C 1 D 3.已知随机事件A与B满足P(4)=号P(8)子且P(U)=2则P(=() A. c D. 4.《道德经》有云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土.”这体现了积累的深远意义.假设商人甲 每天通过经营使财富增长1%，那么商人甲的财富增长到最初的2倍至少需要经过多少天？（参考数据： 1g101≈2.0043,1g2≈0.3010)（) A.40 B.70 C.110 D.180 5若派 的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为() A.112 B.224 C.56 D.28 6.已知抛物线C:x2=2(p>0)焦点为F,抛物线C的准线与y轴交于点A,点M(V3,y。)在抛物线C上， |MF上，则△MAF的面积为() 4 A.2 D.35 5 8,3 C. 5 4 7.已知函数心)-smx+@>0),若3∈[号4使得(a的图象在点（八，》处的切线与x锥 平行，则⊙的最小值是() A.4 B.1 c D.2 第1页共4页 8.设双曲线C:亡y」 京存=1(a>0,b>0)的左.右焦点分别为F(-c,0),5(么，0)，过焦点5作双曲线的一条渐 近线的垂线，垂足为，若aR,的面积为5。：，且双曲线的离心率e>2,则e=() 4 A.2 B.5 C.25 D.23 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.下列说法中正确的有() A.=(2,-4),e2=（-1,2)可以作为一组平面向量基底 B.已知向量ā=(L,-4),万=(2,3)，则向量a在向量方上的投影向量为133) 2030 C.平行四边形ABCD中，若AB+AD=AD-AB,则四边形ABCD是矩形 D.已知aeR,i为虚数单位，若复数z=a2-1+(a+1)i为纯虚数，则a=±1 10、△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,S为△ABC的面积，且a=25,BC_25 S, 下列选项正确的是() A.A=π 3 B.若△4BC有两解，则b取值范围是2V3,4) C.若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是[2,4] D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为3 11.已知正方体ABCD-AB'C'D'的棱长为1，点P满足AP=xAB+yAD+zAA,其中x,y,z∈[O,1],下 列正确的是（) A.当x=y=1时，则直线AP与CD所成角的正切值范围是1，V2 B.当x+=l,y=0时，则AP+PD的最小值为6+2 C.当x+y+z=l时，线段AP的长度最小值为5 D.当x+y+z=k0<k<)时，记点P的轨迹为平面a,则口截此正方体所得截面面积的最大值为3 第2页共4页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.设直线2x-y=0与圆x2+y2-2my+2=0交于A,，B两点，若AB=2,则实数m的值为 13.己知数列{a}满足a,=1,a,-a1=n(n≥2)，设数列{}的前n项和为S.,则S2s=一 14.有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5.从中有放回地随机取次，每次取1个球，记X为这5个球中至少 被取出1次的球的个数，若=2，则X的数学期望为 一，若m=(其中∈)，则X的数学 期望为 .(用k表示) 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15.(本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 3(sinBsinA-cosBcosA)=sinC. (1)求角C的大小： (2)已知a=3,b=4,D在AB边上，且满足AD=2DB,求CD的长. 16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，侧面PAB⊥底面ABCD,且 PA=PB,∠=3 (1)证明：⊥； (2)若直线PC与平面ABCD所成角为，且三棱锥P-ABD的体积为二，求平面PAB 与平面PCD的夹角. ------ 17。（本小题满分15分》已知椭圆E:芹+常-16>办>0)的离心率为停焦点与短轴端点图成四边形的面 积是2W2. (1)求椭圆E的方程： (2)过右焦点F的直线1与椭圆E交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交直线1于点P,交直线x=-2于 PO 点2，求AB 的最小值 第3页共4页 18.（本小愿满分17分)已知函数()=-mh∈R). (1)若a=0,b=1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若x=1是f(x)的极大值点，求a的取值范围： (3)在(2)的条件下，若f(x)+2≥0对x∈(L,+∞)恒成立，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分)己知{an}是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4. )求a,}的通项公式和∑a(neN). i=2 (2)设{bn}是等比数列，且对任意的k∈N，当2-≤n≤2-1时，则b<an<b+1, (I)当k≥2时，求证：2-1<b<2+1; ()求{b}的通项公式及前n项和. 第4页共4页长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试试卷 数 学 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B A B A BC ABD ACD 12.±5 13.4052 2027 14.景+ b 8.【详解】双曲线的渐近线为y=±二x,由双曲线的对称性，不妨取y=二x,即bx-ay=0,则 a F==,所以O4=0rf4旧=C-谷=a,所以5% 1 ab, b2+a2 2 因为FA极的面积为。，SA525所·所以2x, 4 b,得3 2 +b)=ab a 万+1=0解得= 6,2、4 、所以及+b=5,令2=得+ts4以 .b1 3或V3,即 a2+6 _F_25或2，因为e>2,所以e=2 e-Va=+=3 11.ACD【详解】对A,当x=y=1时，点P在线段CC'上动，如图所示， 由于ABIICD,可知∠BAP即为直线AP与CD所成角，连接BP,设 D CP=t,t∈[0,1]，则在RtAABP中，AB=L,BP=√BC2+CP=+P, an∠BAP=P=+?∈[L,V],故A正确： AB 对于B,当x+z=1,y=0时，点P在线段AB上动， 故将三角形AAB与四边形ABCD'沿AB展开到同一个平面上， 由图可知，线段AD的长度即为AP+PD'的最小值， 在△A4D'中，AD'=V1?+1P-2x1x1×cos135°=2+2，故B错误； 对于C,当x+y+z=I时，点P在△ABD内部及边界上动，则线段AP的长度最小值即点 到平面4BD的距离，由V,m=少0得线段AP的长度最小值为，故C正 对于D,当x+y+z=k(0<k<3)时，记点P的轨迹为平面a,故平面a截此正方体所得截 面面积的最大值为正方体的中截面的面积，如图所示：当点E,F,G,H,M,N分别为对应棱的中点时，连结 EF,FG,GH,HM,MN,NE,可得平面EFGHMN平行于平面A'BD,且为正六边形，此时该截面EFGHMN是最 大截面，由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为 ,则面积为5x63 故D正确 42 4， 试卷第1页，共4页 三、填空题 12.±5 4052 13. 2 2027 14.景5，+ 14.当=2时， 的所有可能取值为1,2.(=)=是-，(=2)==（)=1×+2×号 是球至少被取出过1次 当 ≥2时，设： 1, = 0, 则=1+2+3+4+5，()=() 是球未被取出过 (=0=1-(=0=1-(份，()=1-（自，故(）=5×-（目的= 四、解答题 l5.【详解】(1)由V3(sinBsinA-cosBcosA)=sinC得-√3(cosBcosA-sinBsinA)）=sinC, 即-V5cos(4+B)=sinC，-V5(-cosC)=sinC,即V3cosC=sinC,tamc=V5,又：C∈(0，π)，C= 3 (2)已知a=3,b=4,C=号D在AB边上，且满足4D=2DB, c2=a2+62-2 abcosC=9+16-2x3x4x号=25-12=13， c=,4D=23,DB=M5,在VABC中，由余弦定理得 3 D 2 cosA= 2+c2-a216+13-95 2bc 2x4x32W厉，在aACD中，已知4C=4,AD=2 3 CD=4C2+4D-2.AC.AD-c0s 4=16452 -2x423.5 0 32W13 =16，号0解cD2 3 16、(1)取 的中点，连接 =3,=.·上.又：n=÷上面 (2)以 ， 为，，轴垂直角坐标系 --- B 由题可知∠ =。·设=h,则=V3h.=2h. 2h×V5h×h×g=号ah=1:(0V3,0）).(-2,V3,0),00.1)面 的法向量是=(0,1，V3), 又面 的法向量与=(0，-1,0)cos=号.即有平面PAB与平面PCD的夹角为， 17.【详解】(1)椭圆E的方程为：。+ =1 (5分) 32 试卷第2页，共4页 (2)当直线1的斜率为0时，线段AB的垂直平分线为x-0,与x=-2不相交，不符合题意， 故直线1的斜率不为0，设其方程为x=y+1,A(x,y),B(x2,y2), x=my+1 联立 ￥+卫=1'可得(2f+3/+4-4=0, （7分) 32 4m -4 △=(4m)2-4×(2m2+3)×(-4)=48m2+48>0,y+y2=- 2m2+3%=2m2+3' 则AB=+m2y-为=1+m2V+}-4y (9分) =V1+m 16m2 ,16,=4+m6m书46(m) V(2m2+3)2m2+3 2m2+32m2+3· 又y,=当+2=-2m 2 2m2+3’x。=m。+1= 3 2m2+3' (11分) 由PQ⊥1可得，直线PQ的斜率为-m, 2m+3+m.4+9 所以P9=。i+22 2m2+3 PO 1+m2m+9 所以 2m2+3-V34m2+9 AB (13分) 4V3(m2+1) 12√1+m2 2m2+3 令V1+m2=t,则t21,所以m2=2-1代入上式可得， g-得，得四 AB 12 t 12 -3 当且仅当同！=9时取等号，此时加与所 AB 的最小值为5 (15分) 2 3 18.【详解】(1)若a=0,b=1,则f(x)=x-lnx,f'(x)=1-1(x>0), 所以f(1)=1,f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=1. 2由题盒，得/国的定义域为Q+o,了e=1+兰了0=1+a-力-0，所以r)--x- 当a>1时，在区间(1，a)上，f'(x)<0,f(x)单调递减，在区间(0，)和(a,+o)上，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以x=1是f(x)的极大值点，满足条件. 当a=1时，(x)=红-≥0，f)在区间(0，+w)上单调递增，f)没有极值，不满足条件 当0<a<1时，在区间(a,I)上，f'(x)<0,f(x)单调递减，在区间(0，a)和(1，+o)上，f'(x)>0,f(x)单调递 试卷第3页，共4页 增，x=1是f(x)的极小值点，不满足条件 当a≤0时，在区间(0,1)上，'(x)<0,f(x)单调递减，在区间(1，+∞)上，∫'(x)>0,f(x)单调递增，所以x=1 是f(x)的极小值点，不满足条件.综上，Q的取值范围是(1，+∞). (3)由(2)知，b=a+1a>1,且x∈(，+w)时，f)m=f(a),所以在(，+o)上，f)+20≥0恒成 立，即fo)+≥0恒成立，即a-1(口+aa+2≥0恒成立 设8a)=a-a+m+日-1则go)=-n合是令o)=m+子，则o)-12.当aeL+m 时，h(a)<0,所以h(a)即g(a)在区间(，+o)上单调递减，又g'(①=2-1<0， 所以g'(a)<0,所以g(a)在区间(1，+o)上单调递减又g(e)=0,所以a的取值范围是(1，e]. 19.【详解】(1)由题意可得 a2+a=2a+5d=16 ,解得 a=3 a5-a3=2d=4 d=2 则数列{an}的通项公式为an=a+(n-1)d=2n+1, 求和足4=a=2空4(1-2-22-g+小-g+2…g-明+2 2(2”-+2”-1）2-1 +2"-=34"1. 2 (2)(①由题意可知，当2≤n≤2-1时，b<a,取n=2,则b<a,=2×2+1=2+1,即b<2+1, 当2*-2≤n≤21-1时，an<b,取m=21-1,此时an=a,1=2(2-1-)+1=2-1, 据此可得2-1<b,综上可得：2-1<b<2+1. ⑩由(0可知：2-1<b<2+1,2+-1<b1<2+1+1,则数列{bn}的公比9满足 2*+1 b2-1 2-222*2所 以g=2,所2-1<42<2+1，即2-2<621-2 1 当eNk一时，(2-司)→22+江，所以4-2，所以数的适项公式为6-2 其前n项和为：5.2×-2）-2-2 1-2 试卷第4页，共4页