2026年九年级数学中考二轮复习《反比例函数综合解答题》考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用及实际问题建模，通过分层题型构建从基础到复杂的解题逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |反比例函数与一次函数综合|7题|交点坐标求解、面积计算、不等式解集|从解析式求法到图像性质应用，渗透数形结合思想| |实际问题与反比例函数|7题|销售、物理、历史情境建模|建立实际问题与反比例函数的对应关系，强化应用意识| |反比例函数与几何图形综合|7题|图形翻折、相似、动态点问题|结合几何变换与函数性质，提升空间观念与推理能力|

2026年九年级数学中考二轮复习《反比例函数综合解答题》 考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、反比例函数与一次函数综合 1．如图，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)过O点作的平分线，交反比例函数的图象于点B，过点A作y轴的平行线，交的延长线于点 C，交x轴于点D，求点B的坐标． 2．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点． (1)①求反比例函数和一次函数的表达式； ②根据图像直接写出的的取值范围 (2)求的面积 (3)点为轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 4．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)已知点，观察图象，不等式的解集为___________； (3)点在一次函数的图象上，且横坐标为4，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接．求的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，与y轴正半轴交于点C．在反比例函数图象上取点D（点D在点A右侧），使，连接交y轴于点E． (1)若，求点的坐标； (2)若，求的值； (3)过点B作y轴的垂线，垂足为F，若，求点的坐标． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的解析式和m值； (2)当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点M为反比例函数图象上一点，若的面积为12，求点M的坐标； (3)点P为反比例函数图象上一点，连接，若，求点P的坐标． 二、实际问题与反比例函数 8．为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 9．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 10．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置，图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． (1)求y关于x的反比例函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； (3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 11．如图1是某新款茶吧机，一次通电后，水温为，立即开始加热，经过8分钟加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．通电加热时水温y与通电时间t之间的函数关系如图2所示（此题只探究一次升温后持续降温的过程）． (1)将水从加热到，水温每分钟上升_________； (2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间t的函数表达式； (3)请描出反比例函数的另外三个格点（横、纵坐标均为整数），并画出函数图象； (4)请直接写出加热一次，水温不低于的时间有多长？ 12．某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警． 温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和． (1)求，的值，并写出关于的函数解析式； (2)求关于的函数解析式； (3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度． 13．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 14．综合与实践 问题背景：黄河壶口瀑布坐落于山西省临汾市吉县，是晋陕交界的国家级级旅游景区．为优化景区观景动线，工程团队依托瀑布西侧自然地貌，修建多级观景平台及曲线连接步道．施工中，工程师将该设施侧面结构抽象为平面直角坐标系几何模型，通过数学建模为施工精准度、安全规范及后续工程设计提供数学支撑． 实测数据：以地面为轴、竖直方向为轴，原点为基准点建立平面直角坐标系．矩形为核心观景平台区域，曲线段为反比例函数图象的一部分(连接高低平台的景观步道)．经现场实测，获取关键数据：米，米，点在轴上． (1)数学建模：根据实测数据及几何模型特征，求曲线段所在反比例函数的表达式(无需写出自变量取值范围)． (2)问题解决：步道终点为下层观景出口，经施工校准，其距离地面的竖直高度为米．结合已建立的数学模型，求两点间的水平距离． (3)安全评估：为保障游览安全，景区需在步道段设置安全警示牌，安全规范明确要求：警示牌距地面竖直高度不低于3米．若警示牌拟设置在点处，且点到直线的水平距离为2米，结合数学模型验证该位置是否符合安全设置要求，并说明理由． (4)工程设计：工程团队拟在地面上距原点水平距离米处新增观景点，为实现步道无缝衔接，需确定衔接点高度．过点作轴的垂线，交曲线的延长线于点，结合已建立的数学模型，直接写出点距地面的竖直高度． 三、反比例函数与几何图形综合 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和k的值； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，与反比例函数图象的交点为．已知，点B为中点． (1)求直线的表达式； (2)过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接，点E在线段上移动，连接，将沿直线翻折，点D的对应点为F． ①当轴时，求与重叠部分的面积； ②在点E移动的过程中，是否存在以为一条直角边的直角三角形？若存在求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 17．正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点． (1)求m和k的值； (2)点B为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m，过点B作x轴的垂线，交直线于点C，交x轴于点D． ①如图1，连接，当平分时，求的面积； ②如图2，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点B的坐标． 18．如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接． (1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上； (2)猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比． 19．已知如图，点与点关于点对称，过点的反比例函数的图象与直线的另一交点为点，且直线交轴于点，连接交反比例函数图象于点，连接． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标． (2)为轴正半轴上一动点，当以为顶点的三角形与相似时，求点坐标． (3)如图，过点的直线与反比例函数图象在第三象限与第一象限分别交于点与点（在左侧），直线与直线交于点．当时，求点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求点坐标和反比例函数的表达式； (2)点为轴负半轴上一动点，若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点在轴上，点在反比例函数上，若以点，，，四个点为顶点构成平行四边形，求点坐标． 21．点，分别为反比例函数、的图象上一点，二次函数的图象经过点，，顶点为，，的横坐标分别为，，．    (1)如图，轴． 若，求的值； 试说明：当时，二次函数的函数值随增大而增大； (2)当，时，求直线与轴的交点坐标； (3)若，求证：． 参考答案 1．（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）∵， ∴． 由勾股定理，可得． ∵轴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点的坐标为． 设所在直线的解析式为． 将点代入， 得， ∴． ∴所在直线的解析式为． 令，解得或（舍去）． 经检验，是原方程的解， ∴． ∴点的坐标为． 2．（1）解：把点B的坐标代入得， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴，即轴，且点D在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 3．（1）解：①∵反比例函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵，在一次函数上， ∴， 解得， ∴一次函数； ②即 由图象可知，当一次函数值小于反比例函数值时，或； （2）解：当时，， ∴， ． （3）解：取点关于x轴的对称点，连接，交x于点P，连接，则， ∴的周长，即此时的周长取得最小值． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， ∴， ， 当时，， 解得， ∴． 4．（1）解：由条件可得：， 解得， ∴， 将点代入得，， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意得，一次函数图象与反比例函数图象交于点，， ∴由函数图象可得，不等式的解集为或； （3）解：将点D的横坐标4代入，则， ∴， ∵过点D作y轴的平行线，交反比例函数的图象于点E， ∴点E横坐标为4， ∴将点E横坐标4代入得，， ∴， ∴， ∴． 5．（1）解：将代入反比例函数得：， ∴， 将代入直线得：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点的横、纵坐标）或， ∴点的坐标． （2）解：如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入反比例函数得：，即， ∴， 将点代入函数得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，即， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得或（舍去）， ∴，， ∴在中，， ∴在中，． （3）解：设， 如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，， ∴， ∴， 将代入反比例函数得：，即， ∴，， 将点代入函数得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，即， ∴， 代入得：，即， 设，则， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：，即， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， ∴点的坐标为． 6．（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）解：由（1）得点， 由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 当时的解集为； （3）解：将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴交反比例函数的解析式为于点Q， ∴点Q的坐标为，， ∴， ∴， ∴， 即， ， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 7．（1）解：把点代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数解析式为， 把代入得， ∴， 把代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过作轴交直线于点， 设点坐标为，则点坐标为， 则， ， 即， 当时，则， 此时， 解得(舍去)或， 此时点； 当时，则， ， 解得或(舍去)， 此时点， 综上，点M的坐标为或； （3）解：如图，取中点，过点作交轴于点，连接， ∴， ∴， ∴与反比例函数图象交点即为点， 过点作轴于点， ∵，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵为直线与反比例函数图象交点， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为． 8．（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 9．（1）解：设直线的解析式为， 由图可知：直线过， 将代入，可得，解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴部分双曲线的函数表达式为； （2）由可得：当时，解得， 从晚上到第二天早上时间间隔为小时， ∵， ∴第二天早上不能驾车去上班． 10．（1）解：设，把，代入中， 解得． y关于x的函数表达式为． （2）解：把代入中，解得． 火焰的像高为． （3）解：当时，． 由的图象可得，当时，y随x的增大而减小， 若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是． 11．（1）解：由题意可知，水温从加热到用时分钟， 温度上升的总量为：， 水温每分钟上升：， 故答案为：10． （2）解：在水温下降的过程中，设关于的函数表达式为， 由图象可知，当时，， 将代入，得： ． 解得， 在水温下降的过程中，水温关于通电时间的函数表达式为． （3）解：根据函数表达式，取为800的因数（且），寻找横、纵坐标均为整数的点： 当时，，点为， 当时，，点为， 当时，，点为， （注：答案不唯一，如等亦可） 函数图象为经过点以及上述三个点的平滑曲线（双曲线的一支），图象如下： （4）解：我们需要求水温的持续时间， ①在加热过程中： 设加热过程的函数表达式为， 图象过点和， ，解得， ， 令，解得，即， 所以在加热阶段，从第分钟开始水温不低于； ②在降温过程中： 函数表达式为， 令，解得，即， 所以在降温阶段，直到第分钟水温都不低于， 综上所述：水温不低于的时间段为， 持续时间为：（分钟）． 12．（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴． （2）解：由题意得：可变电阻电压， ∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ∴， 将，，代入化简得： ． （3）解：∵中，， ∴随的增大而增大，即当取最大值3时，有最大值， ∴最大为， ∵，符合的取值范围， ∴该装置可监测的最高环境温度为． 13．（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 14．（1）解：∵四边形是矩形，已知，， ∴点坐标为． 设反比例函数表达式为， 将代入得：，解得， ∴曲线段所在反比例函数的表达式为． （2）解：∵点距离地面竖直高度为米， ∴点纵坐标， 将代入得：，解得， ∵点横坐标为， ∴、两点水平距离为(米)． 答：、两点间的水平距离为米． （3）解：该位置符合安全设置要求，理由如下： ∵，，点到的水平距离为米， ∴点横坐标， 将代入得， ∵，满足“距地面竖直高度不低于3米”的要求， ∴该位置符合安全设置要求． （4）解：由题意，点的横坐标为， 将代入得： ， 因此点距地面的竖直高度为米． 15．（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ， 解得， ， ， ； （2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H， 根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 设，则， ， ， ， 化简得， 解得，（负值舍去）， 经检验，是原方程的解 ； （3）解：存在， 两顶点同时落在反比例函数图象上， ∴点与点B重合， ，， ∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， ①如图①，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ； ②如图②，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ， 设， 在反比例函数上， ， ， ∴ 化简得， ， 解得（负数舍去）， ， ∴综上所述，点E的坐标为或． 16．（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点B为中点． ∴， 解得, ∴ （2）①如图， ∵过， ∴ ∴点C的坐标为 ∴， ∴反比例函数解析式为 ∵轴 ∴ ∵即，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D， ∴ ∴， ∴， 由折叠可知， 设， ∴ 在中，, ∴， ∴， ∴与重叠部分的面积为的面积； ②存在以为一条直角边的直角三角形，求解如下： 设, 当时， ∴ ∴ ∵, ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴, 当时，作于H点， 设，则, 设，则, ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 解得, ∴， 当点F在线段上方时，如图，时，则， ∴即， ∵， ∴ 解得（不合题意，舍去） ∴， 综上可知，或或 17．（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 将代入得：， 解得：； （2）①解：由题意得：轴， 如图，过点作于点， 平分， ， 由（1）知，， 设点，，其中， 、， ； ②解：由（1）知，， 是以为底的等腰三角形， ， 设，则，其中， 、、， ， ， 解得：或（舍去）， ． 18．（1）解：∵矩形，，， ∴， ∵设直线的函数解析式为，并将代入， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∵将代入函数解析式，得， ∴点在直线上； （2）猜想，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交轴于点，过点作于点， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， 由（2）中可知，， ∴， ∵由（2）可知 ∴，则 ∵在中，， ∴， ∵设， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵由，， ∴， ∴，即， 解得，（舍）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点， ∵矩形， ∴，将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∴与矩形的面积比为． 法二：如图，延长交轴于点，取中点，连接， ∵矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， ∴， ∵在中，设，则， ∴根据勾股定理， ∴， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍），（舍）， ∴ ∴， ∴与矩形的面积比为 19．（1）解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 当时，解得或， ∴当时，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∵， ∴，， 如图，当时，， ∴，解得， ∴， 如图，当时，， ∴，解得， ∴； 综上所述，点坐标为或； （3）解：设， 设直线的表达式为， 当时，即， ∴， ∴①， ∵点，点， ∴设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∴直线与反比例函数的交点为，解得，， ∴， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∴当时，②， 如图，过点作轴，过点作交于，过点作交于， ∴， ∴， ∴， ∴③， 将①、③代入②中，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴直线的表达式为，， ∴， ∴． 20．（1）解：令，则， 解得， ， 令，则， ， 将代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）如图，过点作轴于点， 联立， 解得或， ， 则， ， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 综上，点的坐标为或； （3）设，， 当点时，与为对角线， ， ，， 解得，， ； 当点时，与为对角线， ，， 解得，， ； 综上，点坐标为或． 21．（1）解：∵，即的横坐标为， ∴当时，， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标相同，且为， ∴当时，，解得：， ∴， ∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得：； 由题意得，， ∵轴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴当时，的函数值随的增大而增大； （2）解：当时，，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为，把，代入得， ，解得： ∴解析式为 ， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； （3）解：过作轴于，过作轴于，如图，    ∵，，， ∴，， ∵ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $