专题16 几何最值问题（题型专练）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题16 几何最值问题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 两点之间，线段最短 题型02 垂线段最短 题型03 利用函数求几何最值 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 两点之间，线段最短 典例引领 【典例01】（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求函数的表达式． (2)函数的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到新的函数，函数的图象的顶点是点C，与x轴负半轴的交点为D，过点B作x轴的平行线，与函数的图象的交点为E． ①点A是否在函数的图象上？请说明理由； ②求证：四边形是菱形． (3)在（2）的条件下，将函数的图象向左平移t个单位长度，设点A，C的对应点分别为，，当线段与线段的和最小时，求t的值． 【答案】(1) (2)①点A在函数的图像上，见解析；②见解析 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、二次函数图象的平移、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据函数的图象与x轴仅有一个公共点，则，代入数值化简，得，即可作答． （2）①先通过平移得函数的表达式为，顶点是点，先运算得点A的坐标为．再将代入，可得，即可作答． ②先得点B的坐标为．点E的坐标为，点D的坐标为，结合，轴，证明四边形是平行四边形．根据勾股定理可得，，根据，即可得是菱形． （3）作点关于的对称点P，连接，则．当点P、B、在同一直线上时，线段与线段的和最小．延长，交的延长线于点M，设与相交于点N，得，，，，，证明．把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵函数的图象与x轴仅有一个公共点， ∴ ． ∴． 故， 整理得， ∴函数的表达式为． （2）解：由（1）可知，函数的表达式为， 则． ∵将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到新的函数， ∴函数的表达式为． ∴函数的图象的顶点是点， ①点A在函数的图像上．理由如下： ∵函数的图象与x轴的交点为A， ∴把代入， 得， ∴， ∴点A的坐标为． 将代入，可得． ∴点A在函数的图像上． ②证明：将代入， ∴ ∴点B的坐标为． ∴． 将代入， 得． ∴解得，． ∴点E的坐标为． ∴． 将代入，可得． 解得，． ∴点D的坐标为． ∴． ∴． ∴． ∵轴， ∴四边形是平行四边形． 在中，， 根据勾股定理可得， ∴． ∴是菱形． （3）解：如图，作点关于的对称点P，连接， 则．当点P、B、在同一直线上时，线段与线段的和最小． 延长，交的延长线于点M，设与相交于点N． ∵在（2）的条件下，将函数的图象向左平移t个单位长度，设点A，C的对应点分别为，，点A的坐标为，， ∴，， ∵点B的坐标为． 则， ∴，，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与x轴的交点问题，平移规律，轴对称的性质，勾股定理，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答均有，考查两定点到直线上一动点的线段和/差最值，经典对称型最值模型，常拓展至两线一动、两动一定等变式，侧重对称转化思想。 方法技能 1.核心思路：作对称点，转化线段（将折线转化为直线，利用两点之间线段最短）； 2.线段和最小问题：作其中一个定点关于动直线的对称点，连接对称点与另一定点，与动直线交点即为动点，线段长为最小值； 3.线段差最大问题：连接两定点并延长，与动直线交点即为动点，线段差的绝对值为最大值（同侧定点直接连，异侧定点先作对称）。 变式演练 【变式01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 题型02 垂线段最短 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正方形边长为3，点是边的中点，点在边上，且，动点从点沿运动到点，过点作于点，作于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、垂线段最短、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短， 先说明四边形是矩形，根据矩形的性质得，当时，最短，即最短，连接，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，即最短． 连接， 由题意得， 根据勾股定理，得， ∴ ， 解得． 所以长度的最小值是3． 故答案为：3． 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答均有，考查定直线上的动点与定点的距离，通过旋转转换线段，通过对称转换线段，以及通过构造全等三角形转换线段来求最值等技巧，侧重转化思想的渗透。 方法技能 解题大招：1.动点在定直线上时，通过对称转换线段位置。 2.动点由旋转（或等同于旋转）形成时，通过旋转转换线段位置。 3.双动点分别到不同定点的长度相等时，通过构造全等三角形转换线段位置。 变式演练 【变式01】（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 题型03 利用函数求几何最值 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答均有，考查利用函数思想解决几何最值问题，通过题干信息建立适当的平面直角坐标系，将几何最值问题转化成函数最值问题，侧重数形结合思想的渗透。 方法技能 利用勾股定理，相似，三角函数等等量关系式，表示出所求线段或线段运算的解析式，利用求函数的最值的方法求出几何图形的最值。 变式演练 【变式01】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 【答案】5 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． 故答案为：5． 题●型●训●练 1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 2．（2025·山东潍坊·一模）如图，在中，，D是上任意一点，连接，过C作于E，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，由知E在以为直径的的上（不含点C、可含点N），从而得最短时，即为连接与的交点（图中点点），长度的最小值． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴E在以为直径的的上（不含点C、可含点N）， ∴最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则， ∵， ∴长度的最小值， 故答案为：． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查直角所对的弦是直径，找出点E的运动轨迹是解题的关键．根据点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，进而分析当重合时，重合，取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上， 如图，此时 ∵ ∴当重合时，重合， 此时，则 ∴的最小值是 故答案为：． 4．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 4 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 5．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出，由等边三角形的性质可得，，取的中点，连接、，作交的延长线于，则，，求出，，从而可得，由勾股定理可得，最后根据三角形三边关系可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，． ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 如图，取的中点，连接、，作交的延长线于， ， 则，， ∴，， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可得：， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 6.（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】(1)图1的正方形面积较大 (2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 几何最值问题 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 两点之间，线段最短 题型02 垂线段最短 题型03 利用函数求几何最值 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 两点之间，线段最短 典例引领 【典例01】（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求函数的表达式． (2)函数的图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B．将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到新的函数，函数的图象的顶点是点C，与x轴负半轴的交点为D，过点B作x轴的平行线，与函数的图象的交点为E． ①点A是否在函数的图象上？请说明理由； ②求证：四边形是菱形． (3)在（2）的条件下，将函数的图象向左平移t个单位长度，设点A，C的对应点分别为，，当线段与线段的和最小时，求t的值． 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答均有，考查两定点到直线上一动点的线段和/差最值，经典对称型最值模型，常拓展至两线一动、两动一定等变式，侧重对称转化思想。 方法技能 1.核心思路：作对称点，转化线段（将折线转化为直线，利用两点之间线段最短）； 2.线段和最小问题：作其中一个定点关于动直线的对称点，连接对称点与另一定点，与动直线交点即为动点，线段长为最小值； 3.线段差最大问题：连接两定点并延长，与动直线交点即为动点，线段差的绝对值为最大值（同侧定点直接连，异侧定点先作对称）。 变式演练 【变式01】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 题型02 垂线段最短 典例引领 【典例01】（2025·辽宁沈阳·二模）如图，正方形边长为3，点是边的中点，点在边上，且，动点从点沿运动到点，过点作于点，作于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答均有，考查定直线上的动点与定点的距离，通过旋转转换线段，通过对称转换线段，以及通过构造全等三角形转换线段来求最值等技巧，侧重转化思想的渗透。 方法技能 解题大招：1.动点在定直线上时，通过对称转换线段位置。 2.动点由旋转（或等同于旋转）形成时，通过旋转转换线段位置。 3.双动点分别到不同定点的长度相等时，通过构造全等三角形转换线段位置。 变式演练 【变式01】（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 题型03 利用函数求几何最值 典例引领 【典例01】（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 方法透视 考向解读 高频中档题，选择/解答均有，考查利用函数思想解决几何最值问题，通过题干信息建立适当的平面直角坐标系，将几何最值问题转化成函数最值问题，侧重数形结合思想的渗透。 方法技能 利用勾股定理，相似，三角函数等等量关系式，表示出所求线段或线段运算的解析式，利用求函数的最值的方法求出几何图形的最值。 变式演练 【变式01】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 题●型●训●练 1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 2．（2025·山东潍坊·一模）如图，在中，，D是上任意一点，连接，过C作于E，连接．若，，则的最小值为 ． 3．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 4．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 5．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，分别在轴，轴正半轴上，，，．以为边作等边．连接，则的最大值为 ． 6.（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 7．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 8．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $