异面直线所成的角期末训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以平移法为核心，构建“定义-教材典例-多几何体应用”的逻辑体系，强化空间角平面化转化的推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识|1定义|平移法（空间角转化为平面三角形内角）|定义生成（范围与垂直判定）| |回归教材|2例题|取点平移简化计算|教材应用示范（正方体中角的求解与证明）| |拓展延伸|10题（5选择+3填空+2解答）|几何体中灵活平移（利用中点、平行线等）|多情境拓展（长方体/四面体/正三棱柱等）|

人教A版必修二异面直线所成的角专题讲与练 基础知识： 异面直线所成的角定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线 a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，范围，如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 【人教A版必修二第8.6.1节例2】如图(1),在正方体中,为底面的中心.求证. （1） (2) 点评：从例1与例2的解答可以看到,为了简便,求异面直线所成的角时,点常取在两条异面直线中的一条上.例如取在直线上,然后经过点作直线,那么与所成的角就是异面直线与所成的角(如下图）. 总结：异面直线所成角的求法 平移法，利用平移直线法求解的实质就是将空间两直线所成角转化为平面三角形的内角去求解． 拓展延伸： 1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　 ) A. B. C. D. 2、在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为(　 ) A. B. C. D. 3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为(　 ) A. B. C．－ D．－ 4．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　 ) A．60° B．75° C．90° D．105° 5.如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为(　 ) A．30°　　 B．45°　　　C．60°　　　D．90° 6．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________． 7．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______． 8．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______． 三、解答题 9．已知正方体，是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 10．（1）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角. （2）如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，求。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版必修二异面直线所成的角专题讲与练 基础知识： 异面直线所成的角定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线 a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，范围，如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。 回归教材： 【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直. （2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°. （3）如右图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角. 连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°. 【人教A版必修二第8.6.1节例2】如图(1),在正方体中,为底面的中心.求证. （1） (2) 证明：如图(2),连接.是正方体, .四边形是平行四边形.. 直线与所成的角即为直线与所成的角. 连接,易证.又为底面的中心， 为的中点,.. 点评：从例1与例2的解答可以看到,为了简便,求异面直线所成的角时,点常取在两条异面直线中的一条上.例如取在直线上,然后经过点作直线,那么与所成的角就是异面直线与所成的角(如下图）. 总结：异面直线所成角的求法 平移法，利用平移直线法求解的实质就是将空间两直线所成角转化为平面三角形的内角去求解． 拓展延伸： 1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　 ) A. B. C. D. [解析]　如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角即为直线PB与BC1所成的角，即∠PBC1.不妨设该正方体的棱长为2a，则BC1＝2a，PC1＝PB1＝a，PB＝＝a，所以BC＝PC＋PB2，所以∠C1PB＝90°，则sin∠PBC1＝＝＝，所以∠PBC1＝.故选D. 2、在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为(　 ) A. B. C. D. 【解析】如图，把四面体ABCD补成一个长、宽、高分别为，，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GF∥AC，GF＝AC＝1，同理GE∥BD，GE＝BD＝1.因为AC⊥BD，所以GE⊥GF，所以△GEF是等腰直角三角形，则∠EFG＝，即异面直线EF与AC所成的角为. 3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选A　如图，连接B1D，交AC1于O点，则O点为B1D的中点，取CD的中点E，则OE∥B1C，异面直线AC1与B1C所成角即直线AC1与OE所成角．在△OAE中，OA＝＝1，OE＝B1C＝×＝，AE＝＝，则cos∠AOE＝＝＝，故异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为. 4．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　 ) A．60° B．75° C．90° D．105° 解析：选C　如图，取BC的中点M，连接AM，B1M，设AB＝a，则BB1＝a，B1C1＝a，在Rt△BB1M中，tan∠BB1M＝＝，在Rt△BB1C1中，tan∠B1C1B＝＝，所以∠BB1M＝∠B1C1B，所以∠B1C1B＋∠MB1C1＝∠BB1M＋∠MB1C1＝90°，所以B1M⊥BC1.因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以BB1⊥面ABC，又AM⊂面ABC，所以BB1⊥AM，因为△ABC是等边三角形，所以AM⊥BC，因为BB1∩BC＝B，所以AM⊥面BCC1B1，因为BC1⊂面BCC1B1，所以AM⊥BC1，因为AM∩B1M＝M，所以BC1⊥面AB1M，因为AB1⊂面AB1M，所以BC1⊥AB1，所以AB1与BC1所成的角的大小是90°. 5.如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1＝1，下底面半径为OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为(　 ) A．30°　　 B．45°　　　C．60°　　　D．90° 解析：选B　在直角梯形OO1A1A中，∵B为OA的中点，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，∴OO1∥A1B，∴∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角，在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，∴A1B＝；连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2得BC＝；在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°. 6．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________． 解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，GF，由已知得EG綉AB，FG綉CD，∴∠EGF或其补角是AB和CD所成的角，∠GEF或其补角是AB和EF所成的角．∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴∠GEF＝∠GFE.当∠EGF＝60°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°；当∠EGF＝120°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝30°. 答案：30°或60° 7．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______． 【答案】 【分析】取中点，连接，，则异面直线和所成角为或其补角，在中使用余弦定理求解即可. 【详解】 如图，取中点，连接，，∵，分别为，中点，∴，且，∴异面直线和所成角为或其补角，在等边和等边中，，∴在中，由余弦定理，有，∴异面直线和所成的角的余弦值为. 8．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______． 【答案】 【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：连接、，因为A、B均为棱的中点，所以所以是异面直线AB和CD所成角（或补角），设正方体的棱长为，在中，，,， 三、解答题 9．已知正方体，是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 【分析】连接，，结合题中条件，由正方体的结构特征，可得即为异面直线与所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为，求出的余弦值，即可得出结果. 【详解】连接，，在正方体中，易知，所以即为异面直线与所成的角或所成角的补角，记正方体的棱长为，因为是棱的中点，所以，又， 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 10．（1）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角. （2）如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，求。 【分析】（2）根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解三角形得出答案. 【答案】（1）45°；(2). 【详解】（1）因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°. （2）如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且. 所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角）.由题意，可得，所以，，. 在中，由余弦定理，可得：，即. 学科网（北京）股份有限公司 $