2025-2026学年高一下学期期末模拟数学试题（人教A版必修第二册 全国通用）

**基本信息** 2025-2026学年高一期末数学模拟卷，以复数、概率、立体几何、统计等核心知识为载体，通过气温统计、几何体表面积计算等真实情境，考查数学抽象、空间观念与数据意识，体现“三会”素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、线面关系、统计量|第4题结合气温数据考众数与分位数，体现数据观念| |多选|3/18|抽样概率、向量运算|第9题综合抽样与方差性质，考查推理能力| |填空|3/15|独立事件、方差计算|第13题通过数据剔除考方差，强化数学思维| |解答|5/77|向量投影、二面角、新定义|19题“友函数”新定义，融合向量与函数，发展创新意识；17题频率分布直方图分析，落实应用意识|

2025-2026学年第二学期高一期末模拟试题 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，则复数的虚部可知. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 2．一个袋子里装有四个形状、大小完全相同的球，球上标有数字分别为，，，，从袋中随机抽取两个球，则取出的球上标的数字之和等于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算即可. 【详解】从标有数字的个球中随机抽取两个球，其可能结果有 共个， 其中满足数字之和等于的有， 所以满足数字之和等于的概率为. 故选：C. 3．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，得或或与相交，A错误； 对于B，由，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，得，存在过的平面，则，， 而，于是，又，，因此，所以，C正确； 对于D，，，由，得可以是与垂直的平面内的任意直线， 因此可以与平行、相交或在内，D错误. 故选：C 4．下表是某地区2024年3月1日至10日每天中午12时的气温统计表，则下列关于这10天中气温的说法错误的是（    ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 气温（℃） 2 10 18 20 16 12 6 2 6 12 A．众数为2和6和12 B．70%分位数为16 C．平均数小于中位数 D．极差为18 【答案】B 【分析】由众数，平均数，中位数，百分位数，极差的概念求解可得结论. 【详解】对于A：由气温统计表可得众数为2和6和12，故A正确； 对于B：把气温由小到大排为2，2，6，6，10，12，12，16，18，20， 由，故70%分位数为，故B错误； 对于C：平均数为， 中位数为，所以平均数小于中位数，故C正确； 对于D：极差为，故D正确. 故选：B. 5．如图，在直棱柱中，，，E为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BF，证明，在中计算即可作答. 【详解】在直棱柱中，连接BF，如图，因E为BC的中点，F为的中点，则， 则四边形为平行四边形，即有，因此是异面直线AF与所成角或其补角， 因平面，平面，则，又，，平面， 即有平面，平面，即，令，则， 所以异面直线AF与所成角的正弦值为. 故选：B 6．已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意剩余几何体表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积，将代入相应的面积公式并求和即可得解. 【详解】剩余几何体表面积等于圆环的面积加上圆台的侧面积再加上圆柱的侧面积， 由题意， 所以圆环的面积为， 圆台母线， 所以圆台侧面积为， 圆柱侧面积为， 所以剩余的几何体表面积等于. 故选：D. 7．在三棱锥中，，且，平面，设三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三棱锥的外接球的球心为，的外接圆的圆心为，得到平面，分别求得和的长，结合求得截面的性质，列出方程，求得接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】设三棱锥的外接球的球心为，的外接圆的圆心为，如图所示， 由球的截面的性质，可得平面， 因为，可得， 由平面，且，可得, 设三棱锥的外接球的半径为， 在直角中，可得，解得， 所以球O的表面积为. 故选：D. 【点睛】解决与球有关的切、接问题求解方法： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解. 8．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案. 【详解】由，由正弦定理得, 即有，而，则， 又， 由正弦定理､余弦定理得，，化简得：， 由正弦定理有：，即，， 是锐角三角形且，有，， 解得， 因此 ， 由得：，， 所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．数据的第70百分位数是23 D．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 【答案】ABD 【分析】A选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，根据方差性质得到的方差可判断. 【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确； B选项，的平均数为， 方差，故B正确； C选项，这10个数据从小到大排列为， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是，故C错误； D选项，不妨设，则， 即数据的极差为12，由方差性质知，故D正确． 故选：ABD 10．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于A，利用向量的数量积运算与垂直的性质判断即可；对于B，利用向量平行的坐标表示求解即可；对于C，利用向量的数量积运算与辅助角公式求解即可；对于D，利用向量的数量积运算与三角函数的性质即可得解. 【详解】对于A：当时，， 此时，故，故A正确； 对于B：若，则，所以，所以，，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：因为，， 所以，，， 所以， 因为，所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 11．如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 【答案】AC 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确； 对于B选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为， ，圆心角依次为， 圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D错误； 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知事件，发生的概率分别为，，若与相互独立，则______. 【答案】0.44 【分析】利用并事件的概率公式即可. 【详解】. 故答案为：0.44. 13．已知有一组数据共25个，其平均数是6，方差是4，现去掉其中5个数据：5，6，8，10，11，则余下的20个数据的方差为______ 【答案】2.45 【分析】设去掉其中5个数据前后的方差分别为，这25个数据为，首先求得. 【详解】设去掉其中5个数据前后的方差分别为，这25个数据为， 由题意， ， . 故答案为：2.45. 14．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据投影向量的定义即可求解； （2）利用向量垂直的坐标运算即可求解； （3）根据题意由向量的数量积和共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以在方向的投影向量为. （2）由题意知：，， 因为，所以 即，解得. （3）， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得， 当与共线时，由，解得， 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由余弦定理得出，由正弦定理得出得出； （2）由，设，在中，由余弦定理得出，再求面积. 【详解】（1）由，得. 所以由余弦定理得，因为，所以， 由，根据正弦定理得， 因为，所以，因为，所以； （2）由（1）得，所以. 设，在中，由余弦定理得， 解得，所以. 17．为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的学生比在内的学生少10人． (1)求，的值； (2)求样本学生运动时长的中位数； (3)若在，内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在内的样本学生运动时长的方差． 【答案】(1)， (2)11.2 (3)7.25 【分析】（1）分别算出已知组别的频率，利用频率之和为1算出未知组别的频率，再用频率除以组距算，用分别表示出运动时长在内的学生人数和在内的学生人数，结合已知条件算； （2）明确中位数所以组别，列方程求解中位数即可； （3）先计算出在内的样本学生运动时长的平均数，再利用相关公式计算方差即可. 【详解】（1）运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：， 由频率之和为1知，运动时长在内的频率为：， 故， 运动时长在内的学生人数为：，运动时长在内的学生人数为：， 依题意，，解得. 综上，，. （2）前两组和的频率之和为，前三组，，的频率之和为， 故样本学生运动时长的中位数出现在第三组，设为， 则，解得. 综上，样本学生运动时长的中位数为11.2. （3）在内的样本数为，在内的样本数为， 所以在内的样本学生运动时长的平均数为， 根据公式，在内的样本学生运动时长的方差为： . 18．如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直，得到线面垂直，⊥，结合得到线面垂直； （2）作出辅助线，找到即为二面角的平面角，由勾股定理和余弦定理求出各边，最后由余弦定理求出二面角的余弦值； （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，则，要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，设，由等体积法和余弦定理，面积公式得到，从而求出的最小值，得到正弦的最小值. 【详解】（1）平面平面，交线为，又，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，，平面， 故⊥平面； （2），，， 由勾股定理得， 平面，平面， 所以， 因为，，由勾股定理得， 过点作⊥于点，则， 故， 过点作⊥，交于点，连接， 故即为二面角的平面角， 由勾股定理得， 又， 由余弦定理得，故， 在Rt中，，即，解得， 故， 在Rt中，， 由余弦定理得， 故， 在中，由余弦定理得， 故二面角的余弦值为； （3）连接，因为，，所以， 又，⊥，由勾股定理得， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为， 则， 要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可， ， 由（1）得平面，故， 设，则，， 故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 则， 因为，所以， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的最小值为. 【点睛】方法点睛：立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 19．设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”. (1)记的“友函数”为，求函数的单调递增区间； (2)设，其中，求的“友向量”模长的最大值； (3)已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据定义直接可得函数解析式并化简，进而可得函数的单调递增区间； （2）化简函数解析式，可判断函数的“友向量”，进而可确定其模长； （3）根据三角函数性质直接可得函数取得最值时根据不等式可得，再利用齐次式可得的最值. 【详解】（1）由已知， 则令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，； （2）， 则的“友向量”为， 所以， 又，所以当，时，取得最大值为； （3）由已知点满足， 则，，且， 又，且， 且当，时，函数取得最大值， 即， 所以， 即， 又， 设，则原式， 且在上单调递减， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一期末模拟试题 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．一个袋子里装有四个形状、大小完全相同的球，球上标有数字分别为，，，，从袋中随机抽取两个球，则取出的球上标的数字之和等于的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列表述正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．下表是某地区2024年3月1日至10日每天中午12时的气温统计表，则下列关于这10天中气温的说法错误的是（    ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 气温（℃） 2 10 18 20 16 12 6 2 6 12 A．众数为2和6和12 B．70%分位数为16 C．平均数小于中位数 D．极差为18 5．如图，在直棱柱中，，，E为BC的中点，F为的中点，则异面直线AF与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知一个圆柱底面半径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，且，平面，设三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．数据的第70百分位数是23 D．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 10．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．的取值范围是 11．如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知事件，发生的概率分别为，，若与相互独立，则______. 13．已知有一组数据共25个，其平均数是6，方差是4，现去掉其中5个数据：5，6，8，10，11，则余下的20个数据的方差为______ 14．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，边上中线的长为. (1)求角A和角B的大小； (2)求的面积. 17．为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的学生比在内的学生少10人． (1)求，的值； (2)求样本学生运动时长的中位数； (3)若在，内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在内的样本学生运动时长的方差． 18．如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 19．设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”. (1)记的“友函数”为，求函数的单调递增区间； (2)设，其中，求的“友向量”模长的最大值； (3)已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $