精品解析：新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试卷

第三师图木舒克市第一中学高一年级2026年5月第二次月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面是一组学生某次跳绳活动课半分钟跳绳次数的数据：90，88，110，118，108，116，120，98，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 116 B. 113 C. 110 D. 108 2. 下列结论正确的是（ ） A. 三个点确定一个平面 B. 若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C. 若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D. 若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 3. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 四点共面 B. C. 三线共点 D. 5. 一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 10. 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A. 直线与直线所成的角是 B. 直线与平面所成的角是 C. 二面角的平面角是 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421    6606580562    6165643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 13. ，是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题： （1）如果，，，那么． （2）如果，，那么． （3）如果，，那么． （4）如果，，那么与所成的角和与所成的角相等． 其中正确的命题有________（填写所有正确命题的编号） 14. 已知异面直线、所成的角为,则过空间一点P且与、所成的角都为的直线有_____条. 四．解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 15. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 16. 如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． （1）若正四棱锥的高为，求它的表面积． （2）若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 17. 中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，点为边的中点，求出的长. 18. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． （1）求出的值并说明理由; （2）若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三师图木舒克市第一中学高一年级2026年5月第二次月考数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面是一组学生某次跳绳活动课半分钟跳绳次数的数据：90，88，110，118，108，116，120，98，则这组数据的第60百分位数为（ ） A. 116 B. 113 C. 110 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排列为：88，90，98，108，110，116，118，120，共8个数据， 因为，根据百分位数的定义可知这组数据的第60百分位数为第5个数据，即110. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 三个点确定一个平面 B. 若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C. 若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D. 若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间点、线、面基本定理进行判断. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误； 若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行或为异面直线，B错误； 若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，C正确； 若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行或与平面相交与一点，D错误. 故选：C 3. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据直接求解. 【详解】方法一、设矩形与相交于点，则原图形如下， ，则， 所以. 方法二、由，所以. 故选：C. 4. 如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 四点共面 B. C. 三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 5. 一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解. 【详解】以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体， 由图可得与异面，A错误． 显然B正确． 与异面，C错误． 连接，则为等边三角形，D错误． 6. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 7. 已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意三棱锥外接球等价于棱长为1，1，的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积. 【详解】因为平面，， 可将三棱锥补形为长方体， 则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 则长方体的体对角线即为外接球的直径. 又， 故外接球的表面积为. 8. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意得，分别求模、共轭复数、化简即可得到结果. 【详解】根据复数z在复平面上对应的点为，则，所以A错； ，所以B错； ，所以C正确； ，所以D正确． 故选：CD． 【点睛】本题主要考查复数的基本概念的理解，属于基础题. 10. 是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】整理可得，即可判断A；根据数量积的定义和运算律可得，即可判断BC；根据投影向量的定义判断D. 【详解】因为，，则， 所以，故正确； 又因为，即， 且，可得 所以，故B错误，C正确； 可得在上的投影向量为，故D错误. 11. 在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A. 直线与直线所成的角是 B. 直线与平面所成的角是 C. 二面角的平面角是 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用，可求直线与所成的角判断A；连接交于点，连接，可得直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角，求解可判断B；易求得二面角的大小判断C；接，平面截正方体所得的截面为梯形，求解可判断D. 【详解】对于A，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为， 故直线与所成的角是，故A正确； 对于B，因为分别为棱的中点，所以， 所以直线与平面所成的角即为直线与直线所成的角， 连接交于点，连接， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，又，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 又，所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面，则， 又，所以为二面角的平面角， 所以二面角的平面角是，故C错误； 对于D，如图，连接，因为，所以， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 且， 所以梯形的高为， 所以截面面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421    6606580562    6165643502    4235489632    1452415248 2266221586    2663754199    5842367224    5837521851    0337183911 【答案】43 【解析】 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字， 读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)， 60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个）， 故选出来的第5个个体的编号为43． 13. ，是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题： （1）如果，，，那么． （2）如果，，那么． （3）如果，，那么． （4）如果，，那么与所成的角和与所成的角相等． 其中正确的命题有________（填写所有正确命题的编号） 【答案】（2）（3）（4） 【解析】 【分析】对于（1），举反例判断即可；对于（2），由条件和线面平行的性质可得，再由线面垂直的性质即可判断；对于（3），由两个平面平行的性质即可判断；对于（4），由线面所成角的定义和等角定理即可判断. 【详解】（1）如图1，长方体中，不妨设为直线，为直线， 所在的平面为，所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故错误 （2）证明如下：如图2，设过直线的平面与平面相交于直线， 由线面平行的性质可知，由，有，从而可知结论正确，故正确； （3）因为，，所以由两个平面平行的性质可得，故正确； （4）因为，，所以由线面角的定义和等角定理可得与所成的角和与所成的角相等，故正确. 14. 已知异面直线、所成的角为,则过空间一点P且与、所成的角都为的直线有_____条. 【答案】 【解析】 【分析】将异面直线、平移到同一个平面内，形成两个角，从这两个角的角平分线入手分析可得答案. 【详解】因为平行直线与同一直线所成的角是相等的．所以把所有的直线都平移到点， 分别对应 ， 确定平面 ，所求的直线在 内的射影是所成角的角平分线，所成的角分别为 ，一半是， ，所以有3条． 故答案为：3 四．解答题（共5小题，共计77分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 15. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需要证明该直线与平面内一条直线平行即可，即证明. （2）要证明线面垂直，需要证明该直线与平面内的两条相交直线垂直即可，即证明. 【小问1详解】 取的中点，连接. 在中，，所以. 因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. 【小问2详解】 连接. 在中，，，所以. 由（1）知，所以. 因为平面，平面，所以. 根据勾股定理得. 而，， 所以，又，所以. 又平面， 所以平面. 16. 如图，正四棱锥的底面积为3，为正方形的中心． （1）若正四棱锥的高为，求它的表面积． （2）若正四棱锥的外接球的体积为，求正四棱锥的体积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，由勾股定理求得，进而求得表面积； （2）由题，正四棱锥外接球的球心在直线上，由外接球的体积，可求得外接球的，利用球的截面性质求出棱锥高h的值，再根据体积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意知平面，过点作交于点，连结. 则点为的中点，所以， 因为底面积为3，可得，则. 因为四棱锥的高为，所以. 所以正四棱锥的表面积. 【小问2详解】 设外接球半径为，由外接球体积，可得. 底面正方形对角线长， 所以底面正方形外接圆半径. 由题，正四棱锥外接球的球心在上， 设球心到底面距离为，由，可得， 当顶点与球心在底面异侧时，正四棱锥的高； 当顶点与球心在底面同侧时，正四棱锥的高. 当时，； 当时，. 综上所述，正四棱锥的体积为或. 17. 中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，点为边的中点，求出的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理边角转化可得，即可得角的大小； （2）根据面积公式可得，结合（1）可得，再结合向量求的长. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得， 整理可得，可得， 且，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得， 又因为，且，即，可得， 若点为边的中点，则， 可得， 即，所以的长为. 18. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 【答案】（1） （2） （3）中位数为，平均数为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出； （2）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解； （3）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为可得中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的组距都是， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中. 【小问2详解】 由（1）知， 因此各组的频率分别为， ， 对应这名学生各组的人数分别为， 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 所以成绩在内的总人数为， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6. 【小问3详解】 由（2）知，各组的人数分别为， 各组的组中值分别为， 则， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 由可得中位数位于中间，设为， 则. 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． （1）求出的值并说明理由; （2）若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 【答案】（1）2 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用线面平行判定定理以及三角形相似可求得的值； （2）（ⅰ）利用面面垂直性质定理可证明平面，利用二面角定义作出二面角的平面角，结合正切值可得； （ⅱ）同理根据（ⅰ）中已有分析得出二面角的平面角，即可求出其正切值. 【小问1详解】 连接交于点，连接，如下图所示： 因为平面，又点在棱上，可知平面平面， 因此，所以， 因为，，所以，且， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）取的中点为，连接，如下图所示： 因为是边长为6的等边三角形，所以，且 又平面平面，且平面平面， 因此平面，平面， 所以， 又，分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角， 在直角中，，可得， 又因为，所以. （ⅱ）作，垂足为，作交于点，连接，如下图所示： 同理根据（ⅰ）中分析可知即为二面角的平面角， 由（1）中可得，， 因此， 可得二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $