精品解析：新疆乌鲁木齐市第十一师一中学2025-2026学年度第二学期高一年级4月月考数学试卷

高一数学试卷（四月） 一、单选题（40分） 1. 设，为虚数单位，若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的个数为（ ） ①若，是两个单位向量，则； ②若，，则； ③与任何一向量平行，则； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知平面向量，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足且，则与夹角为（ ）． A. B. C. D. 0 5. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在四边形ABCD中，·=0，且=，则四边形ABCD是　(　　) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 在锐角中，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 二、多选题（18分） 9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. （多选）已知，，，，那么（ ） A. B. 若，则， C. 若是中点，则，两点重合 D. 若，，三点不重合且共线，则 三、填空题（15分） 12. 若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____. 13. 若向量，分别表示两个力，，则合力的大小是__________． 14. 在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 四、解答题 15. 已知，. （1）求； （2）若，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 16. 在锐角中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求． （2）若，请再从条件①、②、③中选择一个合适的条件作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ①边上的中线长为；②；③角的平分线长为． 18. （1）化简 （2）； （3）设向量，，求． 19. 如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h． （1）试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； （2）求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷（四月） 一、单选题（40分） 1. 设，为虚数单位，若复数为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数为纯虚数求出的值，代入求模长即可． 【详解】复数为纯虚数，则，解得 故选：B 【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的模长的计算，属于基础题． 2. 下列说法正确的个数为（ ） ①若，是两个单位向量，则； ②若，，则； ③与任何一向量平行，则； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用单位向量，向量平行，向量的数量积公式直接求解. 【详解】在①中，若，是两个单位向量，则，故①错误； 在②中，若若，，则当时，不一定成立，故②错误； 在③中，与任何一向量平行，由零向量平行于所有向量，得，故③正确; 在④中，由向量得数量积不满足结合律，得不成立，故④错误. 故选：A 【点睛】本题考查了向量的相关知识点，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题. 3. 已知平面向量，，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可以结合投影向量的定义将其分为投影与单位向量来更好理解与求解. 【详解】由于， 由在方向上的投影向量 故选:C. 4. 已知非零向量，满足且，则与夹角为（ ）． A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，利用数量积公式及运算律计算可得，即可求出答案. 【详解】由得， 即， 令与夹角为， 因为， 所以， 又，解得， 又，所以， 所以与夹角为. 5. 已知，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知结合求出，由“”可推出“”，而“”不能推出“”得出答案． 【详解】，解得 则“”是“”的必要不充分条件 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件的应用，考查平面向量数量积的定义，属于中档题． 6. 在四边形ABCD中，·=0，且=，则四边形ABCD是　(　　) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【详解】因为=， 所以AB=DC，AB∥DC， 所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为·=0，所以AB⊥BC， 所以四边形ABCD是矩形. 选C. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【详解】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 8. 在锐角中，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知，角不是最大角，只需角和角为锐角，可得出，可得出关于的不等式组，解出即可. 【详解】为锐角三角形，，则角不是最大角，从而可知角或角为锐角， 由，得，． 由，得，． 综上，，因此，的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角形形状求边的取值范围，一般考查三角形中的最大角，结合余弦定理列不等式（组）来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 二、多选题（18分） 9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用几何图形进行向量加减运算，结合向量的概念、三角形及平行四边形法则，即可判断各项正误 【详解】因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，故A正确， 根据向量加法的平行四边形法则可得：，故B正确， 根据向量的减法法则可得：，故C错误， 由图知，，故D正确， 故选：ABD． 【点睛】本题考查了平面向量的加法、减法、数乘运算在几何图形的应用，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于简单题 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 11. （多选）已知，，，，那么（ ） A. B. 若，则， C. 若是中点，则，两点重合 D. 若，，三点不重合且共线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算分别对每个选项进行计算或推理：A直接作差验证；B根据平行条件列方程，举反例排除；C由中点条件建立方程组求解；D利用三点共线的向量条件列式讨论，排除重合情形后得到结果. 【详解】因为，，，所以，，所以，故A正确； 若，则，当，时也符合，故B错误； 因为，是中点， 所以， 所以解得，所以，，两点重合，故C正确； 若，，三点共线，则存在实数，使得，而，，所以， 所以，且，则或，而时，，此时，重合，所以， 故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（15分） 12. 若关于的方程的一个根为，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知也是实系数方程的一个复数根，利用根与系数的关系求出m、n的值即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以另一个根为， 故. 故答案为：. 13. 若向量，分别表示两个力，，则合力的大小是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】首先用坐标表示，再求模. 【详解】，所以. 故答案为；5 14. 在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为是三角形内角，所以 又因为， 所以， 设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有， 即的外接圆的半径为． 故答案为： 四、解答题 15. 已知，. （1）求； （2）若，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长公式计算即可. （2）根据向量平行可设，结合向量的模长公式求解即可. （3）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，设， 则，解得. 因此或. 【小问3详解】 由（1）知，. 因为， 则， 所以，所以. 又，所以. 故与的夹角为. 16. 在锐角中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数关系式进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可知： , 又因为，所以 在锐角中，因为， 所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 由余弦定理，得， 因为，且， 所以是锐角三角形，所以符合题意. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求． （2）若，请再从条件①、②、③中选择一个合适的条件作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ①边上的中线长为；②；③角的平分线长为． 【答案】（1） （2）选① ；选②不合，因为三角形不唯一；选③ . 【解析】 【分析】（1）使用二倍角公式、余弦定理、正弦定理求解； （2）选①，在中使用余弦定理计算并计算面积，选②，在中由余弦定理计算并计算面积，选③，在中，由余弦定理计算，并分析角的大小求解. 【小问1详解】 由二倍角公式得：， 整理得：， 由正弦定理得：，，，代入上式可得： ，即， 由余弦定理，可得，， 因为，所以. 【小问2详解】 若选条件①，记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍）， 所以. 若选条件②，在中由余弦定理得， 即，解得或3，此时与题目中存在且唯一确定矛盾； 若选条件③，记角的角平分线为，，在中，由余弦定理得：， ，，， ，， . 18. （1）化简 （2）； （3）设向量，，求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）由所求式 ， 因，， 则所求式 . 19. 如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h． （1）试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； （2）求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【答案】（1）答案见解析 （2）船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为 【解析】 【分析】（1）直接利用向量加法的平行四边形法则作图即可； （2）利用勾股定理求解船速的实际大小，在求解直角三角形即可得方向. 【小问1详解】 如图所示，表示船速，表示水速， 以为邻边作平行四边形， 则表示该船实际航行的速度； 【小问2详解】 由题意， 在中，， 则，，所以， 所以船实际航行速度的大小为，方向与江水速度间的夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $