上海市黄浦区上海外国语大学附属大境中学2025-2026学年第二学期5月调研高三年级数学试卷

上外附属大境中学二〇二五学年度第二学期5月调研 高三年级数学试卷 （120分钟内完成，总分150分） 一、填空题（前六题各4分，后六题各5分） 1．已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为________。 2．在等比数列中，，，则________。 3．已知，则________。 4．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数________。 5．求函数的定义域________。 6．已知是定义在R上的可导函数，若，则________。 7．已知，则________。 8．将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为________。 9．如果关于x的不等式的解集为一切实数，那么a的取值范围是________。 10．若函数的图象关于直线对称，则y的最大值为________。 11．如图，的顶点平面，点A，B在平面的同一侧，且，．若，与平面所成的角分别为，，则的面积的取值范围为________。 12．已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则________ 二、选择题（前两题各4分，后两题各5分） 13．已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．已知命题，命题，则p是q的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 15．中，，，，P是外接圆上一点，，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 16．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科。如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为b，c，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面。设，，，则下列结论正确的个数是（ ） ①若平面是面积为的等边三角形，则 ②若，则 ③若，则球面的体积 ④若平面为直角三角形，且，则 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分） 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分。某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动。为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示。 分组区间 人数 30 75 105 60 30 支持态度人数 24 66 90 42 18 （1）完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关； 年龄在50周岁及以上 年龄在50周岁以下 总计 支持态度人数 不支持态度人数 总计 （2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记Ｘ为4人中持支持态度的人数，求Ｘ的分布以及数学期望． 参考数据： 参考公式： 18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分） 已知数列的前n项和为，且。 （1）证明：数列是等比数列； （2）定义集合，记的元素个数为，求； 19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别在，， 且，，设。 （1）当时，求异面直线与所成角的大小； （2）当平面时，求的值。 20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知点A为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点。 （1）若点A不在x轴上，求的周长； （2）过右焦点的直线l与椭圆交于P、Q两点，若以为直径的圆过，求l的方程； （3）若点A在x轴上方，设直线与交于点B，与y轴交于点K，延长线与交于点C，在x轴上方是否存在点C，使得成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。 21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 对于定义域为R的函数与实数，定义集合 （1）若，求； （2）若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； （3）是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明。 学科网（北京）股份有限公司 $