专题04平面内的两条直线期末复习讲义(25大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题04平面内的两条直线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握相交线、对顶角、邻补角、垂线、平行线、同位角、内错角、同旁内角的定义。 2.熟记性质：对顶角相等、邻补角互补、垂线段最短、平行公理、平行线的判定与性质。 3.分清平行线判定（角→线）和性质（线→角），不混淆。 1.能在图形中快速识别相交、垂直、平行关系，准确找出三类角。 2.能用规范几何语言进行简单推理，步骤清晰、逻辑严谨。 3.会画垂线、平行线，能用垂线段最短、平行线性质解决简单实际问题 1.基础题：对顶角、邻补角、垂线、平行线判定性质，选择填空不丢分。 2.中档题：角度计算、简单推理、作图题，步骤规范、满分拿下。 3.综合题：能做平行线 + 垂线综合题，会添加辅助线，突破期末难点。 4.避开易错：不混淆判定与性质、不认错三类角、不写错垂线段距离。 题型01.平行公理及推论的应用 题型02.对顶角的定义 题型03.对顶角相等 题型04.同位角.内错角.同旁内角 题型05.生活和图形中的平移现象 题型06.利用平移的性质求解 题型07.利用平移解决实际问题 题型08.平移作图 题型09.两直线平行.同位角相等 题型10.两直线平行.内错角相等 题型11.两直线平行.同旁内角互补 题型12平行线性质探究角的关系. 题型13.平行线性质求角的度数 题型14.平行线性质的应用 题型15.同位角相等.两直线平行 题型16.内错角相等.两直线平行 题型17.同旁内角互补.两直线平行 题型18.由平行线判定与性质求角度 题型19.由平行线判定与性质证明 题型20.垂线的定义理解 题型21.画垂线 题型22.垂线段最短 题型23.点到直线的距离 题型24.求平行线间的距离 题型25.利用平行线间的距离解决问题 知识点01.相交线 1. 对顶角（两直线相交的基本角关系） 定义：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 性质：对顶角相等（期中必考性质） 考法：直接利用性质求角度、判断角的关系 2. 垂线（特殊的相交：夹角为 90°） 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点02：三线八角（必会识图） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 同位角：位置相同，同上同左、同上同右，形状像 “F” 内错角：两线内部，左右错开，形状像 “Z” 同旁内角：两线内部，同侧相邻，形状像 “U” ✅ 关键提醒： 三类角只看位置关系，和角度大小无关；只有两直线平行时，三类角才有固定数量关系。 知识点03:平行线及其判定 1. 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。符号：a∥b⚠️ 前提条件：同一平面内同一平面内两直线位置只有两种：相交、平行 2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 简言之：平行于同一直线，两线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点04:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点06.平移的定义与性质 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。(3)对应点所连线段平行且相等。(4)对应角相等。 知识点07.平移的作图步骤 作图步骤 几何语言 图示 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 题型01.平行公理及推论的应用 1．若a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理正确的是（   ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 2．在同一平面内，已知直线a及直线外一点M，过点M作3条直线，则这3条直线中与a平行的直线最多有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可知：过直线外一点可以画一条已知直线的平行线；据此解答． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点，能作一条直线与已知直线平行， 所以这3条直线中与a平行的直线最多有1条， 故答案为：一． 【点睛】此题考查了平行线的含义和性质，应注意基础知识的识记和理解． 3．下列说法中，正确的是（　　） A．过一点有无数条直线与已知直线平行 B．同位角相等 C．相等的角是对顶角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据平行公理，对顶角的定义以及平行线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； B、正确的说法是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项错误； C、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误； D、根据平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行，故该选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理以及对顶角的定义，正确理解定理是关键． 4．已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平行公理，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，分四种情况“当点P在边上且不与点O重合时；当点P在边上且不与点O重合时；当点P不在边或边上时；当点P与点O重合时”分别讨论可得答案． 【详解】解：当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P在边上且不与点O重合时，过点可以画一条直线与边平行； 当点P不在边或边上时，过点可以画一条直线与边平行，一条直线与边平行，共两条； 当点P与点O重合时，不存在过点P的直线与的边平行； 故选：D． 题型02.对顶角的定义 5．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有_________对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有_________对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有_________对． 【答案】 2 6 【分析】由图1可得，两条直线相交于一点，形成2对对顶角；图2三条直线相交于一点，形成6对对顶角；依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【详解】解：如图1，图中共有对对顶角； 如图2，图中共有对对顶角； 研究图1图2小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，可得： 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：2，6，． 【点睛】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律，解题的关键是掌握，即有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 6．下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：与是对顶角的是． 7．观察图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)两条直线相交于一点，如图①，共有___________对对顶角； (2)三条直线相交于一点，如图②，共有___________对对顶角； (3)四条直线相交于一点，如图③，共有___________对对顶角； (4)根据探究：当n条直线相交于一点时，共有___________对顶角． 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 (4) 【分析】（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【详解】（1）解：对图形进行点标注， 图①中对顶角有与，与，共2对； 故答案为：2；    （2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 故答案为：6； （3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为：12； （4），，， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． 【点睛】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 题型03.对顶角相等 8．小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板绕中心O上下转动．当小强从A运动到的位置时，，则的度数为_________．    【答案】/45度 【分析】根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：由题意可得． 9．如图，直线交于点O，由点O引射线，使，，则是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，对顶角相等，求出再根据对顶角相等解答即可，熟记性质并准确识图求出是解题的关键． 【详解】解：                    故选：． 10．如图，直线与交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系，数量关系，是解题的关键： （1）垂直得到，进而求出的度数，对顶角求出的度数，角平分线，求出的度数即可； （2）根据角的数量关系，平角的定义，求出的度数，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． 平分， ． （2）解：平分， ． ，即， ， ． 题型04.同位角.内错角.同旁内角 11．下列各图中的与，是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同位角位置相同即“同旁和同侧”，进行解答即可． 【详解】解：A．与不是同位角，不符合题意； B．与不是同位角，不符合题意； C．与是同位角，符合题意； D．与不是同位角，不符合题意． 12．如图，直线a，b被直线c所截，则的同位角是______． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线（被截线）的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：的同位角是． 13．下列图形中，与是同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同旁内角的定义去判断 【详解】∵A选项中的两个角，符合同旁内角的定义， ∴选项A正确； ∵B选项中的两个角，不符合同旁内角的定义， ∴选项B错误； ∵C选项中的两个角，不符合同旁内角的定义， ∴选项C错误； ∵D选项中的两个角，不符合同旁内角的定义， ∴选项D错误； 故选A． 【点睛】本题考查了同旁内角的定义，结合图形准确判断是解题的关键． 题型05.生活和图形中的平移现象 14．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． .D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 15．在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 16．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 17．下面生活中的现象可以看成平移的是（    ） ①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平移的定义，平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，逐项进行判断即可． 【详解】解：平移是指将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，生活中也很多物体存在平移现象， ②水平传输带上物品的运动，③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）是平移， ①转动的指针，④随风摆动的旗帜都改变了方向，不是平移， 故选：． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解答本题的关键． 题型06.利用平移的性质求解 18．如图，三角形沿着由点到点的方向，平移得到三角形，已知，，那么的长为__________． 【答案】2 【分析】根据平移的性质计算即可． 【详解】解：由平移得， ∴． 19．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平移的性质确定空白长方形的长和宽，再分别计算原长方形与空白部分的面积，最后通过面积差求出阴影部分的面积． 【详解】解：长方形的长为，宽为， ． 平移后空白长方形的长为， ∵平移后空白长方形的宽为， ． ． 20．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是___________平方米． 【答案】1344 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 可得种花部分为长米，宽米的长方形， 所以种花的面积是平方米． 21．某社区打算改造一块长为、宽为的长方形闲置空地，现提出两种设计方案： (1)方案一：修建生态草坪区 如图，在空地种植草坪，中央修建一条曲折的景观步道，步道的左侧边线向右平移米（）即为右侧边线． 问：草坪的实际种植面积为 （用含的式子表示）． (2)方案二：建一个多功能篮球场 计划修建一个面积为的篮球场，要求篮球场的长是宽的倍． 问：方案二是否可行？说明理由． 【答案】(1) (2)方案二可行，见解析 【分析】本题考查了图形的平移，算术平方根的应用，无理数的估算等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （）设篮球场的宽是，长是，根据面积公式即可得关于的方程，由平方根的定义即可求得，再对的值进行估算，若满足题意即可． 【详解】（1）解：草坪的实际种植面积为， 故答案为：； （2）解：方案二可行，理由如下： 设篮球场的宽是，长是，根据篮球场的面积为，得 ， 由长与宽的实际意义得， 因此，篮球场的宽是，长是， ∵， ∴，， ∵闲置空地长为、宽为， ∴方案二可行． 题型07.利用平移解决实际问题 22．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（从→→→），升旗台的台阶和地毯的宽都为米，台阶侧面如图所示． (1)至少需要多少米的地毯？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米元，则买地毯至少需要多少元？ 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题考查了平移的性质以及有理数的四则运算的实际应用： （1）利用平移构成一个矩形即可求解； （2）先计算地毯面积，再算价格即可． 【详解】（1）解：如图，通过平移线段，把楼梯的横竖 向上、向左平移，构成一个长、宽分别为的长方形， 地毯至少需要 （2）地毯的面积为， 购买地毯至少需要花费（元） 23．劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 【答案】(1) (2)故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地 【分析】（1）通过平移拼接，将含小路的草坪转化为边长的正方形，计算面积即可； （2）按长宽比设未知数，求出所需白菜地的实际长，与空地边长比较判断是否可行． 【详解】（1）解：根据题意可知，草坪种植的面积为． （2）解：设白菜地的长为，则宽为， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则白菜地的长为，宽为， ，， ，则， 故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地． 24．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)这个道路宽设计不达到要求 【分析】（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依照例题画出图形即可； （3）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （4）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积即可判断． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图： ； （3）解：由题意：长方形的长为，宽为，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米， 故答案为：； （4）解：由题意，长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． ， ∴这个道路宽设计不达到要求． 题型08.平移作图 25．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A． 有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 【答案】B 【分析】根据两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形可得出答案． 【详解】解：（1）当两斜边重合时可组成一个长方形，此时，，； .   （2）当两直角边重合时有两种情况： ①短边重合，此时，，； ②长边重合，此时，，．    综上可得或8． 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的知识，有一定难度，关键是利用两个全等的直角三角形可以组成一个长方形或一个平行四边形进行解答． 27．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． (1)请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； (2)图中能使的格点P的个数是 ．(点P异于点A)． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，依次连接即可； （2）利用等高模型作出点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P异于点A，则满足条件的点的个数为， 故答案为：． 题型09.两直线平行.同位角相等 28．如图，直线被直线c所截，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：， ， ， 29．三角板是我们常用的作图工具，我们知道其中一个三角板的度数分别是、、，另一个三角板三个角的度数分别是、、，将一副三角板按如图所示摆放，点B在上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，由平行线的性质可得，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴． 30．如图，射线，分别与直线交于点，．现将射线沿直线向右平移过点，若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平移的性质得，然后利用平行线的性质求出，再根据平角的定义求出即可． 【详解】解：如图， ∵将射线沿直线向右平移过点，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 31．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，；，；， 【分析】（1）先求出，再利用两直线平行同旁内角互补求出的度数，根据即可得出结果； （2）利用平行线性质得到，，，平分，平分，得到，根据，即可得到最后结果； （3）根据四边形的内角和及平行线的性质得出关于和的关系式，根据题意得出的范围，在范围内找到和都是正整数的所有可能的情况． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）如图，过点作，   ， ， ，，， 平分，平分， ，， ，， ； （3），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，是正整数， 存在符合要求的正整数和，分别为： 当时，，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意； 当时，，不是整数不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键． 题型10.两直线平行.内错角相等 32．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水中时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，，，则的度数为______． . 【答案】/18度 【分析】利用平行线的性质与对顶角相等可得，，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 33．如图，已知，且，则________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 34．如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（　 　）      A．109° B．110° C． D． 【答案】A 【分析】先添加辅助线，再根据平行线的性质和三角形外角性质，求出与的关系式，最后由，即可求出范围，得出答案． 【详解】如图，延长，分别交和于点，，      ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， 解得：， ∴的最大整数值是． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及等角度的转换． 35．已知：，，四点在同一直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，猜想，，这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，Q是下方一点，连接，且，，若，直接写出的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等、同旁内角互补等）以及角度的等量代换与计算，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，或利用平行线的传递性找到角之间的关系，进而推导角度关系． （1）延长 交于G；由得， 得；等量代换得； （2）作（即）；由得，得；结合角和差得； （3）由得；据角的比例关系得，即； 由得；对比得． 【详解】（1）解：延长相交于点G． ， ， ； （2）解：作，与相交于点P，则， ， ， ， 即； （3）解：∵，则， ∵，则， ∴， 即①， 由得，， 即，其中， ∴②， 对照①与②可知，， 即． 题型11.两直线平行.同旁内角互补 36．如图，平行线被直线所截，，则___________°，___________° 【答案】 130 50 【分析】先根据对顶角相等得到，再根据两直线平行同旁内角互补可得，即可求解． 【详解】解：由对顶角相等可得，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：130，50 37．如图，一束光线先后经平面镜，反射后，按原来的方向返回（即），根据光的反射可知，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平角的定义求出，再由平行线的性质可得，最后再由平角的定义计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 38．老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 (1)完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 (2)根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 (3)综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)相等或互补 【分析】（1）根据平行线的性质进行证明即可； （2）根据图形以及平行线的性质进行证明即可； （3）由（1）（2）的结论可得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：结合（1）（2），可知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 题型12平行线性质探究角的关系. 39．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（直角顶点在纸条一边上），则下列结论一定正确的是________（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】①②③ 【详解】解：①根据两直线平行，同位角相等，可得，故①正确； ②根据两直线平行，同旁内角互补，可得，故②正确； ③由三角板的顶角是直角，则，故③正确； ④不一定能成立，故④不正确 40．如图，，F为上一点，，且平分．过点F作于点M．且，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，角的和差关系逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵，且平分， ∴，， ∵于点M，， ∴， ∴，故④正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 无法确定的度数，故无法确定平分以及； 综上，正确的个数有2个. 41．已知直线，在三角形纸板中，，． (1)将三角板按图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则　　，　　； (2)将三角板EFG按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求α、β之间的数量关系； (3)在图2中，若，，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒．当三角形的两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)，55 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、，，即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，，， ∴； 故答案为：；55． （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 42．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 题型13.平行线性质求角的度数 43．如图，，，平分． (1)求的度数； (2)过点作交于点，在图中作出，并求出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，进而求出，再根据平分，得到，即可解答； （2）根据平行线的作法作出，由（1）知，利用，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 平分， ， ； （2）解：如图所示，即为所求， 由（1）知， ， ． 44．如图所示，完成下列推理过程：已知：平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（________） ∴（_______） 又∵平分（___________） ∴（_________） 又∵（______________） ∴（____________）． _______ 【答案】已知；角平分线的定义；已知；角平分线的定义；已知；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质补全证明过程即可． 【详解】证明：∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） 又∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） 又∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴ 45．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，， 由平行线的性质可得， （2）由平行线的性质可得，由折叠可知：，，进而由求解， （3）过点作，可得，，进而可得． 【详解】（1）解：①由折叠可得：，， ∵， ∴， ②∵， ∴，由折叠可知：， ∴ ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：， ， 由（1）得， ∴， （3）过点作， ∴，， ∴． 题型14.平行线性质的应用 46．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平行线的性质得，根据“对顶角相等”得，再由可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 47．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 48．如图1，某段道路，两旁安装了两个探照灯M和N．灯M光束从开始旋转至便立即回转，灯N光束从开始旋转至便立即回转．灯M转动的速度是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为t秒． (1)如图2，灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动． ①直接写出灯M光束和灯N光束，灯　　先回转；(填M或N) ②在灯M光束回转之前，当两灯的光束平行时，求t的值； (2)如图3，两灯同时转动，且均不回转．连接，且，若两灯光束交于点E，在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？并说明理由． 【答案】(1)①N；②当t的值为60或140时，两灯的光束互相平行 (2)不变，．理由见解析 【分析】（1）①分别计算M、N回转时间，然后比较即可；②根据M、N均未回转即和N回转后即两种情况，进行求解即可； （2）由，可得，则，由，得，求得，则，进而可得． 【详解】（1）①解：光束M回转时间为（秒）； 光束N回转时间（秒）； ∵， ∴光束N先回转， 故答案为：N； ②解：当时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； 当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，当t的值为60或140时，两灯的光束互相平行； （2）解：不变，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 题型15.同位角相等.两直线平行 49．我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定条件，写出角的数量关系即可． 【详解】解：由，可得， 由，可得， 由，可得． 50．如图，下列能判定的条件有多少（    ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行线的判定条件逐个判断即可． 【详解】解：如图：①是内错角，则，不能判定； ②是内错角，能判定； ③是内错角，能判定； ④是同位角，则，不能判定； ⑤是同旁内角，能判定． 综上，能判定的有②③⑤，共3个． 51．将一副三角板按如图所示的方式放置，，．给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有___________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据三角板的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，进行解答即可． 【详解】解：由题可知，，，，， ，， ，故①正确； ，，，，， ， ，， ，与不平行，故②正确，③错误； ， ， ， ，故④正确； 综上，正确的有：①②④． 52．如图，直线分别交直线，于点G，H，且．点M，N，P，Q分别在射线上，连接并延长交于点K． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如备用图，在（2）的条件下，连接，过点K作交于点S，交于点T，若，，，求的度数．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）作，利用平行线的性质结合对顶角相等即可求解； （3）作，，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：作，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型16.内错角相等.两直线平行 53．如图，下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. ，不能判定两直线平行，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵， ∴，故该选项正确，符合题意；     C. ∵， ∴，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；     D. 由，不能判定两直线平行，故该选项不正确，不符合题意； 54．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有_______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：①∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故①不符合题意； ②∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故②不符合题意； ③∵，，， ∴， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：③④⑤． 55．以下四种沿折叠的方法中，若，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，折叠的性质，熟练掌握平行线的判定定理，是解题的关键．根据平行线的判定定理和折叠的性质，进行分析，即可解答． 【详解】解：A．根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， ∴无法判断a，b互相平行，故A不符合题意； B．根据折叠可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行，故B符合题意； C．延长， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴不能判定纸带两条边线a，b互相平行，故C不符合题意； D．延长，如图所示： 根据折叠可知：， ， ∴， ∴，故D符合题意； 故选：D． 56．如图，，平分，平分．求证：． 证明：，（已知） ，（邻补角互补） _________（_________）． 平分，平分， ，_________（_________） （_________）． （_________）． 【答案】见详解 【分析】观察证明部分可知，本题的证明思路为通过先证明，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可． 【详解】证明：（已知）， （邻补角互补）， （同角的补角相等）． 平分平分， ，（角平分线的定义）． （等式的基本性质）． （内错角相等，两直线平行）． 题型17.同旁内角互补.两直线平行 57．如图，能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“同旁内角互补，两直线平行”即可判断． 【详解】解：能判定的条件只能是． 58．如图，平分，平分，要使，则和应满足的条件是____． 【答案】 【分析】根据平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线平行”，可知要使，需满足，再结合角平分线的定义将和分别用和表示，即可得出和应满足的关系． 【详解】解：平分，平分， ，． 要使， 根据“同旁内角互补，两直线平行”，需满足， ， ． 59．如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处．折痕为，再将和分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点N处．下面结论：①M是的中点；②；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的判定，平角的定义，熟知折叠的性质是解题的关键． 由折叠的性质可知，，，，，，结合平角的定义、平行线的判定，逐项判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，，， M是的中点，故①正确； ， ，即， ，故②正确； ， ， ，故④正确． 根据现有条件无法证明，故③错误； 综上可知，其中正确的个数为3个， 故选C． 60．如图，点O在直线上，，与互余． (1)直线与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)过点D画直线，使交于点N（点M，N在点D的两侧）．若，请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，余角等知识点，能熟练地运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，再根据平行线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质求出，求出，再根据与互余求出即可． 【详解】（1）证明：∵，与互余， ∴ ， ， ∴， 即， ∴； （2）解：如图，补图如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型18.由平行线判定与性质求角度 61．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先说明，再得出的度数，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：∵， ∴． ， ， ． ， ， ． 62．如图，与相交于点O，于点O，且，，求的度数． 【答案】 【分析】先证明，运用两直线平行，内错角相等得，结合，则，根据，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 63．如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． (1)求证：； (2)写出之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意得到，得出，即可得到结论； （2）过点作，得到，根据平行线的性质即可得到结论； （3）先求出，过点作，得到，，进而求出，再根据平分，得到，再求出，根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，过点作， ∴， ∴，， ∴，即； （3）解：∵，， ∴， 如图，过点作， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型19.由平行线判定与性质证明 64．已知：如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】等量代换得到，推出，得到，等量代换得到，推出，即可得到． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 65．如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合对顶角，得到，证得结论； （2）根据题意，得到，得到，从而得到结果． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 66．在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)如图2，点是直线上的两点，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)，理由见详解 【分析】（1）过点作，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）设，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型20.垂线的定义理解 67．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则____． 【答案】 【分析】由对顶角相等可得，由垂线的定义可得，作差即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 68．如图，，点C在上方，连接，，与互相垂直，垂足为点F，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， 69．如图，直线相交于点平分平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义，角的和差关系求出，即可得证； （2）根据角平分线的定义，求出 ，进而求出，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）证明：平分平分， ， ， ， ； （2）解：平分 ， ， ， 平分， ． 题型21.画垂线 70．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B ． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线的方法，掌握三角尺的正确摆放位置是解题的关键．根据垂线的定义及画法，需保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 操作步骤如下： 将三角尺的一条直角边与直线重合； 沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过点； 沿经过点的直角边画直线． 观察各选项： A选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； B选项，三角尺的直角边未与直线重合，故错误； C选项，三角尺的一条直角边与直线重合，但另一条直角边未经过点，故错误； D选项，三角尺的一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点，符合操作规范，故正确． 71．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 72．如图，已知点P是直线外一点，读下列语句，并作出图形： (1)直线经过点P，且与直线平行； (2)直线经过点P，且与直线垂直． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题干要求直接画图即可； （2）根据题干要求直接画图即可． 弄清所作图形的要求，以及熟练掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】（1）解：所作直线如图所示： （2）解：所作直线如图所示： 题型22.垂线段最短 73．如图，点A，B，C，D在直线l上，点P在直线l外，于点，在线段，，，中，最短的一条线段是______，理由是_____． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查的是垂线段最短，根据从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短求解即可． 【详解】点，，，在直线上，点在直线外，于点， 在线段，，，中，最短的一条线段是． 故答案为：，垂线段最短． 74．体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是（　　） A．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，垂线段最短指的是从直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解∶体育课上测量的跳远成绩是∶落地时脚跟所在点到起跳线的距离， 这是因为∶垂线段最短． 故选∶C． 75．如图1，，点P为边上一动点，连接． (1)求证：； (2)当平分，平分时，求证： (3)在点P移动的过程中，当的长最小时，此时点P恰好也在的平分线上，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据“两直线平行，同旁内角互补”，求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解； （3）由题意可得，当时，线段最小，此时平分，得到，再利用平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据垂线段最短的性质可得，当时，线段最小，此时， 由（1）可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ∴． 题型23.点到直线的距离 76．如图，点B在点A北偏东40°方向，，点C在点B北偏西50°方向，，则点C到直线AB的距离为______m． . 【答案】10 【分析】由两角互余，两直线平行内错角相等可求得的角度，进而求得答案． 【详解】如图，正西方向为BM，正东方向为AN 则 ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴点C到AB的距离为BC长，10m 故答案为：10． 【点睛】本题考查余角、两直线平行内错角相等、点到直线的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 77．如图，在三角形中，是高，是的中点，连接，则点到边的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据点到边的距离为点到直线的垂线段的长度，即可解答． 【详解】解：， 点到边的距离是线段的长， 故选：A． 78．如图，中，，，，点是线段上一点，按要求完成问题． (1)过点作垂线，垂足为；过点作交于点，连接； (2)点到的距离为线段___________的长度，点到的距离为线段____________的长度； (3)____________，如果设，那么_____________．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)60； 【分析】（1）根据垂线和平行线的画法作图即可； （2）点到直线的距离为该点到该直线的垂线段的长度，据此可得第一空的答案，根据平行线的性质可得，即，据此可得第二空的答案； （3）根据平行线的性质可得的度数，再由平行线的性质和角的和差关系求出的度数即可得到第二空的答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴点到的距离为线段的长度； ∵，， ∴，即， ∴点到的距离为线段的长度； （3）解：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型24.求平行线间的距离 79．在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 【答案】2或10 【分析】分类讨论：当直线在之间或直线不在之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解． 【详解】解：当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 综上所述，与的距离为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离．解决问题的关键是熟练掌握概念并注意分类讨论． 80．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 81．如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离： （1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 题型25.利用平行线间的距离解决问题 82．将一张长方形纸片按照如图所示的方式进行折叠，若长方形的宽为2，那么该长方形的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质可得， ，则可证明，则可以看做是以的长为边长的正方形的面积的四分之一，据此可得，代入数值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由折叠的性质可得， ， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴可以看做是以的长为边长的正方形的面积的四分之一， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴长方形的长为， 故答案为：． 83．如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【分析】该题主要考查了图形的面积计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线之间距离相等解答． 作，连接，算出，即可求解； 【详解】解：如图，作，连接，则， 可知， 因此有：， 而； 因此，． 故选：B． 84．如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． （1）连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到； （2）同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （3）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴； （2）解：同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平面内的两条直线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握相交线、对顶角、邻补角、垂线、平行线、同位角、内错角、同旁内角的定义。 2.熟记性质：对顶角相等、邻补角互补、垂线段最短、平行公理、平行线的判定与性质。 3.分清平行线判定（角→线）和性质（线→角），不混淆。 1.能在图形中快速识别相交、垂直、平行关系，准确找出三类角。 2.能用规范几何语言进行简单推理，步骤清晰、逻辑严谨。 3.会画垂线、平行线，能用垂线段最短、平行线性质解决简单实际问题 1.基础题：对顶角、邻补角、垂线、平行线判定性质，选择填空不丢分。 2.中档题：角度计算、简单推理、作图题，步骤规范、满分拿下。 3.综合题：能做平行线 + 垂线综合题，会添加辅助线，突破期末难点。 4.避开易错：不混淆判定与性质、不认错三类角、不写错垂线段距离。 题型01.平行公理及推论的应用 题型02.对顶角的定义 题型03.对顶角相等 题型04.同位角.内错角.同旁内角 题型05.生活和图形中的平移现象 题型06.利用平移的性质求解 题型07.利用平移解决实际问题 题型08.平移作图 题型09.两直线平行.同位角相等 题型10.两直线平行.内错角相等 题型11.两直线平行.同旁内角互补 题型12平行线性质探究角的关系. 题型13.平行线性质求角的度数 题型14.平行线性质的应用 题型15.同位角相等.两直线平行 题型16.内错角相等.两直线平行 题型17.同旁内角互补.两直线平行 题型18.由平行线判定与性质求角度 题型19.由平行线判定与性质证明 题型20.垂线的定义理解 题型21.画垂线 题型22.垂线段最短 题型23.点到直线的距离 题型24.求平行线间的距离 题型25.利用平行线间的距离解决问题 知识点01.相交线 1. 对顶角（两直线相交的基本角关系） 定义：有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角 性质：对顶角相等（期中必考性质） 考法：直接利用性质求角度、判断角的关系 2. 垂线（特殊的相交：夹角为 90°） 定义：两条直线相交成 90∘，则互相垂直，其中一条是另一条的垂线 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段与距离 核心性质：垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段） 考法：利用垂线段最短解决最短路径问题、辨析点到直线的距离概念 知识点02：三线八角（必会识图） 两条直线被第三条直线所截，形成 8 个角，三类关键角： 同位角：位置相同，同上同左、同上同右，形状像 “F” 内错角：两线内部，左右错开，形状像 “Z” 同旁内角：两线内部，同侧相邻，形状像 “U” ✅ 关键提醒： 三类角只看位置关系，和角度大小无关；只有两直线平行时，三类角才有固定数量关系。 知识点03:平行线及其判定 1. 平行线定义 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。符号：a∥b⚠️ 前提条件：同一平面内同一平面内两直线位置只有两种：相交、平行 2. 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 平行公理推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 简言之：平行于同一直线，两线互相平行 平行 平行公理 同一平面内不相交的两直线 知识点04:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点06.平移的定义与性质 1.平移定义 把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移。 2. 平移的性质（必背） (1)平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置。 (2)对应线段平行且相等。(3)对应点所连线段平行且相等。(4)对应角相等。 知识点07.平移的作图步骤 作图步骤 几何语言 图示 (1)找关键点 (2)按方向和距离平移点 (3)顺次连接对应点 (4)写出结论 1.取 △ABC 的顶点 A,B,C 为关键点； 2.分别将 A,B,C 沿指定方向平移相同距离，得到对应点 A′,B′,C′； 3.顺次连接 A′B′,B′C′,C′A′； 4.结论：△A′B′C′ 就是 △ABC 平移后得到的图形。 题型01.平行公理及推论的应用 1．若a，b，c，d为互不重合的四条直线，则下列推理正确的是（   ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 2．在同一平面内，已知直线a及直线外一点M，过点M作3条直线，则这3条直线中与a平行的直线最多有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3．下列说法中，正确的是（　　） A．过一点有无数条直线与已知直线平行 B．同位角相等 C．相等的角是对顶角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 4．已知是平面内任意一点，过点画一条直线与的边平行，则这样的直线（   ） A．有一条 B．有两条 C．不存在 D．以上情况都有可能 题型02.对顶角的定义 5．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有_________对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有_________对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有_________对． 6．下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 7．观察图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)两条直线相交于一点，如图①，共有___________对对顶角； (2)三条直线相交于一点，如图②，共有___________对对顶角； (3)四条直线相交于一点，如图③，共有___________对对顶角； (4)根据探究：当n条直线相交于一点时，共有___________对顶角． 题型03.对顶角相等 8．小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板绕中心O上下转动．当小强从A运动到的位置时，，则的度数为_________．    9．如图，直线交于点O，由点O引射线，使，，则是（　　） A． B． C． D． 10．如图，直线与交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型04.同位角.内错角.同旁内角 11．下列各图中的与，是同位角的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，直线a，b被直线c所截，则的同位角是______． 13．下列图形中，与是同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 题型05.生活和图形中的平移现象 14．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． .D． 15．在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    16．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 17．下面生活中的现象可以看成平移的是（    ） ①转动的指针②水平传输带上物品的运动③从楼顶自由下落的铁球（球不旋转）④随风摆动的旗帜 A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 题型06.利用平移的性质求解 18．如图，三角形沿着由点到点的方向，平移得到三角形，已知，，那么的长为__________． 19．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 20．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是___________平方米． 21．某社区打算改造一块长为、宽为的长方形闲置空地，现提出两种设计方案： (1)方案一：修建生态草坪区 如图，在空地种植草坪，中央修建一条曲折的景观步道，步道的左侧边线向右平移米（）即为右侧边线． 问：草坪的实际种植面积为 （用含的式子表示）． (2)方案二：建一个多功能篮球场 计划修建一个面积为的篮球场，要求篮球场的长是宽的倍． 问：方案二是否可行？说明理由． 题型07.利用平移解决实际问题 22．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（从→→→），升旗台的台阶和地毯的宽都为米，台阶侧面如图所示． (1)至少需要多少米的地毯？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米元，则买地毯至少需要多少元？ 23．劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 24．综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 题型08.平移作图 25．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    26．如图，在正方形网格中有两个三角形，把其中一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼成一个四边形，那么（    ）    A． 有一个确定的值 B．有两个不同的值 C．有三个不同的值 D．有无数个不同的值 27．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． (1)请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； (2)图中能使的格点P的个数是 ．(点P异于点A)． 题型09.两直线平行.同位角相等 28．如图，直线被直线c所截，若，，则_________． 29．三角板是我们常用的作图工具，我们知道其中一个三角板的度数分别是、、，另一个三角板三个角的度数分别是、、，将一副三角板按如图所示摆放，点B在上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．如图，射线，分别与直线交于点，．现将射线沿直线向右平移过点，若，，则的度数为______． 31．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 题型10.两直线平行.内错角相等 32．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水中时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，，，则的度数为______． . 33．如图，已知，且，则________． 34．如图，直线，． 其中，，则的最大整数值是（　 　）      A．109° B．110° C． D． 35．已知：，，四点在同一直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，猜想，，这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，Q是下方一点，连接，且，，若，直接写出的度数． 题型11.两直线平行.同旁内角互补 36．如图，平行线被直线所截，，则___________°，___________° 37．如图，一束光线先后经平面镜，反射后，按原来的方向返回（即），根据光的反射可知，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 38．老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 (1)完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 (2)根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 (3)综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________． 题型12平行线性质探究角的关系. 39．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（直角顶点在纸条一边上），则下列结论一定正确的是________（填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 40．如图，，F为上一点，，且平分．过点F作于点M．且，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．已知直线，在三角形纸板中，，． (1)将三角板按图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则　　，　　； (2)将三角板EFG按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求α、β之间的数量关系； (3)在图2中，若，，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒．当三角形的两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 42．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 题型13.平行线性质求角的度数 43．如图，，，平分． (1)求的度数； (2)过点作交于点，在图中作出，并求出的度数． 44．如图所示，完成下列推理过程：已知：平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（________） ∴（_______） 又∵平分（___________） ∴（_________） 又∵（______________） ∴（____________）． _______ 45．已知长方形纸带，，，，点，分别在边，上，． (1)如图1，将纸带先沿直线折叠后，点，分别落在，的位置： ①则的度数为_______（用含的代数式表示）；的度数为_______（用含的代数式表示）． ②试说明． (2)如图2，在（1）的基础上将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，求的度数． (3)如图3，在（2）的基础上连接，若，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 题型14.平行线性质的应用 46．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 47．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    48．如图1，某段道路，两旁安装了两个探照灯M和N．灯M光束从开始旋转至便立即回转，灯N光束从开始旋转至便立即回转．灯M转动的速度是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为t秒． (1)如图2，灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动． ①直接写出灯M光束和灯N光束，灯　　先回转；(填M或N) ②在灯M光束回转之前，当两灯的光束平行时，求t的值； (2)如图3，两灯同时转动，且均不回转．连接，且，若两灯光束交于点E，在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？并说明理由． 题型15.同位角相等.两直线平行 49．我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：______． 50．如图，下列能判定的条件有多少（    ）个 ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 51．将一副三角板按如图所示的方式放置，，．给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有___________．（填序号） 52．如图，直线分别交直线，于点G，H，且．点M，N，P，Q分别在射线上，连接并延长交于点K． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如备用图，在（2）的条件下，连接，过点K作交于点S，交于点T，若，，，求的度数．（用含，的代数式表示） 题型16.内错角相等.两直线平行 53．如图，下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 54．将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有_______．（填序号） 55．以下四种沿折叠的方法中，若，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（   ） A． B． C． D． 56．如图，，平分，平分．求证：． 证明：，（已知） ，（邻补角互补） _________（_________）． 平分，平分， ，_________（_________） （_________）． （_________）． 题型17.同旁内角互补.两直线平行 57．如图，能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 58．如图，平分，平分，要使，则和应满足的条件是____． 59．如图，将四边形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点M处．折痕为，再将和分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点N处．下面结论：①M是的中点；②；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 60．如图，点O在直线上，，与互余． (1)直线与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)过点D画直线，使交于点N（点M，N在点D的两侧）．若，请补全图形，并求的度数． 题型18.由平行线判定与性质求角度 61．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 62．如图，与相交于点O，于点O，且，，求的度数． 63．如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． (1)求证：； (2)写出之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 题型19.由平行线判定与性质证明 64．已知：如图，，，求证：． 65．如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 66．在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动． 如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接． (1)若，，求的度数； (2)如图2，点是直线上的两点，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由． 题型20.垂线的定义理解 67．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则____． 68．如图，，点C在上方，连接，，与互相垂直，垂足为点F，则的度数为（   ） A． B． C． D． 69．如图，直线相交于点平分平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型21.画垂线 70．下列各图中，过直线外的点画的垂线，三角尺操作正确的是（   ） A． B ． C． D． 71．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 72．如图，已知点P是直线外一点，读下列语句，并作出图形： (1)直线经过点P，且与直线平行； (2)直线经过点P，且与直线垂直． 题型22.垂线段最短 73．如图，点A，B，C，D在直线l上，点P在直线l外，于点，在线段，，，中，最短的一条线段是______，理由是_____． 74．体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是（　　） A．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 75．如图1，，点P为边上一动点，连接． (1)求证：； (2)当平分，平分时，求证： (3)在点P移动的过程中，当的长最小时，此时点P恰好也在的平分线上，，求的度数． 题型23.点到直线的距离 76．如图，点B在点A北偏东40°方向，，点C在点B北偏西50°方向，，则点C到直线AB的距离为______m． . 77．如图，在三角形中，是高，是的中点，连接，则点到边的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 78．如图，中，，，，点是线段上一点，按要求完成问题． (1)过点作垂线，垂足为；过点作交于点，连接； (2)点到的距离为线段___________的长度，点到的距离为线段____________的长度； (3)____________，如果设，那么_____________．（用含的代数式表示） 题型24.求平行线间的距离 79．在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 80．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 81．如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 题型25.利用平行线间的距离解决问题 82．将一张长方形纸片按照如图所示的方式进行折叠，若长方形的宽为2，那么该长方形的长为________． 83．如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 84．如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $