专题03一元一次不等式（组）期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题03一元一次不等式（组）期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解不等式、一元一次不等式（组）、解与解集的概念。 2.牢记不等式基本性质,重点掌握乘除负数时不等号变向规则 3.掌握一元一次不等式.不等式组的解法，会用数轴表示解集。 4.掌握不等式组解集规律，能求解整数解等特殊解。 5.读懂实际问题中的不等关系，了解应用题解题思路。 1.规范运算步骤，提升不等式求解的准确率。 2.运用数形结合思想，借助数轴分析解集。 3.准确提炼不等关系，建立不等式模型解决实际问题。 4.能分析含参数、方案选择等综合题型。 1.基础题：概念判断、常规计算、数轴表示做到零失误。 2.中档题：熟练解不等式组、求特殊解，规范书写步骤。 3.拔高题：攻克应用题、含参数题型，掌握解题技巧。 4.规避易错点：牢记变号规则、区分数轴端点、结合实际取舍答案，减少失分。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04.不等式的解集 题型05.求一元一次不等式的解集 题型06.数轴上表示不等式的解集 题型07.求一元一次不等式的整数解 题型08.求一元一次不等式解的最值 题型09.列一元一次不等式 题型10.一元一次不等式解决实际问题 题型11.一元一次不等式解决几何问题 题型12.一元一次不等式组的定义 题型13.求不等式组的解集 题型14.求不等式组的整数解 题型15.由不等式组的解集求参数 题型16.由不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.解|x|a型的不等式 题型19.列一元一次不等式组 题型20.不等式组的经济问题 题型21.不等式组的方案选择问题 题型22.不等式组行程与分配问题 知识点01:不等式的概念（一眼分清等式 vs 不等式） 不等式：用 ＞、＜、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子。 关键词：不相等、超过、不足、至少、至多、不低于、不超过。 知识点02:不等式的解与解集（极易混！必背） 不等式的解：能让不等式成立的一个具体数值（单个值）。 不等式的解集：所有解的全体（一个范围）。 解不等式：求解集的过程。 一句话区分：解是点，解集是线 / 区间。 知识点03:不等式的三大基本性质（重中之重！考试必坑） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 知识点04:解集的数轴表示（数形结合必考） 空心圈 ○：不含这个点（对应 ＞、＜） 实心点 ●：包含这个点（对应 ≥、≤） 知识点05:一元一次不等式的定义（3 个条件缺一不可） 同时满足：只含一个未知数 未知数的次数是1 两边都是整式 一般形式：ax+b>0（或＜、≥、≤），且 a0。 知识点06:四种解集规律（设a < b）. 结合数轴与口诀总结如下: 知识点07:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 知识点08:全章高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确做法 不等式性质误用 两边除以负数，不等号不变向 先判断系数正负，负数必须变号 去分母失误 漏乘不含分母的常数项 每一项都同乘最小公倍数 .数轴表示错误 虚实圆点混用、画线方向颠倒 不含等号用空心圆，含等号用实心圆；大于向右，小于向左 移项出错 移项不变号 跨过不等号的项，一律变号 不等式组解集 找错公共部分 借助数轴直观判断，牢记四句口诀 实际应用题 忽略未知数为正整数等限制 解完后结合生活实际取值、取舍 特殊解漏解 / 多解 整数解筛选不全 先划定范围，再依次列举 题型01.不等式的定义 1．用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为___________． 【答案】 【详解】解：用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】不等式定义为：用不等号连接表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式定义逐一判断式子，统计个数即可得到结果． 【详解】解： ①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③，用等号连接，是等式，不是不等式； ④，是代数式，无不等号连接，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ∴不等式共有3个． 3．李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可． 【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意； B. 是等式，故此选项符合题意； C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意； D.是不等式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 题型02.不等式的性质 4．若，，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：，， 5．若n为整数，且满足，则n的值为________． 【答案】 0 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方比较确定的取值范围，再推导得到的取值范围，结合为整数即可求出的值. 【详解】解：，， . 不等式两边同时乘正数，根据不等式的性质，不等号方向不变，得 ， 不等式两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，得 ， 即 . 为整数，且满足， . 6．已知，下列不等式成立的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式性质逐一判断每个不等式是否成立，统计成立的个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，，，故①正确，②错误； ∴，，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①④，共2个． 7．仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 题型03.一元一次不等式的定义 8．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 9．当_________时，不等式是一元一次不等式． 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0，列出关系式求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：． 10．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的不等式叫做一元一次不等式. 【详解】、是一元一次不等式； 、不含未知数，不符合定义； 、含有两个未知数，不符合定义； 、未知数的次数是，不符合定义， 故选：A. 【点睛】此题考查一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的不等式叫做一元一次不等式. 题型04.不等式的解集 11．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式的解的定义，推出的取值范围，在取值范围内写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解，将代入不等式，得，即， ∴符合条件的值可以是． 12．对于不等式，下列说法不正确的是（   ） A．是它的解 B．是它的解 C．是它的解集 D．是它的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、不等式的解与解集的概念，熟练掌握一元一次不等式的求解步骤以及准确区分解与解集的定义是解题的关键． 先求解不等式的解集，再逐一验证各选项的正误，找出不正确的说法． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 对于A选项，∵，∴是它的解，A说法正确． 对于B选项，∵，∴是它的解，B说法正确． 对于C选项，不等式的解集是，并非，C说法不正确． 对于D选项，是它的解集，D说法正确． 故选：C． 13．是下列不等式的一个解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接解不等式，然后确定符合题意的答案即可． 【详解】解：A．，则，故此选项符合题意； B．，则，故此选项不合题意； C．，则，故此选项不合题意； D．，则，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，正确求得各不等式的解集是解题关键． 14．在下列各数中：，，0，，2，4． (1)x取哪些数能使不等式成立？ (2)满足的数有什么特点？ 【答案】(1)，，0，能使不等式成立 (2)满足的数的特点是比2小 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式解的特点，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）解不等式求得其解集后进行判断即可； （2）根据其解集即可求得答案． 【详解】（1）解：， 则， 那么，，0，能使不等式成立； （2）解：满足的数的特点是比2小． 题型05.求一元一次不等式的解集 15．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 16．解不等式时，下列去分母正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 去分母，得. 17．下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数多个 D．不等式的负整数解是有限的 【答案】B 【分析】正确解出不等式的解集，就可以进行判断． 【详解】解：A、不等式两边同时除以，得，故选项不符合题意； B、不等式的解集为，因此不是不等式的一个解，故选项符合题意； C、不等式的整数解有无数多个正确，故选项不符合题意； D、不等式的负整数解有，，，，，，，，，共9个，故选项不符合题意． 18．解不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再按照解一元一次不等式的基本步骤计算即可； （2）先去分母，再去括号，最后按照解一元一次不等式的基本步骤计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 题型06.数轴上表示不等式的解集 19．某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 根据数轴表示的不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示， 该不等式组的解集为， 故答案为： 20．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 21．定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 22．解不等式，并将不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，画数轴见解析 【分析】一元一次不等式解法步骤求解，再由数轴表示不等式解集的画法作图即可． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 将不等式的解集在数轴上表示如下： 题型07.求一元一次不等式的整数解 23．不等式的最小整数解是______． 【答案】3 【分析】先根据一元一次不等式的解法求解不等式，再从不等式的解集中找出最小的整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因此不等式的最小整数解为． 24．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意，列出不等式，然后求出不等式的负整数解求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴不等式的负整数解是， 负整数解的和为 故答案为：． 25．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 26．按要求解题： (1)计算：． (2)求下列各式中的值： ①；②． (3)求不等式的非负整数解． 【答案】(1) (2)①；② (3)非负整数解为0，1，2，3，4 【分析】（1）先计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值，再加减即可； （2）①利用平方根解方程的步骤，逐步计算求解即可； ②利用立方根解方程的步骤，逐步计算求解即可； （3）不等式去括号，移项及合并，把x系数化为1，再求出非负整数解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：①， ∴； ②， ， ∴． （3）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 ∴它的非负整数解为：0，1，2，3，4． 题型08.求一元一次不等式解的最值 27．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 28．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 29．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】1 【分析】先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值． 【详解】解：不等式的解集，则最大整数解； 不等式的解集，则最小整数解； 则． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键． 题型09.列一元一次不等式 30．已知x的2倍减5的差不大于3，则可列不等式_____． 【答案】 【详解】解：根据题意将文字描述转化为代数式，明确“不大于”表示小于等于，将题目描述的数量关系列出不等式． 由题意可列出不等式为：． 31．小方到农贸集市想买香蕉，摊主用杆秤称了一些香蕉说：“你看秤，高高的（即秤杆高高翘起，说明所称物品的实际质量大于秤杆显示的质量）．”如果设香蕉的实际质量为，用不等式把这个“高高的”意思表示出来是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正确理解“高高的”的含义，准确找出不等关系． 【详解】解：∵ 题目明确说明“高高的”指香蕉的实际质量大于秤杆显示的， 实际质量为， ∴ 列出不等式得． 32．树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据路程、速度、时间的关系找不等关系，据此列出不等式即可． 【详解】解：总距离为千米，即米， 设跑步时间为x分钟．根据题意，在40分钟内完成的总路程应不小于2500米． 基于此，假设用满40分钟，其中跑步x分钟，则步行分钟，那么跑步路程为米，步行路程为米，此时总路程应大于或等于2500米，因此可列不等式． 题型10.一元一次不等式解决实际问题 33．“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】C 【分析】根据利润率不低于的条件，列不等式，求解即可得到最大折扣． 【详解】解：设该耳机打折销售，则售价为元，根据题意，得 ， 整理得， 解得， 即该耳机最多可以打折． 34．在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 【答案】19 【分析】设出答对题目的数量，根据得分不低于及格分列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最小整数即可． 【详解】解：设飞飞答对道题，则不答或答错的题数为道，根据题意得 解得： ∵为正整数， ∴的最小值为， 故她至少要答对19道题． 35．新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价100元，出售时标价为140元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（   ） A．六折 B．七折 C．七点五折 D．八折 【答案】C 【分析】设商品打折销售，根据售价、进价和利润率的关系建立一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设商品打折销售， 由题意得：， 解得， 所以商品最多可打七点五折． 36．某容器注水，每分钟注水升，原有水升．设注水时间为分钟，容器总水量为升． (1)用含的式子表示； (2)若容器总水量不低于升，求至少注水多少分钟？ 【答案】(1) (2)至少注水9分钟 【分析】（1）根据题意写出关系式； （2）列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：∵， ∴， 解得， 答：至少注水9分钟． 题型11.一元一次不等式解决几何问题 37．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式的应用、多项式的次数，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先解一元一次方程可得，从而可得，则，再根据多项式的次数可得所有满足条件的正整数的值，由此即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， ∴， ∵关于的多项式是四次多项式， ∴所有满足条件的正整数的值为1和2， ∴所有满足条件的正整数的和是， 故选：A． 38．将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________． 【答案】3或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：3或 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 39．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）． （2）∵与的差不小于， ∴， ∵，， ∴， ∴，m的最小整数值为7． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． 题型12.一元一次不等式组的定义 40．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 41．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 42．规定：{x}表示不小于x的最小整数，如{4}=4，{}=，{}=．在此规定下任意数x都能写出如下形式：，其中. (1)直接写出的大小关系： ； (2)根据（1）中的关系式解决下列问题： ①满足的x的取值范围是 ； ②求适合的x的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，利用已知得出不等式组是解题关键. （1）利用，其中得出，进而得出答案； （2）①利用（1）中所求得出，进而得出即可； ②利用（1）中所求得出，进而得出即可. 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：； （2）①， ∴， 解得，， 故答案为； ②∵， 由（1）得：，且为整数， ， 解得： 整数是2或3， 当时，得， 当时，得， 适合的的值是或. 题型13.求不等式组的解集 43．若，不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解集，解题关键是掌握“同小取小”的不等式组解集确定原则（即两个不等式都是小于或小于等于，取较小的那个范围）．根据不等式组解集确定原则求解即可． 【详解】解：，不等式组的解集是． 故答案为： 44．下列不等式组中，只有一个解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一选项的解集，然后逐项判断解答即可． 【详解】解：A．解不等式组的解集为无解，不符合题意； B．解不等式得，解集为，符合题意； C．解不等式组的解集为无解，不符合题意； D．解不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 45．解不等式组： 【答案】 【详解】解：， ①， ， 解得， ②， ， 解得， ． 46．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 题型14.求不等式组的整数解 47．不等式组的整数解为________． 【答案】 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为． 48．不等式组的整数解有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别解两个不等式，确定解集的公共部分，再找出其中的整数解个数即可． 【详解】解：解得： 解得： 即 在内的整数为，共6个． 故选：B 49．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 【答案】B 【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故选B． 50．求不等式组：的整数解． 【答案】 ， 0， 1 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再求出不等式组的公共解集，最后找出公共解集内的整数即可； 【详解】解：解不等式①：， 两边同乘得， 整理得， 移项合并得， 解得； 解不等式②， 去括号得， 移项合并得， 解得， 所以不等式组的解集为， 因此该不等式组的整数解为，，． 题型15.由不等式组的解集求参数 51．若的解集为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据解集可得关于的一元一次不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得． 52．已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和整数解个数得出关于a的不等式是解题的关键．先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围． 【详解】解：由不等式，得， 由不等式，得， ∵不等式组的整数解有5个， ∴整数解为：，，，，， ∴． 故选：C． 53．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组，得到用，表示的解集，再与已知解集的端点对应，求出，后代入计算． 【详解】解：已知， 解得， 由不等式组的解集为， 可得， 解得， 故． 54．已知关于的不等式组．解答下列问题： (1)解不等式①，得_____； 解不等式②，得_____；（用含的代数式表示） (2)如果该不等式组的解集如图所示，求的值； (3)若该不等式组恰有两个整数解，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）解两个一元一次不等式，得到各自解集； （）结合数轴解集与含参数解集，列方程求； （）根据整数解个数，列不等式求的范围． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 移项得：， 即：， 解得：； 解不等式②，得， 移项得：， 两边同除以，得； （2）解：由数轴可得，不等式组的解集为， 结合（）的结论，不等式组解集为， ∴， 解得：． （3）解：不等式组的解集为， 大于的连续整数从小到大依次为：， 若不等式组恰有两个整数解，则这两个整数为、， ∴， 解得：． 题型16.由不等式组解集的情况求参数 55．已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组得到x的取值范围，再根据恰有四个整数解确定m的取值范围.最后找出所有符合条件的整数m计算和即可. 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有四个整数解， ∴四个整数解为 可得 不等式三边同乘，得 ∵为整数， ∴的取值为 所有整数的和为． 56．关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集情况即可求出的取值范围． 【详解】解：解得， ∴， ∵所有整数解的和是，，， ∴当整数解为时，可得；当整数解为时，可得． 故的取值范围是或． 57．若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解，可得，，结合题目条件，可得，解不等式求解即可． 【详解】解：的解都能使的一元一次不等式成立， ，即， 解得，， 的解都满足， ， ， ， ， ． 58．已知关于x的不等式组 (1)若，解不等式组； (2)若不等式组的解集是． ①求m的取值范围； ②当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)①；②2，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解集情况求参数，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）求出不等式的解集，再求出公共解即可； （2）①根据不等式组的解集是，可得m的取值范围；②由不等式的性质，可得，结合①中结论可得答案． 【详解】（1）解：若，不等式组为 解不等式，得：， 结合不等式，可得不等式组的解集为：； （2）解：①由（1）得，不等式组可变形为， 不等式组的解集是， ； ②由题意，得，且， ， ∴m的整数值为2，3. 题型17.不等式组和方程组结合的问题 59．已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有______．（填写正确答案的序号） 【答案】①③④ 【分析】先解方程组，求得t=0，符合-3≤t≤1，可判断①；把t=-2代入求得x=-3，y=-3，可判断②；求得M=2t+3，即可得到M随t的增大而增大，把t=-3代入求得M的最小值为-3，可判断③；当y≥-1时，求得t≥0，则1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，可判断④． 【详解】解：解方程组得， ①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确； ②当t=-2时，x=-3，y=-3，x-y=0，故错误； ③M=2x-y-t=2（2t+1）-（t-1）-t=2t+3， ∴M随t的增大而增大， ∴当t=-3时M有最小值M=2×（-3）+3=-3，故正确； ④当y≥-1时，t-1≥-1，t≥0， ∴0≤t≤1， ∴1≤2t+1≤3，即1≤x≤3，故正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键． 60．若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是________． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 61．已知关于的方程组 (1)方程组的解均为非负数，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的值，根据方程组的解均为非负数，得到关于的不等式组，进行求解即可； （2）根据绝对值的意义，进行化简即可. 【详解】（1）解： 得：， ， 将代入②得：， ，， 关于，的方程组的解均为非负数， ， ； （2）解：， ，， ． 题型18.解|x|a型的不等式 62．若，则x的取值范围_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 即． 63．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， ∴不等式组的解集为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解不等式组和含绝对值的不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 64．已知：，求的取值范围． 【答案】或 【分析】本题考查了不等式的基本性质的应用，由已知得，分情况即可求解． 【详解】解：， ，三数同号， 当均为正数时，三式相乘得，因为，所以； 当均为负数时，三式相乘得，因为，所以； 综上所述，的取值范围是或． 65．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 题型19.列一元一次不等式组 66．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 【答案】 【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为： 最后一个同学最多分得3个， 则，即． 故答案为． 【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键． 67．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 68．某工人制造机器零件，如果每天比预定的多做一件，那么80天所做的零件数超过1000件；如果每天比预定的少做一件，那么80天所做的零件数不到900件，这个工人预定每天做几件零件？ 【答案】这个工人预定每天做12件零件． 【分析】设这个工人预定每天做x件零件，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：设这个工人预定每天做x件零件，根据题意得： ， 解得：， ∵x取整数， ∴， 答：这个工人预定每天做12件零件． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据关键词列出不等式组，求出不等式组的解集，注意联系生活实际取值． 题型20.不等式组的经济问题 69．某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需元．销售一件种型号衣服可获利元，销售一件种型号衣服可获利元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服的数量是种型号衣服数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)型号衣服每件元，型号衣服每件元； (2)有两种进货方案：①型号衣服购买件，型号衣服购进件；②型号衣服购买件，型号衣服购进件． 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意即可． （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，由题意得，据此即可求解； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，由题意得，据此即可求解； 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得，解得， 答：型号衣服每件元，型号衣服每件元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或， 当时，， 当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买件，型号衣服购进件；②型号衣服购买件，型号衣服购进件． 70．生活情境·劳动实践 教育部新颁布的《义务教育课程方案》和课程标准中，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．市场调查获悉：购买3捆A种菜苗，2捆B种菜苗需要120元；购买2捆A种菜苗，4捆B种菜苗需要160元． (1)求每捆A种菜苗和每捆B种菜苗的价格； (2)菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗捆数的，总费用不超过2500元．怎么购买费用最低？ 【答案】(1)每捆A种菜苗的价格为20元，每捆B种菜苗的价格30元 (2)购买A种菜苗25捆，B种菜苗75捆费用最低 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及不等式组． （1）设每捆A种菜苗的价格为元，每捆种菜苗的价格y元．根据购买3捆A种菜苗，2捆B种菜苗需要120元；购买2捆A种菜苗，4捆B种菜苗需要160元，列出二元一次方程组，解答即可； （2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆．根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗捆数的，总费用不超过2500元，列出不等式组，求得m最小值即可． 【详解】（1）解：设每捆A种菜苗的价格为元，每捆种菜苗的价格y元．由题意，得 ， 解得 答：每捆A种菜苗的价格为20元，每捆B种菜苗的价格30元． （2）解：设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗捆．由题意， ， 解得． 又∵m为正整数， ∴m可取23，24，25， ∴有三种购买方案， 方案①：购买A种菜苗23捆，B种菜苗77捆，（20×23＋30×77）×0.9＝2493（元）； 方案②：购买A种菜苗24捆，B种菜苗76捆，（20×24＋30×76）×0.9＝2484（元）； 方案③：购买A种菜苗25捆，B种菜苗75捆，（20×25＋30×75）×0.9＝2475（元）． ∵2475＜2484＜2493， ∴购买A种菜苗25捆，B种菜苗75捆费用最低． 71．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元 (2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 题型21.不等式组的方案选择问题 72．为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 (2)①共有三种购买方案：方案一：购买跳绳26根，毽子28个；方案二：购买跳绳27根，毽子27个；方案三：购买跳绳28根，毽子26个；②方案一更省钱：购买跳绳26根，毽子28个 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设购买跳绳m根，则购买毽子个，根据题意解不等式组，求得整数解，即可求解； ②分别求得各方案的费用，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，由题意得： 解得： 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元． （2）解：①设购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得： 解得：． 为正整数， ∴，，． 共有三种购买方案：方案一：购买跳绳根，毽子个； 方案二：购买跳绳根，毽子个； 方案三：购买跳绳根，毽子个． ②方案一的费用为：元， 方案二的费用为：元， 方案三的费用为：元． ， 方案一更省钱：购买跳绳根，毽子个． 73．某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】(1)一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元 (2)共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． （2）解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 74．某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 【答案】(1)每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； (2)该服装厂有3种进货方案； (3)用礼盒包装的长裤买了14条． 【分析】（1）设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元，根据购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元列出方程并解方程即可； （2）设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，根据题意列出不等式组并解不等式组，求出整数解即可； （3）设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，由题意得到，由题意可得， ，解得，进一步求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元， 则， 解得， ∴， 答：每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； （2）解：设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，由题意可得， ， 解得， ∵两种布料购进的匹数均为整数， ∴或或， 答：该服装厂有3种进货方案； （3）解：设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，根据题意可得， ， 即， 由题意可得， 把代入并整理得到，， 即， 解得， 由及,可得， 代入得到， 由得到，解得， ∴， 代入，符合题意， 答：用礼盒包装的长裤买了14条． 题型22.不等式组行程与分配问题 75．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 76．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 77．某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 78．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次不等式（组）期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解不等式、一元一次不等式（组）、解与解集的概念。 2.牢记不等式基本性质,重点掌握乘除负数时不等号变向规则 3.掌握一元一次不等式.不等式组的解法，会用数轴表示解集。 4.掌握不等式组解集规律，能求解整数解等特殊解。 5.读懂实际问题中的不等关系，了解应用题解题思路。 1.规范运算步骤，提升不等式求解的准确率。 2.运用数形结合思想，借助数轴分析解集。 3.准确提炼不等关系，建立不等式模型解决实际问题。 4.能分析含参数、方案选择等综合题型。 1.基础题：概念判断、常规计算、数轴表示做到零失误。 2.中档题：熟练解不等式组、求特殊解，规范书写步骤。 3.拔高题：攻克应用题、含参数题型，掌握解题技巧。 4.规避易错点：牢记变号规则、区分数轴端点、结合实际取舍答案，减少失分。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04.不等式的解集 题型05.求一元一次不等式的解集 题型06.数轴上表示不等式的解集 题型07.求一元一次不等式的整数解 题型08.求一元一次不等式解的最值 题型09.列一元一次不等式 题型10.一元一次不等式解决实际问题 题型11.一元一次不等式解决几何问题 题型12.一元一次不等式组的定义 题型13.求不等式组的解集 题型14.求不等式组的整数解 题型15.由不等式组的解集求参数 题型16.由不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.解|x|a型的不等式 题型19.列一元一次不等式组 题型20.不等式组的经济问题 题型21.不等式组的方案选择问题 题型22.不等式组行程与分配问题 知识点01:不等式的概念（一眼分清等式 vs 不等式） 不等式：用 ＞、＜、≥、≤、≠ 表示不等关系的式子。 关键词：不相等、超过、不足、至少、至多、不低于、不超过。 知识点02:不等式的解与解集（极易混！必背） 不等式的解：能让不等式成立的一个具体数值（单个值）。 不等式的解集：所有解的全体（一个范围）。 解不等式：求解集的过程。 一句话区分：解是点，解集是线 / 区间。 知识点03:不等式的三大基本性质（重中之重！考试必坑） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 知识点04:解集的数轴表示（数形结合必考） 空心圈 ○：不含这个点（对应 ＞、＜） 实心点 ●：包含这个点（对应 ≥、≤） 知识点05:一元一次不等式的定义（3 个条件缺一不可） 同时满足：只含一个未知数 未知数的次数是1 两边都是整式 一般形式：ax+b>0（或＜、≥、≤），且 a0。 知识点06:四种解集规律（设a < b）. 结合数轴与口诀总结如下: 知识点07:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 知识点08:全章高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确做法 不等式性质误用 两边除以负数，不等号不变向 先判断系数正负，负数必须变号 去分母失误 漏乘不含分母的常数项 每一项都同乘最小公倍数 数轴表示错误 虚实圆点混用、画线方向颠倒 不含等号用空心圆，含等号用实心圆；大于向右，小于向左 移项出错 移项不变号 跨过不等号的项，一律变号 不等式组解集 找错公共部分 借助数轴直观判断，牢记四句口诀 实际应用题 忽略未知数为正整数等限制 解完后结合生活实际取值、取舍 特殊解漏解 / 多解 整数解筛选不全 先划定范围，再依次列举 题型01.不等式的定义 1．用不等式表示“、两数的和的平方是非负数”为___________． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（    ） A．＜0 B． C．≥1 D． 题型02.不等式的性质 4．若，，则a的取值范围是________． 5．若n为整数，且满足，则n的值为________． 6．已知，下列不等式成立的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 题型03.一元一次不等式的定义 8．若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 9．当_________时，不等式是一元一次不等式． 10．下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 题型04.不等式的解集 11．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 12．对于不等式，下列说法不正确的是（   ） A．是它的解 B．是它的解 C．是它的解集 D．是它的解集 13．是下列不等式的一个解的是（     ） A． B． C． D． 14．在下列各数中：，，0，，2，4． (1)x取哪些数能使不等式成立？ (2)满足的数有什么特点？ 题型05.求一元一次不等式的解集 15．不等式的解集为______． 16．解不等式时，下列去分母正确的是（    ）． A． B． C． D． 17．下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数多个 D．不等式的负整数解是有限的 18．解不等式： (1)； (2) 题型06.数轴上表示不等式的解集 19．某关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，根据图示，该不等式组的解集为________． 20．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 21．定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 22．解不等式，并将不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 题型07.求一元一次不等式的整数解 23．不等式的最小整数解是______． 24．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．则不等式的负整数解的和是__________． 25．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 26．按要求解题： (1)计算：． (2)求下列各式中的值： ①；②． (3)求不等式的非负整数解． 题型08.求一元一次不等式解的最值 27．关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 28．下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 29．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 题型09.列一元一次不等式 30．已知x的2倍减5的差不大于3，则可列不等式_____． 31．小方到农贸集市想买香蕉，摊主用杆秤称了一些香蕉说：“你看秤，高高的（即秤杆高高翘起，说明所称物品的实际质量大于秤杆显示的质量）．”如果设香蕉的实际质量为，用不等式把这个“高高的”意思表示出来是（    ） A． B． C． D． 32．树德实验中学组织八年级学生前往距学校2.5千米的研学基地，已知他们步行的平均速度为70米/分钟，跑步的平均速度为200米/分钟．若要在不超过40分钟的时间内到达，那么至少需要跑步多少分钟？设需要跑步的时间为分钟，则列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 题型10.一元一次不等式解决实际问题 33．“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 34．在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 35．新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价100元，出售时标价为140元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（   ） A．六折 B．七折 C．七点五折 D．八折 36．某容器注水，每分钟注水升，原有水升．设注水时间为分钟，容器总水量为升． (1)用含的式子表示； (2)若容器总水量不低于升，求至少注水多少分钟？ 题型11.一元一次不等式解决几何问题 37．关于x的方程的解是非负整数，且关于y的多项式是四次多项式，则所有满足条件的正整数a的和是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 38．将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________． 39．如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 题型12.一元一次不等式组的定义 40．下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 41．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 42．规定：{x}表示不小于x的最小整数，如{4}=4，{}=，{}=．在此规定下任意数x都能写出如下形式：，其中. (1)直接写出的大小关系： ； (2)根据（1）中的关系式解决下列问题： ①满足的x的取值范围是 ； ②求适合的x的值． 题型13.求不等式组的解集 43．若，不等式组的解集是________． 44．下列不等式组中，只有一个解的是（   ） A． B． C． D． 45．解不等式组： 46．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 题型14.求不等式组的整数解 47．不等式组的整数解为________． 48．不等式组的整数解有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 49．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 50．求不等式组：的整数解． 题型15.由不等式组的解集求参数 51．若的解集为，则的取值范围为__________． 52．已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 54．已知关于的不等式组．解答下列问题： (1)解不等式①，得_____； 解不等式②，得_____；（用含的代数式表示） (2)如果该不等式组的解集如图所示，求的值； (3)若该不等式组恰有两个整数解，请直接写出的取值范围． 题型16.由不等式组解集的情况求参数 55．已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 56．关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是_____． 57．若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 58．已知关于x的不等式组 (1)若，解不等式组； (2)若不等式组的解集是． ①求m的取值范围； ②当m为何整数时，不等式的解集为． 题型17.不等式组和方程组结合的问题 59．已知关于，的方程组其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若，则；其中正确的有______．（填写正确答案的序号） 60．若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是________． 61．已知关于的方程组 (1)方程组的解均为非负数，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简：． 题型18.解|x|a型的不等式 62．若，则x的取值范围_______． 63．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 64．已知：，求的取值范围． 65．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 题型19.列一元一次不等式组 66．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________． 67．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 68．某工人制造机器零件，如果每天比预定的多做一件，那么80天所做的零件数超过1000件；如果每天比预定的少做一件，那么80天所做的零件数不到900件，这个工人预定每天做几件零件？ 题型20.不等式组的经济问题 69．某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需元．销售一件种型号衣服可获利元，销售一件种型号衣服可获利元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服的数量是种型号衣服数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ 70．生活情境·劳动实践 教育部新颁布的《义务教育课程方案》和课程标准中，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．市场调查获悉：购买3捆A种菜苗，2捆B种菜苗需要120元；购买2捆A种菜苗，4捆B种菜苗需要160元． (1)求每捆A种菜苗和每捆B种菜苗的价格； (2)菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗捆数的，总费用不超过2500元．怎么购买费用最低？ 71．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 题型21.不等式组的方案选择问题 72．为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 73．某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 74．某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 题型22.不等式组行程与分配问题 75．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 76．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 77．某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 78．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $