7.4.2二项式系数的性质及应用同步课时练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础达标到拓展探究梯度合理，覆盖二项式系数性质及应用全知识点，注重运算能力与推理意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|二项式系数性质、赋值法求系数和|基础题型，强化概念理解与运算能力| |B层|综合应用（多二项式乘积、系数绝对值和）|多选题与开放题，提升推理能力与数据意识| |C层|拓展探究（导数结合、整除问题）|跨知识整合，发展创新意识与理性精神|

7.4.2　二项式系数的性质及应用 A层 基础达标练 1.已知(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,则二项式系数和是(　　) A.212 B.211 C.210 D.29 2.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则a0-a1+a2-…+a6-a7=(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.在n的展开式中,所有奇数项系数之和为1 024,则中间项系数是(　　) A.330 B.462 C.682 D.792 4.若二项式-xn的展开式中所有项的系数的绝对值的和为,则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A.-x3 B.x4 C.-20x3 D.15x4 5.(2x2-n)的展开式的各项系数之和为3,则该展开式中含x3项的系数为(　　) A.2 B.8 C.-5 D.-17 6.(x-2y)100展开式的各项系数之和为　　　　　.  7.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+…+a5=　　　　　.  8.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为　　　　　.  9.已知(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,且a3=-56. (1)求m的值; (2)求a0+a2+a4+a6+a8的值. B层 能力提升练 10.在n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则此展开式中各项系数绝对值之和为(　　) A.9 B.9 C.8 D.8 11.若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a0+a2+a4+a6=(　　) A.8 B.6 C.5 D.4 12.(多选题)已知二项展开式(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn,n∈N*,则下列说法正确的是(　　) A.二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数一定相等 B.二项展开式中,当k<时,随k的增加而减小;当k>时,随k的增加而增加 C.二项展开式中,奇数项的二项式系数的和一定等于偶数项的二项式系数的和 D.二项展开式中,第k项的通项Tk+1=an-kbk,k=1,2,3,…,n 13.(多选题)对任意实数x,有(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7.则下列结论成立的是(　　) A.a0=-1 B.a2=84 C.a0-a1+a2-…+a6-a7=-37 D.|a0|+|a1|+…+|a7|=37 14.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　　.  15.如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它是由正整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,…,则第n(n≥3)行第3个数字是　　　　　.  16.在①a1=35;②+…+=32(m∈N*);③展开式中二项式系数的最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中. 已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且　　　　　.  (1)求m的值; (2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式). C层 拓展探究练 17.设n为奇数,那么11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1除以13的余数是(　　) A.-3 B.2 C.10 D.11 18.请先阅读:对等式cos 2x=2cos 2x-1(x∈R)的两边求导,得(cos 2x)'=(2cos 2x-1)',由求导法则,得(-sin 2x)·2=4cos x·(-sin x),化简得等式:sin 2x=2cos x·sin x. 利用上述想法,结合等式(1+x)n=x+x2+…+xn(x∈R,正整数n≥2). (1)求+2+3+…+10的值. (2)求证:12+22+32+…+n2=n(n+1)2n-2. 参考答案 1.A　因为(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,即,所以n=12,所以二项式系数和是212.故选A. 2.B　因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,令x=-1,得a0-a1+a2-…+a6-a7=[1+2×(-1)]7=-1.故选B. 3.B　∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,由题意易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等,∴2n-1=1 024,∴n=11, ∴展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为=462. 4.A　令x=-1,可得展开式中所有项的系数的绝对值的和为n=,解得n=6, ∴二项式-xn的展开式中有7项, ∴二项式-x6展开式中二项式系数最大的为第4项,即T4=3(-1)3x3=-x3.故选A. 5.D　∵(2x2-n)的展开式的各项系数之和为3.令x=1,得(2×12-n)=3,∴n=5, 则的展开式的通项公式为Tr+1=x3-r·(-2)r·x3-2r, 又=2x2-5, 令3-2r=1,求得r=1;令3-2r=3,求得r=0, 故(2x2-n)的展开式中含x3项的系数为-5=-17.故选D. 6.1　令x=y=1,则(1-2)100=1,所以(x-2y)100展开式的各项系数之和为1. 7.1　由(a-x)5展开式的通项为Tk+1=(-1)ka5-kxk,令k=2,得a2=(-1)2a3=80,解得a=2,即(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1. 8.9　根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,又0≤a≤11,所以a=9. 9.解 (1)因为(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8, 展开式的通项为Tr+1=mrxr,所以a3=m3=-56, 解得m=-1. (2)由(1)知(1-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8, 令x=1,可得a0+a1+a2+…+a8=0, 令x=-1,可得a0-a1+a2-…+a8=28, 两式相加除以2,可得a0+a2+a4+a6+a8==27=128. 10.D　∵只有第5项的二项式系数最大时,二项展开式共9项,∴n=8,8各项系数绝对值之和即为8的各项系数的和,令x=1的结果为8.故选D. 11.D　令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=(1+1)3×(1-2)4=8,令x=-1,得a0-a1+a2+…-a7=(1-1)3×(1+2)4=0,两式相加,得2(a0+a2+a4+a6)=8,所以a0+a2+a4+a6=4.故选D. 12.AC　因为从n个不同元素中任取k个元素的一个组合,都对应着剩余的(n-k)个元素的一个组合,所以,故A正确. 因为, ① 当k<时,①式大于1,当k>时,①式小于1, 故当k<时,随k的增加而增大; 当k>时,随k的增加而减小,故B错误. 令a=b=1,则2n=+…+, ② 令a=-b=1,则0=(+…)-(+…), ③ 联立②③,解得奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和且都是2n-1,故C正确. 对于D选项,显然k可以取0,故D错误.故选AC. 13.ACD　∵(2x-3)7=[-1+2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7, ∴它的通项为Tr+1=·(-1)7-r·[2(x-1)]r, 故a0,a2,a4,a6<0,且a1,a3,a5,a7>0, 令x=1,可得a0=-1,故A正确; a2=·(-1)5·22=-84,故B错误; 令x=0,可得a0-a1+a2-…+a6-a7=-37,故C正确; ∵|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-…+a6-a7)=37,故D正确.故选ACD. 14.3　设f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,　 令x=1,则a0+a1+a2+…+a5=f(1)=16(a+1), ① 令x=-1,则a0-a1+a2-…-a5=f(-1)=0. ② ①-②得,2(a1+a3+a5)=16(a+1), 所以2×32=16(a+1),所以a=3. 15.　杨辉三角形中的每一个数都换成分数,就得到一个如题图所示的“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数字是,则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是.　 16.解 (1)若选条件①,因为ar=mr,r=0,1,2,…,7, 又a1=35,所以m=35, 解得m=5. 若选条件②, 因为+…+=32(m∈N*),所以2m=32, 解得m=5. 若选条件③, 因为展开式中二项式系数的最大值为7m,所以=7m,解得m=5. (2)由(1)可知(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 令x=1,可得67=a0+a1+a2+…+a7, 令x=-1,可得(-4)7=a0-a1+a2-…-a7, 两式相减,可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47, 所以a1+a3+a5+a7==148 160. 17.C　因为11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1 =11n+·11n-1+·11n-2+…+·11+-2 =(11+1)n-2=12n-2=(13-1)n-2 =·13n-·13n-1+…+(-1)n-1·13+(-1)n-2.　 又n为奇数,则11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1=·13n-·13n-1+…+(-1)n-1·13-3, 且·13n-·13n-1+…+(-1)n-1·13可以被13整除, 则11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1被13除所得的余数是10.故选C. 18.(1)解 对等式(1+x)n=x+x2+…+xn(x∈R,正整数n≥2)的两边求导,得n(1+x)n-1=+2x+3·x2+…+n·xn-1①, 令x=1,n=10,可得+2+…+9+10=10×(1+1)9=5 120. (2)证明 ①式两边同时乘x,得nxx+2x2+3·x3+…+n·xn②, 对②式两边求导,得n+n+22x+32·x2+…+n2·xn-1, 令x=1,得12+22+32+…+n2=n·2n-1+n·(n-1)2n-2=n·(n+1)2n-2. 学科网（北京）股份有限公司 $