7.4.2 第1课时 二项式系数的性质 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

7.4.2 第1课时 二项式系数的性质 [课时跟踪检测] 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024,则n的值为 (　　) A.10 B.9 C.8 D.7 解析:选A　展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024,解得n=10. 2.在(1+x)12展开式中,系数最大的项是 (　　) A.第5,6项 B.第6,7项 C.第6项 D.第7项 解析:选D　因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=xk,k=0,1,2,…,12,所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数,根据二项式系数的性质有,第7项的二项式系数最大. 3.若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则a1+a2+a3+…+a9= (　　) A.1 B.513 C.512 D.511 解析:选D　令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512,所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511,故选D. 4.已知(3-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等,则a0-a1+a2+…+(-1)nan= (　　) A.32 B.64 C.128 D.256 解析:选D　由题意可得=,所以n=4.令x=-1,则(3-x)n=(3+1)4=a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2+…+(-1)nan=256. 5.已知的展开式中,第3项的系数与倒数第3项的系数之比为,则展开式中二项式系数最大的项为 (　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析:选B　的展开式的通项为Tk+1=()n-k=2k,则T3=22,其系数为4.倒数第3项为Tn-1=2n-2x5-2n,其系数为2n-2.依题意2n-2=4×4,则n=6.所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 6.已知(mx-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由题意,令x=0,得a0=1,令x=1,得(m-1)8=a0+a1+a2+…+a8,所以a1+a2+…+a8=(m-1)8-1,由(m-1)8-1=255,解得m=3或m=-1,所以“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的必要不充分条件.故选B. 7.[多选]已知(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 025x2 025,则 (　　) A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 025 B.展开式中所有奇数项系数的和为 C.展开式中所有偶数项系数的和为 D.+++…+=-1 解析:选ABD　对于A,展开式中所有项的二项式系数之和为22 025,故A正确; 对于B,令x=-1,得32 025=a0-a1+a2-a3+…-a2 025,① 令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 025,② ①+②,得32 025-1=2(a0+a2+…+a2 024), ∴a0+a2+…+a2 024=,故B正确; 对于C,①-②,得32 025+1=-2(a1+a3+…+a2 025), ∴a1+a3+…+a2 025=-,故C错误; 对于D,令x=0,得a0=1,令x=,得0=a0++++…+, ∴+++…+=-1,故D正确. 8.(5分)(2025·北京高考)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　　　　;a1+a2+a3+a4=　　　　.  解析:令x=0,则a0=1, 又(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4, 故(1-2x)4=a0+a1(-2x)+a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4, 令t=-2x,则(1+t)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4, 令t=1,则a0+a1+a2+a3+a4=24,故a1+a2+a3+a4=15. 答案:1　15 9.(5分)的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则第4项为　　　　.  解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,即+1=6,所以n=10,所以T4=()7·=120. 答案:120 10.(5分)若二项式(3-x)n(n∈N*)的展开式中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则+的最小值为　　　　.  解析:令x=1,可得a=2n;令x=-1,可得b=4n,所以+=2n+.设t=2n(n∈N*),则+=t+,t≥2.又函数y=s+在[2,+∞)上单调递增,所以ymin=2+=,即=. 答案: 11.(5分)已知(2x-1)n的展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则+++…+=　　　　.  解析:设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B. 则A=a1+a3+a5+…, B=a0+a2+a4+a6+…. 由已知可知,B-A=38. 令x=-1, 得a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=(-3)n, 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n, 则B-A=(-3)n, ∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8. 由二项式系数的性质,得 +++…+=2n-=28-1=255. 答案:255 12.(10分)已知(2x-1)n的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求该展开式中各项的系数之和;(4分) (2)求该展开式中所有偶数项的系数之和.(6分) 解:(1)由题可知,2n=64,解得n=6,令x=1,得该展开式中各项的系数之和为(2-1)6=1. (2)记(2x-1)6=a0x6+a1x5+…+a5x+a6. 由(1)知a0+a1+…+a5+a6=1, 令x=-1,可得a0-a1+…-a5+a6=(-3)6=729. 所以该展开式中所有偶数项的系数之和为=-364. 13.(10分)已知(+3x2)n的展开式中,各项系数的和比它的二项式系数的和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项;(5分) (2)求展开式中系数最大的项.(5分) 解:(1)令x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数的和为2n, 所以22n-2n=992,解得n=5. 所以展开式共6项,二项式系数最大的项为第3、4两项,所以T3=()3(3x2)2=90x6, T4=()2(3x2)3=270. (2)设展开式中第r+1项系数最大, 则Tr+1=()5-r(3x2)r=3r, 所以⇒≤r≤. 又r∈N,所以r=4. 即展开式中第5项系数最大, T5=()(3x2)4=405. 14.(15分)已知的展开式中,前3项的二项式系数之和为16,所有项的系数之和为1. (1)求n和a的值;(5分) (2)展开式中是否存在常数项?若存在,求出常数项;若不存在,请说明理由;(5分) (3)求展开式中二项式系数最大的项.(5分) 解:(1)由题意,得++=16, 即1+n+=16. 解得n=5或n=-6(舍去), 所以n=5. 因为所有项的系数之和为1,令x=1, 所以(a-1)5=1,解得a=2. (2)不存在.理由如下: 因为=, 所以Tk+1=(2x)5-k =(-1)k25-k. 令5-=0,解得k=∉N, 所以展开式中不存在常数项. (3)由二项式系数的性质知,展开式中中间两项的二项式系数最大, 二项式系数最大的两项为 T3=(-1)225-2x5-3=80x2, T4=(-1)325-3=-40. 学科网（北京）股份有限公司 $