7.4.2二项式系数的性质及应用同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

7.4.2　二项式系数的性质及应用 一、基础达标 1.已知二项式(2x-1)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大,则n为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 2.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 3.已知(2x-1)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024,则a1+a2+a3+…+a2 024=(　　) A.1 B.0 C.32 024 D.-1 4.设a∈Z,且-7≤a<0,若152 025-a能被7整除,则a=(　　) A.-4 B.-5 C.-6 D.-7 5.在()n的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则此展开式中各项系数绝对值的和为(　　) A.()9 B.()9 C.()8 D.()8 6.在()n的展开式中,所有奇数项系数之和为1 024,则中间项系数是　　　. 7.在二项式(2x-y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有偶数项系数之和; (4)系数绝对值之和. 二、能力提升 8.0.997的计算结果精确到0.001的近似值是(　　) A.0.930 B.0.931 C.0.932 D.0.933 9.若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项的系数最大,则a的取值范围为(　　) A.(-∞,0)∪[2,3] B.(-∞,0)∪[] C.[2,3] D.[] 10.若(2x2-)n的展开式中有且仅有第5项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的是(　　) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 11.(多选题)若(1-2x)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,则下列结论中错误的是(　　) A.a0=1 B.a4=80 C.|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35 D.(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)= 12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前34项和为(　　) A.959 B.964 C.1 003 D.1 004 13.(x2+x+1)n展开式中各项的系数可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角,其性质是以下各行每个数是它正上方和左、右两边三个数的和(不足三个数时,用0补上),则(x-3)(x2+x+1)5的展开式中,x7项的系数为　　　.  14.已知在()n的展开式中,前3项的系数分别为a1,a2,a3,且满足2a2=a1+a3.求: (1)展开式中二项式系数最大项的项; (2)展开式中系数最大的项; (3)展开式中所有有理项. 三、拓展探究 15.如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它是由正整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如,…,则第n(n≥3)行第3个数字是　　　　　.  16.请先阅读:对等式cos 2x=2cos 2x-1(x∈R)的两边求导,得(cos 2x)'=(2cos 2x-1)',由求导法则,得(-sin 2x)·2=4cos x·(-sin x),化简得等式:sin 2x=2cos x·sin x. 利用上述想法,结合等式(1+x)n=x+x2+…+xn(x∈R,正整数n≥2). (1)求+2+3+…+10的值. (2)求证:12+22+32+…+n2=n(n+1)2n-2. 参考答案 1.A　因为二项式(2x-1)n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大,则二项式(2x-1)n的展开式共7项,即n+1=7,解得n=6.故选A. 2.B　因为(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,令x=1,可得(1+1)n(3-1)=1 024=210,所以n=9.故选B. 3.B　令x=0,得a0=(-1)2 024=1.令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 024=1,所以a1+a2+a3+…+a2 024=0.故选B. 4.C　152 025-a=(14+1)2 025-a=142 025+142 024+142 023+…+14+-a,因为152 025-a能被7整除,且142 025+142 024+142 023+…+14能被7整除,故-a=1-a能被7整除,又-7≤a<0,所以a=-6.故选C. 5.D　∵只有第5项的二项式系数最大时,二项展开式共9项, ∴n=8,()8各项系数绝对值之和即为()8的各项系数的和,令x=1的结果为()8.故选D. 6.462　∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,由题意易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等, ∴2n-1=1 024,∴n=11,∴展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为=462. 7.解 (1)设(2x-y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.二项式系数之和为+…+=29=512. (2)设(2x-y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9,则各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-1)9=1. (3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=1,令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=39,将两式相减,可得a1+a3+a5+a7+a9==-9 841,故所有偶数项系数之和为-9 841. (4)(方法一)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9,令x=1,y=-1,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9=39=19 683. (方法二)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|即为(2x+y)9展开式中各项系数的和,令x=1,y=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=39=19 683,故系数绝对值之和为19 683. 8.C　0.997=(1-0.01)7=×1-×0.01+×0.012-…=1-0.07+0.002 1-…≈0.932.故选C. 9.C　2n=512,n=9,T6=24(ax)5,T5=25(ax)4,T7=23(ax)6,∵第6项的系数最大, ∴则2≤a≤3.故选C. 10.B　因为(2x2-)n的展开式中有且仅有第5项的二项式系数最大,所以+1=5,解得n=8,则(2x2-)8的展开式通项为Tk+1=×28-k×(-1)k×x16-3k(k=0,1,2,3,4,5,6,7,8),当k为奇数时,系数为负数,当k为偶数时,系数为正数,所以展开式中系数最大时,k为偶数,由展开式通项可知T1=28x16=256x16,T3=26x10=1 792x10,T5=24x4=1 120x4,T7=22x-2=112x-2,T9=20x-8=x-8,所以展开式中系数最大的是第3项.故选B. 11.ABD　由(1-2x)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,对于A,令x=1,可得a0=-1,所以A错误;对于B,(1-2x)5=[-1-2(x-1)]5,由二项展开式的通项得a4=·(-2)4·(-1)1=-80,所以B错误;对于C,|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|与[1+2(x-1)]5的系数之和相等,令x-1=1,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35,所以C正确;对于D,令x=2,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-35,令x=0,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=1,解得a0+a2+a4=,a1+a3+a5=,可得(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=,所以D错误.故选ABD. 12.A　将这个数列分组:第一组1个数2=22-2;第二组2个数3+3=23-2,…,第七组7个数,这7个数的和为28-2,第八组8个数9+36+84+126+126+84+36+9=29-2,前八组共36项,前36项和为22-2+23-2+…+29-2=1 004,所以前34项和为1 004-9-36=959.故选A. 13.-45　根据题意,可得广义杨辉三角如图所示, 可知(x2+x+1)5的展开式中,x6项的系数为45,x7项的系数为30,所以(x-3)(x2+x+1)5的展开式中,x7项的系数为1×45-3×30=-45. 14.解 (1)因为()n展开式的通项公式为Tk+1=,k=0,1,2,…,n,所以a1==1,a2=n,a3=,依题意得2×n=1+,即n(n-1)=8(n-1),由已知n≥2,所以n=8,所以的展开式有9项,二项式系数最大的项为第5项,所以T5=. (2)由(1)知,Tk+1=, 设展开式中系数最大的项为第k+1项, 则 即 即 解得2≤k≤3,所以k=2或k=3,所以展开式中系数最大的项为T3==7和T4==7. (3)由Tk+1=(k=0,1,2,3,4,5,6,7,8)为有理项知,为整数,得k=0,6,所以展开式中所有有理项为T1==x4和T7=. 15.　杨辉三角形中的每一个数都换成分数,就得到一个如题图所示的“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数字是,则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是. 16.(1)解 对等式(1+x)n=x+x2+…+xn(x∈R,正整数n≥2)的两边求导,得n(1+x)n-1=+2x+3·x2+…+n·xn-1①, 令x=1,n=10,可得+2+3+…+10=10×(1+1)9=5 120. (2)证明 ①式两边同时乘x,得nxx+2x2+3·x3+…+n·xn②, 对②式两边求导,得n+n+22x+32·x2+…+n2·xn-1, 令x=1,得12+22+32+…+n2=n·2n-1+n·(n-1)2n-2=n(n+1)·2n-2. 6 学科网（北京）股份有限公司 $