15.2 随机事件的概率（第1课时 古典概型）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

15.2　随机事件的概率 第1课时　古典概型 A层 基础达标练 1.若书架上数学、物理、化学的数量分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是物理书的概率为(　　) A. B. C. D. 2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　) A. B. C. D. 3.(2022新高考 Ⅰ 卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　　) A. B. C. D. 4.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　) A. B. C. D. 5.如图,地上有3个不同的桶,每次取一个桶,直到取完,则最后一个取到B的概率是　　　　　.  6.暑假期间,小梁计划外出旅游,他翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱,但因时间太久,小梁已经忘记了密码,只记得这个密码是一个三位数,并且每个数位上的数字都是7,8,9中的一个. (1)若小梁尝试输入一次密码,求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率; (2)若在小梁回忆起这个密码的首位数字后,小梁尝试输入一次密码,求输入的这个密码正确的概率. B层 能力提升练 7.(多选题)抛掷两枚硬币,若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1,P2,P3,则下列判断中,正确的是(　　) A.P1=P2=P3 B.P1+P2=P3 C.P1+P2+P3=1 D.P1+P2+2P3=1 8.从3,4,5,6四个数中任取三个数作为三角形的三边长,则构成的三角形是锐角三角形的概率是(　　) A. B. C. D. 9.(多选题)投掷一枚质地均匀的正方体骰子,下列说法正确的有(　　) A.“出现点数为奇数”的概率等于“出现点数为偶数”的概率 B.只要连掷6次,就一定会“出现1点” C.投掷前默念几次“出现6点”,投掷结果“出现6点”的可能性就会加大 D.连续投掷3次,出现的点数之和不可能等于19 10.写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种,用以区别筹算与珠算,它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出,是从天元式的乘法演变而来的.例如计算89×61,将被乘数89计入上行,乘数61计入右行,然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后从右下方开始按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图,即得5 429.类比此法画出354×472的表格,若从表内的18个数字(含相同的数字,表周边数据不算在内)中任取1个数字,则这个数大于5的概率为(　　) A. B. C. D. 11.一次掷两枚均匀的骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0无实根的概率是　　　　　.  12.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两数,则两数都是奇数的概率是　　　.若有放回地任取两数,则两数都是偶数的概率是　　　　.  13.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下: ①若xy≤3,则奖励玩具一个; ②若xy≥8,则奖励水杯一个; ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率; (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. C层 拓展探究练 14.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一,最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上,盛行于商代至西周早期.将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1个单位长度,有一点P从点A出发,每次向右或向下跳1个单位长度,且向右或向下跳都是等可能的,那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(　　) A. B. C. D. 15.某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如表: 性别 年级 一年级 二年级 三年级 男 A B C 女 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)写出该试验的样本空间Ω; (2)设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,试用集合表示M. 参考答案 1.B　样本空间包含10个样本点,“随机抽出一本是物理书”包含3个样本点,所以其概率为故选B. 2.C　试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相同,数字之和为奇数的有4个样本点,所以所求概率为故选C. 3.D　从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有21种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,则互质有21-7=14种,故所求概率P=故选D. 4.C　∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},共15个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,正确的开机密码只有1种,∴P=故选C. 5　由题图可知,B桶不可能第一个被取到,故画树形图表示所有可能的取法,如图所示. 共有3种等可能的结果,其中最后一个取到B的结果有2种,所以最后一个取到B的概率为 6.解 由题可知,所有的密码情况包括(7,7,7),(7,7,8),(7,7,9),(7,8,7),(7,8,8),(7,8,9),(7,9,7),(7,9,8),(7,9,9),(8,7,7),(8,7,8),(8,7,9),(8,8,7),(8,8,8),(8,8,9),(8,9,7),(8,9,8),(8,9,9),(9,7,7),(9,7,8),(9,7,9),(9,8,7),(9,8,8),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),(9,9,9),共27种,所有情况为正确密码的可能性都相同. (1)不妨设正确的密码为(9,9,9),则恰有两位数字正确的密码情况包括(7,9,9),(8,9,9),(9,7,9),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),共6种,故小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率为 (2)不妨设正确的密码为(9,9,9),则小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码可能为(9,7,7),(9,7,8),(9,7,9),(9,8,7),(9,8,8),(9,8,9),(9,9,7),(9,9,8),(9,9,9),共9种,故小梁尝试输入一次密码,输入的这个密码正确的概率为 7.BC　由题知,抛掷两枚硬币共有正正,反反,正反,反正,共4个基本事件,P1=,P2=,P3=,所以P1+P2=P3,P1+P2+P3=1.故选BC. 8.A　从3,4,5,6四个数中任取三个数, 共有(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)四种情况. 由32+42=52,可得(3,4,5)构成直角三角形; 由32+42<62,可得(3,4,6)构成钝角三角形; 由32+52<62,可得(3,5,6)构成钝角三角形; 由42+52>62,可得(4,5,6)构成锐角三角形. 则构成的三角形是锐角三角形的概率是,故选A. 9.AD　掷一枚骰子,出现奇数点和出现偶数点的概率都是,故A正确;“出现1点”是随机事件,故B错误;概率是客观存在的,不因为人的意念而改变,故C错误;连续掷3次,每次都出现最大点数6,则三次之和为18,故D正确.故选AD. 10.C　画出354×472的表格,如图所示,则表内不同的数有0,1,2,3,5,6,8,其中6与8各2个.从中任取1个,则这个数大于5的概率为故选C. 11　样本点的总数为36,且每个样本点出现的可能性相等.因为方程无实根,所以Δ=(m+n)2-16<0,即m+n<4,其中有(1,1),(1,2),(2,1),共3个样本点.所以所求概率为 12　从5个数字中不放回地任取两数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,且每个样本点出现的可能性相等.因为两数都为奇数的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,所以两数都是奇数的概率P1=从5个数字中有放回地任取两数,样本点共有25个,且每个样本点出现的可能性相等,两数都为偶数的样本点有(2,4),(4,2),(2,2),(4,4),共4个,故两数都是偶数的概率P2= 13.解 (1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},即样本点的总数为16.由题意知,每个样本点出现的可能性相等. 记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}, 所以P(A)=, 即小亮获得玩具的概率为 (2)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.理由如下: 记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C. 则事件B包含的样本点共6个, 即B={(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}, 所以P(B)= 事件C包含的样本点共5个, 即C={(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)}, 所以P(C)=因为, 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 14.B　点P从A点出发,每次向右或向下跳1个单位长度,则有(右,右,右),(右,右,下),(右,下,右),(下,右,右),(右,下,下),(下,右,下),(下,下,右),(下,下,下),共8种不同的跳法(线路),符合题意的只有(下,下,右)这1种,所以3次跳动后,恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=故选B. 15.解 (1)Ω={AB,AC,AX,AY,AZ,BC,BX,BY,BZ,CX,CY,CZ,XY,XZ,YZ}. (2)M={AY,AZ,BX,BZ,CX,CY}. 8 学科网（北京）股份有限公司 $