2026年中考数学二轮复习《二次函数的图象与性质》考前冲刺常考热点填空题专题训练

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，以22道填空题构建"基础-综合-创新"三阶训练体系，通过分类讨论、数形结合等方法提炼，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|1-10题|顶点式转化、对称轴计算、平移规律|从概念（顶点式）到性质（最值、增减性）的生成链| |综合应用|11-18题|方程与函数关系、动态交点分析|性质应用到实际问题（种群增长）的模型构建| |几何结合|19-22题|旋转坐标变换、内心性质综合|函数与几何（菱形、相似）的跨知识推理|

2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数的图象与性质》 考前冲刺常考热点填空题专题训练（附答案） 1．若二次函数可以配成顶点式，则__________． 2．二次函数图象的顶点坐标为___________． 3．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________． 4．已知点，为二次函数图象上的两点，若＞成立，则m的值可以为_______．（写出一个符合条件的值即可） 5．二次函数的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 则，的大小关系为_________（填“”“”或“”）． 6．在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是______． 7．关于的方程的解是，，则抛物线的对称轴是直线___________． 8．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是______． 9．已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为，则m的值为________． 10．在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 11．抛物线经过点，对称轴为直线与x轴交于点B，点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，则点C的坐标是_____． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在轴负半轴，点在轴正半轴），交轴于点，且，则此抛物线对应的解析式是__________． 13．如图，抛物线与直线交于点，，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，得到一个“爱心”图，若点在“爱心”图上，则的值为______． 14．如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为_____． 15．二次函数的图象如图所示， 下列结论：①；②；③；④,其中正确的结论有_______________(填序号)． 16．如图，菱形的一边在x轴上，顶点B在y轴上．若抛物线经过A，B两点，则的值为________． 17．如图，二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，当时，则x的取值范围是__________． 18．如图，是抛物线上的一点，以点为圆心、1个单位长度为半径作，当与轴相切时，点的坐标为___________ 19．定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数（如图所示）的图象，若图象与直线有四个交点，则的取值范围是_____． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，连接，点为线段上一点，连接．若与相似，则的长为___________． 21．如图，抛物线与x轴交于两点，抛物线上点C的横坐标为点坐标为，连接，点M为平面内任意一点，将绕点M旋转得到对应的(点，D的对应点分别为点，若中恰有两个点落在抛物线上，则此时点的坐标为___________(点不与点A重合)． 22．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线向下移动一定距离，使其过点，得到一条新的抛物线，过点作直线轴，交抛物线于点B，交抛物线于点C，则以下结论：①；②若点及点均在抛物线上，则；③；④；⑤，其中结论正确的是______． 参考答案 1．解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 2． 【分析】本题考查了二次函数的性质．化成顶点式，根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 3． 【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据题意，对进行分类讨论，再根据函数的性质，逐个求出满足条件的的取值范围即可． 【详解】解：第一种情况，当时，函数为， 当时，，不符合题意； 第二种情况，当时，函数为， 开口向上，对称轴为直线，即当时，随的增大而增大， 当时，，解得，不符合题意； 第三种情况，当时，函数为， 开口向下，对称轴为直线，顶点， 当时，即， 若，则，解得，符合题意； 当时，即， 当时，随的增大而增大， 当时，，解得， ， 不存在； 综上可得：． 故答案为：． 4． 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过求二次函数的对称轴，比较点A和点B到对称轴的距离，利用开口向上时距离越远函数值越大，得到不等式，求解得，因此m可取1． 【详解】解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向上， ∴点A的横坐标，点B的横坐标， 由，得，即，简化得，解绝对值不等式， 由得，即， 由得即， ∴，m可取1， 故答案为：1． 5． 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数与x轴交点坐标求对称轴，结合开口方向比较函数值大小． 【详解】解：由表格知：二次函数与x轴交于点和，故图象对称轴为：直线， ∵当时，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴，该函数图象开口向上，函数值在对称轴两侧随距离增大而增大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 6． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，依据题意，直线恒过定点，抛物线（）开口向下，在时函数值为，为确保无论为何值，直线与抛物线总有公共点，需满足； 【详解】解：∵直线，∴直线过定点， ∵（）， ∴抛物线开口向下， 在时，， ∵无论为何值时，直线与抛物线（）总有公共点， ∴时，，即， 故答案为：． 7． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及抛物线对称轴的计算，解题的关键是利用方程的两根求出抛物线的对称轴． 方程的解即为抛物线与轴交点的横坐标，根据抛物线的对称性，对称轴为两根横坐标的平均数． 【详解】解： 方程的解是，， 抛物线与轴的交点为，． 对称轴为直线． 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式．先把配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将抛物线化为顶点式有， 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得， 故平移后的抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 9．或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二次函数对称轴为直线，分和两种情况讨论取得最小值的点，分别代入求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ①当 时，开口向上，最小值在 处取得， 代入得， 令，解得； ②当时，开口向下，最小值在 处取得（因距离对称轴较远）， 代入得， 令，解得． 故答案为：或． 10． 【分析】本题考查把化为顶点式，求二次函数的最大值． 把化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值， ∴该种群数量达到最大值时的培养时间为天． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及三角形的内心． 先根据对称轴为直线且抛物线过点求得抛物线解析式，再由题意易得x轴平分，即，且点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，设，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：将点代入，得， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵的内心恰好在x轴上， ∴x轴是的角平分线，即， ∴的三个内角的角平分线交点在x轴上， ∴点C在y轴的左侧， 如图，过点C作轴于点D， 由题意知，， ∴， ∴， 设，则有，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查用根与系数的关系求二次函数解析式，先求出，根据得，，即，，再由根与系数的关系即可解答． 【详解】解：设，， 当时，则，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∴解得， 解得， ∴． 故答案为． 13．或 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点问题，折叠问题，先联立，求出，进而得到点在第一象限，点的左侧或点在第四象限，点的左侧，当点在第一象限时，将直接代入即可求解；当点在第四象限时，由点关于直线的对称点坐标是在第二象限，且在抛物线的图象上，将直接代入即可求解． 【详解】解：联立， 则，即，解得， 由题意得， ∵点横坐标为2， ∴得到点在第一象限，点的左侧或点在第四象限，点的左侧， 当点在第一象限时， 将代入， 则； 当点在第四象限时， ∵点关于直线的对称点坐标是， ∴在第二象限，且在抛物线的图象上， 将代入， 则，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上，的值为或． 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式及线段最值问题，熟练掌握利用坐标差表示平行于轴的线段长度，以及二次函数的最值求法是解题的关键．先通过抛物线求出点的坐标，再代入求出的值；设点、的横坐标为（），分别写出两点的纵坐标，从而得到的长度表达式，最后利用二次函数的性质求出其最大值． 【详解】解：中，令，则， 解得或， ， 过点， ， ， ， ， 轴，设， ， ∴当时，的最大值为， 故答案为：． 15．①②④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据开口方向，判断结论①；根据抛物线与轴的交点，判断结论②；根据对称轴的位置，判断结论③；根据时的函数值，判断结论④；可得出答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故结论①正确； 观察图像，函数与轴有两个交点， ∴，故结论②正确； ∵抛物线对称轴为直线， 即，得，即，故结论③错误； 观察图象，当时，函数值大于， 即，故结论④正确； 故正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 16．/ 【分析】本题考查二次函数的性质、矩形的判定与性质、余弦的定义、菱形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由抛物线的性质可得抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为，进而得到，由菱形的性质可得，；如图：过C作，垂足为E，则是矩形，易得，再根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∵抛物线经过点A，B两点， ，， ， ∵四边形是菱形， ，， 如图：过C作，垂足为E，则是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与不等式的关系．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键． 先求出点关于对称轴对称的点为，再由函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴当时，则x的取值范围是， 故答案为：． 18．或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，切线的性质，根据题意得到点的纵坐标为1或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的半径为1，当与轴相切时， ∴点P到x轴的距离为1 ∴点的纵坐标为1或， 当时， 解得； 当时， 解得； ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 19． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法求参数的范围． 先求得与轴的交点坐标，以及顶点坐标，利用图象法进行求解即可． 【详解】解：当即时，解得或， 由图象可知，图象的对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，函数与函数的图象有4个交点， 即：关于x的方程有四个不相等的实数根， ∴； 故答案为：． 20．或 【分析】此题考查相似三角形的性质，抛物线的性质，分和，两种情况解答即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，且， 当时，，解得， 故，，，， 故，，, ， 不可能是对应角， 当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的长为或． 21．或 【分析】本题考查了抛物线的性质、中心旋转的坐标变换及中点坐标公式，解题的关键是分情况讨论中落在抛物线上的两个点，结合抛物线解析式与坐标变换列方程求解． 先求出抛物线与x轴交点A、B及点C的坐标；再分三种情况与在抛物线上、与在抛物线上、与在抛物线上），利用抛物线对称轴、中点坐标公式或平移规律表示对应点坐标，代入抛物线解析式求解，舍去重合的情况后得到点的坐标． 【详解】解：令，解得：或，则函数的对称轴为， 当时，则， 即点； 以下分三种情况讨论： ①当点、在抛物线上时，如图， 由，抛物线的对称轴为， 则点的横坐标为， 当时，， 则点， 设点为， 由中点坐标公式得：且， 解得：，， 即点的坐标为：； ②当在抛物线上时， 设点的坐标为：， 由点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：； ③当、在抛物线上时， 设点的坐标为：， 由点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点， 将点的坐标代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：， 该点和点重合，故舍去； 综上，点的坐标为：或， 故答案为：或． 22．①③④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、解一元一次不等式及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的图象与性质及数形结合的数学思想对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 又抛物线由抛物线向下平移得到， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 又因为抛物线经过， 所以， ∴， 将分别代入和得， ，， ∴，故①正确； ∵，，且， ∴，故②错误； 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以，即．故③正确； 由上述过程可知，， 则．故④正确； 因为，所以， 则．故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 学科网（北京）股份有限公司 $