专题13 期末复习解答题压轴题专项训练（南通专用） 2025-2026学年七年级数学下册人教版

**基本信息** 精选南通地区2025-2026年期末/期中压轴题，按无理数估算、方程组、平行线等7大考点分类，聚焦逻辑推理与综合应用，构建从概念到压轴题的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数估算|2题|新定义应用、近似值算法|从概念理解到算法迁移，培养抽象能力| |方程组及应用|4题|新运算、实际问题|从解的性质到建模应用，强化运算能力| |平行线综合|6题|动态几何、多问探究|从性质判定到辅助线构造，发展几何直观| |三角形与坐标系|8题|综合证明、坐标计算|从静态图形到动态变化，提升空间观念|

专题13 期末复习解答题压轴题专项训练（南通专用） 专题解读：本专题精选2025七年级下期末试卷和2026年期中试卷解答题压轴题，按考点分类，等容易让学生在复习时抓住重点，突破难点，使复习更高效。 考点一 估算无理数的大小 1．（2026春•海门区期中）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]＝2，2.13的小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13． （1）[]＝　1　 ，[]＝　2　 ，π的小数部分＝　π﹣3　 ． （2）设的小数部分为a，则a+[]　1　 ． （3）已知：10x+y，其中x是整数；且0＜y＜1，则x﹣y的相反数是 　12　 ． 【分析】（1）根据平方运算估算出，的值，即可解答，再根据π的整数部分是3，即可求出π的小数部分； （2）根据平方运算估算出，的值，即可解答； （3）利用（1）的结论可得11＜1012，从而求出x，y的值，进而求出x﹣y的值，然后根据相反数的意义，即可解答． 【解答】解：（1）∵1＜3＜4， ∴12， ∴[]＝1， ∵4＜7＜9， ∴23， ∴[]＝2， π的小数部分为：π﹣3， 故答案为：1，2，π﹣3； （2）∵4＜5＜9， ∴23， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为：2， ∴a2， ∵9＜13＜16， ∴34， ∴[]＝3， ∴a+[]2+3 ＝1， 故答案为：1； （3）∵12， ∴11＜1012， ∵10x+y，x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝11，y＝10111， ∴x﹣y＝11﹣（1） ＝111 ＝12， ∴x﹣y的相反数为：12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 2．（2025秋•兰溪市期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若n＝ab（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若m1是的最初近似值，则的二级近似值m2，的三级近似值m3． 例如：∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，4，6最接近， ∴的最初近似值为5， ∴的二级近似值为， ∴的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是　4　 ； （2）的二级近似值是　　 ； （3）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）设n＝ab，进而求出a+b＝9，根据公式代入即可求值． 【解答】解：（1）∵15＝3×5， 3与5最接近， ∴的最初近似值为； 故答案为：4； （2）∵63＝7×9， 7和9最接近， ∴最初近似值， ∴的二级近似值是； 故答案为：； （3）设n＝ab， ∵最初近似值， 得a+b＝9， ∴二级近似值， 解得n＝18． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 考点二 二元一次方程组的解 3．（2023春•启东市期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点为完美点． （1）判断点A（2，3）是否为完美点，并说明理由． （2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由． 【分析】（1）根据完美点的定义判定即可； （2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，1＝3，可得b＝4， ∵2a﹣b≠6， ∴A（2，3）不是完美点． （2）∵， ∴， 2+m＝a﹣1，可得a＝m+3， 2﹣m1，可得b＝2﹣2m， ∵2a﹣b＝6， ∴2m+6﹣2+2m＝6， ∴m， ∴当m时，点B（x，y）是完美点． 【点睛】本题考查二元方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于创新题目． 4．（2026春•海安市期中）对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4． （1）求a，b的值； （2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 【分析】（1）利用新定义列出关于a、b方程组，解方程组求出a、b的值． （2）将a、b的值代入x*y+x⊗y＝10转化为x的一元一次方程，解方程求出x的值． （3）将a、b的值代入，得出关于x、y的方程组，消去m，再与x﹣y＝6组成新的方程组，求出x、y的值，再求出m即可． （4）将代入⊗得出新的方程组，整体代入得出新方程组的解． 【解答】解：（1）由题意，∵3*2＝﹣1，2⊗1＝4， ∴． ∴． （2）由题意，∵x*y+x⊗y＝10， ∴ax+by+ax﹣by＝10． ∴2ax＝10． 又∵a＝1， ∴x＝5． （3）由题意，方程组可化为， ∴． 又∵x﹣y＝6， ∴4+3m﹣m+2＝6． ∴m＝0． （4）由题意，∵方程组可化为，而方程组可化为， 即， 又方程组的解为， ∴． ∴． ∴方程组的解为． 【点睛】本题二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解题时要熟练掌握新定义运算，并准确计算是关键． 考点三 平行线的判定和性质 5．（2025春•南通期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点M在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FM，EF⊥FM，∠CMF＝142°（1）直接写出∠AEF的度数为 　128　 度； （2）如图2，延长FM到G，点H在FG的下方，连接GH，CH，若∠FGH＝∠H+90°，求∠MCH的度数； （3）如图3，作直线AC，延长EF交CD于点Q，P为直线AC上一动点，设∠PEQ＝α，∠PQC＝β，∠EPQ＝θ，探究∠PEQ，∠PQC和∠EPQ的数量关系，请直接给出结论（用α，β，θ的式子表示）．（题中所有角都是大于0°小于180°的角） 【分析】（1）过点F作FN∥AB，先证AB∥FN∥CD，根据平行线的性质得∠AEF+∠EFN＝180°，∠MFN+∠CMF＝180°，由此得∠AEF+∠EFM+∠CMF＝360°，再根据EF⊥FM，∠CMF＝142°可得∠AEF的度数； （2）（2）延长FG交CH于点K，先由∠HGK＝180°﹣∠FGH，∠FGH＝∠H+90°，得∠HGK＝90°﹣∠H，再根据三角形内角和定理得∠GKH＝∠MKC＝90°，进而得∠MCH+∠CMG＝90°，由此可得∠MCH的度数； （3）由（1）得∠AEF＝128°，则∠BEF＝52°，根据点P为直线AC上一动点，因此有三种情况，①当点P在直线AB，CD之间时，过点P作PT∥AB，先证∠EPQ＝∠AEP+∠PQC，∠AEP＝∠AEF﹣∠PEQ＝128°﹣α，据此可得出∠PEQ，∠PQC和∠EPQ的数量关系；②当点P在直线AB的上方时，又有两种情况：（ⅰ）当点P在点A，R之间时，由平行线的性质得∠EQC＝∠BEF＝52°，则∠PQE＝∠EQC﹣∠PQC＝52°﹣β，再根据三角形的内角和定理可得出∠PEQ，∠PQC和∠EPQ的数量关系；（ⅱ）当点P在点R上方时，由平行线的性质得∠EQC＝∠BEF＝52°，则∠PQE＝∠PQC﹣∠EQC＝β﹣52°，再根据三角形的内角和定理可得出∠PEQ，∠PQC和∠EPQ的数量关系；③当点P在直线CD的下方时，由平行线的性质得∠EQC＝∠BEF＝52°，再根据三角形的内角和定理可得出∠PEQ，∠PQC和∠EPQ的数量关系，综上所述即可得出结论． 【解答】解：（1）过点F作FN∥AB，如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥FN∥CD， ∴∠AEF+∠EFN＝180°，∠MFN+∠CMF＝180°， ∴∠AEF+∠EFN+∠MFN+∠CMF＝360°， 即∠AEF+∠EFM+∠CMF＝360°， ∵EF⊥FM，∠CMF＝142°， ∴∠AEF+90°+142°＝360°， ∴∠AEF＝128°， 故答案为：128． （2）延长FG交CH于点K，如图2所示： ∵∠HGK＝180°﹣∠FGH，∠FGH＝∠H+90°， ∴∠HGK＝180°﹣（∠H+90°）＝90°﹣∠H ∵∠HGK+∠H+∠GKH＝180°， ∴90°﹣∠H+∠H+∠GKH＝180°， ∴∠GKH＝90°， ∴∠MKC＝90°， ∴∠MCH+∠CMG＝90°， ∵∠CMF＝142°， ∴∠CMG＝180°﹣∠CMF＝180°﹣142°＝38°， ∴∠MCH＝90°﹣∠CMG＝90°﹣38°＝52°； （3）由（1）得：∠AEF＝128°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝180°﹣128°＝52°， ∵点P为直线AC上一动点， ∴有以下三种情况， ①当点P在直线AB，CD之间时，过点P作PT∥AB，如图3①所示： ∵AB∥CD， ∵AB∥PT∥CD， ∴∠EPT＝∠AEP，∠QPT＝∠PQC， ∴∠EPT+∠QPT＝∠AEP+∠PQC， 即∠EPQ＝∠AEP+∠PQC， ∵∠PEQ＝α，∠PQC＝β，∠EPQ＝θ， ∴∠AEP＝∠AEF﹣∠PEQ＝128°﹣α， ∴θ＝128°﹣α+β， 故α+θ﹣β＝128°； ②当点P在直线AB的上方时，又有两种情况： （ⅰ）当点P在点A，R之间时，如图3②（1）所示： ∵AB∥CD，∠BEF＝52°， ∴∠EQC＝∠BEF＝52°， ∵∠PEQ＝α，∠PQC＝β，∠EPQ＝θ， ∴∠PQE＝∠EQC﹣∠PQC＝52°﹣β， ∵∠PEQ+∠PQE+∠EPQ＝180°， ∴α+52°﹣β+θ＝180°， 故α+θ﹣β＝128°； （ⅱ）当点P在点R上方时，如图3②（2）所示： ∵AB∥CD，∠BEF＝52°， ∴∠EQC＝∠BEF＝52°， ∵∠PEQ＝α，∠PQC＝β，∠EPQ＝θ， ∴∠PQE＝∠PQC﹣∠EQC＝β﹣52°， ∵∠PEQ+∠PQE+∠EPQ＝180°， ∴α+β﹣52°+θ＝180°， 故α+β+θ＝232°； ③当点P在直线CD的下方时，如图3③所示： ∵AB∥CD，∠BEF＝52°， ∴∠EQC＝∠BEF＝52°， ∵∠PEQ＝α，∠PQC＝β，∠EPQ＝θ， ∴∠EQP＝∠PQC+∠EQC＝β+52°， ∵∠PEQ+∠EQP+∠EPQ＝180°， ∵α+β+52°+θ＝180°， ∴α+β+θ＝128°． 综上所述：∠PEQ，∠PQC和∠EPQ的数量关系是α+θ﹣β＝128°或α+β+θ＝232°或α+β+θ＝128°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． 6．（2024秋•沭阳县期末）（1）如图1，∠EFG＝120°，顶点F在直线CD上，边FE、FG分别与直线AB交于点M、H，且∠CFE+∠GHB＝60°．求证：AB∥CD； （2）如图2，在（1）的条件下分别作∠EFD与∠AHG的平分线FN、HN交于点N，求∠N的度数； （3）如图3，在（1）的条件下作∠CFE的角平分线FI，过点H作一条射线HQ，交直线FI于点P，当∠HPF＝30°时，请直接写出∠BHP与∠FHP的关系式． 【分析】（1）根据平角的定义可得∠CFE+∠GFD＝60°，根据已知条件，等量代换可得∠GHB＝∠GFD，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）设∠GFD＝α，根据角平分线的定义得出，，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）①当P在CD的上方时，②当P在CD的下方时，过点P作PT∥AB，设∠IFC＝β，分别表示出∠BHP与∠FHP，进而得出∠BHP与∠FHP的关系式． 【解答】（1）证明：∵∠EFG＝120°，顶点F在直线CD上， ∴∠CFE+∠GFD＝180°﹣∠EFG＝60°， ∵∠CFE+∠GHB＝60°， ∴∠GHB＝∠GFD， ∴AB∥CD， （2）解：设∠GFD＝α， ∵∠EFG＝120°， ∴∠EFD＝120°+α， ∵FN是∠EFD的角平分线， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠GHB＝∠GFD＝α（两直线平行，同位角相等）， ∵HN是∠AHG的角平分线， ∴， ∵∠NHG是△NFH的一个外角， ∴， （3）解：①当P在CD的上方时，如图所示，过点P作PT∥AB， 设∠IFC＝β， ∵FI平分∠CFE， ∴∠EFI＝∠CFI＝β，则∠GFD＝180﹣∠EFC﹣∠EFG＝60°﹣2β， ∵AB∥CD， ∴∠FHB＝∠CFG＝120°+2β， ∵PT∥AB，AB∥CD， ∴PT∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴∠AHP＝∠HPT，∠TPF＝∠IFC＝β， ∵∠HPF＝30°， ∴∠AHP＝∠HPT＝∠HPF﹣∠FPT＝∠HPF﹣∠IFC＝30°﹣β， ∴∠BHP＝180°﹣∠AHP＝150°+β， ∴∠FHP＝∠BHP﹣∠FHB＝30°﹣β， ∴∠BHP+∠FHP＝180°， ∴∠BHP+∠FHP＝180°， ②当P在CD的下方时，如图所示， 设∠IFC＝β， ∴∠DFP＝∠CFI＝β， ∵PT∥CD， ∴∠FPT＝∠DFP＝β， ∵AB∥PT， ∴∠PHB＝∠HPT＝∠HPF+∠FPT＝30°+β， ∵∠GFD＝180﹣∠EFC﹣∠EFG＝60°﹣2β，∠FHB＝∠CFG＝120°+2β， ∴∠PHF＝∠FHB﹣∠PHB＝90°+β， ∴∠PHF﹣∠PHB＝（90°+β）﹣（30°+β）＝60°， 综上所述，∠BHP+∠FHP＝180°或∠PHF﹣∠PHB＝60°． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（2025春•保定期末）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 （1）如图1，∠CDF+∠DFE＝180°，∠C＝∠DAE，求证：AD∥BC． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，试问∠ADF，∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 （3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1＝31°，则∠2+∠3＝　211　 °． （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，求∠EFG的度数． 【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行，即可得AE∥DC，根据平行线的性质可得∠AEB＝∠C，结合已知条件得出∠AEB＝∠DAE，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点F作FG∥AD，根据两直线平行内错角相等得出∠DFG＝∠ADF，∠GFE＝∠AEB，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，∠2+∠3＝180°+∠1，即可求解． （4）过点E作EH∥AB，得到∠BEH＝α＝15°，再求出∠HEF＝180°﹣β﹣∠BEH＝120°，最后根据EH∥FG得到∠HEF+∠EFG＝180°，据此求解即可． 【解答】（1）证明：∵∠CDF+∠DFE＝180°， ∴AE∥DC（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠AEB＝∠C， ∵∠C＝∠DAE， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴AD∥BC； （2）解：∠DFE＝∠ADF+∠AEB， 过点F作FG∥AD， ∴∠DFG＝∠ADF（两直线平行，内错角相等）， ∵AD∥BC， ∴FG∥BC， ∴∠GFE＝∠AEB， ∴∠DFE＝∠DFG+∠EFG＝∠ADF+∠AEB； （3）解：∠1，∠2，∠3的顶点分别为C，B，F， 依题意，EF∥CD，作AB∥CD，则∠ABC＝∠1＝31°， ∴EF∥AB， ∴∠3+∠FBA＝180°， ∴∠2+∠3＝∠3+∠FBA+∠ABC＝211°， 故答案为：211． （4）解：过点E作EH∥AB， ∴∠BEH＝α＝15°， ∵β＝45°， ∴∠HEF＝180°﹣β﹣∠BEH＝120°， ∵底部支架AB与吊线FG平行， ∴EH∥FG， ∴∠HEF+∠EFG＝180°， ∴∠EFG＝180°﹣∠HEF＝60°． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 8．（2025春•如皋市期中）综合与实践：七年级某学习小组围绕“与平行线有关的‘拐角’”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，点M，N分别在直线AB，CD上，且都在直线EF的右侧．点P是射线FE上一点，连接PM，PN． 【特例初探】 （1）如图1，点P在线段EF上（不与点E，F重合），若∠AMP＝30°，∠CNP＝50°，则∠MPN的度数为 　80　 °； 【猜想再探】 （2）如图2，点P在线段EF上（不与点E，F重合），∠BMP的角平分线与∠DNP的角平分线交于点O，若∠MPN＝α，试用含α的式子表示∠MON； 【综合应用】 （3）若∠BMP的角平分线所在的直线与∠DNP的角平分线所在的直线相交于点O，请直接写出∠MPN与∠MON的数量关系． 【分析】（1）如图所示，过点P作PQ∥AB，可得∠AMP＝∠MPQ＝30°，∠CNP＝∠NPQ＝50°，由∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝30°+50°＝80°，即可求解； （2）根据题意得到∠BMP+DNP＝360°﹣α，根据角平分线的定义得到，由四边形内角和定理得到∠MPN+∠PMO+∠PNO+∠MON＝360°，由此代入计算即可求解； （3）根据题意，分成点P在线段EF上，点O分别在AB上方、AB和CD中间、CD下方时以及点P在AB上方，点O分别在AB上方、AB和CD中间、CD下方时，结合图形，根据平行线的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和进行讨论即可． 【解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠AMP＝∠MPQ＝30°，∠CNP＝∠NPQ＝50°， ∴∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝30°+50°＝80°， 故答案为：80°； （2）根据（1）可得∠AMP+∠CNP＝∠MPN＝α， ∵∠AMP+∠BMP＝180°，∠CNP+∠DNP＝180°， ∴∠AMP+∠CNP+∠BMP+∠DNP＝∠MPN+∠BMP+∠DNP＝α+∠BMP+∠DNP＝360°， ∴∠BMP+∠DNP＝360°﹣α， ∵∠BMP的角平分线与∠DNP的角平分线交于点O， ∴∠BMO＝∠PMO＝∠BMP，， ∴， ∵∠MPN+∠PMO+∠PNO+∠MON＝360°， ∴∠MON＝360°﹣∠MPN﹣（∠PMO+∠PNO）； （3）如图所示，当点P在线段EF上，点O在AB和CD之间时， 由（2）的计算得到，， 如图所示，当点P在线段EF上，点O在AB上方时，过点O作OR∥AB， ∵AB∥CD， ∴OR∥AB∥CD， ∴∠RON+∠DNO＝∠ROM+∠MON+∠DNO＝180°， ∵∠BMP的角平分线所在的直线与∠DNP的角平分线所在的直线相交于点O， ∴，∠DNO+∠PNO∠DNP+∠MON＝180°，∠ROM﹣∠DNO＝180°﹣∠BMS﹣∠DNO＝180°（∠BMP+∠DNP）， 由（2）可得，∠BMP+∠DNP＝360°﹣∠MPN， ∴∠MON＝180°（360°﹣∠MPN）∠MPN． ∴∠MPN＝2∠MON； 如上图所示，当点P在线段EF上，点O在CD下方O处时，过点O作OR∥CD，同理可得∠M'PN'＝2∠M'ON'； 如图所示，当点P在AB上方，点O在AB和CD之间时， ∵AB∥CD， ∴∠DNP＝∠BWP， ∴∠BMP＝∠BWP+∠MPN＝∠DNP+∠MPN， ∴∠AMP＝180°﹣∠BMP＝180°﹣∠DNP﹣∠MPN， ∴（∠DNP+∠MPN）＝2∠DNP+2∠MPN， ∴∠PMO＝∠AMP+∠AMO， ∵∠MPN+∠PMO+∠PNO+∠MON＝360°， ∴∠MON＝360°﹣（∠PMO+∠PNO+∠MPN）， 如图所示，当点P在AB上方，点O在AB上方时，作OR∥AB， ∴． ∴∠MON＝180°﹣∠ROM﹣∠DNO，同理，∠BMP＝∠BWP+∠MPN＝∠DNP+∠MPN， ∴， ∴∠DNP∠MPN， ∴∠MPN＝2∠MON， 如上图所示，当点P在AB上方，点O在CD下方时，过点O作OR∥CD，同理可得，∠M'PN'＝2∠M'ON′， 综上所述，若∠BMP的角平分线所在的直线与∠DNP的角平分线所在的直线相交于点O，∠MPN与∠MON的数量关系为：∠MON＝180°∠MPN或∠MPN＝2∠MON． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角和性质，四边形内角和定理，角平分线的定义等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想的综合运用是关键． 9．（2025春•海安市期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中∠1＝∠2）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子AB，CD是平行放置的，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．则m与n的位置关系是m∥n ． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子CD，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．若m∥n，求两面镜子夹角α的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使A，C重合，并改变它们的角度，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．若m⊥n，求两面镜子夹角β的度数． 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得出∠2＝∠3，再根据已知条件得出∠5＝∠6，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出∠5+∠6＝180°，再根据平角的意义及角的和差得出∠2+∠3＝90°，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出∠1+∠4＝180°﹣β，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）如图， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4， 即∠5＝∠6， ∴m∥n， 故答案为：m∥n； （2）如图， ∵m∥n， ∴∠5+∠6＝180°， ∴∠1+∠2+∠5+∠3+∠4+∠6＝180°+180°＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，2（∠2+∠3）＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠M+∠2+∠3＝180°， ∴∠M＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣90°＝90°， 即α＝90°； （3）如图， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝180°﹣β， ∴∠1+∠4＝180°﹣β． ∵∠1+∠2+∠EFG+∠3+∠4+∠FGH＝180°+180°＝360°， ∴∠EFG+∠FGH＝2β， ∵∠EFG+∠FGH+∠FOG＝180°， ∴∠FOG＝180°﹣2β， 当m⊥m时，∠FOG＝90°， ∴90°＝180°﹣2β， 解得β＝45°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，一元一次方程的应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（2024春•朔州期末）综合与实践 数学课上，老师提出问题：如图，钓板上存在三条互相平行的直线AB，CD，EF，图1中弹性皮筋两端点用钉子固定在点M，N处，拉住皮筋中部的一点至点O处固定，点O在直线CD上，∠MON＝60°．若∠1＝40°，求∠2的度数． 数学思考：（1）完成老师提出的问题． 深入探究：（2）老师让同学们在图1的基础上，通过移动点O的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，在图1的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点O处，另一端用钉子固定在点P处．若∠PON＝45°，求∠1﹣∠3的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，在OM与AB的交点处用钉子固定点G，在ON与EF的交点处用钉子固定点H，将点O移动到点Q处（点Q在直线CD上）．若∠GQH＝70°，请直接写出∠MGQ+∠QHN的值． 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）①首先求出∠MOP＝∠MON﹣∠PON＝15°，然后根据平行线的性质得到∠POD＝∠3，∠1＝∠MOD，进而求解即可； ②根据AB∥CD得到∠MGB＝∠MOD，∠BGQ＝∠GQO，得到∠MGQ＝∠MGB+∠BGQ＝∠MOD+∠GQO，同理可得∠QHN＝∠QHF+∠FHN＝∠OQH+∠QOH，进而等量代换求解即可． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠MOD＝∠1＝40°， ∴∠DON＝∠MON﹣∠MOD＝20°， ∵CD∥EF， ∴∠2＝∠DON＝20°； （2）①∵∠MON＝60°，∠PON＝45°， ∴∠MOP＝∠MON﹣∠PON＝15°， ∵AB∥CD， ∴∠POD＝∠3，∠1＝∠MOD， ∴∠1﹣∠3＝∠MOD﹣∠POD＝∠MOP＝15°； ②∵AB∥CD， ∴∠MGB＝∠MOD，∠BGQ＝∠GQO， ∴∠MGQ＝∠MGB+∠BGQ＝∠MOD+∠GQO， ∵CD∥EF， ∴∠DOH＝∠FHN，∠OQH＝∠QHF， ∴∠QHN＝∠QHF+∠FHN＝∠OQH+∠QOH， ∴∠MGQ+∠QHN ＝∠MOD+∠GQO+∠OQH+∠QOH ＝∠MOH+∠GQH ＝60°+70°＝130°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 考点四 二元一次方程组的应用 11．（2026春•海安市期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买　2　 个A种头盔和　10　 个B种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【解答】解：（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意列方程组得：， 解得， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意列方程得：75m+30n＝450， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该商店共有2种购买方案： 方案一：购进A种头盔2个，B种头盔10个时，利润为：35×2+15×10＝70+150＝220（元）； 方案二：购进A种头盔4个，B种头盔5个时，利润为：35×4+15×5＝140+75＝215（元）； ∵220元＞215元， ∴最大利润是220元． 综上所述，购买2个A种头盔，10个B种头盔获得利润最大． 故答案为：2，10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 12．（2024秋•介休市期末）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 任务3 拟定购买方案 到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 【分析】（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元，根据“购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价＝单价×数量，即可求出结论； （3）设购买m张A场馆门票，n张B场馆门票，则购买（30﹣2m﹣n）张C场馆门票，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设A场馆门票的单价为x元，B场馆门票的单价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价40元； （2）根据题意得：50×12+40×（30﹣12﹣9）＝960（元）． 答：在大家初步意向下所需花费的最少门票总额为960元； （3）设购买m张A场馆门票，n张B场馆门票，则购买（30﹣2m﹣n）张C场馆门票， 根据题意得：50m+40n+15（30﹣2m﹣n）＝750， ∴m＝15n， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票； 方案2：购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 考点五 一元一次不等式组的应用 13．（2025春•启东市期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． （1）求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ （2）学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过计算策划购买方案； （3）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一：（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二：（买一赠一） 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 【分析】（1）设每条跳绳x元，每只毽子y元，根据2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元，列出方程组进行求解即可； （2）设学校购买跳绳m条，根据学校预算经费不能超过600元，列出不等式进行求解即可； （3）分别表示出两种方案所需的费用，进行比较即可． 【解答】解：（1）设每条跳绳x元，每只毽子y元，根据题意得， ， 解得， ∴每条跳绳25元，每只毽子8元； （2）设学校购买跳绳m条， 则25m+8（50﹣m）≤600， 解得， ∵m≥10， ∴m取10或11，购买方案是：购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只； （3）活动一：25×0.9×m+8×0.85（50﹣m）＝15.7m+340， 活动二：25m+8（50﹣m﹣m）＝9m+400， 若15.7m+340＞′9m+400， 解得m＞8， ∴选择优惠活动二更合适． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式是解题的关键． 考点六 三角形综合题 14．（2025春•通州区期末）已知Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点（不与点A，点B重合）． （1）如图1，若CD是△ACB的高，CE是△ACD的角平分线．求证：∠BEC＝∠BCE； （2）如图2，若CP⊥CD，∠ACP＜90°，∠ADC与∠ACP的平分线相交于点Q． ①依题意补全图形； ②试用等式表示∠Q与∠A之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）先根据同角的余角相等证得∠A＝∠BCD，再根据角平分线的定义得出∠ACE＝∠DCE，根据三角形外角的性质得出∠BEC＝∠A+∠ACE，根据角的和差关系得出∠BCE＝∠BCD+∠DCE，问题即可得解； （2）①根据题意画出图形即可； ②设∠ACQ＝x，∠QDC＝y，分别求出∠DCQ、∠ADC、∠ACD的度数，然后根据三角形内角和定理分别求出∠A、∠Q的度数，问题即可得解． 【解答】（1）证明：∵CD是△ACB的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵CE是△ACD的角平分线， ∴∠ACE＝∠DCE， ∵∠BEC是△ACE的外角， ∴∠BEC＝∠A+∠ACE， ∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE； （2）①如图， ②∠Q＝45°， 证明：设∠ACQ＝x，∠QDC＝y， ∵CO平分∠ACP， ∴∠ACP＝2∠ACQ＝2x， ∵CP⊥CD， ∴∠DCP＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠ACP＝90°﹣2x， ∴∠DCQ＝∠ACQ+∠ACD＝x+90°﹣2x＝90°﹣x， ∵DQ平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠QDC＝2y， 在△ADC中，∠A＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣2y﹣（90°﹣2x）＝90°+2（x﹣y）， 在△QDC中，∠Q＝180°﹣∠QDC﹣∠DCQ＝180°﹣y﹣（90°﹣x）＝90°+（x﹣y）， ∴x﹣y＝∠A﹣∠Q， ∴∠Q＝90°+（∠A﹣∠Q）， ∴∠Q＝45°∠A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质， 15．（2025春•如皋市期末）如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AD上（不与A，D重合），∠BED＝∠BDE，延长BE交AC于点F． （1）如图1，若∠ABC＝90°，则∠BFC的度数为 　90　 °； （2）当∠ABC≠90°时，求证：∠ABC+∠BFC＝180°； （3）如图2，∠ACB的角平分线交BF于点G，请用一个等式表示∠CGF，∠ABC，∠ACB三个角之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据角的平分线，对顶角相等，三角形内角和定理计算解答即可； （2）根据（1）的证明解答即可； （3）根据（2）的结论，证明解答即可． 【解答】（1）解：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠FAD， ∵∠BED＝∠BDE，∠BED＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠BDE， ∵∠BFC＝∠AEF+∠FAD＝∠BDE+∠BAD， ∴∠BFC＝∠BDE+∠BAD， ∵∠BDE+∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BDE+∠BAD＝180°﹣∠ABC， ∴∠BFC＝180°﹣∠ABC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°， 故答案为：90； （2）证明：∵AD为△ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝∠FAD， ∵∠BED＝∠BDE，∠BED＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠BDE， ∵∠BFC＝∠AEF+∠FAD＝∠BDE+∠BAD， ∴∠BFC＝∠BDE+∠BAD， ∵∠BDE+∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BDE+∠BAD＝180°﹣∠ABC， ∴∠BFC＝180°﹣∠ABC， ∴∠BFC+∠ABC＝180°； （3）解：.理由如下： 根据（2）解答，得∠ABC＝180°﹣∠BFC， 根据三角形内角和定理，得∠CGF+∠GCF＝180°﹣∠BFC， ∴∠ABC＝∠CGF+∠GCF， ∵∠ACB的角平分线交BF 于点G， ∴， 故． 【点睛】本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，对等角相等，等量代换，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．（2022春•如东县期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）．若x＝m﹣2，y3，其中m，n为实数，且2m﹣n＝4，则称点P为梦想点．例如：取m＝1，代入2m﹣n＝4，得n＝﹣2，此时x＝﹣1，y＝2，则点（﹣1，2）是梦想点． （1）P1（5，2）和P2（﹣4，﹣1）两点中，点P2 是梦想点． （2）求证：梦想点P（x，y）不能在第四象限． （3）若点A（a，b）为梦想点，点B（2，0），△AOB得面积为7，求点A得坐标． 【分析】（1）根据梦想点的定义计算，判断即可； （2）根据梦想点的定义得到m﹣2＜m+1，根据第四象限内点的坐标特征证明结论； （3）根据梦想点的定义用m表示出点A的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】（1）解：∵点P1的坐标为（5，2）， ∴m﹣2＝5，3＝2， 解得：m＝7，n＝﹣2， 则2m﹣n＝2×7﹣（﹣2）＝16≠4， ∴点P1不是梦想点， ∵点P2的坐标为（﹣4，﹣1）， ∴m﹣2＝﹣4，3＝﹣1， 解得：m＝﹣2，n＝﹣8， 则2m﹣n＝2×（﹣2）﹣（﹣8）＝4， ∴点P2是梦想点， 故答案为：P2； （2）证明：当P（x，y）是梦想点时，2m﹣n＝4， 则n＝2m﹣4， ∴x＝m﹣2，y33＝m+1， ∵m﹣2＜m+1， ∴m﹣2＞0时，m+1一定＞0， ∴梦想点P（x，y）不能在第四象限； （3）解：∵点A（a，b）为梦想点， ∴a＝m﹣2，b3，2m﹣n＝4， ∴b＝m+1， ∵S△AOB＝7， ∴2×|m+1|＝7， 解得：m＝6或﹣8， 则点A得坐标为（4，7）或（﹣10，﹣7）． 【点睛】本题考查的是新定义、三角形的面积计算、平面直角坐标系中点的坐标特征，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 17．（2026春•南通期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（b，0），且满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，将线段AB平移得线段DC，点A对应点D，点B对应点C．点D在x轴上，点C在y轴上． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）点P是y轴上的一个动点，当三角形CPD的面积是三角形ADC的面积的一半时，求点P的坐标； （3）若动点E从点D出发向右运动，每秒运动1个单位长度，同时动点F从点C出发向上运动，每秒运动2个单位长度．运动过程中直线DF和CE交于点N，若三角形DCN的面积等于9，请直接写出点N的坐标． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出a，b，根据A到D向下平移的距离，求出点C坐标即可； （2）设AD交y轴于E，作AF⊥x轴于F，根据△ADF的面积等于△DOE和梯形AFOE的面积和，求出E点坐标，根据割补法，用P点坐标表示出△CPD和△ADC的面积，然后代入数量关系求解即可； （3）连接ON，假设N点坐标，根据N点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于N点坐标的二元一次方程组，求解N点坐标即可． 【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣5）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣5＝0， ∴a＝2，b＝5， ∴A（2，5），B（5，0）， ∵点A平移到点D向下平移了5， ∴点B到点C向下平移了5， 又∵点C在y轴上， ∴C（0，﹣5）； （2）∵A（2，5），B（5，0），C（0，﹣5）， ∵点A平移到点D向左平移了5，向下平移了5， ∴D（﹣3，0）， 设AD交y轴于E，作AF⊥x轴于F，如图， 设OE＝x， ∵S△ADF＝S△DOE+S梯形AFOE， ∴， 解得x＝3， ∴E（0，3）， 设P（0，a）， ∴，20， ∴， 解得a或a， ∴P（0，）或（0，）； （3）∵， ∴点N不在△COD内， 设N（m，n）， ∵动点E从点D出发向右运动，每秒运动1个单位长度，同时动点F从点C出发向上运动，每秒运动2个单位长度， ∴CF＝2DE， 设DE＝k，CF＝2k， 当点N在x轴上方时，如图， ∵， ∴， ∴n＝2m+1， 又∵， ∴3n﹣5m＝3， 解得m＝0，n＝1， ∴N（0，1）； 当点N在x轴下方时，如图， ∵S△CDN＝S△CFN﹣S△CDF＝S△DEN﹣S△CDE， ∴， ∴n＝2m+1①， ∵S△CDN＝S△ODN+S△OCN﹣S△COD＝9， ∴， ∴3n+5m＝﹣33②， 联立①②， 解得，， ∴， 综上，N点坐标为（0，1）或． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，主要考查三角形的面积，坐标与图形的性质，非负数的性质，二元一次方程组的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 18．（2026春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（3，﹣2），C（3，2）．点P为直线AB上一点（不与点A，B重合），连接CP． （1）三角形ABC的面积为 　14　 ； （2）若CP∥x轴，探究CP和BC是否相等，说明理由； （3）若，求点P的横坐标． 【分析】（1）求出三角形的底和高即可解答； （2）分别求出CP和BC即可解答； （3）分两种情况进行讨论，再依据S三角形APC+S三角形BPC＝S三角形ABC和S三角形APC﹣S三角形BPC＝S三角形ABC，求出三角形BPC的面积即可解答． 【解答】解：（1）三角形ABC以BC为底，则高为7， ∴三角形ABC的面积为：14， 故答案为：14； （2）CP≠BC，理由如下， ∵CP∥x轴， ∴S三角形APCCP×2＝CP，S三角形BPCCP×4＝2CP， ∵S三角形APC+S三角形BPC＝S三角形ABC， ∴CP+2CP＝14，解得CP， ∵BC＝4， ∴CP≠BC； （3）∵， ∴S三角形APC＞S三角形BPC， ∴点P不可能在线段BA的延长线上， ∴当P在线段AB上时，如图， ∵S三角形APC+S三角形BPC＝S三角形ABC， ∴S三角形BPC+S三角形BPC＝14， 解得S三角形BPC＝6， ∴4×（3﹣xP）＝6， 解得xP＝0； 当P在线段AB的延长线上时，如图， ∵S三角形APC﹣S三角形BPC＝S三角形ABC， ∴S三角形BPC﹣S三角形BPC＝14， 解得S三角形BPC＝42， ∴4×（3﹣xP）＝42， 解得xP＝24； 综上，点P的横坐标为0或24． 【点睛】本题考查坐标与图形，三角形的面积，熟练掌握在坐标系中求三角形的面积是解题关键． 考点七 平面直角坐标系与几何图形 19．（2025春•如皋市期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a，b满足|b﹣12|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A的路线移动，到达点A停止运动． （1）点B的坐标为　（8，12）　 ； （2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为7个单位长度时，求点P移动的时间； （3）当点P在O﹣C﹣B﹣A的路线移动过程中，是否存在点P使△OBP的面积是24，若存在，直接写出点P移动的时间；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据非负数的性质求得a，b，可得A，C的坐标，进而可求得点B的坐标； （2）设点P移动的时间为t秒，点P到x轴的距离为7个单位长度，则点P在OC边上或AB边上，分别列方程求出t的值即可； （3）设点P移动的时间为t秒，当点P在OC边上时；当点P在CB边上时；当点P在AB边上时，分别解方程求出相应的值即可． 【解答】解：（1）∵a，b满足|b﹣12|＝0，∴a﹣8＝0，b﹣12＝0， ∴a＝8，b＝12， ∴A（8，0），C（0，12）， ∵四边形OABC是长方形， ∴BC＝OA，AB＝OC， ∴点B的坐标为（8，12）， 故答案为：（8，12）； （2）设点P移动的时间为t秒， 当点P到x轴的距离为7个单位长度时，有以下两种情况： ①点P在OC边上时，2t＝7， 解得t＝3.5； ②点P在AB边上时，2×12+8﹣2t＝7， 解得t＝12.5； 综上所述，点P移动的时间为3.5秒或12.5秒； （3）存在，设点P移动的时间为t秒， 如图1，当点P在OC边上时， ∵S△OBPOP•BC，且BC＝8，OP＝2t， ∴8×2t＝24， 解得：t＝3； 如图2，当点P在CB边上时， ∵S△OBPBP•OC＝24，且OC＝12，BP＝12+8﹣2t＝20﹣2t， ∴12（20﹣2t）＝24， 解得t＝8； 如图3，当点P在AB边上时， ∵S△OBPBP•OA＝24，且OA＝8，BP＝2t﹣12﹣8＝2t﹣20， ∴8（2t﹣20）＝24， 解得：t＝13； 综上所述，点P移动的时间为3秒或8秒或13秒． 【点睛】此题考查平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、三角形的面积、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示点P移动的距离是解题的关键． 20．（2026春•崇川区校级期中）先阅读下列一段文字，再解答问题． 已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（7，3），B（2，﹣9），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为8，点B的横坐标为﹣2，试求A，B两点间的距离； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可； （2）根据AB＝两点横坐标差的绝对值，计算即可； （3）原式表示点（x，y）到（1，﹣1）和（2，7）的距离之和，由两点之间线段最短，点（x，y）在以（1，﹣1）和（2，7）为端点的线段上时，原式值最小，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵A（7，3），B（2，﹣9）， ∴； （2）根据题意可知：点A，B在平行于x轴的直线上， ∴AB＝|8﹣（﹣2）|＝10． （3）代数式表示点（x，y）到（1，﹣1）和（2，7）的距离之和， ∵两点之间线段最短， ∴点（x，y）在以（1，﹣1）和（2，7）为端点的线段上时，原式值最小， 即最小值为． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，掌握两点间的距离计算公式是解题的关键． 21．（2018春•如皋市期末）平面直角坐标系xOy中，有点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式： 2a﹣3m+1＝0，3b﹣2m﹣16＝0 （1）当a＝1时，点P到x轴的距离为　6　 ； （2）若点P落在x轴上，点P平移后对应点为P′（a+15，b+4），求点P和P′的坐标； （3）当a≤4＜b时，求m的最小整数值． 【分析】（1）求出点P坐标即可解决问题； （2）根据坐标轴上点的特征，可知b＝0，可得P（，0），延长即可解决问题； （3）构建不等式组，求出m的取值范围即可解决问题； 【解答】解：（1）∵a＝1， ∴2﹣3m+1＝0， ∴m＝1， ∴3b﹣2﹣16＝0， ∴b＝6， ∴P（1，6）， ∴点P到x轴的距离为6， 故答案为6． （2）∵点P落在x轴上， ∴b＝0， ∴﹣2m﹣16＝0， ∴m＝﹣8， ∴2a+24+1＝0， ∴a， ∴P（，0），P′（，4）． （3）由题意：4， 解得：﹣2＜m≤3， ∴m的最小整数值为﹣1． 【点睛】本题考查坐标平移、不等式组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 期末复习解答题压轴题专项训练（南通专用） 专题解读：本专题精选2025七年级下期末试卷和2026年期中试卷解答题压轴题，按考点分类，等容易让学生在复习时抓住重点，突破难点，使复习更高效。 考点一 估算无理数的大小 1．（2026春•海门区期中）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a﹣[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]＝2，2.13的小数部分为2.13﹣[2.13]＝0.13． （1）[]＝　 　 ，[]＝　 　 ，π的小数部分＝　 ． （2）设的小数部分为a，则a+[]　 　 ． （3）已知：10x+y，其中x是整数；且0＜y＜1，则x﹣y的相反数是 ． 2．（2025秋•兰溪市期末）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若n＝ab（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若m1是的最初近似值，则的二级近似值m2，的三级近似值m3． 例如：∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，4，6最接近， ∴的最初近似值为5，∴的二级近似值为， ∴的三级近似值为． 任务： （1）的最初近似值是　 　 ； （2）的二级近似值是　 ； （3）若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 考点二 二元一次方程组的解 3．（2023春•启东市期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点为完美点． （1）判断点A（2，3）是否为完美点，并说明理由． （2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由． 4．（2026春•海安市期中）对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4． （1）求a，b的值； （2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 考点三 平行线的判定和性质 5．（2025春•南通期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点M在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FM，EF⊥FM，∠CMF＝142°（1）直接写出∠AEF的度数为 度； （2）如图2，延长FM到G，点H在FG的下方，连接GH，CH，若∠FGH＝∠H+90°，求∠MCH的度数； （3）如图3，作直线AC，延长EF交CD于点Q，P为直线AC上一动点，设∠PEQ＝α，∠PQC＝β，∠EPQ＝θ，探究∠PEQ，∠PQC和∠EPQ的数量关系，请直接给出结论（用α，β，θ的式子表示）．（题中所有角都是大于0°小于180°的角） 6．（2024秋•沭阳县期末）（1）如图1，∠EFG＝120°，顶点F在直线CD上，边FE、FG分别与直线AB交于点M、H，且∠CFE+∠GHB＝60°．求证：AB∥CD； （2）如图2，在（1）的条件下分别作∠EFD与∠AHG的平分线FN、HN交于点N，求∠N的度数； （3）如图3，在（1）的条件下作∠CFE的角平分线FI，过点H作一条射线HQ，交直线FI于点P，当∠HPF＝30°时，请直接写出∠BHP与∠FHP的关系式． 7．（2025春•保定期末）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 （1）如图1，∠CDF+∠DFE＝180°，∠C＝∠DAE，求证：AD∥BC． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，试问∠ADF，∠AEB与∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 （3）路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知∠1＝31°，则∠2+∠3＝　 　 °． （4）一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝15°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝45°，求∠EFG的度数． 8．（2025春•如皋市期中）综合与实践：七年级某学习小组围绕“与平行线有关的‘拐角’”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，点M，N分别在直线AB，CD上，且都在直线EF的右侧．点P是射线FE上一点，连接PM，PN． 【特例初探】 （1）如图1，点P在线段EF上（不与点E，F重合），若∠AMP＝30°，∠CNP＝50°，则∠MPN的度数为 　 　 °； 【猜想再探】 （2）如图2，点P在线段EF上（不与点E，F重合），∠BMP的角平分线与∠DNP的角平分线交于点O，若∠MPN＝α，试用含α的式子表示∠MON； 【综合应用】 （3）若∠BMP的角平分线所在的直线与∠DNP的角平分线所在的直线相交于点O，请直接写出∠MPN与∠MON的数量关系． 9．（2025春•海安市期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中∠1＝∠2）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子AB，CD是平行放置的，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．则m与n的位置关系是 ． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子CD，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．若m∥n，求两面镜子夹角α的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使A，C重合，并改变它们的角度，光线m经过镜子AB，CD两次反射后得到光线n．若m⊥n，求两面镜子夹角β的度数． 10．（2024春•朔州期末）综合与实践 数学课上，老师提出问题：如图，钓板上存在三条互相平行的直线AB，CD，EF，图1中弹性皮筋两端点用钉子固定在点M，N处，拉住皮筋中部的一点至点O处固定，点O在直线CD上，∠MON＝60°．若∠1＝40°，求∠2的度数． 数学思考：（1）完成老师提出的问题． 深入探究：（2）老师让同学们在图1的基础上，通过移动点O的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，在图1的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点O处，另一端用钉子固定在点P处．若∠PON＝45°，求∠1﹣∠3的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，在OM与AB的交点处用钉子固定点G，在ON与EF的交点处用钉子固定点H，将点O移动到点Q处（点Q在直线CD上）．若∠GQH＝70°，请直接写出∠MGQ+∠QHN的值． 考点四 二元一次方程组的应用 11．（2026春•海安市期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买　 　 个A种头盔和　 　 个B种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 12．（2024秋•介休市期末）根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 任务3 拟定购买方案 到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 考点五 一元一次不等式组的应用 13．（2025春•启东市期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． （1）求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ （2）学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过计算策划购买方案； （3）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一：（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二：（买一赠一） 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 考点六 三角形综合题 14．（2025春•通州区期末）已知Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点（不与点A，点B重合）． （1）如图1，若CD是△ACB的高，CE是△ACD的角平分线．求证：∠BEC＝∠BCE； （2）如图2，若CP⊥CD，∠ACP＜90°，∠ADC与∠ACP的平分线相交于点Q． ①依题意补全图形； ②试用等式表示∠Q与∠A之间的数量关系，并证明． 15．（2025春•如皋市期末）如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AD上（不与A，D重合），∠BED＝∠BDE，延长BE交AC于点F． （1）如图1，若∠ABC＝90°，则∠BFC的度数为 　 　 °； （2）当∠ABC≠90°时，求证：∠ABC+∠BFC＝180°； （3）如图2，∠ACB的角平分线交BF于点G，请用一个等式表示∠CGF，∠ABC，∠ACB三个角之间的数量关系，并说明理由． 16．（2022春•如东县期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）．若x＝m﹣2，y3，其中m，n为实数，且2m﹣n＝4，则称点P为梦想点．例如：取m＝1，代入2m﹣n＝4，得n＝﹣2，此时x＝﹣1，y＝2，则点（﹣1，2）是梦想点． （1）P1（5，2）和P2（﹣4，﹣1）两点中，点P2 是梦想点． （2）求证：梦想点P（x，y）不能在第四象限． （3）若点A（a，b）为梦想点，点B（2，0），△AOB得面积为7，求点A得坐标． 17．（2026春•南通期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b），B（b，0），且满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，将线段AB平移得线段DC，点A对应点D，点B对应点C．点D在x轴上，点C在y轴上． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）点P是y轴上的一个动点，当三角形CPD的面积是三角形ADC的面积的一半时，求点P的坐标； （3）若动点E从点D出发向右运动，每秒运动1个单位长度，同时动点F从点C出发向上运动，每秒运动2个单位长度．运动过程中直线DF和CE交于点N，若三角形DCN的面积等于9，请直接写出点N的坐标． 18．（2026春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（3，﹣2），C（3，2）．点P为直线AB上一点（不与点A，B重合），连接CP． （1）三角形ABC的面积为 　14　 ； （2）若CP∥x轴，探究CP和BC是否相等，说明理由； （3）若，求点P的横坐标． 考点七 平面直角坐标系与几何图形 19．（2025春•如皋市期末）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）且a，b满足|b﹣12|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A的路线移动，到达点A停止运动． （1）点B的坐标为　 　 ； （2）在移动过程中，当点P到x轴的距离为7个单位长度时，求点P移动的时间； （3）当点P在O﹣C﹣B﹣A的路线移动过程中，是否存在点P使△OBP的面积是24，若存在，直接写出点P移动的时间；若不存在，请说明理由． 20．（2026春•崇川区校级期中）先阅读下列一段文字，再解答问题． 已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（7，3），B（2，﹣9），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为8，点B的横坐标为﹣2，试求A，B两点间的距离； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 21．（2025春•如皋市期末）平面直角坐标系xOy中，有点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式： 2a﹣3m+1＝0，3b﹣2m﹣16＝0 （1）当a＝1时，点P到x轴的距离为　 　 ； （2）若点P落在x轴上，点P平移后对应点为P′（a+15，b+4），求点P和P′的坐标； （3）当a≤4＜b时，求m的最小整数值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $