上海市第二中学2025-2026学年高二第二学期5月月考数学试卷

20252026学年市二中学高二下5月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1·两条相交直线的夹角的取值范围是 2.若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 (结果保留π) 3.已知双曲线兰-y广=1的左、右焦点分别为斤、，设点P5》 则PF-PF的值为 4 4.若sina= 2’且ae0,列，则a所有可能的值为 频率 个组距 5.对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进 1.75 行统计，其结果的频率分布直方图如图.若高校A专业对视力要 .00-… 求不低于0.9，则该班学生中有 人能报考该专业。 8 .25 0630.50.70.91.1131.5视力 6.某校高中一年级共有男生204名，女生221名.徐老师为了解该校高一年级学生的身高情况，采用分 层抽样的方法，随机抽出男生24名，女生n名，则n的值为 7.设z∈C,且z=1,z与i(其中i是虚数单位)在复平面上对应的点分别为Z与Z',则线段ZZ的长 度为 8.从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相 邻的概率为 100 2己知等差数列{a,}的公差d=2’且∑44=60，则g =1 -1 10.已知抛物线：y2=2px(p>0),若第一象限的A,B两点在抛物线上，焦点为F,AF=2,BF=4, AB=3,则直线AB的斜率k的值为， 11.在平面直角坐标系xO少巾，圆x2+y2=1上一质点A从点(1,0)出发按逆时针方向做匀速圆周运动，角 速度大小为1弧度/秒，该圆上另·质点B同时从点(0，)出发按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度大 小也为1弧度/秒，设运动时间为x(0≤x≤2π)秒.当OA与OB火角最大时，所有满足条件的x的取值组 成的集合为 12.半径为2的球O内部有一定点P,PO=1,过点P作该球的截面⊙O,将该球分为两部分，体积分别 第1页共5页 为、，.类比教材中利用祖胞原理推导球体积的方法，可求得的最小值为 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第1516题每题5分） I3.如果事件A与事件B独立，且P(A),P(B)∈(0,1)，A、B分别是A、B的对立事件，那么以下等式 一定成立的是( A.P(AUB)=P(AP(B) B.P(A∩B)=P(A)+P(B) C.P(A0B)=P(A)P(B) D.P(AUB)=P(A)+1-P(B) 14.如图，正方体ABCD-AB,CD中，P、Q分别是线段AC、线段BB的中点.则以下和直线PQ相交 的是直线( B A.AD B.BD C.CD D.DD D 15.若存在实数a、b,使得函数y=f(x-a)+b的图像将圆C:x2+y2+2x-4y-11=0分成周长、面积均 相等的两部分，则称函数y=f(x)为美好函数”.若f(x)从“，x2,e,lnx,sinx,cosx“这6个 表达式中随机选·个，则函数y=f(x)是“美好函数”的概率为( ) A.2 B 2 C. D. 6 3 16.给定两个不共线的向量a、d,H对任意整数n,a=a,+d和b,=a,+a++an同时成立.则 关于以下两个命题的判断，正确的是( ) ①对任意正偶数k，均存在正整数m,使得b1与am共线： ②存在正整数m,对任意正偶数k,均有b1与am不共线. A.①、②都正确 B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①、②都错误 三、解答趣（本大题共有5题，满分78分） 17.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+a(n为正整数)，其中a为非零实数. (1)求数列{an}的通项公式 (2)若数列{Sn}的前三项依次成等比数列，求实数a的值. 18.设f(x)=sin @x(其中w>0). )若@=1，A、8、C为△8C角三个内角，其中8=2,19-32，儿@)-号，求线段4C的长 度； (2)若函数y=f(x)最小止周期为π，求函数y=f(x)+cos2x-sin2x的值域. 第3页共5页 19.药物临床试验是确证新药有效性和安全性必不可少的步骤.某新药临床试验将14位病人志慰者平均 分为A、B两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下： A组：10.5,11.5,12.5,13.5,14.5,15.5,16.5： B组：12,13,15,16,17,14，a,其中a为实数.假设所有病人的康复时间互相独立. (1)从A组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于A组第60百分位数的概率： (2)若B组病人康复时间的方差小于A组病人康复时间的方差，求实数a的取值范围. 20.如图，己知直三棱柱ABC-AB,C所有棱长均为2.过线段AC中点M作平面a/平面ABB,A,设点 N为平面a与线段AC的交点. B (1)求直线AM与平面ABC所成角的大小： A (2)求证：MN//AA,并求点N到直线AB的距离. M 第4页共5页 21.匆图。已知半稻圆号+号-≥0)与半稀圆r:+号-6≤0)组城的通线称为果图“果圆 与x轴、y轴的交点分别为A、A、B,、B2. (1)写出半椭圆T,所在椭圆的离心率，并计算四边形AB,A,B2的面积 (2)设平行于AB的直线I交厂，于M、N两点.若AB=MN|,求直线I的方程： (3)若封闭曲线下在“果圆的内部（含边界），则可用曲线厂拟合“果圆”，将曲线厂与“果圆”面积的比值 记为“拟合系数”，其中0<≤1.问是否存在圆心在x轴上的圆C,使得圆C的拟合系数比四边形 A,B,AB2的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时圆C的圆心坐标和半径；若不存在，请说明理 由 珠 3 A2 0 A,主 B 第5页共5页 2025~2026学年市二中学高二下5月月考数学试卷 一、填空题 1.两条相交直线的夹角的取值范围是 【答案】 【解折】两条相交直线的夹角的取值范国是(0引 2.若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 (结果保留π) 【答案】2π 【解折】底面半径为1，则底面网长c=2,侧面展开图的面积为S=方=×2×2=2x, 3.已知风偏线苦少1的左、右焦点分别为只、，设点P(5,引则-P的值为 【答案】4 【解折】由双曲线的标准方程可得a=2,由P5,)满足方程兰-少=1，知点P在双曲线的右支上， PR-PF=2a=4. 4.若sna=立且ae0列，则a所有可能的值为 【答案】严或5π 6 6 【解析】若ae0,2 由sina=得a=若a π 6 2π， 由sina=，得a=n 1 2 6 5.对学校高三年级某班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如 图.若高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中有 人能报考该专业， 【答案】20 频率 组距 【解析】由频率分布直方图知：视力在0.9以上的频率为： 1.75 (1+0.75+0.25)×0.2=0.4, 1.00 所以该班学生中能报专业的最多人数为50×0.4=20. 838 0.25 0.30.50.70.91.11.31.5视力 6.某校高巾.·年级共有男生204名，女生221名.徐老师为了解该校高·年级学生的身高情况，采用分 层抽样的方法，随机抽出男生24名，女生n名，则n的值为 【答案】26 第1页共11页 J·y1于-yx三 【解】根据抽样比可知：分一治·解待=26。 7.设z∈C,且=1，z与i(其中i是虚数单位)在复平面上对应的点分别为Z与Z',则线段ZZ的长 度为 【答茶】√2 【解析】设z=a+bi(a,beR),则点Z(a,b),且a2+b2=1, .zi=i(a+bi)=-b+ai,则点Z'(-b,a, 所以线段zZ的长度为V(a+b)+(a-b)'=2(+b2)=V2 8.从编号分别为1、2、3、4、5的5个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相 邻的概率为一； 【答案1 【解析】依题意得，取出的三个小球编号的所有可能为123,124,125,134,135,145,234,235,245,345，共10种， 其屮恰好两个小球编号相邻的有124,125,134,145,235,245，共6种，根据占典概型的计算公式，恰有2 个小球编号相邻的概率为：0了 63 100 9.已知等差数列a}的公差d=2且豆4=60，则4， i-1 【答案】-2415 【解析】由公差d=)，且4=60， 得∑4=4+4，+4，++4物=8+mx100=60, 2 即2a+09-三×10=60·解得4=-4得 2 10 则24=4+4，+…+am=-100×489+100x9×=-2415. 10 =1 10 22 10.己知抛物线：y2=2px(p>0),若第一象限的A,B两点在抛物线上，焦点为F,AF=2,BF=4, |AB=3,则直线AB的斜率k的值为 【答案】 2 【解析】设A(x,),B(x22), 第2页共1页 根据抛物线定义，4F=+号=2，BF=名+号=4，得k-=2, 2 A=+-=3,且k>0,得k=5 11.在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=1上一质点A从点(1,0)出发按逆时针方向做匀速圆周运动，角 速度大小为1弧度/秒，该圆上另一质点B同时从点(0，)出发按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度大 小也为1弧度/秒，设运动时间为x(0≤x≤2π)秒.当OA与OB夹角最大时，所有满足条件的x的取值组 成的集合为 【答案】 3π7π 144j 【解析】经时间x后，OA与x轴正向所成的角为x,OB与x正向所成的角为 B 2 依盟当OA,O丽夹角最大时有，x-(任-2+ke2), A 解得x=kπ+ cZ). 又0≤x≤2，可得k=0或1，此时x为琴或 41 12.半径为2的球O内部有一定点P,PO=1,过点P作该球的截面⊙O,将该球分为两部分，体积分别 为、片.类比教材中利用祖吨原理推导球体积的方法，可求得 兰的最小值为 【答案】岛 【解析】设球缺（球的截面分球的两个部分）所在球体的半径为R,球缺的高度为H(球垂直于截面的半 径的端点到截面的距离)， 0 O 不妨设H>R,先用与水平面平行且经过球缺所在球的球心的平面截球缺， 则球台的高为H-R,下底面半径为R,上底面半径为√R2-(H-R)2, 由祖啦原理，球台体积等于与之等高，底而半径相等的圆柱挖去一个与之等高的小圆锥余下的几何体的 体积， 第3页共11页 共小题锥的底而十径为H-R,则球台休积为R(H-用写(H-R, 将共1：半球的体积.即球统的体秋：”(H-)-写H-R+子R-H6-D 3 若H<R,则可先计算分一光高为2R-H的人球缺体积，用球的体积减火人球缺的体积， 即小球续伯体积为a-考-2R-1-2R-】-4R-2R-mR+=3R- 3 类比球休积的推宁方法，构造一个底而半径r=√21-I严的圆柱， 里而挖去底而为例柱下底而，顶点为上底而的例心的例锥，则川以算得在任意高度h, 两个儿何体的截i面积均为S=π(2Rh-h2), 故两个几何体的休积相等，V'=π(2RH-H2)>0可知H越大，体积越大，故当截而乖直JOP时， 取较大的球缺的休积为%，较小的为，可得所求最小伉为27 二、单选题 13.如果半件A与半件B独立，HP(A),P(B)∈(O,),A、B分别是A、B的对立半件，那么以下等式 一定成立的是() A.P(AUB)=P(4)P(B) B.P(A0B)=P(4)+P(B) c.r(AnB)=r(A)r(⑧) D.P(AUB)=P(M)+1-P(B) 【然案】C 【解析】因为半件A与半件B是州独立半件，则半件A与并件B也是州独立半件， 所以P(AUB)=P(4)+P(B)-P(4)P(B),故A不符合题意； P(AOB)=P(A)P(B),故B不符合题意： P(AnB)=P(A)P(),故C符合题忘； P(UB)=P()+1-P(B)-P()1-P(B)],枚D不符合题意. 故选：C 14.如图，正方体AB(D-A,B,C,D,,P、Q分别是线段AC、线段BB,的点.则以下和肖线Q州交 的是直线( ). 第4负共11负 A.AD B.BD D B C.CD, D.DD 【答案】D 【解析】连接BD,正方体ABCD-A,B,CD,中，P是线段A,C的中点， D 所以P是线段B,D的中点. 由P2I1BD,PO文平面ABCD,BD,C平面ABCD, 得PQ∥平面ABC,D, 所以PQ与AD,不相交，故A不正确： 由P、Q分别是线段B,D、BB,的中点，得PQ∥BD,故B不正确； 由POC平面BDD,B,D,生PQ,CE平面BDD,B,得CD与直线P9异面，故C不正确； 对于D,因为DD∥BB,BB,∩PQ=Q, 所以DD,与直线PQ不平行， 又DD,PQC平面BDDB, 所以DD,与直线PQ相交，故D正确. 枚选：D. 15.若存在实数a、b,使得函数y=f(x-a)+b的图像将圆C:x2+y2+2x-4y-11=0分成周长、面积均 相等的两部分，则称函数y=(x)为“类好函数”.若f(x)从，，e,nx,sinx,cosx”这6个 表达式中随机选·个，则函数y=∫(x)是“美好函数”的概为为() A.号 B c.a 【答案】A 【解析】圆C:x2+y2+2x-4y-11=0,即(x+1)2+(y-2)2=16,其圆心为(-1,2)， 第5页共11页 因为函数y=f(x-a+b的阁像将圆C分成周长、而积均相等的两部分， 所以函数y=f(x-a)+b的图象关丁(-1,2)中心对称， 所以“关好函数”y=f(x)成该是一个中心对称函数，且含对称中心的连续区问长度超过4. f()=,f()=sin,f()=c0sx心对称函数，共图象关于原点对称H合对称小心的连续以问长度超 过4， f(x)=x2都是偶函数，其图象关丁y轴对称，不符合燃意，f(x)=e,f(x)=Inx都是非奇非侧函数， 其象不关于原点对称，不符合题意 所以，从6个函数的表达式中随机选一个，则两数y=()是“关好的数的概车为2-号 62 故逃：A. I6.给定两个不共线的向量a、d,且对任意整数n,an1=an+d和万，=a+a+…+an同时成立.则 关丁以卜两个命趣的判断，正确的是( ). ①对仁意止偶数k,均L整数m,使得b,与jam共线： ②存在正整数m,对任总正偶数k,均行b与am不共线. A.①、②都止确 B.①L确，②铅误 C.①错误，②确 D.①、②都错误 【答案】A 【标】设云-云+，则可有可=或+反=网+五=区+生 其中元与d不共线，要使与a共线，则m=+2 2 ()对作意的止偶数k,总作轻数m=专，使得么马o共线，放(1)对 (2)收m=1,则k=0,故不存在正偶数伙得b与a共线，故(2)对. 枚选：A. 三、解答题 17.己知数列{an}的前n项和S,=n2+2n+a（n为正整数)，共中a为非父实数. (1)求数列{a}的通项公式： 第6页共11页 (2)若数列{S}的前三项依次成等比数列，求实数“的伉. [a+3,n=1 【答案】(1)4，= 2n+1n≥2neN:(2)号 【解析】(1)数列{an}的前n项和S,=n2+2n+a, 当n≥2时，an=Sn-Sn,=n2+2n+a-[-l)°+2(n-1)+=2n+1, ia=S,=a+3,a≠0，不满足.上式， a+3,n=1 所以an= 2n+1,n≥2，n∈N (2)依题意，S,=a+3,S2=a+8,S=a+15, 由数列}的前二项依次成等比数列，得(a+3Xa+15)=a+8,解符= 2， 当a=时，均不为0，所以a=? 2 18.设f(x)=sinx（其ao>0). )若m=1,有、A、C为△ABC的三个内角，共中B=2,f-2三，了（例-号，求线段4C的长 度： (2)若数y=f(x)最小周期为π，求函数y=f(x)+cosx-sinx的作域. 【答案】(1)V2:(2)[-2,2] 【解析】(I)因为0=1，则)=s血x,所以snC=2巨， sinB= 2 3 2 义B=2,巾证弦定理4C=B sin B sinC,得到4C= ABsin B2x号 =2 sinc'2√2 (2)题知2红=元，得到u=2,所以f)=si血2x, 则y=sin2x+cosx-sin2r=sn2x+coc2r=V2sn2x+牙到， 又-1≤sim2x+4s1,则-2sy5反， 所以响数v=f(x)+cos2x-sin2x的作域为[-2，]。 第7页共11灾 4口·41y1于-y火兰 19.药物临床试验是确证新药有效性和安企性必不可少的步骤.某新药临床试验将14位病人志愿者平均 分为A、B两组，他们服用该药物后的康复时间记录如下： A组：10.5,11.5,12.5,13.5,14.5,15.5,16.5： B组：12,13,15,16,17,14，a,其中a为实数.假设所有病人的康复时间互相独立. (1)从A组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于A组第60百分位数的概率： (2)若B组病人康复时间的方差小于A组病人康复时间的方差，求实数a的取值范围. 【答案】(1)多：(2)1,13) 【解析】(1)由7×60%=4.2，得A组第60百分位数为第5个数：14.5，A组中康复时间不少于14.5共 有3人， 故从A组随机选1人记为甲，求甲的康复时间不少于A组第60百分位数的概率为号 (2)A组病人康复时间的平均数x4=(0.5+11.5+125+13.5+14.5+15.5+16.5)=13.5; A组病人康复时问的方差为S经=北(-3+(-2+（←+02+1P+2+3]=4: B组病人康复时问的平均数。=)2+13+14+15+16+17+a)=87+a B组病人康复时问的方差为： -3旷ヅ"1j29,7 由S<S,得 3++"+2+74， 化简，得a2-29a+198<0,解得11<a<18. 故实数a的取值范围是(11,18)。 20.如图，已知直三棱柱ABC-AB,C所有棱长均为2.过线段AC中点M作平面a/平面ABB,A,设点 N为平面a与线段AC,的交点. (1)求直线A,M与平面ABC所成角的大小： (2)求证：MN/1AA,并求点N到直线AB的距离. 第8页共1页 【答案】(1)arctan2;(2) 9 2 【解析】(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，冇AA⊥平而ABC, 所以∠A,MA即为直线A,M与半而ABC所成角的半而角， 因为点M为AC的中点，所以AM=I,AA=2, 所以tan∠AMA=4A=2, AM 即肖线AM与平iAB(所成h的为arctan2: (2)因为平而a1/平而ABB,A,且Nc平而a, 6 所以MW11Y而ABB,A, 因为MNc平AACC,AAc平面AA,CC, B 所以MN114, 连接AN,BN,BM, 作直棱柱ABC-AB,C中，底而ABC为止三角形， 所以BM=√B2-AM=5,BN=√BM+MN=V万，N=√AM2+MW=V5, 在a中，Qo∠XM=w+B心怎，则m∠Hn=小-o∠- 2AN·AB 10 10 所以点N到省线AB的证离为Nsin∠NMB=5x5-四 102 21.如阁，心勿半箱调r苦+亏=1(e≥0)与半精调r+号=0≤0)组成的前线称为笑树r果时 与x轴、y轴的交点分别为4、4、B、B2. （1)写出半椭例所在椭例的离心率，并计算四边形AB,A,B2的面积： (2)设平行4B2的直线1交TM、N两点.A,B2=MW,求直线I的方程： (3)若封闭曲线Γ在“果岗的内部（含边界），则可川曲线「拟合“果岗”，将曲线厂与“果岗”面积的比值 记为拟合系数”，其0<%≤1.问是今行作圆心作：x轴上的圆C,使得圆C的拟合系数比四边形 A,BAB2的拟合系数更大？若存在，求出拟合系数最大时岗C的岗心坐标和半径：若不存在，请说明理 第9页共11页 由. y B2 【答案】()e=s=35: (2)y=V5x-65 9)作在，圆心为行小单径为： 【解析】(1)根据题意可知4(2,0)，B(0,-V5),B(0,V⑤)，4(-1,0)， 所以半椭圆r,的离心率为e=S。V厅-B= aa 2 四边形AB4,B,的面积为S=×2√5×1+2)=35. (2)由A,B2的斜率k= 5-0=5,可设1的方程为y=5x+m(m<0, 0-(-1) 将它与「，的方程联立，消y整理得15x2+8√3mx+4m2-12=0, 设M(xy),N(x2y2),则有 △=192m2-60(4m2-12）=720-48m2>0 x+5=-8v5m0 15 ,解得-√5<m<-5, 2= 4m2-12>0 15 2 又因为MN=V-x)+0-}=2G+x-4xx=2 83m 15 -44m-12=-4,=2, 15 化简可得-答，结合-压<m<一6 解得m= 165,故直线1的方程为y=5x-65 4 (3)依题意，只需要比较在“果圆”内部的圆的面积最人值与四边形AB,A,B2面积即可. 设圆C的圆心C(m,0),半径为r,则圆C的方程为(x-m)2+y2=r2, 易有以原点为圆心的单位圆在“果圆”内部， 故应该有me[0,小，1sr<44=3 22 设r,上有任意一点P2cos85sm),ae[-引则r≤PCm,0≤cos9≤1， 第10页共11页 |PC=V(2cos0-m}+3sin20=v(cos0-2m}'+3-3m2, 当m引时，es0=2m时，16-： 当m[6别]时，cosg=1时PcL=2-m, 同理，设r,上有任意-点Q(eaa5snc小.a[径]，可有2cL=1+m 记f(m)= m-m+以a g-ga+m经 易有，当m=方时人（间=子此时圆面S=-经>35. 故网心为行0半径为号的圆，符合愿意 第1页共11页