精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼后旗金宝屯镇初级中学等校二模数学试题

2025－2026学年九年级数学测试 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 节约用电5千瓦记作＋5千瓦，则浪费电3千瓦记作（ ） A. 千瓦 B. 千瓦 C. 千瓦 D. 千瓦 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 某校进行《西游记》，《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》四大名著的阅读活动，小明从中任取一本，恰好抽到《三国演义》的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，A，C分别是圆周上的两个点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数中x，y的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 4 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图象与x轴的交点坐标为和 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______． 10. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是_____． 11. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是__________． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 三、解答题（本题共6小题，计64分） 13. 计算与化简： （1）； （2）． 14. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； （2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； （3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 15. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 16. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长都为1，建立平面直角坐标系，其中的三个顶点坐标分别为，，．将先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到． （1）请画出平移后的． （2）的面积为________． 17. 如图，在Rt中，D是的中点，，．若点O为上一点，且三点均在上，连接，与相切于点． （1）求证：四边形是菱形 （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径； 18. 【问题提出】 （1）如图1，在中，D为边上一动点，，，则的最小值为________． 【问题解决】 （2）如图2，某学校为了开展班级足球比赛，在学校操场的一块等边上划分几块区域，方便同学们平时训练．设计如下：用三条围栏，，将分成四部分，其中，为裁判活动区，且，，．为了方便同学们训练，需要使裁判活动区面积最小．请你用所学的知识计算面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级数学测试 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 节约用电5千瓦记作＋5千瓦，则浪费电3千瓦记作（ ） A. 千瓦 B. 千瓦 C. 千瓦 D. 千瓦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，解题思路是根据题目给定的正方向，确定相反意义的量的符号. 【详解】∵题目规定节约用电记为正，节约用电千瓦记作千瓦， ∴与节约用电意义相反的浪费电应当记为负， 因此浪费电千瓦记作千瓦， 所以答案选C. 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 3. 某校进行《西游记》，《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》四大名著的阅读活动，小明从中任取一本，恰好抽到《三国演义》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式，用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解． 【详解】解：∵共有4本不同的名著，任取一本时所有等可能的结果共4种，其中抽到《三国演义》的结果只有1种， ∴所求概率． 4. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需要根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则和完全平方公式，逐一判断各选项是否正确. 【详解】选项A：∵ 与 不是同类项，不能合并，∴ A计算错误； 选项B：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得 ，∴ B计算错误； 选项C：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，得 ，∴ C计算正确. 选项D：根据完全平方公式，得 ，∴ D计算错误. 综上，答案选C. 6. 如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 7. 如图，是的直径，A，C分别是圆周上的两个点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出的度数，再利用邻补角的性质求出的度数． 【详解】解：与分别是中弧所对的圆周角和圆心角 是的直径 8. 二次函数中x，y的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 4 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 图象与x轴的交点坐标为和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象性质．利用表格中的数据，用待定系数法求出二次函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵时，， ∴， 即． 选取表格中两组对应值，代入中，得： 化简得：， 解得：， ∴ 二次函数解析式为，配方得． ∵， ∴ 抛物线开口向上，A错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴B错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，y随x的增大而增大， 又∵满足，因此当时，y随x的增大而增大，C正确； 令，得， 解得，即图象与x轴交点为和，不是和， ∴D错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 请写出一个使在实数范围内有意义的的值：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，然后在范围内取的值即可，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，则， ∴实数范围内有意义的的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，坐标与图形性质，得A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴A，C关于原点对称， ∵， ∴． 11. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则． 三、解答题（本题共6小题，计64分） 13. 计算与化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； （2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； （3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）100；见解析 （2）900名 （3）树状图见解析 ； 【解析】 【分析】（1）根据喜欢歌舞的人数和所占百分比求出总人数，进而可求出喜爱小品的人数，并补全条形图即可； （2）由总人数乘以喜爱小品的人数的百分数即可得解； （3）画树状图展示种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为（人）， 所以喜欢小品的人数为（人）， 补全条形图如图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 解：估计喜欢小品节目类型的人数为人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件的概率． 15. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）每个篮球60元，每个足球50元 （2）当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． 【小问2详解】 设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 16. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长都为1，建立平面直角坐标系，其中的三个顶点坐标分别为，，．将先向右平移5个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到． （1）请画出平移后的． （2）的面积为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出平移后的图形即可； （2）利用网格求三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积为：． 17. 如图，在Rt中，D是的中点，，．若点O为上一点，且三点均在上，连接，与相切于点． （1）求证：四边形是菱形 （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，，得到四边形为平行四边形，再根据斜边中线等于斜边一半得到，即可证明平行四边形为菱形． （2）连接，证明，得到，由切线的性质得到，即可证明是的切线； （3）先求出，设半径为，则，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形为平行四边形， 又，且为中点， ， 平行四边形为菱形． 【小问2详解】 证明：∵平行四边形为菱形， ， 连接，如图， ， ， ， 切于， ， ， 点在上， 与相切， 【小问3详解】 解：四边形为菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ； 设半径为， ， ， ， ∴， ∴， 解得：． 18. 【问题提出】 （1）如图1，在中，D为边上一动点，，，则的最小值为________． 【问题解决】 （2）如图2，某学校为了开展班级足球比赛，在学校操场的一块等边上划分几块区域，方便同学们平时训练．设计如下：用三条围栏，，将分成四部分，其中，为裁判活动区，且，，．为了方便同学们训练，需要使裁判活动区面积最小．请你用所学的知识计算面积的最小值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作，利用垂线段最短得出当点D移动到点时，取得最小值，再由三角形面积即可求解； （2）根据等边三角形的性质及等量代换得出，，结合题意确定，设，，得出，，过点E作，，，利用三角函数得出，，，分别表示出各个三角形的面积，得出，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点A作，如图所示： 当点D移动到点时，取得最小值， ∵，， ∴即， 解得， ∴的最小值为6； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∴， 过点E作于点E，过点D作于点N，过点E作于点H，如图所示： ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ∴， 过点A作， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴整理得：， 当时，即时， ∴有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $