精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市奈曼旗九年级联考二模 数学试题

2026年5月教学质量检测九年级模拟试题 数学 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：实数的相反数是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴选项A错误； ∵，∴选项B错误； ∵与底数不同，不能按同底数幂除法化简，，∴选项C错误； ∵，∴选项D正确． 3. 如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 三种视图都是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，轴对称图形的识别，先确定三视图，再根据轴对称图形的定义进行判断即可．正确的画出三视图，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：该几何体的左视图，主视图和俯视图分别为： ，， 只有左视图是轴对称图形， 故选B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 6. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ） A. 5 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 7. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 8. 一列快车从A地匀速驶向B地，一列慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 两车出发后相遇 B. A，B两地相距 C. 快车比慢车早到达目的地 D. 快车的速度为，慢车的速度为 【答案】D 【解析】 【分析】首先明确函数图像的特殊点意义：时的s值就是A、B两地的距离；时对应的t值就是两车相遇的时间；因为两车相向而行，相遇时路程和等于总路程，所以用总路程除以相遇时间可得到两车的速度和； 观察图像拐点，时，此时其中一辆车到达终点，该点对应的s为，可据此先算出先到达终点的车辆的速度，再结合速度和算出另一辆车的速度；分别用总路程除以两车速度，得到两车走完全程的时间，再计算时间差，对应判断各选项． 【详解】选项A：由图可知，时，两车距离，说明出发后两车相遇，A选项结论正确； 选项B：时，两车还未出发，距离，即A、B两地相距，B选项结论正确； 选项D： 两车2小时相遇，因此速度和：， 图像转折点表示快车到达B地（之后仅慢车行驶），从相遇至快车到达，用时，这段路程就是相遇前慢车走的​， ∴​， 联立​​， 解得， ∴D选项中快车速度错误，D选项结论错误． 选项C：快车走完全程时间：，慢车走完全程时间：，时间差：，即快车比慢车早到达，C选项结论正确； 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 2026年五一假期（5月1日—5月5日），内蒙古累计接待国内游客约1776万人次．将数据1776用科学记数法表示为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 10. 蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据总价等于单价乘以数量，分别求出购买蒙古馅饼和稀果羹的费用，再将两者相加，即可得到总费用． 【详解】解：由题意可得：购买张蒙古馅饼的总费用为元， 购买杯稀果羹的总费用为元， 总费用为元. 11. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点左于点，由题意得，，，，先解，再解，最后由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上的动点，连接，，G为的中点，H为的中点，连接，则的最大值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，求出，，则求出的最大值即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵为的中点，为的中点， ∴（三角形的中位线定理）， ∴当取得最大值时，也取得最大值， ∵在是边上的动点，且， ∴当点与点重合时，的值最大，最大值为， ∴的最大值是． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解答下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解： ． ， ． 14. 为了解我区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了名学生，数据分析如下． 【收集与整理】 农村学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 城区学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． 【描述与分析】 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 城区 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中、的值，______，______； （2）【迁移与应用】 若从本次艺术成绩在分以上的名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1），； （2）； （3） 解：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化程度． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可； （2）农村学校分以上学生有人，分别记为，，城区学校分以上学生有人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可； （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，提出合理化建议即可． 【小问1详解】 解：， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， ∴． 【小问2详解】 解：农村学校分以上学生有人，分别记为，，城区学校分以上学生有人，分别记为，，画树状图如下： 总共有种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有种， ∴（所选两名学生恰好都是城区学生）． 【小问3详解】 略 15. 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】（1）A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 （2）当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． 【小问2详解】 解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 16. 如图，四边形内接于，为的直径，D为的中点，，的延长线交于点F，过点D作的切线交的延长线于点E． （1）求证：①；②． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：①为的直径， ， ， 与相切于点D， ， ， ， ． ， ． ②为的直径， ． 为的中点， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）①因为是的切线，是直径，所以根据切线的性质得，可得，因为是直径，所以根据直径所对圆周角是直角得，得到 ，再根据同弧所对的圆周角相等可得，等量代换得到； ②因为D是中点，所以根据等弧所对圆周角相等得，因为是直径，所以，利用角的和差，可得，进而得到； （2）由于，结合公共角可证，得到相似比，通过设，根据相似三角形的对应边成比例得到、的长度，最后利用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）②知，，， ∵点F在的延长线上， ， ， 又， ， 设，则，， 在中，， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 17. 综合与实践： 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆A以初速度进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆B以恒定速度同向匀速行驶．为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆A在水平直道上运动的数据如表： 时间 0 0.5 1 1.5 2 速度 20 16 12 8 4 路程 0 9 16 21 24 【问题探究】 （1）已知速度v是时间t的一次函数，路程s是时间t的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆A从驶入水平直道到完全停下所行驶的总路程． （2）测试车辆A驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车B从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物测试车B，求安全初始距离d的最小值． 【答案】（1），．车辆A从驶入水平直道到完全停下所行驶的总路程为． （2）安全初始距离d的最小值是． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出，，再计算时，此时即可； （2）目标障碍物测试车B行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，得到，利用二次函数的性质求出安全初始距离d的最小值是． 【小问1详解】 解：设，将点，分别代入， 得，解得， ． 设，将点，，分别代入， 得，解得， ． 当时，，即，此时， ∴车辆A从驶入水平直道到完全停下所行驶的总路程为． 【小问2详解】 目标障碍物测试车B行驶的路程为，要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足． ，． ， ∴当时，取最大值9， 最小为时才安全，即安全初始距离d的最小值是． 18. （1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可； （2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵，即， ∴，，， 作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）设， 由旋转的性质得，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月教学质量检测九年级模拟试题 数学 注意事项：1．本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 三种视图都是 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ） A. 5 B. C. 8 D. 7. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（ ） A. B. C. D. 8. 一列快车从A地匀速驶向B地，一列慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 两车出发后相遇 B. A，B两地相距 C. 快车比慢车早到达目的地 D. 快车的速度为，慢车的速度为 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 2026年五一假期（5月1日—5月5日），内蒙古累计接待国内游客约1776万人次．将数据1776用科学记数法表示为_______________． 10. 蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 11. 某科技小组用无人机测量一池塘水面两端的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面的处，测得处的俯角为，处的俯角为，则之间的距离是_________m．（取） 12. 如图，在矩形中，，，E，F分别是边，上的动点，连接，，G为的中点，H为的中点，连接，则的最大值是_______________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解答下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x，y满足． 14. 为了解我区城乡艺术教育质量发展情况，某调查小组从农村和城区各抽取所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了名学生，数据分析如下． 【收集与整理】 农村学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，； 城区学校名学生的艺术成绩（单位：分）：，，，，，，，，，． 【描述与分析】 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 城区 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中、的值，______，______； （2）【迁移与应用】 若从本次艺术成绩在分以上的名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 15. 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 16. 如图，四边形内接于，为的直径，D为的中点，，的延长线交于点F，过点D作的切线交的延长线于点E． （1）求证：①；②． （2）若，，求的长． 17. 综合与实践： 【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计 某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆A以初速度进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆B以恒定速度同向匀速行驶．为确保A车在任何时刻均不与B车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆A在水平直道上运动的数据如表： 时间 0 0.5 1 1.5 2 速度 20 16 12 8 4 路程 0 9 16 21 24 【问题探究】 （1）已知速度v是时间t的一次函数，路程s是时间t的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆A从驶入水平直道到完全停下所行驶的总路程． （2）测试车辆A驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车B从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆A始终不会撞上目标障碍物测试车B，求安全初始距离d的最小值． 18. （1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $