精品解析：广东省深圳市龙岗区平湖信德学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

广东省深圳市龙岗区平湖信德学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一.选择题（每小题3分，共8小题） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列结论一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. D. 5. 已知坐标平面上有一等边，其坐标分别为，，将绕点依顺时针方向旋转，如图所示则旋转后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，将逆时针旋转（），得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（　　） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 二.填空题（每小题3分，共5小题） 9. 分解因式：m2-6m+9=_______． 10. 如图，A，B的坐标为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为____． 11. 在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则的长为_____ ． 12. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在上时，则的度数为______． 13. 如图，四边形中，，，，，则___________． 三.解答题（共7小题） 14. 分解因式： （1）； （2）． 15. （1）解下列一元一次不等式组：． （2）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……·第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）的面积为______________； （2）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （3）画出关于点O的中心对称图形； （4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______________． 17. 如图，，的垂直平分线交于D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为23，求的周长． 18. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 19. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 0 1 2 3 … 其中，表格中的值为___________； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数的图象，回答下列问题： ①当___________时，函数有最小值，最小值为___________； ②当___________时（填自变量的取值范围），随的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是___________； （4）若直线与有2个交点，则的取值范围是___________． 20. 李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图1，在和中，，，． 【初识图形】 （1）如图2，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则长为 ，长为 ． 【深度探析】 （2）如图3，在绕点A旋转过程中，当时，连接、，延长交于点F． ①的度数为 ，的度数为 ； ②求证：点F为线段的中点． 【拓展探究】 （3）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市龙岗区平湖信德学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一.选择题（每小题3分，共8小题） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由题意可得， A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 如果，那么下列结论一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】如果，那么，故A不符合题意； 如果，那么，故B不符合题意； 如果，那么，故C不符合题意； 如果，那么，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的方法逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：A、，该选项分解错误，不合题意； B、，该选项分解正确，符合题意； C、，该选项分解错误，不合题意； D、，该选项分解错误，不合题意； 故选：B． 4. 用反证法证明命题“在中，若，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，，则”时，首先应假设∠B=∠C， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5. 已知坐标平面上有一等边，其坐标分别为，，将绕点依顺时针方向旋转，如图所示则旋转后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，设旋转后点对应的点为，过作轴于，首先利用旋转的性质和等边三角形的性质可以得到，，然后利用含30度直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设旋转后点对应的点为，过作轴于， 为等边三角形，，， 又将绕点依顺时针方向旋转， ，， ， ，， ， 旋转后点的坐标为 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化旋转，同时也利用了等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质和勾股定理，有一定的综合性． 6. 如图，中，，将逆时针旋转（），得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质及三角形内角和与外角的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∴，， ∴． 7. 若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组得到，根据不等式组有3个整数解得到a的取值范围，进而求解． 【详解】∵， 解得，， ∴关于的不等式组的整数解为：3，4，5， ∴， 解得，， 故选A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组与一元一次不等式组的整数解，确定不等式组的整数解是解题的关键． 8. 一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 二.填空题（每小题3分，共5小题） 9. 分解因式：m2-6m+9=_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接应用完全平方公式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 10. 如图，A，B的坐标为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为____． 【答案】0 【解析】 【详解】试题解析：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了2个单位， 由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了2个单位， 由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位， 所以点A、B均按此规律平移， 由此可得a=2，b=2， 故a-b=0． 【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 11. 在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则的长为_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意易得平分，则有，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在上时，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质以及角的和差即可求解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到， ，，， 为等腰三角形， ， ， 故答案为：． 13. 如图，四边形中，，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点E，求得，，，，，，过点B作，交的延长线于点G，求得，解答即可． 本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，，，， ∴， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， 过点B作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三.解答题（共7小题） 14. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 15. （1）解下列一元一次不等式组：． （2）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……·第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是___________________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）；（2）任务一：①乘法分配律；②五；不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变；任务二：． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则原不等式组的解集为：； （2）任务一：①乘法分配律； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变； 故答案为：乘法分配律；五；不等式两边同时除以时，不等号方向没有改变； 任务二：该不等式的正确解集为． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）的面积为______________； （2）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （3）画出关于点O的中心对称图形； （4）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______________． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （4）对应点连线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：， ∴的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； 【小问4详解】 解：根据图形可知： 旋转中心的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求三角形的面积，画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形，掌握旋转的性质进行画图是解本题的关键． 17. 如图，，的垂直平分线交于D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为23，求的周长． 【答案】（1） （2）的周长为37 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的周长为23， ∴， ∴的周长． 18. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】（1）应选用A种食品4包，B种食品2包 （2）应选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设选用A种食品x包，种食品y包，根据“恰好摄入热量和蛋白质”列方程组，即可求解； （2）设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，种食品y包， 由题意可知，， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设应选用A种食品a包，B种食品包， 由题意可知，． 解得：． 当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为， 脂肪含量随a的增大而减小． ∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少． B种食品:（包）． 答：应选用A种食品3包，B种食品4包． 19. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 0 1 2 3 … 其中，表格中的值为___________； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数的图象，回答下列问题： ①当___________时，函数有最小值，最小值为___________； ②当___________时（填自变量的取值范围），随的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是___________； （4）若直线与有2个交点，则的取值范围是___________． 【答案】（1）①2；②见解析 （2）①，0；② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据解析式即可求出的值； （2）观察函数图象，即可得出相应结论； （3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解； （4）绕点旋转形成的直线簇，找到满足条件的临界位置即可求解． 【小问1详解】 解：①当时， 故的值为， 故答案为：2； ②函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：由图象可知： ①当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在同一坐标系中画出直线的图象，如图所示： 交点坐标为和 故当时，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：绕绕点旋转形成的直线簇： 当直线平行于直线左侧部分时， 当直线经过点时， 故当时，直线与有2个交点， 故答案为：． 【点睛】本题属于“新函数”类型的题目，掌握函数的定义、函数图象的画法、函数的性质以及利用数形结合思想解决不等式问题、交点问题是解决此类问题的关键． 20. 李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图1，在和中，，，． 【初识图形】 （1）如图2，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则长为 ，长为 ． 【深度探析】 （2）如图3，在绕点A旋转过程中，当时，连接、，延长交于点F． ①的度数为 ，的度数为 ； ②求证：点F为线段的中点． 【拓展探究】 （3）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2，4 （2）①，；②见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有都为等边三角形，然后问题可求解； （2）①由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； ②延长、相交于点H，由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （3）根据题意可分当点E恰好落在的边上时，当点E恰好落在的边的延长线上时，当绕点A逆时针旋转时，落在的边的延长线上时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接、，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴都为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②证明：延长、相交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F为线段的中点． 【小问3详解】 解：由（1）可知，此时，； 在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边的延长线上时，连接，如图所示： 由题意可知，， ∵， ∴； 当绕点A逆时针旋转时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，或6或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $