广东省深圳市龙岗区平湖信德学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 以“数学美”“流星数”等创新情境及旋转探究、函数应用为载体，覆盖八年级下册核心知识，融合几何直观、推理能力与模型意识，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|图形对称、不等式性质、因式分解、旋转坐标、新定义|第1题结合函数曲线美考查图形性质，第8题“流星数”新定义渗透数论思想| |填空题|5/15|因式分解、平移坐标、角平分线、旋转角度、四边形面积|第11题尺规作图与含30°直角三角形结合，第13题构造辅助线解四边形面积| |解答题|7/61|因式分解、不等式组、图形变换、几何证明、函数探究、旋转综合|第19题函数与不等式结合培养模型意识，第20题分“初识-深度-拓展”三层次探究旋转性质，发展空间观念与推理能力|

广东省深圳市龙岗区平湖信德学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一.选择题（每小题3分，共8小题） 1．（3分）数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣4a＞﹣4b C．3﹣a＞3﹣b D． 3．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．2a2﹣4a＝2（a2+a） B．4﹣a2＝（2+a）（2﹣a） C．a2﹣10a+25＝a（a﹣10）+25 D．a2﹣2a+1＝（a+1）2 4．（3分）用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设（　　） A．∠A＝∠B B．AB＝AC C．∠A＝∠C D．∠B＝∠C 5．（3分）已知坐标平面上有一等边△ABC，其坐标分别为A（0，0），B（2，0），将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°，如图所示．则旋转后C点的坐标为（　　） A． B． C．（3，1） D． 6．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝42°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　） A．80° B．82° C．84° D．86° 7．（3分）若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10 8．（3分）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“流星数”．例3＝22﹣12，8＝32﹣12，…，3和8都是一个“流星数”．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 二.填空题（每小题3分，共5小题） 9．（3分）分解因式：x2﹣6x+9＝　 　 ． 10．（3分）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　 　 ． 11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝∠CAD，则BD的长为　 　 ． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在AC上时，则∠ADE的度数为 　 　 ． 13．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BC，，AD＝2，则S△BCD＝　 　 ． 三.解答题（共7小题） 14．（8分）分解因式： （1）xy3﹣xy； （2）﹣a+2a2﹣a3． 15．（9分）（1）解下列一元一次不等式组：． （2）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．． 解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步 4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步 4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步 ﹣5x＞﹣10……第四步 x＞2……第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据　 　 （运算律）进行变形的； ②第　 　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 ； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． （1）△ABC的面积为 　 　 ； （2）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （3）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2； （4）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 　 　 ． 17．（8分）如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝50°，求∠BDC的度数； （2）若AE＝7，△BCD的周长为23，求△ABC的周长． 18．（8分）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 19．（10分）数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数y＝|x+1|的图象． ①列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 a 1 0 1 2 3 … 其中，表格中a的值为 　 　 ； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题： ①当x＝　 　 时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 　 　 ； ②当 　 　 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 　 　 ； （4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 　 　 ． 20．（10分）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含30°的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝AE＝2，∠B＝∠D＝30°． 【初识图形】 如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的边AB上时，连接CE、BD．则CE长为　 　 ，BD长为　 　 ． 【深度探析】 如图3，在△ADE绕点A旋转过程中，当AD∥BC时，连接BD、CE，延长CE交BD于点F． （1）∠BCF的度数为　 　 ，∠DEF的度数为　 　 ； （2）求证：点F为线段BD的中点． 【拓展探究】 在△ADE绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以DE为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由． 广东省深圳市龙岗区平湖信德学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D D B A C 一.选择题（每小题3分，共8小题） 1．（3分）数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【解答】解：由题意可得， A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形． 2．（3分）如果a＞b，那么下列结论一定正确的是（　　） A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣4a＞﹣4b C．3﹣a＞3﹣b D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣3＞b﹣3，A错误； ﹣4a＜﹣4b，B错误； 3﹣a＜3﹣b，C错误； ﹣＜﹣，D正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是不等式的性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．2a2﹣4a＝2（a2+a） B．4﹣a2＝（2+a）（2﹣a） C．a2﹣10a+25＝a（a﹣10）+25 D．a2﹣2a+1＝（a+1）2 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法逐一判断即可求解． 【解答】解：A、2a2﹣4a＝2a（a﹣2），故本选项不合题意； B、4﹣a2＝（2+a）（2﹣a），故本选项符合题意； C、a2﹣10a+25＝（a﹣5）2，故本选项不合题意； D、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故本选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．（3分）用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设（　　） A．∠A＝∠B B．AB＝AC C．∠A＝∠C D．∠B＝∠C 【答案】D 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解答】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设∠B＝∠C， 故选：D． 【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5．（3分）已知坐标平面上有一等边△ABC，其坐标分别为A（0，0），B（2，0），将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°，如图所示．则旋转后C点的坐标为（　　） A． B． C．（3，1） D． 【答案】D 【分析】如图，设旋转后C点对应的点为D，过D作DE⊥x轴于E，首先利用旋转的性质和等边三角形的性质可以得到AB＝BC＝CD＝DB＝2，∠ABD＝120°，然后利用三角函数的知识即可求解． 【解答】解：如图，设旋转后C点对应的点为D，过D作DE⊥x轴于E， ∵△ABC为等边三角形，A（0，0），B（2，0）， 又将△ABC绕点B依顺时针方向旋转60°， ∴AB＝BC＝CD＝DB＝2，∠ABD＝120°， ∴∠DBE＝60°， ∴BE＝BD＝1，DE＝， ∴AE＝AB+BE＝3， ∴旋转后C点的坐标为（3，）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，同时也利用了等边三角形的性质及三角函数的知识点，有一定的综合性． 6．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝42°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　） A．80° B．82° C．84° D．86° 【答案】B 【分析】根据旋转可得∠B＝∠ADB＝∠ADE，再结合旋转角α＝42°即可求解． 【解答】解：由旋转性质可得：∠BAC＝∠DAE＝55°，AB＝AD， ∵α＝42°， ∴∠DAF＝13°，∠B＝∠ADB＝∠ADE＝69°， ∴∠AFE＝∠DAF+∠ADE＝82°， 故选：B． 【点评】本题考查了几何旋转问题、三角形内角和、等腰三角形性质，掌握旋转的性质是关键． 7．（3分）若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10 【答案】A 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组只有3个整数解得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x， 解不等式②，得x≥3， ∵关于x的不等式组的解集只有3个整数解，（3个整数解是3，4，5）， ∴5＜≤6， ∴10＜a≤12， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组5＜≤6是解题的关键． 8．（3分）一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“流星数”．例3＝22﹣12，8＝32﹣12，…，3和8都是一个“流星数”．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数，要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”， 2不能表示为两个正整数的平方差，所以2不是“流星数”， 对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1＝（k+1）2﹣k2（k＝1，2…）， 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数4k，有4k＝（k+1）2﹣（k﹣1）2（k＝2，3，…）， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数4k+2（k＝0，1，2，3，…），设4k+2＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数， 当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除； 当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，矛盾， 所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2＝4k+2，即形如4k+2的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”， ∴第4个“流星数”为8， 第7个“流星数”为12， 第10个“流星数”为16， ∴第13个流星数为20，20＝62﹣42， 故选：C． 【点评】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握． 二.填空题（每小题3分，共5小题） 9．（3分）分解因式：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2 ． 【答案】（x﹣3）2 【分析】原式利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x﹣3）2． 故答案为：（x﹣3）2 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．（3分）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　0　 ． 【答案】0 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了2个单位， 由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了2个单位， 由此得线段AB的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位， 所以点A、B均按此规律平移， 由此可得a＝0+2＝2，b＝0+2＝2， ∴a﹣b＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B＝∠CAD，则BD的长为　4　 ． 【答案】4． 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAB+∠B＝90°，从而可得∠B+∠CAD+∠BAD＝90°，再根据题意可得：AD平分∠BAC，从而可得∠CAD＝∠BAD，进而可得∠B＝∠CAD＝∠BAD＝30°，然后利用等角对等边可得AD＝BD，再在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AD＝2CD，从而可得BD＝2CD，进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴∠B+∠CAD+∠BAD＝90°， 由题意得：AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠B＝∠CAD， ∴∠B＝∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴AD＝BD， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD， ∴BD＝2CD， ∵BC＝6， ∴CD＝BC＝2， ∴BD＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形，作图﹣基本作图，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在AC上时，则∠ADE的度数为 　15°　 ． 【答案】15°． 【分析】由旋转的性质可得∠ABC＝∠DEC＝90°，CA＝CD，∠ACB＝∠ACD＝30°，由等腰三角形的性质和外角性质可求解． 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC， ∴∠ABC＝∠DEC＝90°，CA＝CD，∠ACB＝∠ACD＝30°， ∴∠CAD＝∠CDA＝75°， ∴∠ADE＝∠DEC﹣∠DAC＝15°， 故答案为：15°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 13．（3分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BC，，AD＝2，则S△BCD＝　　 ． 【答案】． 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明三角形AEC为等腰直角三角形，推出三角形DFC是等腰直角三角形即可推出结果． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F， ∵∠ADC＝60°， ∴DE＝，AE＝， 在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BC＝，AC＝BC＝， 在Rt△AEC中，CE＝， ∴AE＝CE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴∠ACE＝45°， ∴∠FCD＝45°， ∴△FCD是等腰直角三角形， ∴CF＝DF， 又∵CD＝CE+DE＝1+， ∴CF＝DF＝， ∴BF＝BC+CF＝＝， ∴S△BCD＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三.解答题（共7小题） 14．（8分）分解因式： （1）xy3﹣xy； （2）﹣a+2a2﹣a3． 【答案】（1）xy（y+1）（y﹣1）； （2）﹣a（a﹣1）2． 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解：（1）原式＝xy（y2﹣1） ＝xy（y+1）（y﹣1）； （2）原式＝﹣a（1﹣2a+a2） ＝﹣a（a﹣1）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 15．（9分）（1）解下列一元一次不等式组：． （2）下面是骏骏同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．． 解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6……第一步 4x﹣2＞9x﹣6﹣6……第二步 4x﹣9x＞﹣6﹣6+2……第三步 ﹣5x＞﹣10……第四步 x＞2……第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据　乘法对加法的分配律　 （运算律）进行变形的； ②第　五　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　不等式两边同时除以﹣5时，不等号方向没有改变　 ； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）﹣3≤x＜1； （2）任务一：①乘法对加法的分配律； ②五；不等式两边同时除以﹣5时，不等号方向没有改变； 任务二：x＜2． 【分析】（1）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥﹣3， ∴原不等式组的解集为：﹣3≤x＜1； （2）任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据乘法对加法的分配律（运算律）进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以﹣5时，不等号方向没有改变； 故答案为：①乘法对加法的分配律； ②五；不等式两边同时除以﹣5时，不等号方向没有改变； 任务二：该不等式的正确解集：x＜2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上． （1）△ABC的面积为 　4　 ； （2）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （3）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2； （4）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 　（﹣2，0）　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可求解； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （3）利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可； （4）对应点连线的交点即为旋转中心． 【解答】解：（1）， ∴△ABC的面积为4， 故答案为：4； （2）如图1，△A1B1C1即为所求； （3）如图2，△A2B2C2即为所求； （4）如图3， 根据图形可知： 旋转中心的坐标为：（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）． 【点评】本题考查的是求三角形的面积，画平移图形，画关于原点对称的图形，坐标与图形，掌握旋转的性质进行画图是解本题的关键． 17．（8分）如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝50°，求∠BDC的度数； （2）若AE＝7，△BCD的周长为23，求△ABC的周长． 【答案】（1）100°； （2）37． 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠B＝∠ACB＝65°，再利用线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，从而可得∠ACD＝∠A＝50°，再利用三角形的外角的性质求解； （2）利用线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，AC＝2AE＝14，再根据已知△BCD的周长为23，可得BC+AB＝23，然后利用三角形的周长公式进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝65°， ∵DE垂直平分线AC， ∴AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝50°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝50°+50°＝100°； （2）∵DE垂直平分线AC，AE＝7， ∴AD＝DC，AC＝2AE＝14， ∵△BCD的周长为23， ∴BC+CD+DB＝23， ∴BC+AD+BD＝23， ∴BC+AB＝23， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝14+23＝37， ∴△ABC的周长为37． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18．（8分）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7﹣m）包，根据保证每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，列出一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再设每份午餐的总脂肪含量为wg，利用每份午餐的总脂肪含量＝每包A种食品的脂肪含量×选用A种食品的数量+每包B种食品的脂肪含量×选用B种食品的数量，列出一次函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可得出结果． 【解答】解：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包， 由题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品4包，B种食品2包； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7﹣m）包， 由题意得：10m+15（7﹣m）≥90， 解得：m≤3， 设每份午餐的总脂肪含量为wg， 由题意得：w＝5.3m+18.2（7﹣m）， 即w＝﹣12.9m+127.4， ∵﹣12.9＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝3时，w取得最小值， 此时7﹣m＝7﹣3＝4， 答：符合要求且脂肪含量最低的配餐方案为选用A种食品3包，B种食品4包． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数式． 19．（10分）数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数y＝|x+1|的图象． ①列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 a 1 0 1 2 3 … 其中，表格中a的值为 　2　 ； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题： ①当x＝　﹣1　 时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 　0　 ； ②当 x＞﹣1　 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 　﹣3＜x＜0　 ； （4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 　﹣1＜k＜　 ． 【答案】（1）2； （2）﹣1，x＞﹣1； （3）﹣3＜x＜0； （4）﹣1＜k＜， 【分析】（1）把x＝﹣3代入解析式即可求得a＝2，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案； （4）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝|﹣3+1|＝2， ∴a＝2． 函数图象如图所示． 故答案为：2； （2）观察函数y＝|x+1|的图象， ①当x＝﹣1时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为0； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； 故答案为：﹣1，x＞﹣1； （3）观察图象，不等式的解集是﹣3＜x＜0； 故答案为：﹣3＜x＜0； （4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是﹣1＜k＜， 故答案为：﹣1＜k＜． 【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解决本题关键． 20．（10分）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含30°的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝AE＝2，∠B＝∠D＝30°． 【初识图形】 如图2，在△ADE绕点A旋转过程中，当点E恰好落在△ABC的边AB上时，连接CE、BD．则CE长为　2　 ，BD长为　4　 ． 【深度探析】 如图3，在△ADE绕点A旋转过程中，当AD∥BC时，连接BD、CE，延长CE交BD于点F． （1）∠BCF的度数为　15°　 ，∠DEF的度数为　15°　 ； （2）求证：点F为线段BD的中点． 【拓展探究】 在△ADE绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以DE为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由． 【答案】初识图形：2，4； 深度探析：（1）15°，15°；（2）见解析； 拓展探究：BE＝2或BE＝6或． 【分析】初识图形：连接BD，CE，可求得BE，然后利用勾股定理求得BD，接着可证明△AEC为等边三角形，从而求得CE； 深度探析：（1）先通过两直线平行内错角相等，得到∠DAB，接着求得∠BAE，∠EAC，接着利用AE＝AC，那么有，接着利用∠DEF＝180°﹣∠AEC﹣∠AED求得答案； （2）延长CF、AD相交于点H，先利用两直线平行内错角相等，证明∠DEF＝∠DHF，从而推出DH＝DE，又因为DE＝BC，推出DH＝BC，结合∠DFH＝∠BFC，证明△DFH≌△BFC，从而得出结论； 拓展探究：由初识图形，图2可知，∠BED＝90°时，BE＝2，在△ADE绕点A旋转过程中，当点E恰好落在△ABC 的边BA的延长线上时，连接CD、BD，BE＝BA+AE＝4+2＝6；在△ADE绕点A逆时针60°时，AD落在△ABC的边AC的延长线上时，连接BE、BD，先证明△ABD为等边三角形，再证明∠BDE＝90°，接着利用勾股定理求得答案． 【解答】初识图形：解：连接BD，CE，如图所示： ∵在△ABC 和△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝AE＝2，∠ABC＝∠ADE＝30°， ∴AB＝2AC＝4，AD＝2AE＝2×2＝4，∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴， ∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2＝2， ∴， ∵AC＝AE＝2，∠BAC＝60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴CE＝AE＝2， 故答案为：2，4， 深度探析：（1）解：∵AD∥BC，∠ABC＝30°， ∴∠DAB＝∠ABC＝30°， ∵∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE﹣∠DAB＝60°﹣30°＝30°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°， ∵AE＝AC， ∴， ∵∠ACB＝90°＝∠AED， ∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣75°＝15°，∠DEF＝180°﹣∠AEC﹣∠AED＝180°﹣75°﹣90°＝15°， 故答案为：15°，15°； （2）证明：延长CF、AD相交于点H，如图所示： ∵AH∥BC，∠BCF＝15°， ∴∠DHF＝∠BCF＝15°， ∵∠DEF＝15°， ∴∠DEF＝∠DHF， ∴DH＝DE， ∵DE＝BC， ∴DH＝BC， ∵∠DFH＝∠BFC， ∴△DFH≌△BFC（AAS）， ∴DF＝BF， ∴点F为线段BD的中点． 拓展探究：由初识图形，图2可知，∠BED＝90°时，BE＝2， 在△ADE绕点A旋转过程中，当点E恰好落在△ABC 的边BA的延长线上时，连接CD、BD，如图所示： 由题意可知，∠BED＝90°， ∵AB＝4，AE＝2， 此时BE＝BA+AE＝4+2＝6； 在△ADE绕点A逆时针60°时，AD落在△ABC的边AC的延长线上时，连接BE、BD，如图所示： ∵∠BAC＝60°，AB＝AD＝4， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠BDC＝60°，BD＝AB＝4， ∵∠ADE＝30°， ∴∠BDE＝∠BDC+∠ADE＝60°+30°＝90°， ∵， ∴； 综上，BE＝2或BE＝6或． 【点评】本题考查了含30°的直角三角板，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，平行的判定与性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $